Tabela Geral de Derivadas

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GUIDG.COM – PG. 1 
 
8/6/2010 – CDI 1 – Cálculo diferencial e integral 
 
Obs.: Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente. Omitimos as notas históricas. 
 
 
Tabela geral de derivadas 
Resumo informal tabelado para os principais teoremas e regras gerais de diferenciação 
 
 
 y = f x
` a
, y. = f . x
` a
 ; (t, u, v) funções deriváveis de x ; (a, b, c) constantes ; e ≈ 2,7182 , lnu = log
e
u 
 
# y y' 
1 c 0 
2 x 1 
3 a.u a.u' 
4 u + v u' + v' 
5 u.v u'.v + u.v' 
6 
u
v
ffff u. A v@uA v .
v2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 
7 ua , a ≠ 0 aAua@ 1Au. 
8 au , 0< a ≠ 1 u. AauA lna 
9 eu euAu. 
10 loga u 
u.
u
fffffffffffff
A log
a
e 
11 lnu 
u.
u
fffffffffffff 
12 tu , t > 0 uA tu@ 1A t . + u. A tuA lnt # y y' 
13 sen u cos u . u' 25 senh u cosh u . u' 
14 cos u – sen u . u' 26 cosh u senh u . u' 
15 tg u sec2 uAu. 27 tgh u sech2 uAu. 
16 cotg u @cosec2 uAu. 28 cotgh u @cosech2 uAu. 
17 sec v sec v . tg v . v' 29 sech v – sech v . tgh v . v' 
18 cosec v – cosec v . cotg v . v' 30 cosech v – cosech v . cotgh v . v' 
19 arc sen u 
u.
1@u2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff 31 arg senh u 
u.
1 + u2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff 
20 arc cos u 
@u.
1@u2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff 32 arg cosh u 
u.
u2@1q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff , u> 1 
21 arc tg u 
u.
1 + u2
ffffffffffffffffff 33 arg tgh u u.
1@u2
fffffffffffffffffff , |u | < 1 
22 arc cotg u 
@u.
1 + u2
ffffffffffffffffff 34 arg cotgh u u.
1@u2
fffffffffffffffffff , |u | > 1 
23 arc sec v , |v | ≥ 1 
v .
v
L
L
M
M v2@1q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffff, |v | > 1 35 arg sech v 
@ v .
v 1@ v2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffff , 0 <v < 1 
24 arc cosec v , |v | ≥ 1 
@ v .
v
L
L
M
M v2@1q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffff, |v | > 1 36 arg cosech v 
@ v .
|v | 1 + v2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffff , v ≠ 0 
* Tabela de derivadas elementares considerando a regra da cadeia. 
GUIDG.COM – PG. 2 
 
Legenda: D = Definição, P = Proposição ou Propriedade, F = Fundamental / Elementar, T = Teórico / Teorema, R = Regra 
 
Leg. Notação Descrição e demonstração se possível. 
!!! * 
 
Um dos problemas ao se estudar a derivada, é que todo o estudo se fundamenta 
em conceitos de limites, então seu conhecimento é necessário. Recomendamos 
também uma breve revisão, utilize a Tabela de Limites e quando houver duvidas 
quanto aos símbolos use o arquivo Notação Matemática. Feito isso, novos 
símbolos serão introduzidos, fique atento. Faremos o máximo possível para 
alerta-lo das diferenças entre os símbolos que parecem ter o mesmo significado, 
porém ficam só de aparência e na verdade são completamente diferentes. 
Recomendamos utilizar esta tabela acompanhada de um livro para auxilia-lo nos 
estudos. 
 
F0 m = tgα =
y2@ y1
x2@ x1
fffffffffffffffff= ∆y∆x
fffffff
 
 
Inclinação da reta secante, definição: 
 
Sejam A x1 ,y1
` a
 e B x2 ,y 2
` a
 dois pontos quaisquer distindos no 
plano cartesiano, então o segmento AB defini uma reta, tal que a 
inclinação da reta (m) relativa ao eixo x é dado pelo quociente ∆y 
sobre ∆x. 
 
∆y = y2@ y1 
 
∆x = x2@ x1 
 
* Se AB
ffffffffff
 for paralelo ao eixo y , então não existe m . 
 
Em Diferenciais, entraremos numa nova definição. 
 
F1 lim
∆xQ 0
f x + ∆x
` a
@ f x
` a
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
Derivada, definição: 
 
Ainda em F0, admita que os dois pontos A e B fazem parte de uma função f 
(uma curva por exemplo), então se fizermos B se aproximar a A de maneira que a 
inclinação da reta AB tenda a um valor limite constante, chamamos este valor de 
inclinação da reta tangente no ponto P ( mp). Assim defini-se a derivada 
quando este limite existe e denota-se por f’ . Portanto geometricamente, a 
derivada é a inclinação da reta tangente à curva no ponto P. 
 
Demonstração: 
 
mx1 = limBQ A
∆y
∆x
fffffff= lim
x2Q x1
y2@ y1
x2@ x1
fffffffffffffffff= f x2
` a
@ f x1
` a
x2@ x1
fffffffffffffffffffffffffffffff
mas x2 = x1 + ∆x
 
e se x2Q x1 , ∆xQ 0
então mx1 = lim∆xQ 0
f x1 + ∆x
b c
@ f x1
` a
∆x
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 
 
O processo para se encontrar mp (a derivada) é chamado derivação ou 
diferenciação. 
 
Logo a fórmula à esquerda é a generalização para um ponto qualquer, de uma função 
qualquer desde que satisfaça os critérios dados. 
 
 
f x + ∆x
` a
@ f x
` a
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 é por homenagem chamado de Quociente de Newton. 
GUIDG.COM – PG. 3 
 
 
* Se 8 x 2 ao D f 9 f . , então dizemos que f é derivável . 
* Se mp // ao eixo y então 9+ f . . 
* Se mp // ao eixo x então f’ = 0 # se f é constante f . = 0 . 
 
F2 
 
 
dy
dx
fffffff= f. x` a 
 
 
Notação: à esquerda estão os síbolos usados para representar (F1) a derivada de uma 
função. Também podemos encontrar notações extras dependendo do livro, as mais comuns 
são: 
 
d
dx
fffffff
 
 
Operador de derivação: Isto não é um quociente e deve ser visto como um 
todo. Indica que o que estiver a sua direita deve ser diferenciado em relação 
a x ( x uma variável qualquer). 
 
dy
dx
fffffff
 
 
Lê-se: A derivada de y em relação à x . Também fala-se dy dx como se 
escreve. 
 
f. x
` a
 
 
Lê-se: f linha de x . Veja que f. x
` a
≠ f x
` a
 , Mas 
f. x
` a
= y. 
 
D x f x
` a
 
 
Lê-se: A derivada de f de x “ f (x) ” em relação a x . 
 
D x y 
 
Lê-se: A derivada de y em relação a x . 
 
 
* Todas essas notações podem ser aplicadas as regras da tabela de derivadas elementares. 
 
F3 α
` a
y@ y1 = m x@ x1
` a
 
 
Com base em F0 e F1, definimos após a derivada, a equação da reta tangente. 
A fórmula pode variar: 
 
sabemos que: y1 = f x1
` a
então:
β
b c
y@ f x1
` a
= m x@ x1
` a 
 
α e β são todas equações da reta tangente. 
 
F4 r // s 
 
Condição de paralelismo. 
 
Duas retas são paralelas quando seus coeficientes angulares (as derivadas) são iguais. 
 
r // s ^ mr = ms. 
 
F5 r? s 
 
Condição de perpendicularismo ou condição de ortogonalidade. 
 
mr Ams =@ 1 
 
Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares for igual à 
um negativo: 
 
r? s ^ mr Ams =@1 
 
Os exercícios costumam dizer “dada uma reta r normal a s...”, ou vice e versa. Isto nos diz 
que as retas são perpendiculares entre si (formando um ângulo de 90º). 
 
*O ângulo de 90º é conhecido como o ângulo reto. 
 
T1 
 
* A equação da reta normal à 
curva no ponto. 
 
Seja f (x) uma curva continua e derivável. Logo esta tem n retas tangentes, e portanto n 
retas normais. 
GUIDG.COM – PG. 4 
 
 
Num ponto de uma curva, pode-se determinar uma reta normal a esta, desde que 
determine-se préviamente a derivada neste ponto. 
 
T2 
 
* Continuidade da função. 
 
 
Uma função é continua num ponto x1 se atender simultaneamente a três condições, e são 
elas: 
 
1
a
9 f x1
` a
2
a
9 lim
xQ x1
f x1
` a
3
a
lim
xQ x1
f x1
` a
= f x1
` a
 
 
T3 
 
* Continuidade de funções 
deriváveis. 
 
 
A continuidade de uma função num ponto não implica na existência da derivada dessa 
função 
nesse mesmo ponto. 
 
Porém, toda função derivavel num ponto é continua nesse mesmo ponto.* A demonstração foi omitida. 
 
T4 
 
Derivadas Laterais 
 
 f
@
, e f +
,
 
 
 
Seja a função f definida num ponto a então: 
 
 f
@
, a
` a
= lim
∆xQ a@
f a + ∆x
` a
@ f a
` a
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
Isto é, a derivada à esquerda de f, é o limite para quando ∆x tende à a por valores menores 
que a. 
 
 
f +
, a
` a
= lim
∆xQ a+
f a + ∆x
` a
@ f a
` a
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
Isto é, a deriva à direita de f, é o limite para quando ∆x tende à a por valores maiores que a. 
 
Se tiver dificuldades, estude primeiro limites laterais. 
 
T4* 
 
Derivadas Laterais, conclusão: 
 
f
@
, = f +
,
 
 
 
Conclui-se a partir de T4 que a derivada de uma função num ponto a, existe se, e somente 
se as derivadas laterais existirem e forem iguais, isto é: 
 
f , 9 ^ f +
, = f
@
,
 
 
Quando as derivadas laterais existirem mas forem diferentes, dizemos que este é um ponto 
anguloso do gráfico da função. Portanto a derivada de f neste caso não existe. 
 
f
,
9+ se f+
, ≠ f
@
,
 
 
T5 
A derivada da função inversa 
 
f @ 1
b c
. = 1
f.
fffff
 
Lembre-se: f @ 1 ≠ 1
f
fffff
 
f
@ 1
 é a notação para a inversa da função f, e não o inverso do símbolo de 
função f. 
Se tiver dúvidas, estude a determinação da inversa de uma função (funções 
inversas). 
Erro comum entre alunos: Se por um instante você acreditar que f @ 1 = 1
f
ffffff
 e por 
isso f @ 1
b c
. = 1
f.
ffffffff
 , então você não entendeu nada. 
 
 
Notações, indicação da derivada da inversa: 
GUIDG.COM – PG. 5 
 
f @ 1
b c
. , y@ 1
b c
. ,
d
dx
fffffff f @ 1 x` a
b c
 
 
I) Seja f uma função definida (contínua) num intervalo (a, b) ; 
II) Suponhamos que f admita inversa f @ 1
b c
 . Então por (I) f
@ 1
 também é 
contínua. 
III) Se a derivada de f existe e é diferente de zero para qualquer x pertencente 
ao intervalo dado, então a derivada da inversa é igual ao inverso da derivada de f 
. 
 
f @ 1
b c
. = 1
f.
fffff
 se, e somente se, I, II e III forem satisfeistas. 
 
Em linguagem matemática podemos resumir tudo isso como: 
 
Se f x
` a
9 8 x 2 a, b
b c
e9 f. x
` a
| f. x
` a
≠ 0 8 x 2 a, b
b c
Então9 f @ 1
b c
. = 1
f.
fffff= f.
b c@ 1
 
Se pudessemos resumir mais ainda (mas se fazendo valer I, II e III), dizemos que: 
 
A derivada da inversa é igual ao inverso da derivada. 
 
* Este teorema é importante para a definição das derivadas de funções 
trigonométricas inversas, por isso deve ser compreendido. 
 
* Este teorema foi resumido, no caso de obscuridade procure a demonstração em 
um dos livros citados na ultima página. 
 
R# Regras de derivação 
 
Agora já podemos seguir para as regras de derivação, e serão enunciadas a baixo, onde # 
indica a ordem na tabela geral de derivadas elementares que pode ser vista na pg. 01. As 
regras de derivação existem com o único objetivo de tornar o método de diferenciação 
mais eficiente, visto que o uso da definição é extenso e desnecessário para os próximos 
casos. 
 
R0 
 
Derivada da função composta: 
A regra da cadeia 
 
 
Se f(x) e g(x) são funções deriváveis, e f(g(x)) = fog(x) está definida, então a 
derivada de fog(x) é dada por: 
. 
 fog
b c
. x
` a
= f . g x
` ab c
Ag. x
` a
 
. 
Para esta regra utiliza-se a notação definida em F2: 
 
 
dy
dx
ffffffff= dy
du
ffffffff
A
du
dx
ffffffff
 
 
Exemplo: Derive a função y = ln x2 + 1
b c
 : 
Solução: Veja primeiro a R11, a derivada da função logaritmo natural. 
. 
 
Fazendou = x2 + 1 , temosy = ln u
` a
, então:
y. =
dy
du
ffffffffff= 1
u
fffff
, u. = du
dx
ffffffffff= 2x
Aplicando a regra
dy
dx
fffffffff= dy
du
ffffffffff
A
du
dx
fffffffffftemos:
dy
dx
fffffffff= 1
u
fffff
A2x = 2x
u
ffffffff
, como u = x2 + 1 , então:
dy
dx
fffffffff= 2x
x2 + 1
fffffffffffffffffff
 
 
GUIDG.COM – PG. 6 
 
* Não precisamos dar nomes as funções como fizemos, a importância da regra é 
quanto a cadeia, ou seja, quando tratamos de funções compostas: a derivação 
começa com a aplicação das regras externamente em direção as funções internas, 
e por isso o nome. A demonstração foi omitida. 
 
R1 
 
Derivada de uma constante 
 
 
A derivada da função constante é zero. Por dedução: Isto por que a a reta tangente à curva 
é paralela ao eixo x, logo não existe inclinação, e se a derivada é a inclinação, então não 
existe a derivada. 
 
R2 
 
Derivada de x 
 
 
A derivada de uma variavel independente qualquer com expoente um, é um. Ex: se x, y, z 
são variaveis independentes então suas derivadas são um, respectivamente. 
 
A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f(x) = x . 
 
R3 
 
Derivada do produto por uma 
constante 
 
 
A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f(x) = c.x . 
Por aplicação de propriedade de limites, enunciamos: 
A derivada de um produto de f(x) por uma constante, é a constante vezes a derivada de 
f(x). 
 
R4 
 
Derivada da soma 
 
A derivada da soma é a soma das derivadas. 
R5 
 
Derivada do produto 
 
DEB. Demonstração em breve. 
R6 
 
Derivada do quociente 
 
DEB. 
R7 
 
Derivada da função exponecial: 
Expoente constante 
 
DEB. 
R8 
 
Derivada da função exponencial: 
Base constante, expoente função 
 
DEB. 
R9 
 
Derivada da função exponencial: 
Base número e , expoente função 
 
DEB. 
R10 
 
Derivada da função logaritmica: 
base a 
 
DEB. 
R11 
 
Derivada da função logaritmica: 
base e 
 
 
Derivada da função logaritmo natural ou logaritmo de base e, ou também logaritmo 
neperiano. 
 
DEB. 
 
R12 
 
Derivada da função exponecial 
composta 
 
DEB. 
R13 
 
Derivada da função seno 
 
 
A regra 13 diz que para y = sen u [ y. = u. Acosu levando em consideração R0. 
Logo a prova para a derivada de y = sen x é dada por: 
 
GUIDG.COM – PG. 7 
 
 
y. = lim
∆xQ 0
f x + ∆x
` a
@ f x
` a
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= sin x + ∆x
` a
@ sin x
` a
∆x
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
mas: sinx + ∆x
` a
= sinx A cos∆x + sin∆x A cosx
y. = lim
∆xQ 0
sinx A cos∆x + sin∆x A cosx@ sinx
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
y. = lim
∆xQ 0
sinx cos∆x@1
` a
A+ sin∆x A cosx
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
S
` a
y. = lim
∆xQ 0
sinx A lim
∆xQ 0
cos∆x@1
∆x
fffffffffffffffffffffffffffffff+ lim
∆xQ 0
sin∆x
∆x
fffffffffffffffff
A lim
∆xQ 0
cosx
 
 
y. = sinx A0 + 1A cos
# y. = cosx 
 
(S) Simplificação: Para este ponto em diante utilizou-se as propriedades de limites junto 
com a aplicação de limites fundamentais. 
 
 
R14 
... 
R18 
 
Derivadas de funções 
trigonométricas 
(X) As demonstrações foram omitidas, siga as regras na tabela da pg. 01 . 
 
R19 
 
Derivada da função arco seno 
 
A função f(x) = arc sen x é definida no intervalo D: [-1 , 1] em IM: [-π/2 , π/2] . 
Então y = f(x) é derivavel em (-1 , 1) e y. = 1
1@ x2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff . 
 
A demonstração é trivial, por aplicação do teorema da inversa T5: 
 
 
Se y = arcsinx então:
α
` a
x = siny , procuramos pela derivada da inversa, então por T5:
x@ 1
b c
. = 1
siny
b c
.
ffffffffffffffffffffff
[ β
b c
x@ 1
b c
. = 1
cosy
fffffffffffffff
sin2 y + cos2 y = 1
cos2 y = 1@sin2 y [ γ
` a
cosy = 1@sin2 yq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
por α
` a
temos: x = siny [ x2 = sin2 y
substituindo emγ
` a
:
cosy = 1@ x2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
substituindo emβ
b c
:
x@ 1
b c
. = y. = 1
1@ x2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff
 
* Neste caso x@ 1 ≠ 1
x
ffff , x@ 1 e está indicandoa inversa da funçãoA 
 
R18 
... 
R24 
Derivadas de funções 
trigonométricas inversas 
 
A determinação das derivadas de funções trigonométricas inversas, levam em conta T5, o 
teorema da derivada da função inversa. 
(X) 
 
 
GUIDG.COM – PG. 8 
 
 
R25 
... 
R30 
 
Derivadas de funções hiperbólicas 
 
(X) 
As derivadas das funções hiperbólicas, são as derivadas de suas respectivas funções 
exponenciais. 
R31 
... 
R36 
Derivada de funções hiperbólicas 
inversas 
 
(X) 
As derivadas de funções hiperbólicas inversas, são as derivadas dos agumentos das funções 
hiperbólicas. 
 
T6 
 
Derivadas Sucessivas ou 
Derivadas de ordem superior 
 
 f. , f. , f/ … 
 
 
Seja f uma função derivável, e se a própria derivada de f for derivável, então chamamos 
esta de derivada segunda. Se a derivada segunda for derivával, esta se chamará derivada 
terceira, e assim sucessivamente. 
 
Notações extra: 
 
 
y. = f . x
` a
[
dy
dx
ffffffff= d
dx
fffffffff x` a
B C
y. = f . x
` a
[
d2 y
dx2
ffffffffffff= d
dx
ffffffff d
dx
fffffffff x` a
B CV W
= d
2
dx2
ffffffffffff x` a
B C
y/ = f / x
` a
[
d3 y
dx3
ffffffffffff= d
dx
ffffffff d2
dx2
ffffffffffff x` a
B C
X
\
Z
Y
]
[
= d
3
dx3
ffffffffffff x` a
B C
(
 
 
Em geral isto pode ser resumido como: 
 
 y n
` a
= f n
` a
x
` a
[
dn y
dx
n
ffffffffff= d
n
dx
n
ffffffffff x` a
B C
 
 
Lê-se: A derivada n-ésima de y = a derivada n-ésima de f (x). 
 
Por razões de interpretação, para n > III , utiliza-se números (N*) dentro de parênteses: 
 
 f. , f. , f/ , f 4
` a
, f 5
` a
, f 6
` a
, f 7
` a
, f n
` a
… 
 
T7 
 
 A derivada num ponto 
 
 ou 
 
 
A esquerda esta a notação para a derivada de uma função num ponto, a partir da notação de 
Leibnitz. Neste caso k sendo uma constante, que seria substituida na variavel x da 
função y já derivada. Assim obtendo o valor da derivada neste ponto. 
 
Esta notação é uma variação da notação convencional, isto é: 
 
 
 = y. x
` a
= f. x
` a
 para x = k 
. 
Isto será muito aplicado na derivada na forma paramétrica, na forma implicita e 
principalmente na taxa de variação e taxas relacionadas, com o intuito de aliviar a notação. 
 
T8 
 
Acrécimos 
 
 
Acrécimos ou Incremento: 
 
Seja f (x) uma função, então sempre podemos considerar uma variação de x . Se 
fizermos x variar de x1 até x2 , definimos o acrécimo de x e denotamos por 
∆x. 
 
 ∆x = x2@ x1 
 
A variação de x origina uma correspondente variação de y , denotada 
por: 
 
GUIDG.COM – PG. 9 
 
∆y = y2@ y1 = f x2
` a
@ f x1
` a
 
 
Mas x2 = x1 + ∆x 
Então, substituindo em ∆y: 
 
∆y = f x1 + ∆x
b c
@ f x1
` a
 
 
T9 Diferencial 
 
Com base em T8, entraremos na definição de diferencial. 
 
Seja y = f (x) uma função derivável, e ∆x um acrécimo de x, então: 
 
I) A diferencial de x (variável independente), denota-se por: dx = ∆x 
 
II) Já a diferencial de y é dependente, é só existe devido a derivada, denota-se por: 
 
 dy = f . x
` a
A∆x ou dy = f . x
` a
Adx 
 
III) Então com base em F1 e F2, redefimos a derivada como o quociente entre duas 
diferenciais: 
 
dy
∆x
fffffffff= dy
dx
ffffffff= f . x` a 
 
 
*Importante: o significado geométricos. 
 
O acrécimo dx = ∆x , ocorre no eixo das abcissas (eixo x). 
 
dy ≠ ∆y mas dy ≈ ∆y se ∆x for considerado um valor pequeno. 
O acrécimo ∆y , ocorre no eixo das ordenadas (eixo y); 
 
Mas o acrécimo dy é um produto, e ocorre devido a variação da reta tangente 
(isto é de sua inclinação). 
 
∆y
∆x
fffffffff
 não é a derivada em si (
∆y
∆x
fffffffff≠ dy
dx
ffffffff
). Mas pode ser interpretado 
geometricamente como a inclinação da reta secante definida pelos dois pontos. 
 
 
E por último: 
dy
dx
ffffffff= lim
∆xQ 0
∆y
∆x
fffffffff= lim
∆xQ 0
f x1 + ∆x
b c
@ f x1
` a
∆x
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
Portanto a derivada é o limite do quociente ∆y / ∆x , quando ∆x tende a zero. 
 
T10 
Diferenciais sucessivas ou 
Diferencial de ordem superior 
 
Com base em T9 (II) , seja y = f x
` a
 temos que dy = f . x
` a
Adx , então se a 
diferencial da função y for diferenciavel, temos d2 y = f . x
` a
Adx2 e esta se chamará 
a diferencial segunda, se novamente for diferenciavel teremos a diferencial terceira dada 
por d3 y = f / x
` a
Adx3 , e assim sucessivamente. A diferencial n-ésima de y é dada 
por: d
n
y = f n
` a
x
` a
Adx
n
 . 
 
. 
Veja que isso esta baseado na manipulação algébrica da derivada de 
ordem superior, isto é, para a função y = f x
` a
 , seja o a ordem da 
operação, temos: 
. 
o As derivadas sucessivas: As diferenciais sucessivas: 
1 
dy
dx
ffffffff= f . x` a dy = f . x
` a
Adx 
GUIDG.COM – PG. 10 
 
2 
d2 y
dx2
ffffffffffff= f . x` a d2 y = f . x` aAdx2 
3 
d3 y
dx3
ffffffffffff= f / x` a d3 y = f / x` aAdx3 
n 
dn y
dxn
fffffffffffff= f n
` a
x
` a
 dn y = f n
` a
x
` a
Adxn 
 
 
T11 
Aproximação Linear Local 
 
f x1 + ∆x
b c
≈ f . x1
` a
A∆x + f x1
` a
 
 
A partir de F3, definimos a aproximação linear local. Intuitivamente esta é uma ferramenta 
que nos dará a partir de dados conhecidos, valores próximos a estes. Para uso por exemplo 
na resolução de problemas como: 65,53q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 , tan 45º4. 30.
` a
, etc. 
 
Partindo de F3 (a equação da reta tangente), saímos de α e seguimos: 
α
` a
y@ y1 = m x@ x1
` a
β
b c
y@ f x1
` a
= m x@ x1
` a
mas: x@ x1 = ∆x , y= f x
` a
e m= f . x1
` a
então: γ
` a
f x
` a
@ f x1
` a
= f . x1
` a
A∆x
logo: δ
` a
f x
` a
= f . x1
` a
A∆x + f x1
` a
novamente: x@ x1 = ∆x [ x = x1 + ∆x
 
 
Agora substituindo em δ , chegamos exatamente aonde queremos, ou seja: 
ε
` a
f x1 + ∆x
b c
≈ f . x1
` a
A∆x + f x1
` a
 
 
Veja que o sinal de igualdade muda, por estarmos tratando de uma aproximação, por que: 
y = f x
` a
 somente para valores próximos de x1 , e é a melhor medida que podemos 
obter apartir de x1. 
 
A interpretação de εεεε :::: 
 
Dado um valor conhecido x1 , então se estivermos buscando por um valor x 
próximo de x1 , isto é x = x1 + ∆x , então podemos utilizar (ε) a aproximação 
linar local para determina-lo, visto que temos x1 e a aproximação ∆x. 
 
T12 Taxa de Variação 
 
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma 
função y = f(x) , quando a variavel independente varia de x à x + ∆x , existe 
uma correspondente variação de y dada por ∆y = f(x+∆x) – f(x) . 
∆y que definimos em F0 e por equivalência chegou a esta última forma. Com isto 
definimos genericamente: 
 
I - A Taxa de Variação Média: 
 
 
∆y
∆x
fffffffff= f x + ∆x
` a
@ f x
` a
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
* Interpretação informal: 
 
∆y
∆x
fffffff= variaçãodey
variação de x
ffffffffffffffffffffffffffffffffff=
y final@ yinicial
x final@ xinicial
fffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
Isto é, com esse quociente podemos definir a média da variação de alguma coisa 
em relação a outra variação, independente do que seja. Veja a interpretação 
mecânica. 
 
GUIDG.COM – PG. 11 
 
II - A Taxa de Variação Instantânea ou simplesmente Taxa de Variação, que é 
a própria derivada: 
 
f . x
` a
= lim
∆xQ 0
∆y
∆x
fffffffff= lim
∆xQ 0
f x + ∆x
` a
@ f x
` a
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
 
A interpretação mecânica: 
 
* Velocidade média: podemos definir com um exemplo prático. Se a distância de 
um ponto A até outro B é 80Km, e uma particula viajou de A para B, em uma 
hora, então sua velocidade média é 80 Km/h (lê-se quilômetros por hora), mesmo 
que durante o percurso ela tenha acelerado ou freiado. 
 
* Velocidade instantânea: é o que vemos no painel de um automóvel por 
exemplo, é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo (este medido num 
intervalo muito curto, por isso emprega-se o limite da função para ∆x tendendo a 
zero, ∆x é a variação do tempo. 
 
As demais são definidasanálogamente à velocidade, isto é, podemos calcular a 
taxa média, e a taxa instântanea. 
 
* A Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. 
 
 
Taxa de variação, alguns nomes nomes especiais: 
 
* A Densidade Linear, em fios elétricos por exemplo, é a taxa de variação da 
massa em relação ao comprimento do fio. 
 
* A Vazão, de uma torneira por exemplo, é a taxa de variação do volume de água 
despejado em relação ao tempo. 
 
A aplicação se extende em diversas áreas. 
 
 
 
Fontes de pesquisa e estudo: 
Diva Marilia Flemming - Cálculo A (5ª edição) ; Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1 ; Louis Leithold – O 
cálculo com geometria analítica Vol.1 ; W.A. Granville – Elementos de Cálculo Diferencial e Integral ; Apostila/Livro de CDI-
1 UDESC 2010-1. 
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