Princípios de análise no domínio do tempo 4

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DESCRIÇÃO
Apresentação dos conceitos norteadores dos sistemas pneumáticos, com foco nas características, nas especificações e no princípio de
funcionamento dos compressores e nos sistemas de controle de circuitos pneumáticos.
PROPÓSITO
Apresentar os conceitos envolvidos na especificação dos sistemas pneumáticos, especialmente os compressores. Citar os principais
atuadores pneumáticos e seu funcionamento. Introduzir as noções de controle, acionamento e os princípios envolvidos no conceito de
sistemas de controle e acionamentos pneumáticos. Exemplificar os circuitos abordados bem como, as partes que os compõem e seu modo
de funcionamento.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar a leitura deste conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar os sistemas de primeira ordem
MÓDULO 2
Identificar os sistemas de segunda ordem
MÓDULO 3
Analisar a solução das equações de estado por meio da transformada de Laplace
MÓDULO 4
Analisar a solução das equações de estado no domínio do tempo
A ANÁLISE DE EQUAÇÕES DE ESTADO NO DOMÍNIO DO TEMPO

MÓDULO 1
 Identificar os sistemas de primeira ordem
MODELAGEM DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
ANÁLISE DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO
Após a determinação do modelo matemático que define o sistema físico, e que pode ser obtido a partir de sua função de transferência, é
possível realizar a análise do desempenho do mesmo, quando este recebe estímulos em sua entrada (resposta à entrada).
AS ENTRADAS DO TIPO PADRÃO (OU ENTRADAS DE TESTE) SÃO AQUELAS
QUE PERMITEM COM QUE AS PROPRIEDADES ESSENCIAIS DE UM SISTEMA
SEJAM DETERMINADAS POR MEIO DA RESPOSTA A ESSAS ENTRADAS
CORRESPONDENTES.
As principais entradas do tipo padrão aplicadas a um sistema físico com o objetivo de analisar sua resposta são, como pode ser visto na
imagem a seguir, as funções do tipo degrau, rampa e senoidal:
 Entradas do tipo padrão: (a) entrada em degrau; (b) entrada em rampa; e (c) entrada senoidal.
Também é possível aplicar entradas do tipo impulso ou parabólica, como pode ser observado na imagem adiante:
 Entradas do tipo padrão: (a) impulso; e (b) parábola.
 ATENÇÃO
Todos os sinais de entrada respeitam o princípio da causalidade. Sendo assim, estes só passam existir após um instante
t
positivo
(t > 0)
.
A resposta de um sistema no tempo, também chamada de resposta temporal, é a resposta de um sistema de controle a um estímulo na
entrada. Esta é constituída em duas partes: resposta transitória e estacionária.


RESPOSTA TRANSITÓRIA:
é a resposta de um sistema desde o seu estado inicial até seu estado de estabilidade. Nesta resposta, a saída do sistema é vista desde o
princípio até um instante de tempo no qual o sistema se estabiliza. Em geral, nesse período, o sistema apresenta oscilações amortecidas.


RESPOSTA ESTACIONÁRIA:
é o comportamento do sinal de saída do sistema à medida que o intervalo de tempo
t
aumenta, tendendo ao infinito.
 EXEMPLO
Considere um sistema definido por uma função de transferência
G(s)
qualquer. Caso este seja estimulado por uma entrada padrão
r(t)
, este produzirá uma saída
c(t)
definida como a resposta do sistema ao estímulo
r(t)
:
 Resposta do sistema a um estímulo de entrada.
Sendo assim, a resposta
c(t)
do sistema ao estímulo de entrada pode ser escrita como:
C(T) = CTRANSITÓRIO (T) + CESTACIONÁRIO (T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou:
C(T) = CTR(T) + CSS(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
ctr(t)
é a resposta transitória do sistema e
css(t)
, a sua resposta estacionária.
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Os sistemas de primeira ordem são largamente utilizados para a representação de processos simples, como a velocidade de um corpo de
massa M, a temperatura de um líquido em um tanque, o nível de um tanque e a tensão em um circuito com um resistor e um capacitor em
série (circuito RC série).
Basicamente, os sistemas de primeira ordem são aqueles cuja função de transferência possui apenas um polo:
G(S) =
1
TS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em um projeto de um sistema de controle, o objetivo principal é a obtenção da estabilidade absoluta. Um sistema que não possua essa
estabilidade é considerado instável.
ERRO DE REGIME ESTACIONÁRIO
Um sistema, mesmo em regime estacionário, pode apresentar um erro de regime, ou seja, um desvio em relação ao sinal de entrada.
O erro em regime representa uma diferença entre o que se espera na saída do sistema e aquilo que efetivamente é produzido.
Um exemplo de erro estacionário ou erro de regime pode ser visto na imagem a seguir:
Grafico: Erro de regime.
Por exemplo, inserindo uma entrada degrau unitário, isto é, amplitude igual a
1
unidade, em um sistema físico com uma função de transferência do tipo
H(s)
, pode-se produzir um sinal de saída com a metade da amplitude do sinal de entrada
(0, 5)
.
Desse modo, como era esperado para um sinal de 1 unidade:
ERRO ESTACIONÁRIO = 1 − 0, 5
ERRO ESTACIONÁRIO = 0, 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim, considere o circuito ilustrado na imagem adiante:
 Diagrama em blocos representativo do sistema.
Fisicamente, o diagrama de blocos ilustrado acima, pode representar um circuito elétrico do tipo resistor e capacitor (circuito RC), um
sistema térmico ou outro sistema físico simples. A relação entre a entrada e a saída desse sistema pode ser descrita por:
C(S) = G(S) ⋅ R(S)
C(S)
R(S) =
1
TS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Supondo as entradas do tipo padrão já citadas, pode-se obter as saídas desse sistema da seguinte maneira:
RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO
Para
r(t) = δ(t)
, aplicando a transformada de Laplace ao impulso, tem-se:
R(s) = 1
Assim:
C(S) =
1
TS + 1 ⋅ R(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, substituindo na equação a entrada impulso unitário, tem-se:
C(S) =
1
TS + 1 ⋅ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, a saída produzida terá a forma:
C(S) =
1
TS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando a função produzida na saída:
C(S) =
1
T
⋅
1
S +
1
T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
T
é definida como a constante de tempo do sistema. Considerando a transformada de Laplace da função exponencial, verifica-se que:
Função (f(t)) Transformada (F(s))
e − at
1
s + a
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Assim, aplicando a transformada de Laplace no sentido inverso da função, tem-se:
C(T) =
1
T
⋅ E −
T
T , PARAT ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
T = 1
, pode-se definir os valores da resposta
c(t)
para diferentes instantes de tempo:
C(T) = E − T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
c(t) t (segundos)
1 0
0,368 1
0,135 2
0,050 3
0,018 4
0,007 5
0,002 6
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 1: Valores da função
c(t)
para diferentes instantes de tempo
(t)
.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
Ao produzir o gráfico da resposta ao impulso em relação ao tempo
t
, obtém-se:
Representação do sistema na resposta ao impulso.
RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO
Considerando uma entrada degrau unitário
R(s)
e o mesmo sistema anterior:
C(S) =
1
TS + 1 ⋅ R(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O degrau unitário é definido por
u(t)
. Já sua transformada em Laplace é definida por:
R(T) = U(T)
R(S) =
1
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalCom isso, a saída
C(s)
é definida por:
C(S) =
1
TS + 1 ⋅
1
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resolução desse sistema depende do desenvolvimento por meio das frações parciais. Sendo assim:
C(S) =
1
TS + 1 ×
1
S
=
A
S
+
B
TS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo esse sistema, tem-se:
1
TS + 1 ×
1
S
=
A
S
+
B
TS + 1
1
S(TS + 1) =
A(TS + 1) + BS
S(TS + 1)
A(TS + 1) + BS = 1
A ⋅ T + B = 0
A = 1
A ⋅ T + B = 0
1 ⋅ T + B = 1
B = − T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores de A e B:
C(S) =
A
S +
B
TS + 1
{
C(S) =
1
S
+
−T
TS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando a equação:
C(S) =
1
S
−
T
TS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
C(S) =
1
S
−
1
S +
1
T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a transformada inversa de Laplace, obtém-se:
C(T) = 1 − E −
T
T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A análise da saída no domínio do tempo deve ser realizada para o intervalo
t ≥ 0
. A primeira análise tem de ser observada para o instante inicial em
t = 0
:
C(0) = 1 − E −
0
T
C(0) = 1 − 1
C(0) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já a última análise precisa ser observada para o instante final em
t = ∞:
C(∞) = 1 − E −
∞
T
C(∞) = 1 − 0
C(∞) = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale destacar que, para essas duas análises, o valor da constante
T
é indiferente, tendo em vista que sua influência é desprezível em relação aos instantes de tempo definidos para
t
.
No instante em que
t = T
:
C(T) = 1 − E −
T
T
C(T) = 1 − E −
T
T
C(T) = 1 − E − 1
C(T) = 1 − 0, 368
C(T) = 0, 632
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível perceber que, quanto menor o valor da constante de tempo t, mais rapidamente o sistema responde. Confira a seguir:
Supondo uma constante de tempo igual a
2 (T = 2) :
C(T) = 1 − E −
T
T
C(T) = 1 − E −
T
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
c(t) t (segundos)
0 0
0,393 1
0,632 2
0,777 3
0,865 4
0,918 5
0,950 6
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 2: Valores da função
c(t)
para diferentes instantes de tempo
(t)
.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
Ao produzir o gráfico dessa resposta ao impulso em relação ao tempo t, tem-se:
Representação do sistema na resposta ao degrau unitário.
Supondo uma constante de tempo igual a
4 (T = 4)
:
C(T) = 1 − E −
T
T
C(T) = 1 − E −
T
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
c(t) t (segundos)
0 0
0,221 1
0,393 2
0,528 3
0,632 4
0,713 5
0,777 6
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 3: Valores da função
c(t)
para diferentes instantes de tempo
(t)
.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
Ao produzir o gráfico dessa resposta ao impulso em relação ao tempo
t,
obtém-se:
Representação do sistema na resposta ao degrau unitário.
A curva exponencial da resposta possui uma inclinação da linha tangente em
t = 0
segundos de
1/T
, pois:
∂C(T)
∂T T = 0
=
1
T
E −
T
T
T = 0
=
1
T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESPOSTA À RAMPA
A resposta do sistema à uma entrada do tipo rampa é definida como:
R(T) = TU(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A transformada de Laplace é definida como:
Função (f(t)) Transformada (F(s))
t
1
s2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, aplicando a transformada de Laplace no sinal de entrada:
R(T) = TU(T)
R(S) =
1
S2
U(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
U(s)
| |
um sinal unitário:
R(S) =
1
S2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando uma função de transferência de primeira ordem com a seguinte estrutura:
C(S)
R(S) =
1
TS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, a saída desse sistema de primeira ordem com uma rampa na entrada é definida por:
C(S) =
1
S2
⋅
1
TS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resolução desse sistema também depende do desenvolvimento por meio das frações parciais. Sendo assim:
C(S) =
1
TS + 1 ⋅
1
S2
=
A
TS + 1 +
BS + C
S2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo esse sistema, verifica-se que:
1
TS + 1 ⋅
1
S2
=
A
TS + 1 +
BS + C
S2
1
S2(TS + 1)
=
A ⋅ S2 + (BS + C) ⋅ (TS + 1)
S2(TS + 1)
AS2 + BTS2 + BS + CTS + C = 1
A + BT = 0
B + CT = 0
C = 1
B + 1 ⋅ T = 0
B = − T
A + − T ⋅ T = 0
A = T2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores de A e B:
{
C(S) =
T2
TS + 1 +
−TS + 1
S2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando a equação:
C(S) =
T2
TS + 1 +
−TS
S2
+
1
S2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
C(S) =
T2
TS + 1 −
T
S +
1
S2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a transformada inversa de Laplace:
C(T) = TE −
T
T − T + T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O erro da saída desse sistema é definido por:
E(T) = R(T) − C(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
r(t) = tu(t)
, considerando
u(t) = 1
:
E(T) = T − TE −
T
T − T + T
E(T) = − TE −
T
T + T
E(T) = T − TE −
T
T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
t → ∞
, o erro tende a
T
.
ESTABILIDADE DO SISTEMA
Considerando que as funções de transferência de primeira ordem possuem uma estrutura, definida por:
C(S)
R(S) =
1
S + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
( )
É possível verificar por meio do mapeamento de polos e zeros (gráfico que reflete a posição de polos e zeros da função de transferência)
que o sistema tende à estabilidade.
As raízes da equação de primeira ordem definida, estão posicionadas no semiplano esquerdo, como pode ser visto na imagem a seguir:
Mapeamento de polos e zeros de uma função de transferência do primeiro grau.
Da função de transferência de sistemas de primeira ordem é possível extrair algumas conclusões. Considere a função de transferência de
um sistema físico de primeira ordem, como o mostrado a seguir:
G(S) =
C(S)
R(S) =
K
S +
1
T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
K
é definido como o ganho da função de transferência e
T
, a constante de tempo da mesma. Essa função é relacionada ao inverso da constante de tempo, ou seja, é definida pela sua frequência
(
1
T
)
.
A transformada inversa de Laplace de uma função com as características da função
G(s)
é definida por:
1
S + A → E
− AT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O parâmetro frequência é chamado de frequência exponencial.
A constante de tempo também pode ser obtida a partir dos polos. O polo da função de transferência é obtido pela raiz do denominador.
Então:
S + A = 0
S = − A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se dizer que o polo fica localizado no inverso da constante de tempo. Por exemplo, considere a função de transferência com constantede tempo igual a
2(T = 2)
:
G(S) =
C(S)
R(S) =
1
S +
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O polo dessa função de transferência é definido por:
S +
1
2 = 0
S = −
1
2 = − 0, 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O mapeamento dos polos e os zeros da função de transferência pode ser definido como na imagem adiante:
Mapeamento de polos e zeros de uma função de transferência do primeiro grau.
Observando o diagrama de polos e zeros, é possível reafirmar a relação entre a constante de tempo e a resposta do sistema (quanto menor
o valor da constante de tempo t, mais rapidamente o sistema responde).
Isso acontece, pois, quanto menor a constante de tempo, mais distante do eixo imaginário o polo se situa; sendo assim, mais rápida é a
resposta transitória do sistema.
TEMPO DE SUBIDA (RISE TIME)
O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que o sinal varie de aproximadamente 10 até 90% do valor final do sistema.
Sendo assim:
TR =
2, 31
A
−
0, 11
A
TS =
2, 2
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEMPO DE ASSENTAMENTO (SETTLING TIME)
É definido como o tempo necessário para que a resposta do sistema alcance uma faixa de 2% em torno do valor final do sistema, e
mantenha-se estável nesse patamar.
O tempo de assentamento pode ser aproximado por:
TS =
4
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE FUNÇÕES DE
TRANSFERÊNCIA DE PRIMEIRA ORDEM
É POSSÍVEL IDENTIFICAR A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA
FÍSICO POR MEIO DA RELAÇÃO ENTRE A ENTRADA E A SAÍDA DO MESMO.
A aplicação de uma entrada conhecida, como um degrau unitário por exemplo, em um sistema de primeira ordem, permite determinar a
constante de tempo e o valor do sistema no estado estacionário.
Sendo assim, considere que um sistema físico possua uma relação entre a saída e a entrada definida por:
G(S) =
K
S + A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando uma entrada degrau unitário, tem-se:
C(S) =
K
S + A ⋅ R(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a entrada degrau unitário:
R(S) =
1
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
C(S) =
K
S + A ⋅
1
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução desse sistema pode ser feita por intermédio das frações parciais:
K
S(S + A) =
A
S
+
B
S + A
K = A(S + A) + BS
A + B = 0
AA = K
A =
K
A
K
A + B = 0
B = −
K
A
C(S) =
A
S +
B
S + A
C(S) =
K
A
⋅
1
S
−
K
A
1
S + A
C(T) =
K
A
1 − E − TA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{
( )
A partir da resposta ao degrau, a constante de tempo (tempo necessário para que o sistema chegue a 63% do valor de regime) pode ser
determinada por:
 AMPLITUDE 63% = 0, 63 ⋅ VALOR DE REGIME 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, basta encontrar o tempo em que a resposta chega a essa amplitude.
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Sistemas de primeira ordem
Definindo a Função de transferência
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Identificar os sistemas de segunda ordem
MODELAGEM DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Os sistemas de segunda ordem são utilizados para representar processos mais complexos, tais como:


A aceleração de um corpo de massa
M
;


A posição de uma massa em um sistema do tipo massa-mola com atrito;


O deslocamento angular do eixo de um motor de corrente contínua;


A tensão de carga de um capacitor em um circuito com um resistor, um capacitor e um indutor em série (circuito RLC série);


Ou qualquer outra combinação de dois elementos armazenadores de energia.
Diferente dos sistemas de primeira ordem, os de segunda ordem são aqueles cuja função de transferência possui dois polos:
G(S) =
1
TS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 VOCÊ SABIA
Além da preocupação com a estabilidade absoluta, os sistemas de segunda ordem possuem uma frequência natural não amortecida, um
coeficiente de amortecimento e uma frequência natural amortecida. Cada um desses parâmetros apresenta um efeito específico sobre o
comportamento do sistema.
FORMA PADRÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A forma padrão de um sistema de segunda ordem é dada por:
T(S) =
Y(S)
R(S) =
Ω2N
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
ωn
é a frequência natural não amortecida;
ζ
, o coeficiente de amortecimento; e
ωd =
ωn√1 − ζ2
, a frequência natural amortecida do sistema. A equação característica é dada por
s2 + 2sζωn + ω
2
n
; portanto, o comportamento dinâmico do sistema de segunda ordem pode ser escrito pelos parâmetros
ωn
e
ζ
Dependendo do valor desses parâmetros, pode-se definir três tipos de sistema de segunda ordem. Clique nas abas e conheça
melhor cada um deles:
SISTEMA SUBAMORTECIDO
Nesse tipo de sistema, o coeficiente de amortecimento possui valor entre
0
e
1(0 < ζ < 1)
. Os polos da malha fechada desse sistema são complexos conjugados e se situam no semiplano esquerdo do complexo
(plano − s)
. Nesse caso, as raízes da equação característica são:
S1 , 2 = − ΖΩN ± JΩN√1 − Ζ2
S1 , 2 = − ΖΩN ± JΩD
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As raízes da função de transferência no plano s podem ser vistas a seguir:
 Raízes do sistema de segunda ordem no plano imaginário.
Já a função de transferência é dada por:
Y(S)
R(S) =
Ω2N
S + ΖΩN + JΩD S + ΖΩN − JΩD
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor do coeficiente de amortecimento é capaz de definir a posição do sistema em relação ao plano complexo, como pode ser visto
adiante:
 Posição do plano imaginário em relação ao coeficiente de amortecimento.
É possível descrever a função de transferência de maneira simplificada, como:
( )( )
Y(S)
R(S) =
Ω2N
S + ΖΩN
2 + Ω2D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por meio dessa função de transferência, é possível definir que:
S + ΖΩN
2 = S2 + 2SΖΩN + Ζ
2Ω2N
S + ΖΩN
2 − Ζ2Ω2N + Ω
2
N = S
2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
−Ζ2Ω2N + Ω
2
N = Ω
2
D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D = S
2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
Y(S)
R(S) =
Ω2N
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Supondo as entradas do tipo padrão já citadas, pode-se obter as saídas desse sistema da seguinte maneira:
( )
( )
( )
( )
Resposta ao impulso unitário
Para
r(t) = δ(t)
, aplicando a transformada de Laplace ao impulso, obtém-se:
R(s) = 1
. Assim:
C(S) =
Ω2N
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
⋅ R(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, substituindo na equação a entrada impulso unitário:
C(S) =
Ω2N
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
⋅ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim, a saída produzida terá a forma:
C(S) =
Ω2N
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, aplicando a transformada de Laplace no sentido inverso, de acordo com a definição:
Função (f(t)) Transformada (F(s))
ΩN
√1 − Ζ2
⋅ E − ΖΩNTSENΩN √1 − Ζ2 T
Ω2N
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
( )
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
C(T) =
ΩN
√1 − Ζ2
⋅ E − ΖΩNTSENΩN √1 − Ζ2 T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Parat ≥ 0
, a resposta do sistema de segunda ordem pode ser vista na imagem adiante.
Considere a entrada em impulso unitário e os parâmetros
ωn = 2rad /segundo e ζ = 0, 5:
Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em impulso unitário.
Vale destacar que, com o fator de amortecimento nulo
(ζ = 0)
, a resposta do sistema oscilará na frequência natural do mesmo
ωn
sem amortecimento:
( )
( )
Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em impulso unitário.
Resposta ao degrau unitário
Para uma entrada degrau unitário, a saída do sistema apresentará um comportamento, como:
C(S) =
Ω2N
S + ΖΩN
2 + Ω2D
⋅ R(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O degrau unitário é definido por
u(t)
. Já sua transformada em Laplace é definida por:
R(T) = U(T)
R(S) =
1
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a saída
C(s)
é definida por:
C(S) =
Ω2N
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
⋅
1
S
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resolução desse sistema depende do desenvolvimento por meio das frações parciais. Sendo assim, pode-se reescrever a saída
C(s)
da seguinte maneira:
C(S) =
Ω2N
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
⋅
1
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo esse sistema, tem-se:
Ω2N
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
⋅
1
S
=
AS + B
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
+
C
S
Ω2N
S S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
=
(AS + B)S + C S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
S S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
(AS + B)S + C S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N = Ω
2
N
AS2 + BS + CS2 + 2SCΖΩN + CΩ
2
N = Ω
2
N
A + C = 0
B + 2CΖΩN = 0
CΩ2N = Ω
2
N
C = 1
B + 2 ⋅ 1 ⋅ ΖΩN = 0
B = − 2ΖΩN
A + 1 = 0
A = − 1
( )
( )
( )
( )
{
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores de A e B:
C(S) =
−1S − 2ΖΩN
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
+
1
S
C(S) =
1
S −
S + 2ΖΩN
S2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando à representação original:
S + ΖΩN
2 + Ω2D = S
2 + 2SΖΩN + Ω
2
N
C(S) =
1
S −
S + 2ΖΩN
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
C(S) =
1
S −
S + ΖΩN + ΖΩN
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
C(S) =
1
S
−
S + ΖΩN
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
−
ΖΩN
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
ωd = ωn√1 − ζ2
, pode-se redefinir que:
( )
( )
( )
( ) ( )
ΩN =
ΩD
√1 − Ζ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, substituindo na equação anterior:
C(S) =
1
S −
S + ΖΩN
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
−
Ζ
ΩD
√1 − Ζ2
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
C(S) =
1
S
−
S + ΖΩN
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
−
ΩD
Ζ
√1 − Ζ2
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a transformada inversa de Laplace de acordo com a definição:
Função (f(t)) Transformada (F(s))
1 1
S
EATCOSΩT
S − A
(S − A)2 + Ω2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
EATSENΩT
Ω
(S − A)2 + Ω2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
L − 1
1
S → 1
L − 1
S + ΖΩN
S + ΖΩN 2 + Ω
2
D
→ E − ΖΩNTCOS ΩDT
L − 1
ΩD
S + ΖΩN
2 + Ω2D
→ E − ΖΩNTSEN ΩDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Somando as frações:
Y(T) = 1 − E − ΖΩNT COS ΩDT +
Ζ
√1 − Ζ2
SEN ΩDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por meio das relações trigonométricas, é possível simplificar a equação para:
Y(T) = 1 −
E − ΖΩNT
√1 − Ζ2
SEN ΩDT + Θ , PARA T ≥ 0
{ }
{ ( ) } ( )
{ ( ) } ( )
( ( ) ( ))
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
Θ = TAN − 1
√1 − Ζ2
Ζ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale destacar que o termo
ζωn
é chamado de coeficiente de atenuação, tendo em vista que este é responsável por controlar o amortecimento do sistema.
Esse coeficiente representa a facilidade com o qual um material (sensor) reage ao estímulo de energia.
A frequência natural amortecida
ωd
é denominada frequência de oscilação transitória e varia de acordo com
ζ
. Por sua vez, o sinal de erro é definido como:
E(T) = R(T) − Y(T)
E(T) = 1 − 1 −
E − ΖΩNT
√1 − Ζ2
SEN ΩDT + Θ
E(T) =
E − ΖΩNT
√1 − Ζ2
SEN ΩDT + Θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
t ≥ 0
, a resposta do sistema de segunda ordem pode ser vista na imagem a seguir. Considere a entrada degrau unitário e os parâmetros
ωn = 2rad /segundo e ζ = 0, 5:
( )
( )
( ( ))
( )
Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.
Os polos e os zeros desse sistema estão localizados no semiplano esquerdo do plano imaginário, como pode ser visto adiante:
 Mapeamento de polos e zeros do sistema subamortecido.
É interessante observar que, caso o coeficiente de amortecimento seja nulo
(ζ = 0)
, a resposta do sistema oscilará na frequência natural do sistema
ωn
sem amortecimento, de acordo com a equação a seguir:
ΩD = ΩN√1 − Ζ2
ΩD = ΩN√1 − 02
ΩD = ΩN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
( )
Y(T) = 1 − COS ΩNT , PARA T ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.
SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO
Em sistemas criticamente amortecidos, o coeficiente de amortecimento é unitário
(ζ = 1)
. Nesse caso, os polos da malha fechada são reais e iguais. Além disso, ficam situados na frequência natural do sistema
− ωn
. Sendo assim, a função de transferência de um sistema criticamente amortecido pode ser definida por:
Y(S)
R(S) =
Ω2N
S + ΩN S + ΩN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resposta desse sistema à um degrau unitário
(u(t))
produz uma saída como:
R(T) = U(T)
R(S) =
1
S
( )
( )
( )( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim:
Y(S) =
Ω2N
S + ΩN S + ΩN
⋅ R(S)
Y(S) =
Ω2N
S + ΩN S + ΩN S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando o sistema, tem-se:
Y(S) =
Ω2N
S + ΩN 2S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando frações parciais, tem-se:
Ω2N
S + ΩN 2S
=
AS + B
S + ΩN 2
+
C
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
(AS + B)S + C S + ΩN
2 = Ω2N
AS2 + BS + CS2 + 2CΩNS + CΩ
2
N = Ω
2
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
Montando o sistema:
AS2 + CS2 = 0
BS + 2CΩNS = 0
CΩ2N = Ω
2
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
BS + 2 ⋅ 1 ⋅ ΩNS = 0
B = − 2ΩN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AS2 + 1S2 = 0
A = − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores de A, B e C nas frações:
Y(S) =
AS + B
S + ΩN 2
+
C
S
Y(S) =
−S − 2ΩN
S + ΩN 2
+
1
S
{
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando:
Y(S) =
1
S
−
S + ΩN
S + ΩN
2
−
ΩN
S + ΩN
2
Y(S) =
1
S −
1
S + ΩN
−
ΩN
S + ΩN 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A transformada inversa de Laplace da saída da função de transferência
Y(s)
é dada de acordo com:
Função (f(t)) Transformada (F(s))
1
1
S
E − ΩNT
1
S + ΩN
TE − ΩNT 1
S + ΩN
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Y(T) = 1 − E − ΩNT 1 + ΩNT , T ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalPara
t ≥ 0
, a resposta do sistema de segunda ordem pode ser vista na imagem a seguir. Considere a entrada degrau unitário e os parâmetros
ωn = 2rad /segundo
e
ζ = 1:
Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.
Os polos e os zeros desse sistema estão localizados no semiplano esquerdo do plano imaginário, como pode ser visto adiante:
Mapeamento de polos e zeros do sistema criticamente amortecido.
Observando o mapeamento de polos e zeros, é possível confirmar que os polos são situados na frequência natural do sistema
− ωn
.
( )
( )
SISTEMA SUPERAMORTECIDO
Em um sistema superamortecido, o coeficiente de amortecimento é maior do que uma unidade
(ζ > 1).
Nesse caso, os polos da malha fechada são reais e diferentes. Sendo assim, a função de transferência de um sistema criticamente
amortecido pode ser definida por:
Y(S)
R(S) =
Ω2N
S + ΖΩN + ΩN√Ζ2 − 1 S + ΖΩN − ΩN√Ζ2 − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resposta desse sistema à um degrau unitário
(u(t))
produz uma saída, como:
R(T) = U(T)
R(S) =
1
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim:
Y(S) =
Ω2N
S + ΖΩN + ΩN√Ζ2 − 1 S + ΖΩN − ΩN√Ζ2 − 1
⋅ R(S)
Y(S) =
Ω2N
S + ΖΩN + ΩN√Ζ2 − 1 S + ΖΩN − ΩN√Ζ2 − 1
⋅
1
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A transformada inversa de Laplace da saída da função de transferência
Y(s)
( )( )
( )( )
( )( )
é dada por:
Y(T) = 1 +
ΩN
2√Ζ2 − 1
E − S1T
S1
−
E − S2T
S2
, T > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale destacar que, se
s1 ≪ s2
, então
e − s2t
decai muito mais rápido do que
e − s1t, s1
é o polo dominante e a resposta pode ser aproximada por um sistema de primeira ordem:
Y(T) ≈ 1 +
ΩN
2√Ζ2 − 1
E − S1T
S1
, T > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
t ≥ 0
, a resposta do sistema de segunda ordem pode ser vista na imagem a seguir. Considere a entrada degrau unitário e os parâmetros
ωn = 2rad /segundo
e
ζ = 2:
( )
| | | |
( )
Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.
Os polos e os zeros desse sistema estão localizados no semiplano esquerdo do plano imaginário, como pode ser visto na imagem adiante:
Mapeamento de polos e zeros do sistema superamortecido.
ESPECIFICAÇÕES E ESTIMATIVAS DA RESPOSTA TRANSITÓRIA
EM SISTEMAS
No geral, as características de um sistema de controle tomam como referência os termos da resposta transitória e a entrada em degrau.
Para sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT), conhecendo a resposta em degrau, é possível calcular a resposta a qualquer entrada
aplicada ao sistema. A condição inicial geralmente é adotada com o sistema em repouso. 
Dentre as especificações mais comuns, tem-se: 
Tempo de atraso (td): tempo necessário para que a resposta à determinada entrada aplicada ao sistema alcance cerca da metade do
seu valor final pela primeira vez. Cabe destacar que a saída não necessariamente fica dentro do limite do erro nesse primeiro instante.
Tempo de subida (tr): tempo necessário para que a resposta se encontre na faixa de 10% a 90% (em alguns casos, podendo ser de 5%
a 95% ou de 0% a 100%) do valor final. Para sistemas de segunda ordem subamortecidos, toma-se como referência a faixa de 0% a
100% do valor final. Para sistemas superamortecidos, assume-se geralmente uma faixa de 10% a 90%.
Tempo de pico (tp): tempo necessário para que a resposta atinja o primeiro pico. É possível especificar esses parâmetros tomando
como referência o coeficiente de acomodação e a frequência natural do sistema:
TP =
Π
ΩN√ 1 − Ζ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando a magnitude da resposta, tem-se:
Y(T) = 1 + E
ΖΠ
√ 1 − Ζ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Máximo pico ou máximo overshoot (Mp): valor máximo de pico da curva de resposta. Em alguns casos, utiliza-se a mensuração do
máximo pico como porcentagem do valor em que este ultrapassa à resposta em regime. Esse parâmetro pode ser estimado a partir do
valor de regime (valor final) e do valor máximo da resposta:
MP =
C TP − C(∞)
C(∞) × 100%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
C tp
é o valor máximo da resposta e
C(∞)
, o valor em regime permanente. Este valor também pode ser estimado pelo coeficiente de amortecimento:
( )
( )
( )
( )
MP = E −
ΖΠ
√ 1 − Ζ2 × 100%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tempo de acomodação (de assentamento ou settling time): tempo necessário para que a resposta permaneça com valores dentro da
faixa de tolerância
( ± 2% ou ± 5%)
em torno do valor final. Pode ser estimado por meio do coeficiente de acomodação e da frequência natural do sistema:
TS ≅
4
Ζ ⋅ ΩN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Todos os parâmetros podem ser observados na curva da imagem:
Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Sistemas de primeira ordem versus segunda ordem
Variáveis do sistema
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( )
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO POR LAPLACE
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO POR MEIO DA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
MÓDULO 3
 Analisar a solução das equações de estado por meio da transformada de Laplace
Considere a estrutura básica das equações de estado:
Ẋ = AX + BU
Y = CX + DU
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace a esse sistema, pode-se obter:
SX(S) − X(0) = AX(S) + BU(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
A utilização da matriz identidade permite estabelecer uma relação algébrica entre as matrizes de estado. Para tal, deve-se multiplicar o vetor
de estado
X(s)
pela matriz identidade
(I)
com dimensões
n × n
compatíveis com os vetores e a matriz.
Assim, pode-se combinar os termos em
X(s)
da seguinte maneira:
(SI − A)X(S) = X(0) + BU(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isolando o termo
X(s)
, pode-se reescrever:
X(S) = (SI − A) − 1X(0) + (SI − A) − 1BU(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
(sI − A) − 1
é a matriz inversa de
(sI − A)
. A matriz inversa pode ser representada por:
(SI − A) − 1 =
ADJ(SI − A)
DET(SI − A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
adj(sI − A)
é a matriz adjunta de
(sI − A)
. Dessa forma, pode-se simplificar a equação anterior para:
X(S) = (SI − A) − 1X(0) + (SI − A) − 1BU(S)
X(S) =
ADJ(SI − A)
DET(SI − A) [X(0) + BU(S)]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira similar, aplicando a transformada de Laplace na equação de saída, pode-se obter:
Y(S) = CX(S) + DU(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO POR MEIO DA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Confira o exemplo a seguir:
EXEMPLO
Dado o sistema de equações no espaço de estados a seguir (representativo de um sistema físico genérico), resolva a equação de espaço de
estados precedente e obtenha a saída para uma entrada do tipo exponencial.
Ẋ =
0 1 0
0 0 1
−24 −26 −9
X +
0
0
1
E − T
Y = 1 1 0 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere que a condição inicial seja definida pelo vetor:
X(0) =
1
0
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Para resolver essa questão, deve-se primeiramente determinar as partes componentes da representação geral no espaço de estados.
Sendo assim:
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
A =
0 1 0
0 0 1
−24 −26 −9
B =
0
0
1
C = 1 1 0
U(T) = E − T Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível notar que a matriz de alimentação direta (D) é nula. Logo, não há relação direta entre a entrada e a saída. Em seguida, deve-se
fazer as respectivas substituições que permitam a determinação das partes que compõem o vetor de estados:
X(S) =
ADJ(SI − A)
DET(SI − A) [X(0) + BU(S)]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
(SI − A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conhecendo a matriz do sistema
A(3 × 3)
, é possível definir as dimensões da matriz identidade
(I)
necessária:
[ ]
[ ]
[ ]
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Multiplicando pelo operador de Laplace:
SI =
S 0 0
0 S 0
0 0 S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação anterior:
(SI − A)
(SI − A) =
S 0 0
0 S 0
0 0 S
−
0 1 0
0 0 1
−24 −26 −9
(SI − A) =
S −1 0
0 S −1
24 26 S + 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A DETERMINAÇÃO DA MATRIZ ADJUNTA
O cálculo da matriz adjunta de uma matriz
(2 × 2)
é feito considerando os seguintes passos:
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
A =
A B
C D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Primeiramente, deve-se determinar a matriz com o determinante dos fatores menores:
M =
DET(D) DET(C)
DET(B) DET(A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Multiplicam-se todos os elementos
Mi , j
por
( − 1)i + j
para que seja possível obter a matriz dos cofatores. Dessa maneira, são invertidos os sinais daqueles termos cuja soma
i + j
produz um resultado ímpar:
M =
DET(D) −DET(C)
−DET(B) DET(A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, faz-se a transposição (matriz transposta) da matriz dos cofatores:
M =
DET(D) −DET(B)
−DET(C) DET(A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira resumida, invertem-se os elementos da diagonal principal e trocam-se os sinais dos elementos da diagonal secundária:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
A =
D −B
−C A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DETERMINAÇÃO DA MATRIZ ADJUNTA PARA UMA MATRIZ
(3 × 3)
Para toda matriz na forma:
A =
A B C
D E F
G H I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A matriz dos cofatores de A é definida por:
COFATORES(A) =
+
E F
H I −
D F
G I +
D E
G H
−
B C
H I +
A C
G I −
A B
G H
+
B C
E F −
A C
D F +
A B
D E
[ ]
[ ]
[ | | | | | || | | | | |
| | | | | |
]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
E F
H I = AO DETERMINANTE DA MATRIZ 
Δ = E ⋅ I − F ⋅ H
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A matriz adjunta é produzida por meio da transposição da matriz de cofatores (A):
ADJUNTA(A) =
+
E F
H I −
B C
H I +
B C
E F
−
D F
G I +
A C
G I −
A C
D F
+
D E
G H −
A B
G H +
A B
D E
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, para a matriz
(sI − A)
, tem-se:
S −1 0
0 S −1
24 26 S + 9
| |
[ | | | | | || | | | | |
| | | | | |
]
[ ]
ADJUNTA((SI − A)) =
+
S −1
26 S + 9 −
−1 0
26 S + 9 +
−1 0
S −1
−
0 −1
24 S + 9 +
S 0
24 S + 9 −
S 0
0 −1
+
0 S
24 26 −
S −1
24 26 +
S −1
0 S
ADJUNTA((SI − A)) =
S2 + 9S + 26 S + 9 1
−24 S2 + 9S S
−24S −(26S + 24) S2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O determinante
(Δ)
da matriz
(SI − A)
é definido por:
(SI − A) =
S −1 0
0 S −1
24 26 S + 9
Δ =
S −1 0
0 S −1
24 26 S + 9
S −1
0 S
24 26
Δ = S2(S + 9) + 24 + 26S
Δ = S3 + 9S2 + 26S + 24
[ | | | | | || | | | | |
| | | | | |
]
[ ]
[ ]
| |
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, determina-se
(sI − A) − 1 :
L(SI − A) − 1 =
ADJUNTA(A)
Δ
(SI − A) − 1 =
S2 + 9S + 26 S + 9 1
−24 S2 + 9S S
−24S −(26S + 24) S2
S3 + 9S2 + 26S + 24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a entrada do sistema é exponencial
u(t) = e − t
e a transformada de Laplace da entrada é
U(s) =
1
(s + 1)
, pode-se fazer:
X(S) = (SI − A) − 1[X(0) + BU(S)]
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Sabendo que:
B =
0
0
1
[ ]
( )
( )
[ ]
X(0) =
1
0
2
U(S) =
1
(S + 1)
X(S) =
S2 + 9S + 26 S + 9 1
−24 S2 + 9S S
−24S −(26S + 24) S2
S3 + 9S2 + 26S + 24
1
0
2
+
0
0
1
1
(S + 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
X1(S) =
S3 + 10S2 + 37S + 29
(S + 1)(S + 2)(S + 3)(S + 4)
X2(S) =
2S2 − 21S − 24
(S + 1)(S + 2)(S + 3)(S + 4)
X3(S) =
S 2S2 − 21S − 24
(S + 1)(S + 2)(S + 3)(S + 4)
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Para a equação de saída, define-se:
[ ]
[ ] [[ ] [ ] ]
( )
( )
( )
Y(S) = 1 1 0
X1(S)
X2(S)
X3(S)
= X1(S) + X2(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Y(S) =
S3 + 12S2 + 16S + 5
(S + 1)(S + 2)(S + 3)(S + 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale destacar que a função de transferência também pode ser definida pela equação:
H(S) =
Y(S)
U(S) = C(SI − A)
− 1B + D
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Então:
Y(S) = C(SI − A) − 1B + D U(S)
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Utilizando o método das frações parciais, pode-se definir que:
[ ][ ]
( )
[ ]
S3 + 12S2 + 16S + 5
(S + 1)(S + 2)(S + 3)(S + 4) =
A
(S + 1) +
B
(S + 2) +
C
(S + 3) +
D
(S + 4)
Y(S) =
−6, 5
S + 2 +
19
S + 3 −
11, 5
S + 4
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Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Y(T) = − 6, 5E − 2T + 19E − 3T − 11, 5E − 4T
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 ATENÇÃO
Embora, na função original, deva-se produzir quatro frações parciais, um polo do sistema foi responsável pelo cancelamento de um zero do
sistema (superposições entre polos e zeros provocam os seus respectivos cancelamentos).
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Qual é a importância de se resolver uma equação de estado no domínio de Laplace?
A transformada de Laplace
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( )
MÓDULO 4
 Analisar a solução das equações de estado no domínio do tempo
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NO DOMÍNIO DO TEMPO
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO NO DOMÍNIO DO
TEMPO
Em uma primeira análise, é fundamental considerar que a equação de estado é homogênea na forma:
Ẋ(T) = AX(T)
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O objetivo é calcular o vetor de variáveis de estado
x.
Uma das soluções envolve o desenvolvimento por séries de maneira similar ao processo matemático utilizado na resolução das equações
diferenciais escalares.
EXPANSÃO EM SÉRIES
A EXPANSÃO EM SÉRIES É UMA METODOLOGIA MATEMÁTICA QUE PERMITE
DETERMINAR O VALOR DE UMA FUNÇÃO QUANDO ESTA NÃO PODE SER
EXPRESSA SIMPLESMENTE POR MEIO DAS QUATRO OPERAÇÕES
MATEMÁTICAS FUNDAMENTAIS (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E
DIVISÃO).
As séries, denominadas séries resultantes, são frequentemente limitadas por um número finito de termos e produz uma aproximação da
função (dentro de um erro considerado razoável para determinada quantidade de termos).
Entre os tipos de séries existentes, podem ser destacados:


SÉRIE DE TAYLOR:
Consiste em uma série de potências baseada em derivadas de uma função em um simples ponto.


SÉRIE DE MACLAURIN:
Um caso especial de uma série de Taylor com centro em zero.


SÉRIE DE LAURENT:
Uma extensão da série de Taylor que permite valores com expoentesnegativos.


SÉRIE DE DIRICHLET:
Extensamente usada na teoria dos números.


SÉRIE DE FOURIER:
Utilizada para descrever funções periódicas como uma série de funções senos e cossenos.


POLINÔMIO DE LEGENDRE:
Utilizada na física para relacionar os campos elétricos com os dipolos, os quadrupolos etc.


POLINÔMIO DE ZERNIKE:
Muito empregado em sistemas ópticos.
Com isso, é possível perceber que as séries representam uma função em particular por meio do somatório de potências em uma variável ou
por intermédio do somatório de potências de outras funções. Um exemplo de série de potências pode ser visto a seguir:
∞
∑
N = 0
CN(X − A)N = C0 + C1(X − A) + C2(X − A)2 + C3(X − A)3 + ⋯
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 SAIBA MAIS
Vale destacar que, quanto menos termos forem utilizados na sequência, mais simples será a aproximação. Entretanto, é possível perceber
que a redução na quantidade de termos (e sua simplificação matemática) também contribuirá para um aumento na imprecisão (isto é, um
aumento no erro).
Sendo assim, pode-se reescrever o vetor de variáveis de estado como uma série de potências:
X(T) = B0 + B1T + B2T2 + ⋯ + BKTK + BK + 1TK + 1 + ⋯
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Substituindo essa série na equação de espaço de estados, tem-se:
Ẋ(T) = AX(T)
Ẋ(T) = A B0 + B1T + B2T
2 + ⋯ + BKT
K + BK + 1T
K + 1 + ⋯
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( )
A partir da série do vetor de estados, é possível determinar a derivada do mesmo
(ẋ(t))
.
RELEMBRANDO O CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
D(F(X))
DX
A derivada de uma função pode ser calculada de diferentes maneiras: por meio dos limites da função ou pelas regras de derivação.
DERIVADA PELOS LIMITES DA FUNÇÃO
DERIVADA PELAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
Como a derivada consiste na inclinação da reta tangente à uma função, ela corresponde à taxa de variação da mesma. Dessa forma, a
formulação da derivada pode ser escrita como:
F′(X) = LIM
X → P
F(X) − F(P)
X − P
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Assim,
f ′(x)
é a derivada da função
f(x)
. Por isso, diz-se que a função
f(x)
é derivável no ponto
p.
As regras de derivação são aplicáveis em funções deriváveis. Sendo assim, sendo
a
um número real qualquer, valem as propriedades:
se
f(x) = a
, então
f ′(x) = 0
( )
se
f(x) = ax
, então
f ′(x) = a
se
f(x) = xa
, então
f ′(x) = a ⋅ xa − 1
[f(x) + g(x)] ′ = f ′(x) + g ′(x)
[ a. f(x)] ′ = a ⋅ f ′(x)
, sendo a uma constante
[f(x) ⋅ g(x)] ′ = f ′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g ′(x)
f(x)
g(x)
′
=
f ′(x) ⋅ g(x) − f(x) ⋅ g ′(x)
[g(x)]2
Clique na aba a seguir e confira um exemplo prático:
EXEMPLO
Determine a derivada da função:
f(x) = x3
.
RESOLUÇÃO
Observando as regras das derivadas citadas, podese aplicar a propriedade III, obtendo:
F X = X3, ENTÃO F′ X = 3 ⋅ X3 − 1
F'(X) = 3 · X2
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[ ]
( ) ( )
Assim, aplicando a definição, a derivada do vetor das varáveis de estado é definida por:
Ẋ(T) = B1 + 2B2T + ⋯ + KBKTK − 1 + (K + 1)BK + 1TK + ⋯
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Igualando as duas séries, é possível determinar o valor de cada parâmetro da seguinte maneira:
Ẋ(T) = A B0 + B1T + B2T
2 + ⋯ + BKT
K + BK + 1T
K + 1 + ⋯
Ẋ(T) = B1 + 2B2T + ⋯ + KBKTK − 1 + (K + 1)BK + 1TK + ⋯
B1 + 2B2T + ⋯ + KBKTK − 1 + (K + 1)BK + 1TK + ⋯
= A B0 + B1T + B2T
2 + ⋯ + BKT
K + BK + 1T
K + 1 + ⋯
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim, cada termo pode ser definido como:
B1 = AB0
2B2T = AB1T
B2 =
1
2AB1 = B2 =
1
2AAB0 = B2 =
1
2A
2B0
⋮
( )
( )
BK =
1
K !A
KB0
BK + 1 =
1
(K + 1)!A
K + 1B0
⋮
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Dessa maneira, o vetor de estados pode ser escrito apenas em função de
b0
da seguinte forma:
X(T) = B0 + AB0T +
1
2A
2B0T
2 + ⋯ +
1
K !A
KB0T
K +
1
(K + 1)!A
K + 1B0T
K + 1 + ⋯
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O uso da matriz inversa
(I)
permite isolar o termo
b0
da equação da seguinte maneira:
X(T) = I + AT +
1
2A
2T2 + ⋯ +
1
K !A
KTK +
1
(K + 1)!A
K + 1TK + 1 + ⋯ B0
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Entretanto, a partir da equação:
X(T) = B0 + B1T + B2T
2 + ⋯ + BKT
K + BK + 1T
K + 1 + ⋯
( )
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O valor inicial
(t = 0)
para o vetor de estados pode ser dado por:
X(0) = B0 + B1 ⋅ 0 + B2 ⋅ 02 + ⋯ + BK ⋅ 0K + BK + 1 ⋅ 0K + 1 + ⋯
X(0) = B0
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Portanto, é possível reescrever a série que define o vetor de estados como uma função da condição inicial do vetor de estados da seguinte
maneira:
X(T) = I + AT +
1
2A
2T2 + ⋯ +
1
K !A
KTK +
1
(K + 1)!A
K + 1TK + 1 + ⋯ × (0)
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Definida entre parênteses, essa expressão indica uma matriz de dimensões $n \times n$ denominada matriz exponencial.
MATRIZ EXPONENCIAL
A matriz exponencial apresenta grande importância na análise do espaço de estados devido às suas propriedades.
Por exemplo, é possível provar que a matriz exponencial de uma matriz A com dimensões
n × n
pode ser definida por meio da expansão em séries de Taylor:
( )
EX = 1 +
X
1! +
X2
2! +
X3
3! + ⋯, − ∞ < X < ∞
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De maneira resumida:
EAT =
∞
∑
K = 0
AKTK
K !
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É possível observar que a série converge de forma absoluta para todo instante
t
finito. Por essa convergência, a série anterior pode ser derivada termo a termo, produzindo:
DEAT
DT = A + A
2T +
A3T2
2! + ⋯ +
AKTK − 1
(K − 1)! + ⋯
DEAT
DT
= A I + AT +
A2T2
2! + ⋯ +
AK − 1TK − 1
(K − 1)! + ⋯
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Como:
I + AT +
A2T2
2! + ⋯ +
AK − 1TK − 1
(K − 1)! + ⋯ = E
AT
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Com isso, pode-se escrever:
( )
( )
DEAT
DT = AE
AT = EATA
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A matriz exponencial tem a seguinte propriedade:
EA ( T + S ) = EATEAS
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Isso pode ser demonstrado da seguinte maneira:
EATEAS =
∞
∑
K = 0
AKTK
K !
∞
∑
K = 0
AKSK
K ! =
∞
∑
K = 0
AK
K
∑
I = 0
TISK − I
I !(K − I) ! =
∞
∑
K = 0
AK
(T + S)K
K ! = E
A ( T + S )
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Se considerarmos um instante
s = − t
, então:
EATEAS = EATE − AT = E − ATEAT = EA ( T − T ) = I
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Portanto, a inversa de
eAt
é
e − At.
Como
eAt
tem sempre uma inversa, então
eAt
é uma matriz não singular. Cabe lembrar que:
[ ][ ] [ ]
E ( A + B ) T = EATEB SE AB = BA
E ( A + B ) T ≠ EATEB SE AB ≠ BA
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Desse modo, pode-se escrever a equação anterior da seguinte maneira:
X(T) = I + AT +
1
2A
2T2 + ⋯ +
1
K !A
KTK +
1
(K + 1)!A
K + 1TK + 1 + ⋯ X(0)
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Como:
I + AT +
A2T2
2! + ⋯ +
AK − 1TK − 1
(K − 1)! + ⋯ = E
AT
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Então:
X(T) = EATX(0)
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Substituindo:
EAT = Φ(T)
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Pode-se escrever:
( )
( )
X(T) = Φ(T)X(0)
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Em que
Φ(t)
é uma matriz
n × n
e a solução única de:
Φ̇(T)AΦ(T)
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No instante
t = 0:
Φ(0) = I
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Isso pode ser verificado, observando que:
X(0) = Φ(0)X(0) = IX(0)
E:
Ẋ(T) = Φ(T)X(0) = AΦ(T)X(0) = AX(T)
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Por meio das propriedades apresentadas, é possível notar que:
Φ(T) = EAT
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Assim:
Φ − 1(T) = E − AT = Φ( − 1)
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Da demonstração:
X(T) = Φ(T)X(0)
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É possível observar que a solução da equação:
Ẋ(T) = AX(T)
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Sendo a expressão acima apenas uma transformação da condição inicial. Por esse motivo, a matriz única
Φ(t)
é chamada de matriz de transição de estado, que contém toda a informação sobre movimentos livres do sistema definido pela equação
anterior. Sendo assim, considere a equação de estados não homogênea descrita por:
Ẋ(T) = AX(T) + BU(T)
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Em que
x(t)
é um vetor
n
dimensional;
A
, uma matriz constante
n × n; u
, um vetor
r
dimensional; e
B
, uma matriz constante
n × r
. Assim, pode-se escrever:
Ẋ(T) − AX(T) = BU(T)
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Multiplicando os dois lados da equação por
e − At
, obtém-se:
E − AT[Ẋ(T) − AX(T)] =
D E − ATX(T)
DT = E
− ATBU(T)
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Integrando a equação anterior no intervalo entre
0
e
t :
E − ATX(T) = X(0) + ∫T0E − AΤBU(Τ)DΤ
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Que pode ser reescrito como:
[ ]
X(T) = EATX(0) + ∫T0EA ( T − Τ )BU(Τ)DΤ
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Sendo:
Φ(T) = EAT
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Então:
X(T) = Φ(T)X(0) + ∫T0Φ(T − Τ)BU(Τ)DΤ
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A integral da equação anterior é chamada de integral de convolução.
Por meio da equação anterior, é possível observar claramente que
x(t)
é a soma de um termo dependente da transição do estado inicial e um proveniente do vetor da entrada. Esse termo, que depende do estado
inicial, e não da entrada do sistema, é chamado de resposta à entrada zero.
Por outro lado, o segundo termo não depende do vetor do estado inicial e é chamado de resposta no estado zero, uma vez que
corresponderá à resposta total do sistema se o vetor do estado inicial for nulo
(x(0) = 0)
. Considerando que o instante inicial é
t0
, então a solução fica na forma geral:
X(T) = EA T − T0 X T0 + ∫ TT0E
A ( T − Τ )BU(Τ)DΤ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira similar, a transformada de Laplace da resposta de sistema não forçado é a transformada de:
( ) ( )
L[X(T)] = L[Φ(T)X(0)] = (SI − A) − 1X(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, o termo
(sI − A) − 1
é a transformada de Laplace da matriz de transição de estados
Φ(t)
. Como já vimos, o termo
(sI − A) − 1
é um polinômio em
s
cujas raízes são os polos do sistema. Então:
L − 1 (SI − A) − 1 = L − 1
ADJ(SI − A)
DET(SI − A) = Φ(T)
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Em que cada termo de
Φ(t)
deve ser a soma de exponenciais geradas pelos polos do sistema.
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Qual é a importância de se resolver uma equação de estado no domínio do tempo?
Expansão em séries
VERIFICANDO O APRENDIZADO
[ ] [ ]
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, discutimos a dinâmica de processos físicos e seu comportamento com as variações na entrada (que podem ser referentes a
variações na alimentação do processo, na carga ou em outros parâmetros). Para isso, apresentamos as principais entradas utilizadas nos
processos industriais, como rampa, degrau, impulso, senoidal e parabólica. 
Também discutimos a diferença entre sistemas de primeira ordem e de segunda ordem, com especial destaque para o comportamento dos
sistemas de segunda ordem em relação a seus parâmetros, como o coeficiente de amortecimento e a frequência natural. Desse modo,
destacamos a influência que esses dois elementos exercem sobre a saída e o comportamento do sistema. 
Debatemos ainda a transição do processo do regime transitório para o estacionário, pontuando que o transitório representa a reação de um
sistema às variações que este sofre em sua entrada na tentativa de se adaptar àquelas novas condições apresentadas. Já o permanente
retrata a condição de estabilidade, podendo apresentar um erro estacionário referente à diferença que existe entre o valor desejado para a
saída – e que depende dos parâmetros do sistema e da entrada colocada – e o valor real da variável. 
Destacamos, em seguida, as influências que as mudanças nesses parâmetros exercem sobre o comportamento da resposta do sistema,
influenciando seu tempo de resposta, entre outros, no pico máximo e no tempo de assentamento. Também apresentamos a resolução de
sistemas no domínio da frequência por meio da utilização da transformada de Laplace, destacando sua importância devido à simplicidade
matemática que a representação da função de transferência nesse domínio apresenta para a análise do sistema. 
Alguns assuntos, como a matriz identidade, a adjunta e a de cofatores, foram abordados com o intuito de que você relembrasse esses
pontos fundamentais para a obtenção da função de transferência a partir das equações de espaço de estado. Ainda discutimos a
transformada inversa de Laplace não apenas na representação de sistemas de primeira e de segunda ordem, mas também na resolução dos
sistemas no domínio da frequência. 
Por fim, abordamos a resolução das equações de espaço de estado no domínio do tempo. Para isso, destacamos ferramentas, como, por
exemplo, a convolução, a matriz exponencial e os operadores, como integral e derivada.
 PODCAST
Confira o conteúdo preparado especialmente para enriquecer o seu conhecimento!
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H. Análise e projeto de sistemas de controle lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984. 
DANTAS, A. A. M. Modelagem e análise de sistemas dinâmicos: material didático. Natal: DCA/UFRN, 2003. 
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 
FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, A. Sistemas de controle para engenharia. Porto Alegre: Bookman, 2013.
GOLNARAGHI, F.; KUO, B. C. Automatic control systems. Porto Alegre: McGraw-Hill Education, 2017. 
NISE, N. S.; DA SILVA, F. R. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
EXPLORE+
Para conhecer detalhes e considerações de projetos de sistemas, pesquise sobre o assunto nos livros Engenharia de controle moderno,
de Katsuhiko Ogata, e Engenharia de sistemas de controle, de Norman S. Nise. 
Nessas referências, é possível observar alguns critérios práticos de ajustes de parâmetros dos sistemas para modificar seu comportamento:
modificações necessárias no coeficiente de amortecimento e na frequência com o objetivo de melhorar a resposta transitória, assim como
aumento ou diminuição do pico máximo ou aumento/reduçãodo tempo de assentamento. 
Também é possível aprender como determinar os parâmetros da resposta do sistema a partir de suas características, como, por exemplo, a
determinação do tempo de subida ou do tempo de pico a partir do coeficiente de amortecimento e da frequência do sistema, assim como o
máximo overshoot e o tempo de acomodação.
CONTEUDISTA
Raphael de Souza dos Santos