CalculoIIIAvaliação Final (Discursiva) - Individual

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13/09/2023, 19:39 Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
(Cod.:823827)
Peso da Avaliação 4,00
Prova 62389485
Qtd. de Questões 2
Nota 4,00
Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que 
define a sua borda e essa curva pode não ser elementar.
Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem ser 
aplicados.
Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das
derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos
utilizar o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em
duas dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou
seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a integral
de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o trabalho
realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre
uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A
integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo
vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo
de saída.
Minha resposta
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das derivadas
parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Assim, podemos utilizar o
teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em duas dimensões
sobre uma partícula. O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três
dimensões, ou seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a
integral de superficie do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o trabalho
realizado por um campo de forças em trÊs dimensões sobre uma partícula. E o Teorema de Gauss
é o mais diferenciado, já que estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido com
uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla do campo vetorial é utilizada para
calcular o fluxo de saída de um campo vetorial em trÊs dimensões, assim podemos utilizar o
Teorema de Gauss para calcular o fluxo de saída.
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da questão e/ou com o assunto abordado. Sugerimos que nas próximas vezes o enunciado da
questão seja lido atentamente, refletindo sobre o assunto abordado. Confira no quadro "Resposta
esperada" a sugestão de resposta para esta questão.
Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas 
fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas.
Com relação a isso, deduza a fórmula de um cilindro utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa da 
sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.
Resposta esperada
Sabemos que o volume de um sólido é dado pela integral tripla da função f(x, y, z) = 1, precisamos
agora determinar os limites de integração.
O limite para a integração em z é de 0 até h.
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Já para x e y como a base é circular vamos usar
coordenadas polares e nesse caso os limites de integração são Assim,
o volume é:
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