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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Professor: Dr. Alessandro Ferreira Alves
GABARITO DA ATIVIDADE ONLINE CICLO 2
Questão 1: É sabido que o cálculo vetorial é a subárea da Matemática que trabalha essencialmente com a diferenciação e integração de campos vetoriais, particularmente falando no espaço euclidiano tridimensional. Nesta direção, diversos processos do cálculo vetorial envolvem transformações, dentre elas citamos as transformações de coordenadas. Assim sendo, constituem exemplos de coordenadas vinculadas a esse aparato?
a) ( ) coordenadas retangulares / coordenadas momentâneas / coordenadas esféricas
b) ( x ) coordenadas retangulares / coordenadas cilíndricas / coordenadas esféricas 
c) ( ) coordenadas retangulares / coordenadas cilíndricas / coordenadas assintóticas 
d) ( ) coordenadas ilimitadas / coordenadas cilíndricas / coordenadas assintóticas 
Gabarito Comentado: Letra B. As coordenadas retangulares, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas são exemplos típicos de coordenadas usadas no cálculo vetorial.
Questão 2: A conceituação e propriedades envolvendo os vetores constitui a célula fundamental para a descrição das propriedades e aplicações do cálculo vetorial. Assim sendo, as diversas operações envolvendo os vetores juntamente com os produtos específicos são determinantes para a resolução de situações problema relacionadas ao cálculo vetorial, como por exemplo, problemas envolvendo a eletrostática, resistência dos materiais, etc. Especificamente falando, suponhamos que um determinado processo físico demande da caracterização de um vetor unitário , que forma de modo simultâneo ângulo de 90º com os vetores = (2, -6, 3) e = (4, 3, 1). Qual é o vetor requisitado pelo processo físico em questão?
a) ( ) = (, , ) e = (, , )
b) ( ) = (, , ) e = (, , )
c) ( ) = (, , ) e = (, , )
d) ( x ) = (, , ) e = (, , )
Gabarito Comentado: Letra D. Neste caso, do aparato teórico apresentado na segunda unidade do material de apoio, bem como da geometria analítica, sabemos que os vetores x e x formam um ângulo de 90º com os vetores isolados e (simultaneamente ortogonais – propriedade do produto vetorial entre vetores). Em outras palavras, isso nos mostra que os vetores x e x constituem a solução do problema em questão. Assim sendo, escrevemos:
 x .
Ou seja, obtemos que x = (15, 10, 30). Além disso, como temos que x = x , vem que x = (15, 10, 30).
Desta forma, os correspondentes vetores unitários (versores) são respectivamente:
= = = = = (, , )
E
= = = = = (, , )
Questão 3: Diversos projetos estruturais estão intimamente ligados a ideia vetorial presente no cálculo, ou seja, a todo momento demandamos de análises vetoriais para a formatação dos mesmos. Neste sentido, a Figura 1 a seguir denota um componente muito utilizado na montagem de elevadores de carga rotineiramente utilizada no cotidiano da indústria. Em outras palavras, o conhecimento de cada dimensão e posicionamento das arestas desse componente é importante para o engenheiro e gestão da qualidade da organização, visando essencialmente um perfeito encaixe do mesmo com relação aos objetivos previamente projetados (tal ponto pode ser considerado também o pontapé inicial para a indústria 4.0). 
Figura 1: Modelo do componente usado no processo de confecção de elevadores de carga no espaço tridimensional.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Assim sendo, a partir da análise da peça em questão a seguir, qual seria a posição no espaço dos pontos H, A, E e C, respectivamente? 
a) ( ) (0, 0, 40), (50, 0, 20), (50,-10,0) e (20,-20,30)
b) ( ) (0, 0,30), (40, 0,10), (50, - 20, 0) e (20, - 20, 30)
c) ( ) (0, 0, 30), (50, 0, 20), (50, - 20, 0) e (20, - 20, 30)
d) ( x ) (20,- 20, 30), (0, 0,30), (50,- 20, 0) e (50, 0, 20)
Gabarito Comentado: Letra D. Neste caso, a partir da análise da figura em questão (análise vetorial dos pontos), vem que: 
Ponto H (20, -20,30)
Ponto A (0,0,30)
Ponto E (50,-20,0)
Ponto C (50,0,20)
Questão 4: Vimos que o ângulo entre dois vetores é computado por intermédio de uma descrição matemática que associa o produto interno com o comprimento de cada um desses vetores, sendo importante na interpretação de situações diversas geometricamente falando. Neste sentido, tendo como referência os vetores do espaço tridimensional euclidiano , = (1, – 1, 0) e = (3, 0, 0), qual é o ângulo formado por tais vetores? 
a) ( ) 60º
b) ( x ) 45º
c) ( ) 90º
d) ( ) 120º
Gabarito Comentado: Letra B. Temos que: || u || = e || v || = 3, daí:
cos = = = = = 
Ou seja, = arc (cos ) e, portanto, = 45.
Questão 5: A transformação de uma quantidade vetorial tendo como ponto de referência a mudança do sistema de coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas é realizada em quantas etapas?
a) ( ) 4
b) ( ) 1
c) ( ) 3
d) ( x ) 2
Gabarito Comentado: Letra D. A transformação de uma quantidade vetorial tendo como ponto de referência a mudança do sistema de coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas é realizada em 2 etapas.
Questão 6: Da geometria elementar é sabido que o paralelepípedo é uma espécie de representação geométrica espacial que se inclui como um sólido geométrico. Grosso modo, pode ser encarado como um prisma que tem base e faces em formato de paralelogramos, ou ainda, o paralelepípedo é um prisma quadrangular com base de paralelogramos. Neste sentido, considerando os vetores do espaço tridimensional euclidiano = (k, 5, 0), = (3, – 2, 1) e = (1, 1, – 1), caracterizar o valor de k para que o volume do paralelepípedo determinado por , e seja 24 cm³.
a) ( ) k = 6 cm
b) ( ) k = 5 cm
c) ( x ) k = 4 cm
d) ( ) k = 8 cm
Gabarito Comentado: Letra C. A primeira coisa a ser notada é que o volume do paralelepípedo pode ser computado pela expressão matemática:
Volume do paralelepípedo = V = | (, , ) |
E, de acordo com o enunciado, escrevemos:
V = | (, , ) | = 24
Ou seja, 
| (, , ) | = = k + 20
Daí,
| k + 20 | = 24
E, pela definição de módulo, vem que:
k + 20 = 24 ou – k – 20 = 24 
E, portanto, k = 4 ou k = – 44 (não convém).
q
||
||
.
||
||
,
v
u
v
u
>
<
3
.
2
)
0
,
0
,
3
(
),
0
,
1
,
1
(
>
-
<
3
.
2
3
2
1
2
2
0
3
Â
2