APLICACOES DE FUNCOES EXPONENCIAIS E LAGARITIMICAS

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Universidade de Brasília
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
APLICAÇÕES DE FUNÇÕES
EXPONENCIAIS E LOGARÍTIMICAS
MURILO SERGIO ROBALLO
Brasília
2014
Universidade de Brasília
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
APLICAÇÕES DE FUNÇÕES
EXPONENCIAIS E LOGARÍTIMICAS
Autor: Murilo Sérgio Roballo
Orientador: Prof. Dr. Helder de Carvalho Matos
Monogra�a apresentada ao PROFMAT
para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
Brasília
2014
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de 
Brasília. Acervo 1016172.
 Roba l l o , Mur i l o Serg i o .
 R628a Ap l i cações de f unções exponenc i a i s e l ogar í tmi cas
 / Mur i l o Serg i o Roba l l o . - - 2014 . 
 68 f . : i l . ; 30 cm.
 Di sser t ação (mes t rado) - Un i vers i dade de Bras í l i a ,
 Depar t amen to de Ma t emá t i ca , Mes t rado Pro f i ss i ona l i zan t e
 em Ma temá t i ca , 2014 . 
 I nc l u i b i b l i ogra f i a .
 Or i en tação : He l der de Car va l ho Ma t os .
 1 . Logar í tmos . 2 . Funções exponenc i a i s . I . Ma t os ,
 He l der de Car va l ho . I I . T í t u l o . 
 CDU 519 . 662
À Deus, pois sem Ele nada disso seria possível.
Aos meus pais Nelson e Maria Luiza pelos valores transmitidos, ensinamentos, amor
e carinho
A minha esposa Rosane, mulher da minha vida e a minha adorada �lha Caroline,
paixão do pai.
DEDICO
Agradecimentos
À Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) por intermédio, através do PROF-
MAT, uma melhor capacitação dos educadores no ensino da matemática.
Aos professores da Universidade de Brasília (UnB) que participaram do curso e
contribuíram para uma melhor formação dos alunos.
Ao professor Dr. Helder de Carvalho Matos, pela colaboração no desenvolvimento
desse trabalho e por todo conhecimento transmitido.
Ao professor Dr. Rui Seimetz, coordenador do PROFMAT na UnB, pela dedicação
na condução do curso e pelos ensinamentos transmitidos.
Aos colegas de turma, principalmente, os amigos do Colégio Pódion e do Colégio
Militar de Brasília, que dividiram angústias, participaram dos momentos de estudo
coletivo e do companheirismo nos momentos mais difíceis do curso.
À CAPES pelo incentivo �nanceiro.
Ao colaborador Rodrigo Sato, pela ajuda na formatação do trabalho escrito.
Aos familiares, pais, irmãos, esposa e �lha, pelo apoio, compreensão e incentivo
para que tudo desse certo.
À Deus, por tornar isso possível.
Resumo
Esse trabalho mostra, primeiramente, o surgimento de uma poderosa ferramenta
matemática que contribuiu durante aproximadamente, três séculos e meio para simpli-
�car os cálculos aritméticos: os logaritmos. Com rapidez e precisão, operações como a
multiplicação, divisão com vários algarismos ou uma potenciação com expoente fracio-
nário, puderam ser realizadas utilizando-se as propriedades operatórias dos logaritmos.
Com o advento das calculadoras eletrônicas, os logaritmos perderam sua função inicial,
mas não perderam posição de destaque no ensino da Matemática e nas aplicações nas
ciências modernas. Esse destaque é porque a função logarítmica e sua inversa, a fun-
ção exponencial, constituem uma única maneira de se descrever, matematicamente, a
evolução de uma grandeza, cuja taxa de crescimento (ou decréscimo) é proporcional à
quantidade daquela grandeza existente num dado momento.
A seguir são apresentadas inúmeras aplicações das funções exponenciais e logarít-
micas que modelam fenômenos físicos, químicos, biológicos, geográ�cos, econômicos,
sociais e comprovam com isso a necessidade de se conhecer e interpretar tais funções.
Palavras-chave: Logaritmo, função exponencial, função logarítmica, aplicação, mo-
delagem matemática, número e.
7
Abstract
This work shows, primarily, the appearance of a powerful mathematical tool which
has contributed for approximately three and a half centuries to simplify the arith-
metical calculations: the logarithms. With speed and precision, operations such as
multiplications, divisions with several numbers or power with fractional index, could
be achieved by using logarithms operational properties. With the advent of calculators,
the logarithms have lost their initial function, but not their key role in the mathematic
teaching and its applications in the modern sciences. This outstanding position hap-
pens due to the fact that the logarithmical function and its inverse, the exponential
function, constitute a unique manner to describe, mathematically, the evolution of size
whose growth index (or decrease) becomes proportional to the amount of that former
existing grandeza in a given moment.
In sequence, several exponential functions and logarithmical uses which help shape
chemical, physical, biological, economical, social and geographical are introduced and
display the necessity to know and interpret those functions.
Keywords: logarithm, exponential function, logarithmical function, application, mathe-
matical shaping, number e.
8
Lista de Figuras
1.1 Ramo H da hipérbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Faixa do ramo H positivo da hipérbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Área da faixa do ramo H positivo da hipérbole. . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Área do segmento de reta da faixa do ramo H positivo da hipérbole. . . 28
1.5 Área do logaritmo natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Grá�co da função exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Grá�cos das funções exponencial e logarítmica para base > 1. . . . . . 34
1.8 Grá�cos das funções exponencial e logaritmica para 0 < base < 1. . . . 35
2.1 Montante para juros compostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Grá�co da função P (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Grá�co do decaimento radioativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Grá�co do resfriamento de um corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Circuito elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Grá�co da intensidade da corrente elétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Grá�co da intensidade luminosa I(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.8 Grá�co da função Q(t) = B − Ae−kt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Grá�co da logística de crescimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9
3.1 Função pressão atmosférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Magnitude na escala Richter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Escala de Magnitude de momento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Função da intensidade sonora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Função pH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10
Sumário
Introdução 13
1 Desenvolvimento 16
1.1 Potências de Expoente Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Propriedades Operatórias do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Leis de Crescimento e Decaimento Exponencial 36
2.1 Capitalização Contínua (Juros Compostos) . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Crescimento Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Decaimento Radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Resfriamento de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Circuito Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Intensidade Luminosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 49
2.7 Curva de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11
2.8 Logística de Crescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Aplicações da Função Logarítmica 55
3.1 Altitude de uma localidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Sismologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Nível de Intensidade Sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Cálculo do pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Sugestão de Aula 63
5 Considerações Finais 65
Referências Bibliográ�cas 67
12
Introdução
Histórico
Com o desenvolvimento da Astronomia e da Navegação, no �m do século XVI, os
cálculos aritméticos estavam se tornando extremamente trabalhosos e estenuantes. As-
sim, se tornava necessário um método que permitisse efetuar, com maior simplicidade,
multiplicações, divisões, potenciações e extração de raízes.
Algumas vezes acontece que uma descoberta cientí�ca é feita quase que simulta-
neamente por duas ou mais pessoas trabalhando, independentemente. Tal descoberta
é fruto da necessidade humana para solucionar problemas que naquele momento se
tornam prioritários.
Tal fato acontece com os logaritmos. John Napier (1550 � 1617), nobre escocês,
teólogo, não era matemático pro�ssional, mas se interessava por certos aspectos da
matemática, particularmente as operações e a trigonometria e Jost Burgi (1552 � 1632)
suíço, fabricante de instrumentos astronômicos, matemático e inventor, cada um deles
desconhecendo inteiramente o outro, publicaram as primeiras tabelas dos logaritmos
(Tábua de logaritmos). A tábua de Napier, foi apresentada posteriormente em 1619 por
um de seus maiores admiradores, Henry Briggs (1561 � 1631), professor de geometria
13
em Oxford, com o título Miri�cilogarithmorumcanonisdescriptio, que signi�ca
uma descrição da maravilhosa regra dos logaritmos. Já o trabalho de Jost Burgi foi
lançado em 1620, num livro intitulado ArithmetischeundgeometrischeProgress �
Tabulen ArithmetischeundgeometrischeProgress � Tabulen, que signi�ca, Progresso
geométrico e aritmético � tábua.
A in�uência de Napier no desenvolvimento dos logaritmos foi muito maior do que
a de Burgi, fato esse explicado devido ao seu relacionamento com professores universi-
tários.
Napier partiu das propriedades das sequências aritméticas e geométricas. Para
conservar próximos os termos numa progressão geométrica de potência inteira de um
número dado, é necessário tomar o número dado muito próximo de um. Logo, Napier
escolheu o número 1−10−7 (ou 0, 9999999). Para evitar decimais Napier multiplicou o
número por 107. Isto é, se N = 107(1− 10−7)L, então L é o �logaritmo� do número N .
Deve-se lembrar que Napier não tinha o conceito de base de um sistema de logaritmos,
pois, sua de�nição era diferente da que nós temos hoje. Foi seu colaborador Briggs
que propôs a Napier o uso de potências de 10 e como Napier estava no �nal da vida,
coube a Briggs, a tarefa de construir a primeira tabela de logaritmos comuns.
Durante quase quatro séculos a utilização dos logaritmos como instrumento de
cálculo, revelou-se de fundamental importância para o desenvolvimento da ciência,
pois simpli�cavam, com rapidez e precisão, multiplicações e divisões em adições e
subtrações, respectivamente, utilizando-se suas propriedades operatórias, as quais serão
expostas nesse trabalho.
Recentemente, com a utilização das calculadoras, as tábuas de logaritmos perderam
a sua utilidade como instrumento de cálculo. Mas o desenvolvimento da matemática
e das ciências em geral veio mostrar que diversos fenômenos físicos, químicos, biológi-
14
cos, geográ�cos e econômicos podem ser modelados a partir de funções logarítmicas e
exponenciais, que serão expostas nesse trabalho.
15
Capítulo 1
Desenvolvimento
1.1 Potências de Expoente Racional
A análise a seguir se restringe a potências de um número positivo a. Se a fosse
negativo, não haveria problema para de�nir an e a−n para n ∈ N . Entretanto, como
veremos aqui, a
1
n signi�ca n
√
a e considerando que números reais negativos não possuem
raízes reais se o índice n for par. Isso tornaria o estudo de potências reais de expoente
racional com base negativa cheio de exceções.
Seja a um número real positivo. Dado um inteiro n > 0, a potência an é de�nida
como o produto de n fatores iguais ao número a.
an = a · a · . . . · a (nfatores).
Assim,
am · an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
m fatores
· a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n fatores
= am+n (Propriedade fundamental)
16
em que m e n são, inteiros positivos.
Em particular se m = 0
a0 · an = a0+n = an, logo, conclui-se que a0 = 1
Estendendo a noção de potência para expoentes negativos e mantendo a validez da
propriedade fundamental deve-se ter:
a−nan = a−n+n = a0 = 1 , logo , a−n =
1
an
Como m e n são inteiros, o número (m− n) também é inteiro, logo,
am−n = am · a−n = am · 1
an
= a
m
an
Evidentemente a relação fundamental é válida para o produto de várias potências,
como
am · an · ap · aq = am+n+p+q
Em particular, para um produto de p fatores iguais a am, obtém-se
am · am · . . . · am = (am)p.
Então,
(am)p = amp
Veremos que, dados um número real a > 0 e um número inteiro q > 0, o símbolo
q
√
a representa o número real positivo cuja q-ésima potência é igual a a, ou seja, a
única raiz positiva da equação xq− a = 0. Portanto as a�rmações q
√
a > 0 e ( q
√
a)q = a
constituem a de�nição do número real q
√
a chamado raiz q-ésima do número positivo a.
Estendendo a noção de potência de um número real a > 0 para expoente fracionário
da forma r = p
q
, tem-se
ar, r ∈ Q e r = p
q
.
17
Então, de�ni-se: a
1
q = q
√
a. Em particular a
1
q = q
√
a
Veri�cando a validez da propriedade fundamental para expoentes racionais, para
r = p
q
e s = u
v
, q > 0 e v > 0, p=rq e u=sv
Logo
arq = ap e as.v = au
(ar)q = ap e (as)v = au
Fazendo
(ar · as)qv = (ar)qv · (as)qv = arqv · asqv
(ar · as)qv = apv · aqu
(ar · as)qv = apv+qu
ar · as = a
pv+qv
qv
= a
pv
qv
+ qu
qv
= a
p
q
+u
v
ar · as = ar+s
1.2 Propriedades Operatórias do logaritmo
De�ne-se logaritmo de um número x > 0 na base a 6= 1 como sendo um número y,
tal que ay = x. Pode-se escrever
loga x = y ⇔ ay = x (∗)
Considerando os números reais 0 < a 6= 1, 0 < c 6= 1, m 6= 0, u > 0 e v > 0 dessa
de�nição decorrem as propriedades operatórias dos logaritmos
18
I) loga(u · v) = loga u+ loga v
II) loga
u
v
= loga u− loga v
III) loga u
v = v.logau
IV) loga b =
logc b
logca
V) logam x =
1
m
· logax
Demonstração.
I) Considerando u, v, números reais positivos e 0 < a 6= 1, para mostrar que loga(u · v) =
logau+ logav, tomemos logau = x e logav = y, sendo x e y números reais.
Temos, usando (∗),
logau = x⇔ ax = u e
logav = y ⇔ ay = v
e assim,
ax · ay = u · v ⇔
ax+y = u · v (∗)⇔
x+ y = loga(u · v)
loga u+ loga y = loga(u · v)
II) Para mostrar que loga
(u
v
)
= loga u − loga v, com 0 < a 6= 1, u e v números
reais positivos, considere loga u = x e loga v = y.
Usando (∗),
loga u = x⇔ ax = u e
loga v = y ⇔ ay = v
19
Assim,
ax
ay
=
u
v
⇔
ax−y =
u
v
(∗)⇔
x− y = loga
(u
v
)
⇔
loga u− loga v = loga
(u
v
)
III) Para mostrar que loga u
v = v · loga u com 0 < a 6= 1, u real positivo e v real,
considere loga u = x.
Usando (∗),
loga u = x⇔ ax = u
Assim,
(ax)v = uv ⇔
ax·v = uv
(∗)⇔
loga u
v = x · v ⇔
loga u
v = v · loga u
IV) Fazendo logab = x
(∗)⇔ ax = b⇔
logc a
x = logcb
(III)⇔ x logc a = logcb⇔
x =
logc b
logc a
⇔ logab =
logcb
logca
V) logamx = 1m · loga x
20
Usando a propriedade (IV)
logam x =
loga x
logaam
(III)⇔
logam x =
loga x
m loga a
1.3 Função Logarítmica
Uma função real f : R∗+ → R chama-se função logarítmica quando é caracterizada
pelas seguintes propriedades:
A) f é uma função crescente, isto é, x < y ⇒ f(x) < f(y)
B) f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y ∈ R∗+
Denotamos tal função por f(x) = logb x em que o número b échamado base. Tra-
dicionalmente, as bases dos logaritmos mais comuns são: base 10, chamado logaritmo
decimal, pois, nossos números são escritos usualmente no sistema de numeração deci-
mal e base e sendo o número e ≈ 2, 718281 (Número de Euler), chamado logaritmo
natural ou logaritmo neperiano em homenagem a John Napier. Entretanto, tal de-
nominação não é inteiramente apropriada, pois, como já foi visto, o logaritmo original
de�nido por Napier não coincide com o logaritmo natural. O logaritmo natural será
de�nido mais adiante no trabalho.
As propriedades a seguir são consequências de A e B enunciadas acima.
Propriedade 1
Uma função logarítmica f : R∗+ → R é sempre monótona injetiva, isto é, números
positivos diferentes têm logaritmos diferentes.
21
Demonstração. Se x,y ∈ R∗+ são diferentes , então ou x < y ou x > y. No primeiro
caso resulta de A que f(x) < f(y). No segundo caso tem-se f(x) > f(y). Em qualquer
hipótese, de x 6= y conclui-se que f(x) 6= f(y).
Propriedade 2
O logaritmo de 1 é zero, ou seja, logb1 = 0.
Demonstração. Por B tem-se f(1) = f(1.1) = f(1) + f(1), logo,f(1) = 0.
Propriedade 3
Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos
menores do que 1 têm logaritmos negativos.
Demonstração. Como f(x) é uma função crescente, toma-se 0 < x < 1 < y. De A
resulta f(x) < f(1) < f(y), logo, f(x) < 0 < f(y).
Propriedade 4
Para todo x > 0, tem-se f(1/x) = −f(x)
Demonstração. Como x · 1
x
= 1, da propriedade B tem-se que f(x · 1
x
) = f(1),
f(x) + f( 1
x
) = f(1) = 0. Então, f( 1
x
) = −f(x).
Propriedade 5
Uma função logarítmica f : R∗+ → R é ilimitada superior e inferiormente.
Demonstração. Dados arbitrariamente dois números reais α e β é sempre possível
achar dois números positivos x e y tais que f(x) < α e f(y) > β.
22
Torna-se um número natural n tão grande que n >
β
f(2)
. Como f(2) > 0 (proprie-
dade 3), têm-se n ·f(2) > β pela propriedade operatória III, n ·f(2) = f(2n). Portanto,
f(2n) > β.
Agora escolhendo y = 2n, f(y) > β, o que mostra que a função é ilimitada superi-
ormente.
Para provar que f é ilimitada inferiormente, basta lembrar que f
(
1
x
)
= −f(x).
Dado qualquer número real x, como foi provado acima, f(y) > −α.
Fazendo x =
1
y
, isto é, y =
1
x
, tem-se:
f
(
1
x
)
> −α⇔ −f(x) > −α⇔ f(x) < α
Propriedade 6
Uma função logarítmica não está de�nida para x = 0.
Demonstração. Caso existisse f(0), para x 6= 0, teríamos
f(0) = f(x · 0) = f(x) + f(0), então f(x) = 0. Assim a função seria identicamente
nula, o que contraria a propriedade A.
Propriedade 7
Dadas as funções logarítmicas f, g : R∗+ → R, existe uma constante k > 0, tal que
g(x) = k · f(x), para todo x > 0.
23
A demonstração dessa propriedade se encontra em [4].
Propriedade 8
Toda função logarítmica f é sobrejetiva, isto é, dado qualquer número real k, existe
sempre um único número real positivo x tal que f(x) = k.
Observação. Por ser uma demonstração muito longa e por não ser prioritária para o
trabalho, não será apresentada.
Corolário
Toda função logarítmica f : R∗+ → R é uma correspondência biunívoca (bijeção)
entre R∗+ e R.
Demonstração. Qualquer função f dá origem a uma sequência de valores. Numa
coluna à esquerda, põem-se os valores de x e na outra coluna à direita, os valores
correspondentes de f(x). Pela propriedade 1, x e y > 0 pertencem ao domínio de f(x),
logo, f(x) 6= f(y) e pela propriedade 7, conclui-se que para todo elemento do domínio de
f(x) existe um único e diferente correspondente em R. Logo, toda função logarítmica
é uma bijeção de R∗+ em R.
1.4 Logaritmo Natural
Historicamente, primeiro o padre jesuíta belga Gregory Saint Vicent, em 1647, e
depois Isaac Newton, em 1660, reconheceram a relação que existe entre a área de uma
24
faixa do grá�co de uma hipérbole com a de�nição geométrica dos logaritmos. Embora
nenhum dos dois tenha identi�cado realmente essa área com o logaritmo natural, nem
tenham reconhecido o número e, suas observações pioneiras mostram a concepção
geométrica de uma função logarítmica.
Seja H o ramo positivo do grá�co de uma hipérbole representada pela função
y =
1
x
(veja a �gura 1.1). H é um subconjunto do plano constituído pelos pontos da
forma
(
x,
1
x
)
e pode ser escrito por:
H =
{
(x, y) : x > 0, y =
1
x
}
Geometricamente o ramo H da hipérbole é dado por:
Figura 1.1: Ramo H da hipérbole.
Uma faixa de hipérbole é determinada �xando-se dos números reais positivos a, b
com a < b e tomando a região do plano limitada pelas retas verticais x = a e x = b
pelo eixo das abcissas e pela hipérbole H.
Essa região é indicada pela notação Hba.
25
Figura 1.2: Faixa do ramo H positivo da hipérbole.
Do cálculo integral, ver [1], tem-se que a área de uma �gura delimitada por uma
função f , pelo eixo 0x e pela retas x = a e x = b é a integral de�nida de f no intervalo
[a, b].
A partir da de�nição de integral [1], de�ne-se o logaritmo natural de um número
real positivo x como sendo a área da faixa Hx1 , ou seja, lnx = área de H
x
1 .
Então, para x > 1
Área Hx1 =
∫ x
1
1
x
dx,
ou seja,
lnx = loge x =
∫ x
1
1
x
dx. (Ver �gura 1.3).
Na notação para indicar o logaritmo natural de x, e é um número irracional, deno-
minado número de Euler, em homenagem ao grande matemático suíço Leonhard Euler
26
Figura 1.3: Área da faixa do ramo H positivo da hipérbole.
(1707 � 1783 ). Não é de interesse desse trabalho mas o número e pode ser calculado
por:
e = lim
n→∞
(
1 +
(
1
n
))n
= 1 +
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ . . .
e ≈ 2, 718281828459
Caso o leitor tenha interesse, ver [1] e [6].
Para 0 < x < 1, a área da faixa H1x será o logaritmo natural de x com o sinal menos
a frente
Área H1x =
∫ 1
x
1
x
dx = − loge(x) = − ln(x). (Ver �gura 1.4).
Em particular; quando x = 1, H11 se reduz a um segmento de reta, portanto tem
27
Figura 1.4: Área do segmento de reta da faixa do ramo H positivo da hipérbole.
área igual a zero. Pode-se escrever
ln(1) = 0;
ln(x) > 0 se x > 1;
ln(x) < 0 se 0 < x < 1.
Não está de�nido ln(x) se x 6 0.
O número e, base dos logaritmos naturais, pode ser caracterizado pelo fato de seu
logaritmo natural ser igual a 1, ou seja, a área He1 = 1. Escreve-se:
Área He1 =
∫ e
1
1
x
dx = ln(x)|e1 = ln(e)− ln(1) = 1
Observação: Pela de�nição do logaritmo, ln(e) = 1. (Ver �gura 1.5).
28
Figura 1.5: Área do logaritmo natural.
1.5 Função Exponencial
A partir da de�nição de função logarítmica é possível se de�nir uma função que é
inversa da função logarítmica, ou seja,
f(x) = y = logxa ⇔ ay = x.
Seja a número real positivo diferente de 1. A função f : R → R∗+, com f(x) = ax,
é dita função exponencial de base a .
Para quaisquer x, y ∈ R, a função exponencial possui as seguintes propriedades:
I) f(x+ y) = f(x) · f(y)
Demonstração. f(x+ y) = ax+y = ax · ay = f(x) · f(y)
Pela propriedade I percebe-se que f não pode assumir o valor zero (0), a menos que
29
seja identicamente nula.
Por absurdo, se existisse algum x0 ∈ R tal que f(x0) = 0, então, para todo x ∈ R,
f(x) = f(x0+(x−x0)) = f(x0)·f(x−x0) = 0·f(x−x0) = 0, logo f seria identicamente
nula. Então, se f não é uma função nula, não existe algum x0 ∈ R tal que f(x0) = 0.
Mas ainda, a função f é sempre positiva, f(x) > 0, para todo x ∈ R, pois,
f(x) = f
(x
2
+
x
2
)
= f
(x
2
)
· f
(x
2
)
= f
(x
2
)2
> 0
II) f(1) = a
Demonstração. Como a1 = a, f(1) = a.
III) x < y ⇔ ax < ay, quando a > 1 e
x < y ⇔ ax > ay, quando 0 < a < 1.
Demonstração. A propriedade diz que a função exponencial é crescente para a > 1 e
decrescente quando 0 < a < 1.
Daí resultará que existe uma única maneira de de�nir o valor de f(x) = ax quando
x é irracional. Supondo que a > 1, então ax tem a seguinte propriedade,
r < x < s com r, s ∈ Q⇒ ar < ax < as.
30
Não podem existir dois números reais diferentes, digamos A < B, para assumir o
valor de ax com a propriedade acima. Se existissem A e B, teríamos r < x < s,r,s ∈ Q,
então, ar < A < B < as e então o intervalo [A,B] nãoconteria nenhuma potência de
a com expoente racional, o que é um absurdo, veja [5].
Portanto, quando x é irracional, ax é o único número real cujas aproximações por
falta são as potências ar, r < x e cujas aproximações por excesso são as potências as,
x < s.
Em [1], a função ax é de�nida por ax = exlog a, para 1 6= a > 0.
IV) A função f : R→ R∗+, de�nida por f(x) = ax é ilimitada superiormente.
Se a > 1, então ax cresce, inde�nidamente quando x > 0, ou seja, limx→∞ ax =
+∞. E se 0 < a < 1, ax torna-se arbitrariamente grande quando x < 0, ou seja,
limx→∞ a
x = +∞.
V) A função exponencial é contínua.
Demonstração. Isto signi�ca que, dado x0 ∈ R, é possível tornar a diferença |ax−ax0 |
tão pequena quanto se deseja, desde que x seja tomado su�cientemente próximo de x0,
ou seja, limx→x0 a
x = ax0.
Mostremos primeiro que é possível tornar ah tão próximo de 1 quanto desejamos,
desde que |h| seja escolhido su�cientemente pequeno.
Suponhamos a > 1 e h > 0. Dado arbitrariamente ε > 0, queremos mostrar que,
31
tomando h pequeno, teremos ah < 1 + ε. Se tomamos n ∈ N tal que n > a−1
ε
, teremos
nε > a− 1 logo, a < 1 + nε.
Pela desigualdade de Bernoulli, (1 + ε)n > 1 +nε, então a < (1 + ε)n e a
1
n < 1 + ε.
Em resumo: dado ε > 0, existe n ∈ N tal que 1 < a 1n < 1 + ε. Se tomarmos h tal que
0 < h < 1
n
, teremos 1 < ah < a
1
n < 1 + ε. Assim faremos ah tão próximo de 1 quanto
desejamos.
Agora �xado x0 ∈ R e h = x − x0, teremos ax − ax0 = ax0+h − ax0 = ax0(ah − 1).
Se x se aproximar de x0, h tende a zero, ah tende a 1 e ah − 1 tende a zero. Então
limx→x0(a
x − ax0) = 0, ou seja, limx→x0 ax = ax0, o que caracteriza a continuidade da
função exponencial.
VI) A função exponencial f : R→ R+∗, f(x) = ax, a 6= 1, é sobrejetiva.
Demonstração. Isto signi�ca dizer que para todo número real b > 0 existe algum
x ∈ R tal que ax = b. Supondo a > 1,n ∈ N, escolheremos uma potência arn, com
rn ∈ Q, no intervalo (b− 1n , b+
1
n
) de modo que |b−arn| < 1
n
, portanto limx→x0 a
rn = b.
Escolhemos as potências arn sucessivamente, tais que
ar1 < ar2 < . . . < arn < . . . b
Certamente, podemos �xar s ∈ Q, tal que b < as. Então a monotonicidade da
32
função ax nos assegura que
r1 < r2 < . . . rn < . . . < s.
Assim (rn) é uma sequência crescente, limitada superiormente por s. Logo, os
rn são valores aproximados por falta de um número real x, tal que limx→x0 rn = x. A
função exponencial sendo contínua, ax = limx→x0 a
rn = b, como queríamos demonstrar.
Conclui-se que para todo número real positivo a, diferente de 1, a função exponencial
f : R → R∗+, dada por f(x) = ax é uma correspondência biunívoca entre R e R∗+,
crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1, com a propriedade de transformar somas
em produtos, f(x + y) = f(x) · f(y). Sua representação grá�ca se encontra na �gura
(1.6).
Figura 1.6: Grá�co da função exponencial.
33
A sua injetividade decorre da sua monotonicidade. Se a > 1, por exemplo, então
x > y ⇒ ax > ay e x < y ⇒ ax < ay, portanto x 6= y ⇒ ax 6= ay.
Observa-se da de�nição das funções logarítmicas f(x) = logxa e exponencial f(x) =
ax e devido a bijetividade de ambas, que são funções inversas, pois, o domínio R∗+ da
função logarítmica é o conjunto imagem da exponencial e o domínio R da exponencial
é o conjunto imagem da logarítmica.
Gra�camente, pode-se observar que os grá�cos são simétricos em relação a reta
bissetriz dos quadrantes ímpares. Ver �guras (1.7) e (1.8).
Os grá�cos estão representados abaixo, nos dois casos:
Figura 1.7: Grá�cos das funções exponencial e logarítmica para base > 1.
34
Figura 1.8: Grá�cos das funções exponencial e logaritmica para 0 < base < 1.
35
Capítulo 2
Leis de Crescimento e Decaimento
Exponencial
Muitas vezes uma quantidade física varia com o tempo e a magnitude dessa quanti-
dade no instante t pode ser expressa por q(t). Sua derivada q′(t) é a taxa de variação de
q(t) em relação ao tempo. Em várias aplicações essa taxa é diretamente proporcional
à magnitude da quantidade no tempo t, isto é,
q′(t) = k · q(t), (∗∗)
em que k é uma constante real.
Em problemas aplicados costuma-se expressar a equação acima em termos de dife-
renciais. Assim, q′(t) = dy
dt
e y = q(t). Logo, substituindo em (∗∗)
dy
dt
= ky ⇔ dy = kydt
36
Dividindo-se ambos os membros por y
1
y
dy = kdt
Integrando-se ambos os membros,∫
1
y
dy =
∫
kdt
e admitindo y > 0,
ln y = kt+ b
para alguma constante b. Segue que
y = ekt+b = ekt · eb.
Se y0 denota o valor inicial de y, então para t = 0,
y0 = e
0 · eb = eb
e assim a solução y = ekt · eb pode ser escrita como
y(t) = y0e
kt.
Essa função é a lei de crescimento exponencial se k > 0 e é a lei de decaimento expo-
nencial se k < 0. Tal função é o modelo matemático que mais se aproxima da realidade
quando a situação expressa uma grandeza cuja taxa de crescimento (ou decréscimo) é
proporcional à quantidade daquela grandeza existente num dado momento.
A seguir serão apresentadas aplicações dessas leis.
2.1 Capitalização Contínua (Juros Compostos)
Um capital c0, empregado a uma taxa anual de i%, renderá, ao �nal de um ano,
juros no valor de c0i
100
. Fazendo α = i
100
, decorrido um ano, o novo capital c será
37
c = c0 + αc0, c = c0(1 + α), ou seja, no �nal de um ano, o capital será o valor do ano
anterior multiplicado pela constante 1 + α. O montante acumulado ao �nal de cada
ano será:
Primeiro ano: M = c0(1 + α)
Segundo ano: M = c0(1 + α)(1 + α) = c0(1 + α)2
Terceiro ano: M = c0(1 + α)2(1 + α) = c0(1 + α)3
...
...
...
t-ésimo ano: M(t) = c0(1 + α)t
em que α = i
100
e t devem se referir ao mesmo período de tempo. Por exemplo, se t é o
número de anos, i deve ser a taxa anual; se t for o número de meses de uma aplicação
�nanceira, i deve ser a taxa de juros mensal.
Se tomamos uma fração 1
n
do ano, o capital c0, empregado à mesma taxa de juros,
renderá αc0
n
de juros, de modo que, decorrida a fração 1
n
do ano, o capital c se transforma
em
c1 = c0 +
αc
n
= c0
(
1 +
α
n
)
Prosseguindo assim, se dividirmos o ano em n partes iguais e, depois de decorrido
cada um desses períodos de 1
n
do ano, capitalizarmos os juros rendidos, reinvestindo
sucessivamente à mesma taxa, ao �nal de um ano, obteremos um capital maior, ou
seja, c0
(
1 + α
n
)n
.
Logo, parece que se dividirmos um ano em um número cada vez maior de intervalos
de tempo, poderá se aumentar ilimitadamente o capital. Então, fazendo n tender a
in�nito,
c = c0 lim
n→∞
(
1 +
α
n
)n
(2.1.1)
38
Usando α
n
= 1
x
, se n→∞, x→∞ e substituindo em (2.1.1), tem-se:
c = c0 lim
x→∞
(
1 +
1
x
)αx
= c0 lim
x→∞
[(
1 +
1
x
)x]α
.
Como e = limx→∞(1 + 1x)
x, o capital em um ano de aplicação será, c = c0eα.
O mesmo raciocínio é válido se considerarmos o capital c0 aplicado durante t anos,
à mesma taxa de i%. Dividindo t anos em n partes iguais, resgatando e reinvestindo n
vezes, ao �nal de t anos obteríamos c0
(
1 + αt
n
)n
. Fazendo n crescer inde�nidamente,
M(t) = c0 · lim
n→∞
(
1 +
αt
n
)n
,
M(t) = c0 · eαt
que é o montante da aplicação do capital c0, durante t anos, a uma taxa de i% ao ano,
α = i
100
, de juros compostos acumulados continuamente.
A função M(t) é representada pelo grá�co abaixo.
Figura 2.1: Montante para juros compostos.
Comparando-se os dois modelos de juros compostos apresentados,M(t) = c0(1+α)t
39
e M(t) = c0eαt, o segundo modelo é aquele que mais se aproxima do que realmente
aconteceria.
Por exemplo, tomando-se c0 = 1000, i = 1% ao mês calcula-se o montante em um
ano de aplicação.
Pelo primeiro modelo, o montante real será:
M(12) = 1000(1 + 0, 01)12 ≈ 1126, 82
Pelo segundo modelo:
M(12) = 1000 · e0,01·12 = 1000 · e0,12
Usando e ≈ 2, 71828, M(12) ≈ 1127, 49.
Caso a capitalização seja feita diariamente, teremos:
M = 1000
(
1 +
0, 01
30
)12·30
≈ 1127, 47
Caso a capitalização seja feita por hora, teremos:
M = 1000
(
1 +
0, 01
30 · 24
)12·30·24
≈ 1127, 49
Quanto menor o intervalo de tempo da capitalização, ou seja, quanto maispróximo
da continuidade, mais o modelo neperiano se aproxima do real.
2.2 Crescimento Populacional
O crescimento populacional sob condições ideais é outro fenômeno que exibe um
crescimento exponencial.
40
Quando dizemos que uma população cresce à taxa de i% ao ano, isto signi�ca
que ela aumenta, a cada ano, i
100
= α do seu valor. Seja P0 a população num certo
momento. Ao �nal de t anos seu valor será
P (t) = P0(1 + α)
t.
Em geral, a população envolve um número muito grande de indivíduos, sejam os
habitantes de uma cidade ou país ou as bactérias de uma certa colônia. Em vista disso,
é razoável considerar a população p(t) como uma função que varia continuamente com
o tempo. Então, a variação da população ao longo do tempo é proporcional a própria
população. Logo, usando-se o modelo neperiano para expressar tal população, obtemos
P (t) = P0e
kt, em que k é a taxa de crescimento exponencial.
O grá�co abaixo representa a função P (t).
Figura 2.2: Grá�co da função P (t).
41
2.3 Decaimento Radioativo
Os átomos de uma substância radioativa (rádio, urânio, plutônio, etc) possuem uma
tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra
substância menos radioativa com o passar do tempo.
Isso acontece de tal maneira que num determinado instante, a quantidade de matéria
que se desintegra é proporcional à massa da substância original presente no corpo
naquele instante.
Cada substância radioativa tem sua constante de desintegração α que é determinada
experimentalmente a partir da meia vida da substância, que é o tempo necessário para
que metade da massa de um corpo formado por aquela substância, se desintegre.
Como a desintegração se processa continuamente ao longo do tempo, a massa M(t)
no instante t , é uma lei de decaimento exponencial, dada por
M(t) = M0e
−αt,
em que M0 é a massa no momento inicial.
Para se calcular a meia vida, basta se considerar M(t) = Mo
2
. Logo,
M0
2
= M0e
−αt0
1
2
= e−αt0
ln
1
2
= ln e−αt0
− ln 2 = −αt0
t0 =
ln 2
α
em que t0 é a meia vida de uma substância cuja taxa de desintegração é α.
A função M(t) é representada pelo grá�co da �gura (2.3).
Uma técnica usada para determinar a idade de fósseis ou artefatos antigos é a
�Datação por carbono� (Método do Carbono 14).
42
Figura 2.3: Grá�co do decaimento radioativo.
O dióxido de carbono, CO2, existente no ar, contém além do isótopo estável (12C),
o isótopo radioativo (14C). As plantas absorvem o dióxido de carbono do ar, o que
signi�ca que a razão entre as massas de 14C e 12C em uma planta viva (ou em um animal
que se alimente dessa planta) é o mesmo que no ar. Quando uma planta ou animal
morre deixa de absorver CO2, a massa de 12C continua a mesma após a morte, mas a
massa do carbono-14 diminui exponencialmente devido ao decaimento radioativo, o que
faz com que a razão entre as massas de 14C e 12C também diminua exponencialmente.
É razoável supor que a razão R0 entre as massas de 14C e 12C na atmosfera se
manteve praticamente constante nos últimos milhares de anos, logo, a razão entre as
massas de 14C e 12C em uma amostra de um fóssil ou de um artefato, é dada por
R(t) = R0e
−kt. Como a meia vida do carbono 14C é de 5570 anos, comparando-se R(t)
com R0 é possível estimar a idade da amostra.
43
Exemplo. Num castelo inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos
a�rmavam ser a famosa Távola Redonda do Rei Arthur, que viveu no século V. Por
meio de um contador Geiger (instrumento que mede radioatividade), constatou-se que
a massa de 14C existente hoje na mesa é 0,894 vezes a massa de 14C, M0, que existe
num pedaço de madeira viva com o mesmo peso da mesa, logo, M0 é também a massa
de carbono 14C que existia na mesa quando ela foi feita há t anos. Ou seja, M
M0
= 0, 894
e calculando-se a taxa de desintegração α do 14C,
α =
ln 2
5570
= 0, 0001244
Usando M = M0e−αt, obtemos que t = −
ln(0, 894)
0, 0001244
= 901 anos.
Se a mesa fosse mesmo a Távola Redonda, deveria ter mais de 1500 anos.
2.4 Resfriamento de um corpo
A lei de resfriamento de Newton a�rma que, a diferença de temperatura, T0 − t0,
entre um objeto e o meio ambiente que o contém, decresce com uma taxa de variação
proporcional a essa própria diferença. Logo, é uma lei de decaimento exponencial,
análoga a lei da desintegração radioativa, que pode se expressar por
T (t) = t0 + (T0 − t0)e−kt
em que t0 é a temperatura ambiente, T0 é a temperatura do objeto no momento em que
foi colocado no ambiente, k é uma constante, que depende do material que constitui o
44
objeto e T (t) é a temperatura do objeto no instante t.
Observa-se que depois de muito tempo que o objeto foi colocado nesse ambiente,
sua temperatura tende a se igualar com a temperatura do ambiente, t0. Ou seja,
lim
t→∞
T (t) = lim
t→∞
[t0 + (T0 + t0)e
−kt]
lim
t→∞
T (t) = lim
t→∞
[
t0 +
T0 − t0
ekt
]
Como ekt →∞, T0−t0
ekt
→ 0, logo, limt→∞ T (t) = t0.
O grá�co da �gura (2.4) representa a função T (t).
Figura 2.4: Grá�co do resfriamento de um corpo.
Exempli�cando o modelo matemático de resfriamento de um corpo, suponha que
uma xícara de café , inicialmente a 60◦C, seja colocada num ambiente de temperatura
20◦C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 30◦C. Deseja-se
calcular a temperatura do café 50 minutos após o café ser servido.
45
Utilizando-se a função T (t) = t0 + (T0 − t0)e−kt e substituindo-se as informações:
T (t) = 20 + 40 · e−kt
T (20) = 20 + 40 · e−20k = 30.
Logo,
e−20k =
1
4
∴ e−10k =
1
2
.
Calculando T (50):
T (50) = 20 + 40.e−50
= 20 + 40(e−10k)5
= 20 + 40.
(
1
2
)5
T (50) = 21, 25◦C.
A tendência é que para tempos maiores que 50 minutos a temperatura do café se
aproxime da temperatura ambiente de 20◦ C.
T (60) ≈ 20, 62
T (80) ≈ 20, 15
T (100) ≈ 20, 03.
2.5 Circuito Elétrico
Ao aplicar certa tensão elétrica E num elemento condutor de eletricidade (ver �gura
2.5 ), produz-se uma corrente elétrica de intensidade I. Essa intensidade I não atinge
46
um valor �xo imediatamente. Todo circuito tem um certo coe�ciente de auto indutância
L, assim, se aplicarmos ao circuito uma força eletromotriz E, ele reagirá com uma força
contra � eletromotriz de intensidade LdI
dt
, de modo que a força eletromotriz resultante
será F (t) = E − LdI
dt
.
Figura 2.5: Circuito elétrico.
Pela Lei de Ohm, tem-se
F = RI ⇔ RI = E − LdI
dt
t
em que R é a resistência do circuito.
RI = E − L dI
dT
L
dI
dt
= E −RI
LdI + (RI − E)dt = 0
Fazendo dI = dx⇔ x = I e dt = dy ⇔ y = t, temos
Ldx+ (Rx− E)dy = 0
47
Sendo
L = M = Px e Rx − E = N = Py
My = 0
Nx = R
〉
Nx −My
M
=
R
L
= Py = 0, λ = e
∫
R
L
dy = e
R
L
y
Le
R
L
ydx+ e
R
L
y(Rx− E)dy = 0
My = L.e
R
L
y.
R
L
Nx = R.e
R
L
y
φ =
∫
Le
R
L
ydx = Lxe
R
L
y + g(y)
φy = Lxe
R
L
y.
R
L
+ g′(y) = Rxe
R
L
y − Ee
R
L
y ⇒
g′(y) = −Ee
R
L
y
g(y) =
∫
−Ee
R
L
ydy = −Ee
R
L
y.
L
R
f = Lxe
R
L
y − EL
R
e
R
L
y = k
Lxe
R
L
y = k +
EL
R
e
R
L
y
Lxe
R
L
y = k +
EL
R
e
R
L
y
−EL
R
e0 = k ⇔ k = −EL
R
LIe
R
L
t =
EL
R
e
R
L
t − EL
R
=
E
R
(
e
R
L
t − 1
)
I =
E
R
(
1− e−
R
L
t
)
Resolvendo a equação diferencial acima e sabendo-se que I(0) = 0, obtém-se
I(t) =
E
R
(
1− e
−Rt
L
)
que é a função que descreve a intensidade da corrente ao longo do tempo enquanto o
circuito esta ligado.
48
Figura 2.6: Grá�co da intensidade da corrente elétrica.
A função I(t) está representada gra�camente na �gura (2.6).
Em particular, num circuito em que E = 10, L = 10 e R = 2Ω, após 10 segundos
de ligado, a intensidade da corrente será
I =
10
2
· (1− e−0,2·10)
I = 5 ·
(
1− 1
e2
)
.Usando e ≈ 2, 7.
I = 4, 31A.
2.6 Intensidade Luminosa
As plantas aquáticas são encontradas a até alguns metros de profundidade da su-
perfície de lagos e oceanos. Isso é explicado pelo fato da intensidade de luz I diminuir
49
exponencialmente com a profundidade x.
Segundo a lei de Bouger � Lambert, constatou-se que a taxa de variação da in-
tensidade luminosa à determinadaprofundidade x, isto é dI
dx
, é proporcional a própria
intensidade luminosa.
Logo, obtém-se a função I(x) = I0e−kx, em que k é o coe�ciente de absorção da
água, que depende do comprimento de onda da luz e da densidade da água.
O grá�co de I(x) está representado abaixo
Figura 2.7: Grá�co da intensidade luminosa I(x).
50
2.7 Curva de Aprendizagem
É possível se obter uma relação entre a e�ciência com o qual um indivíduo realiza
uma tarefa e o tempo de treinamento ou experiência na atividade considerada.
Por exemplo, a produtividade de um operário na linha de montagem de uma fábrica,
cresce rapidamente nos primeiros treinamentos. Mas a taxa de crescimento dessa pro-
dutividade diminui com o tempo e o nível de produtividade do funcionário aproxima-se
de um certo nível �xo devido às limitações do trabalhador e da máquina.
Devido a essa característica, o grá�co da função Q(t) = B−Ae−kt é chamado curva
de aprendizagem. Na função A, B e k são constantes positivas e Q(t) é o nível de
aprendizado no instante t.
Para traçar o grá�co, observe que
Q(0) = B − A
Q′(t) = kAe−kt
Como A e k são constantes positiva, Q′(t) > 0 para todo valor de t. Portanto, Q(t)
é uma função crescente de t.
Observa-se também que:
= lim
t→∞
Q(t) = lim
t→∞
(B − Ae−kt)
= lim
t→∞
B − lim
t→∞
Ae−kt
= B
e assim Q(t) = B é uma assíntota horizontal da função. Isto é, a medida que t
cresce ilimitadamente o valor de Q(t) cresce e se aproxima do número B.
Restringindo-se o domínio da função ao intervalo [0,∞), o grá�co de Q(t) é repre-
sentado na �gura (2.8).
51
Figura 2.8: Grá�co da função Q(t) = B − Ae−kt.
2.8 Logística de Crescimento
O grá�co da função Q(t) =
B
1 + Ae−kt
, em que A, B e k são constantes positivas é
chamado curva logística (ou sigmoidal).
Observa-se pela função que para pequenos valores de x, a curva cresce rapidamente
mas, para valores grandes de x, passa a crescer mais lentamente, aproximadamente
de uma assíntota horizontal, como a curva de aprendizado. Essa assíntota representa
um �nível de saturação� da grandeza representada e é chamada de capacidade de
suporte da grandeza.
Assim, por exemplo nos modelos de população a capacidade de suporte é o número
máximo de indivíduos que o ambiente pode suportar. A população se estabilizaria num
nível compatível com o que o ambiente é capaz de oferecer para sobrevivência dessa
52
população. Modelos que descrevem a propagação de boatos e epidemias são outros
exemplos da aplicação da curva logística.
A seguir serão calculados alguns elementos usados na construção do grá�co da
função Q(t).
Q(0) =
B
1 + Ae0
=
B
1 + A
Q′(t) =
−A · e−kt · (−k) ·B
(1 + Ae−kt)2
=
ABke−kt
(1 + Ae−kt)2
Como Q′(t) > 0 para qualquer valor de t, a função é monotonicamente crescente.
Veri�cando-se se há um ponto de in�exão:
Q′′(t) =
ABk2e−kt(Ae−kt − 1)
(1 + Ae−kt)3
igualando-se Q′′(t) = 0, obtém-se apenas uma raiz:
Ae−kt − 1 = 0
e−kt =
1
A
ln e−kt = ln
(
1
A
)
−kt = − lnA
t =
lnA
k
Sinal de Q′′(t)
Então para t = lnA
k
, há um ponto de in�exão (de �para cima� para �para baixo�).
Não há assíntotas verticais, pois, Q(t) existe para qualquer valor de t > 0.
lim
t→∞
Q(t) = lim
t→∞
B
1 + Ae−kt
=
B
1 + A · 0
= B
53
Logo, a reta y = B é uma assíntota horizontal. O grá�co está representado na
�gura (2.9).
Figura 2.9: Grá�co da logística de crescimento.
54
Capítulo 3
Aplicações da Função Logarítmica
3.1 Altitude de uma localidade
A pressão atmosférica a uma altura h, em relação ao nível do mar, é o peso de uma
coluna vertical de ar cuja base é horizontal, tem altura h e área igual a 1.
Prova-se, segundo a Lei de Boyle, que a pressão a uma altitude h é dada por
p(h) = p0e
−αh, em que p0 é a pressão atmosférica ao nível do mar e α é uma constante.
A partir do cálculo da pressão atmosférica p, usando-se um barômetro, é possível
se determinar a altura h.
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Tem-se:
p = p0e
−αh ⇔ p
p0
= e−αh ⇔
ln
(
p
p0
)
= ln e−αh ⇔
ln
(
p
p0
)
= −αh⇔
h = − 1
α
ln
(
p
p0
)
⇔
h(p) =
1
α
ln
(
p0
p
)
A função h(p) apresenta domínio (0, p0] e conjunto imagem [0,+∞). Seu grá�co
está representado abaixo.
Figura 3.1: Função pressão atmosférica.
56
3.2 Sismologia
A primeira escala utilizada para quanti�car o nível de energia liberada por um
sismo, foi desenvolvida em 1935 pelos sismólogos Charles Richter e Beno Gutemberg.
Tal escala �cou conhecida como Escala de Magnitude Local ou Escala Richter.
Como a energia liberada (E) por um terremoto é um número muito grande, utilizou-
se uma escala logarítmica de base 10 e o terremoto é quanti�cado por um único número,
chamado magnitude.
A magnitude na Escala Richter é dada por
M =
2
3
log(
E
E0
)
em que E0 é uma energia liberada por um pequeno terremoto e é usado o valor E0 =
104,4J como referência.
O grá�co dessa função é apresentado abaixo.
Figura 3.2: Magnitude na escala Richter.
Hoje em dia se utiliza uma outra escala, também logarítmica de base 10, porém mais
precisa que a escala de Richter. É a Escala de Magnitude de Momento (MMS)
57
que leva em conta a área de ruptura da falha geológica onde ocorrem o terremoto e o
deslocamento médio dessa área.
O símbolo da escala de magnitude do momento éMw, em que w signi�ca o trabalho
mecânico realizado. Mw é um número adimensional de�nido por
Mw =
2
3
log(M0)− 10, 7
em que M0 é o momento sísmico.
O grá�co de Mw é apresentado abaixo
Figura 3.3: Escala de Magnitude de momento.
3.3 Nível de Intensidade Sonora
A altura de um som, experimentada pelo ouvido humano, baseia-se no nível de
intensidade.
O nível de intensidade sonora, N , medido em decibéis (dB), em homenagem a Ale-
xander Graham Bell, é de�nido em escala logarítmica pelo fato de que o ser humano
58
possui a peculiaridade de que sua sensibilidade varia linearmente enquanto que o es-
tímulo respectivo varia exponencialmente. O nível de intensidade sonora N é dado
por:
N = 10 log
(
I
I0
)
em que I e I0 são intensidades sonoras, em w/m2, que queremos comparar. Nor-
malmente escolhe-se I0 = 10−12w/m2 que é a intensidade sonora mais baixa da faixa
audível para um ser humano.
O grá�co da função N(I) é dado abaixo
Figura 3.4: Função da intensidade sonora.
3.4 Cálculo do pH
Os químicos usam um número denotado por pH (potencial hidrogêniônico)
para descrever quantitativamente a acidez, neutralidade ou basicidade de uma solução
59
aquosa.
O termo pH foi introduzido em 1909, pelo bioquímico Peter Lauritz Sorensen
(1868 − 1939) com o objetivo de facilitar seus trabalhos no controle da qualidade de
cervejas.
Por de�nição, pH = −log[H+], em que [H+] é a concentração dos íons hidrogênio,
em mols por litro, na solução.
Se o pH é menor que 7 indica que a solução é ácida. Quanto mais próximo de zero,
mais ácida é a solução.
Se o pH = 7, a solução é neutra.
Se o pH é maior que 7, indica a alcalinidade da solução. Quanto mais distante de
7, mais básica é a solução.
A tabela abaixo informa o pH de algumas substâncias.
Substância pH
Vinagre 2
Refrigerante tipo cola 2,5
Sumo da laranja 3,5
Cerveja 4,5
Café 5
Leite 6,5
Água pura 7,0
Sangue 7,4
Água do mar 8,0
Sabonete 9 a 10
Soda Cáustica cola 13,5
60
A função pH possui domínio (0, 1), conjunto imagem (0,+∞) e o grá�co está re-
presentado abaixo.
Figura 3.5: Função pH.
61
Capítulo 4
Sugestão de Aula
Para que os alunos conheçam as aplicações das funções exponenciais e logarítmicas,
despertando assim a curiosidade de saber em que situações tais funções possam ser
empregadas, sugiro que o professor após apresentar o logaritmo com suas propriedades
operatórias, explicar a função logarítmica e a função exponencial, com seus respectivos
grá�cos, possa fazer a seguinte aula: que os alunos, em sala de aula, pesquisem sobre
essas funções apresentando cada um deles, pelo menos, três aplicações delas nas diversas
áreas do conhecimento. Tal pesquisa pode ser feita em livros, enciclopédias, pela
internet, ou outro meio. Após apresentar essas aplicações, cada alunoirá propor um
exemplo de cada uma delas e resolverá esses exercícios, entregando em seguida ao
professor. Na aula seguinte o professor irá resolver no quadro, apresentando para toda
a turma, alguns dos melhores exercícios propostos pelos alunos, discutindo cada um
deles, e mostrando os grá�cos das funções.
Dessa forma cada aluno poderá vislumbrar a importância dessas funções e a partir
dos problemas propostos conhecer seus modelos matemáticos e seus grá�cos, tendo
62
uma noção do comportamento dessas funções.
63
Capítulo 5
Considerações Finais
No decorrer da evolução humana, devido às necessidades momentâneas ou para dar
�asas� a sua criatividade e genialidade, o homem procurou desenvolver ferramentas ma-
temáticas que propiciassem novos conhecimentos ou que saciassem tais necessidades.
Foi assim com a criação das tábuas de logaritmos, que propiciou um avanço extraordi-
nário nos estudos sobre astronomia no século XVI e simpli�cou os cálculos aritméticos
nos três séculos seguintes.
Com a necessidade do homem tentar prever a relação que existe entre duas ou mais
grandezas, pôde-se modelar tal relação por uma fórmula matemática que expressasse,
de forma precisa ou próxima disso, essa relação, podendo o homem tomar a melhor
decisão em cada caso.
Com o auxílio das funções logarítmicas e exponenciais, foi possível modelar ou
dimensionar vários fenômenos que até então não eram de domínio do conhecimento
humano. Tal capacidade de tentar entender ou explicar esses fenômenos faz com que
o homem torne a sua existência mais adequada, melhorando sua relação com o meio
64
ambiente em que vive.
Fenômenos físicos como: o resfriamento de um corpo, a intensidade da corrente
elétrica num circuito, a variação da intensidade luminosa, o cálculo da altitude em
função da pressão atmosférica e o cálculo do nível da intensidade sonora; químicos,
como o decaimento da massa de materiais radioativos e o cálculo do pH das substâncias;
biológicos, como a previsão do crescimento de populações; econômicos, como o cálculo
de juros contínuos, a modelagem de situações de aprendizagem e logística; e geográ�cos,
como, por exemplo, a quanti�cação de abalos sísmicos, já não são mais um mistério
para o homem, pois, com o auxílio das funções estudadas, pode-se prever com certa
precisão cada um desses fenômenos.
Toda ferramenta matemática apresentada nesse trabalho continuará sendo usada
por novas gerações de cientistas para descrever fenômenos que ainda não são de domí-
nio humano ou fenômenos que não foram descobertos. Tudo isso, com o objetivo de
melhorar a qualidade de vida da Humanidade.
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Referências Bibliográ�cas
[1] ÁVILA, Geraldo, Cálculo 1 - Funções de uma variável, Livros técnicos e cien-
tí�cos Editora S.A., 1991.
[2] BOYLER, Carl B., História da Matemática , São Paulo, 1991.
[3] HOFFMANN, Laurence D. e Bradley, Gerald L., Trad. Ronaldo
Sérgio de Biasi, Cálculo um curso moderno e suas aplicações, 10o edição. Edi-
tora LTC, São Paulo, 2010.
[4] LIMA, Elton Lages , Logaritmos ,Coleção do Professor de Matemática, SBM,
Rio de Janeiro, 1991.
[5] LIMA, Elton Lages , Números e Funções reais ,Coleção do PROFMAT. SBM,
Rio de Janeiro, 2013. 1◦ edição.
[6] SWOKOWSKI, Earl W. Trad Alfredo Alves de Farias, Cálculo com
geometria analítica , EVolume 1 Editora Makron books, 1995.
[7] TAN, S. T., trad Edson de faria, Matemática Aplicada à administração e
economia, Ed. Pioneira � Thowson Learning, 2001.
[8] Em http://wikipedia.org/wiki/�le:EscalaRichter. Acesso em 19 de janeiro de 2014.
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[9] Em http://wikipedia.org/wiki/�le:pH. Acesso em 19 de janeiro de 2014.
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