Matemática para Ensino Superior Funções Exponenciais

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Funções Exponenciais 
 
A função exponencial é uma função definida por , com . 
Primeiramente vamos observar a relação básica da função exponencial dada por: 
 
Também observaremos que: 
i) se é crescente; 
ii) se é decrescente. 
Vejamos também algumas propriedades das funções exponenciais. Se: 
1. e for monótona injetiva; 
2. . 
então é uma função exponencial. 
 Observe que utilizando a propriedade fundamental das funções exponenciais, temos: 
 
Desta forma temos que: 
 
Logo deve-se ter que: 
 
pois , para . 
A função exponencial nunca pode ser anular. Suponhamos que . Logo, pela propriedade fundamental das 
funções exponencial teríamos: 
 
fato este que não pode ocorrer pois desta forma a função se anularia em todos os pontos. A função que se anula em 
todos os pontos é a função identicamente nula, o que não se trata o caso pois sabemos que e estritamente crescente ou 
decrescente. 
Outro fator importante de ser lembrado é que esta função é sempre positiva. Vejamos, seja . 
Aplicando a propriedade fundamental da função exponencial temos: 
 
Desta forma podemos definir a função do exponencial da forma . 
Vamos agora determinar o valor de . Para isto temos que tomar: 
 
Neste momento devemos determinar o valor de . Podemos então resolver do seguinte modo: 
 
Já sabemos que a função exponencial nunca se anula. Então podemos dividir ambos membros desta igualdade por 
. Daí temos: 
 
Desta forma outra característica importante da função exponencial é . 
Retornando ao valor de , temos: 
 
Em outras palavras temos que: 
 
Neste momento iremos determinar o valor de , com e . Tomemos . Aplicando a 
propriedade fundamental das funções exponenciais temos: 
 
Este resultado é análogo a dizermos que 
 
Em outras palavras, temos: 
 
Finalmente temos que analisar o caso dos valores de , ou seja, os valores de serem irracionais. 
O professor Elon Lages Lima apenas cita o caso no vídeo mas não entra em detalhes. 
Também é interessante destacar as chamadas funções do tipo exponencial que é uma função definida 
por , com e . As principais características deste tipo de função são: 
1. é monótona injetiva; 
2. . 
Outra maneira de escrevermos a segunda característica é: 
 
Tais resultados indicam que a função exponencial DEPENDE APENAS DOS VALORES ATRIBUÍDOS À .