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Nesta webaula conheceremos o método de Lagrange que consiste em aproximar uma função usando polinômios.
Método de Lagrange
Vamos considerar dados   pontos distintos   e  . Para
cada   seja:
 
Ou resumidamente,
 
Podemos notar que:
a.   ,
b.   ,
c.   é um polinômio de grau .
(n  +  1) x0,  x1,  .  .  .  ,  xn yi  =  f (xi) ,  i  =  0, 1, .  .  .  ,  n
k  =  0, 1, .  .  .  ,  n
Lk(x) =
(x − x0)(x − x1). . . (x − xk−1)(x − xk+1). . . (x − xn)
(xk− x0)(xk− x1). . . (xk− xk−1)(xk− xk+1). . . (xk− xn)
Lk (x) = ∏
n
i=0,i≠k ,  k = 0,1, … ,  n.
x−xi
xk−xi
Lk (xk)   =  1
Lk (xj) =  0,  j ≠ k
Lk (x) n
Assim, temos o seguinte teorema:
Teorema (Lagrange): Sejam   pontos distintos e  ,   dados.
Então, existe um polinômio   de grau menor ou igual a   que interpola   nesses pontos. Além disso, 
 é dado por:
 
onde:
 
x0,  x1,  .  .  .  ,  xn yi  =  f (xi) i  =  0, 1, .  .  .  ,  n
pn (x) n f pn (x)  
pn (x)   =  y0L0 (x)   +  y1L1 (x)   +   ⋅   ⋅   ⋅   +  ynLn (x) ,
Lk (x) = ∏
n
i=0,i≠k ,  k = 0,1, … ,  n.
x−xi
xk−xi
E o erro? Como podemos estimá-lo com base no método de Lagrange?
Vamos considerar   nós distintos   no intervalo   e   de uma função.
Então, para cada   existe  , tal que:
 
Assim, o erro para o polinômio de Lagrange é dado pela diferença 
(n  +  1) x0,  x1,. .  .  ,  xn [a,  b] f : [a,  b]   →  R
x  ∈   [a,  b] ξx ∈ (a,  b)
f (x) =  pn (x) + (x  −  x0) (x  −  x1) ⋅   ⋅   ⋅   (x  −  xn) .
f (n+1)(ξx)
(n + 1)!
|f(x) − pn(x)|
Para �nalizar, é importante enfatizar que o métodos de Lagrange é utilizado nas mais diversas áreas. No âmbito
computacional, por exemplo, é possível escrever um código no software Maple que pode ser utilizado para
encontrar o polinômio interpolador de Lagrange. Assim, a habilidade na utilização desse método poderá facilitar
Métodos Matemáticos
Interpolação
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nas resoluções de situações problemas.
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