Colisão inelástica

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Colisão inelástica 
Turma: PU7B 
Autor: Thais de Paula Avelar 
Data: 11/03/2021 
Resultados 
O experimento tratado neste relatório retrata uma colisão inelástica. Como esse 
procedimento foi feito à distância, os dados obtidos foram fornecidos pelo 
professor Leonardo Teixeira, como é possível observar na Tabela 1. 
Tabela 1 – Dados obtidos no experimento 
Fonte: Autoria própria 
Os dados da Tabela 1 foram utilizados para calcular a altura média alcançada a 
cada quique realizado pela bola de borracha, e a incerteza desse valor. Para 
calcular a altura foi feita uma média aritmética entre os valores medidos no 
experimento, e a incerteza foi obtida através da Equação 1. 
∆ℎ = [
1
𝑛(𝑛−1)
× ∑ (ℎ𝑖 − ℎ̅)²
𝑛
𝑖=1 ]
1
2⁄
 (1) 
Em que ∆ℎ é a incerteza da altura, 𝑛 é o número de elementos, ℎ𝑖 é a altura 
obtida e ℎ̅ é a altura média. 
O resultado da altura média para cada observação e sua incerteza podem ser 
vistos na Tabela 2. 
Tabela 2 – Altura média pós colisão 
Altura pós colisão (m) 
(±0,01) 
1 1,55 
2 1,20 
3 0,92 
4 0,73 
5 0,52 
6 0,42 
Fonte: Autoria própria 
Observação 
Altura pós colisão (m) 
h1 h2 h3 h4 h5 h6 
1 1,57 1,19 0,90 0,75 0,49 0,44 
2 1,53 1,23 0,94 0,69 0,53 0,43 
3 1,56 1,19 0,90 0,74 0,56 0,42 
4 1,57 1,17 0,91 0,73 0,52 0,43 
5 1,52 1,20 0,93 0,75 0,51 0,39 
A construção do gráfico deve ser feita de modo a mostrar a altura que a bola 
atinge em função dos quiques que realiza. Para isso, é possível utilizar a 
Equação 2. Foi necessário fazer sua linearização para gerar o gráfico, como 
mostrado na Equação 3. 
ℎ𝑛 − ℎ𝑜 × 𝑟
2𝑛 (2) 
ln(ℎ𝑛) = ln(ℎ𝑜) + 2 ln(𝑟) 𝑛 (3) 
Em que ℎ𝑛 é a altura alcançada após o quique, ℎ𝑜 é a altura da qual a bola é 
solta, 𝑟 é o coeficiente de restituição e 𝑛 é o número de quiques. 
Para aplicar um ajuste linear no gráfico, a Equação 3 leva em consideração o 
logaritmo natural das alturas alcançadas pela bola. Esse valor aplicado a cada 
altura é apresentado pela Tabela 3. 
Tabela 3 – Logaritmo natural das alturas alcançadas 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
A Tabela 3 foi utilizada para obter o gráfico, construído através do software 
SciDAVis. O gráfico é apresentado pela Figura 1. 
Figura 1 – Gráfico obtido a partir da Tabela 3 
 
Fonte: Autoria própria 
n Ln(𝒉𝒏) 
1 0,43825 
2 0,18232 
3 -0,08338 
4 -0,31471 
5 -0,65393 
6 -0,86750 
Ao analisar a equação obtida com o gráfico da Figura 1 e a Equação 3 é possível 
observar uma semelhança. Ao compará-las, pode-se aferir que o x representa o 
𝑛, o y equivale ao ln(ℎ𝑛) o parâmetro A corresponde a 2ln(𝑟) e o parâmetro B é 
o ln(ℎ𝑜). Essas relações estão representadas abaixo. 
1. x = 𝑛 
2. y = ln(ℎ𝑛) 
3. A = 2ln(𝑟) 
4. B = ln(ℎ𝑜). 
O coeficiente de restituição pode ser obtido através da relação 3. Ao fazer os 
cálculos, obtém-se o valor de 0,876. Por se tratar de um procedimento 
experimental, o resultado calculado está sujeito a certa incerteza. O valor dessa 
incerteza foi calculado a partir da Equação 4. 
∆𝑟 = √∆𝐴2 × (
𝑑𝑟
𝑑𝐴
)
2
 (4) 
Em que ∆𝑟 é a incerteza do coeficiente de restituição, r é a constante de 
restituição, A é o parâmetro A obtido na construção do gráfico e ∆𝐴 é sua 
incerteza. 
O valor obtido para a incerteza de 𝑟 foi de (±0,023). Assim, o valor da constante 
de restituição é de (0,876±0,023). 
 
Discussão de resultados 
A partir do resultado encontrado para a constante de restituição é possível 
perceber que houve perda de energia cinética durante o experimento. Isso 
porque, ao ser abandonada de uma altura ℎ𝑖 em relação ao chão, a bola se choca 
com o solo e parte de sua energia é dissipada. Quando não há dissipação de 
energia o coeficiente de restituição equivale a 1. Como calculado neste relatório, 
o coeficiente de restituição (𝑟) desse experimento vale (0,876±0,023). Ao subtrair 
𝑟 de 1, obtém-se o valor de 0,124 ou 12,4% para a energia cinética dissipada. 
O coeficiente de restituição se apresenta como uma proporção entre a altura 
alcançada pelo objeto após a colisão e a altura inicial, como enunciado pela 
relação a seguir: 
1. 𝑟2 =
ℎ1
ℎ𝑜
=
ℎ2
ℎ1
=
ℎ3
ℎ2
=
ℎ4
ℎ3
… 
Ao analisar a relação acima é possível obter ainda mais relações, como 
apresentado abaixo. 
1.1. ℎ1 = 𝑟² × ℎ𝑜 
1.2. ℎ2 = 𝑟² × ℎ1 
1.3. ℎ3 = 𝑟² × ℎ2 
 
Ao substituir ℎ1 pelo valor da relação 1.2 , obtém-se a relação 1.4. 
1.4. ℎ2 = 𝑟² × 𝑟² × ℎ𝑜 
Fazendo o mesmo para a relação 1.3, relativa ao ℎ3, obtém-se a relação 1.5. 
1.5. ℎ3 = 𝑟² × 𝑟² × 𝑟² × ℎ𝑜 
Esse processo pode ser feito para 𝑛 alturas diferentes. Analisando o padrão 
entre as relações 1.4 e 1.5 é possível aferir a Equação 5. 
ℎ𝑛 = ℎ𝑜 × 𝑟
2𝑛 (5) 
Outro ponto importante levantado durante o experimento foi a diferença de altura 
máxima alcançada por três bolas de diferentes coeficientes de restituição. Essa 
diferença pode ser observada pela Figura 2. 
Figura 2 – Diferença da altura máxima alcançada por três bolas diferentes 
 
Fonte: Professor Leonardo Teixeira 
Primeiramente, pode-se observar que todas as bolas tiveram parte da energia 
dissipada, já que não voltaram para a posição inicial após seu abandono. Assim, 
pode-se afirmar que nenhuma das bolas possui o coeficiente de restituição igual 
a 1, e todas elas apresentam uma colisão inelástica com o solo. 
O coeficiente de restituição está relacionado com a perda de energia envolvida 
no experimento. Se o coeficiente é alto, a energia dissipada após a bola ser 
lançada é pequena, fazendo com que ela atinja uma grande altura após o quique. 
Quando o coeficiente é baixo o contrário acontece; a energia dissipada é grande 
e a altura alcançada pela bola é pequena. Assim, pode-se concluir que a bola 3 
apresenta o menor coeficiente de restituição, e a bola 1 o maior, como 
apresentado pela relação a seguir: 
1. 𝑟1 > 𝑟2 > 𝑟3 
Por fim, é necessário discutir a respeito da utilização da câmera nesse 
experimento. Apesar de não ser um item obrigatório para a realização desse 
experimento, a câmera possibilita a gravação do processo, permitindo uma 
melhor observação da altura que a bola alcança. Isso ocorre porque o vídeo pode 
ser colocado em câmera lenta para uma observação mais minuciosa ou pausado 
nos momentos desejados, por exemplo. Assim, a utilização da câmera facilita o 
experimento e possibilita a obtenção de resultados mais certeiros do que os 
aferidos apenas com a observação sem recursos tecnológicos. 
 
Conclusão 
O objetivo primordial deste trabalho era encontrar a constante de restituição de 
uma bola de borracha a partir da realização de um experimento, o que foi 
alcançado. Além disso, foi analisado como o valor desse coeficiente influencia 
na altura atingida pela bola após sua colisão com o solo. Observou-se que, 
quanto mais próximo de 1 for o coeficiente de restituição, maior será a altura 
alcançada pela bola após tocar o chão; quanto mais próximo de 0, menor a altura 
atingida. Para esse experimento foi obtido um valor final de (0,876±0,023) para 
o coeficiente de restituição, com 12,4% de dissipação de energia.