2020-12-14-10-26-04-16963875-equacoes-do-1-e-2-grau

Prévia do material em texto

SISTEMA DE ENSINO
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau 
Livro Eletrônico
2 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
SUMÁRIO
Equações 1º e 2º Grau ................................................................................4
1. Plano Cartesiano .....................................................................................4
2. Conceitos Básicos sobre Funções ..............................................................7
2.1 Domínio de uma Função .......................................................................11
2.2 Função Injetora ...................................................................................15
2.3 Função Sobrejetora .............................................................................17
2.4 Estudo de Caso: Funções Criptográficas Não Injetoras ..............................18
3. Funções do Primeiro Grau ......................................................................23
3.1 Inclinação ..........................................................................................23
3.2 Intercepto ..........................................................................................27
3.3 Como Esboçar o Gráfico de uma Função do Primeiro Grau ........................28
4. Funções do Segundo Grau ......................................................................50
4.1 Raízes da Função ................................................................................50
4.2 Sinais ................................................................................................53
4.3 Vértice ..............................................................................................60
5 Tópicos Adicionais ..................................................................................90
5.1 Função Inversa ...................................................................................90
5.2 Função Composta ...............................................................................93
5.3 Inequações Produto e Quociente ......................................................... 104
Anotações ............................................................................................. 110
Acompanhamento do Aluno ..................................................................... 110
Questões de Concurso ............................................................................. 112
Gabarito ................................................................................................ 128
Apêndice ............................................................................................... 129
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
3 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Olá, seja bem-vindo(a) a mais uma aula de Matemática. Nesta aula, vamos 
falar sobre Funções, com foco nas Funções do 1º e do 2º grau.
Esse é um assunto central na Matemática, por isso, quando o seu edital prevê 
esse assunto, a probabilidade de aparecer alguma questão na sua prova é muito 
grande.
As funções servem para descrever o comportamento de uma variável em fun-
ção de outras. E, por isso, encontram aplicações nos mais variados ramos, seja 
da Matemática Pura e Aplicada, seja em outras ciências, até mesmo em ciências 
sociais.
Em particular, as funções do primeiro e do segundo grau, por sua simplicida-
de, são as favoritas para traçar modelos matemáticos que permitam ao pesqui-
sador entender melhor um determinado fenômeno.
Por isso, você está diante de um assunto com elevada importância para o 
estudo da Matemática que, com certeza, vai ajudá-lo(a) a compreender todo o 
restante.
Antes de iniciar nossa aula, eu gostaria de te passar meus contatos, caso você 
tenha dúvidas.
E-mail: thiagofernando.pe@gmail.com
WhatsApp: (81) 994 161 322
Instagram: @thiagofernando.pe – me sigam no Instagram. Eu sempre pos-
to dicas muito úteis à sua preparação para concursos públicos na área de Mate-
mática.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
mailto:thiagofernando.pe@gmail.com
4 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
EQUAÇÕES 1º E 2º GRAU
1. Plano Cartesiano
Já aprendemos o importante conceito da reta real. O plano cartesiano é formado 
por um par de retas perpendiculares entre si, denominadas x e y.
FIGURA 1 – Plano Cartesiano
O ponto de encontro entre as duas retas é normalmente assinalado como a ori-
gem do plano cartesiano, ou seja, o ponto (0,0), ou simplesmente 0.
O plano cartesiano serve para marcar pontos. Um ponto é definido por um par 
ordenado que representa as suas coordenadas. Por exemplo: os pontos A(2,1), B(-
2,2) e C(3,-1).
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
5 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
FIGURA 2 – Pontos Representados no Plano Cartesiano
As coordenadas são obtidas traçando retas partindo do ponto estudado e que 
sejam perpendiculares aos eixos x e y. As coordenadas são exatamente os pontos 
de encontro entre essas retas (representadas por um tracejado) e os eixos carte-
sianos.
O par ordenado A(2,1) significa que cada ponto no plano cartesiano é repre-
sentado por um par de coordenadas e que a ordem importa. Sendo assim, o ponto 
A(2,1) é diferente do ponto B(1,2).
A primeira coordenada é chamada de abscissa e marca a posição do ponto 
relativa ao eixo x. Sendo assim, a abscissa do ponto A é 2, porque a posição desse 
ponto em relação ao eixo x é em x = 2.
Analogamente, a segunda coordenada é chamada de ordenada e marca a 
posição do ponto relativa ao eixo y. Sendo assim, a abscissa do ponto A é 1, por-
que a posição desse ponto em relação ao eixo y é em y = 1.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
6 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
No estudo de funções, o plano cartesiano é normalmente utilizado para repre-
sentar uma relação entre duas variáveis. São elas:
• a variável independente, normalmente chamada de x, que será colocada 
no eixo das abscissas;
• a variável dependente, normalmente chamada de y, que será colocada no 
eixo das ordenadas.
O eixo x é chamado de eixo das abscissas. Na Figura 2, vemos que, ao longo do 
eixo x, a coordenada y é nula.
Analogamente, o eixo y é chamado de eixo das ordenadas. Ao longo desse eixo, 
a coordenada x é nula. Portanto, são assim definidos os eixos:
• Eixo das Abscissas (eixo x): é o conjunto de todos os pontos em que a 
ordenada é nula. Em linguagem, matemática, temos:
− y = 0 ou 
• Eixo das Ordenadas (eixo y): é o conjunto de todos os pontos em que a 
abscissa é nula. Em linguagem, matemática, temos:
− x = 0 ou 
O primeiro conceito importante que precisamos aprendersobre funções é que 
os nomes das variáveis “x” e “y” pouco importam. O nome de uma variável não 
altera a natureza de uma função.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
7 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Sendo assim, quando escrevemos , podemos dizer que f é uma 
função que soma 1 a um determinado número real. Sendo assim, poderíamos tro-
car a variável de dentro da função, seja por um número real, seja por qualquer 
outro nome de variável que você imaginar.
2. Conceitos Básicos sobre Funções
Uma função estabelece uma relação entre os elementos de dois conjuntos. De 
modo geral, temos:
Na primeira linha, deve-se ler “f de A em B”.
Você pode entender, de uma maneira, uma função como uma máquina em que 
você entrega um número (x) e ela produz um resultado (y).
• Domínio (A): são as entradas da função, isto é, é o conjunto para o qual os 
valores da função são calculados, ou seja, os valores de x.
• Contradomínio (B): é o conjunto em que podem ser encontradas as saídas 
da função, isto é, seus resultados calculados, ou seja, os valores de y.
• Imagem: é o subconjunto do contradomínio que possui termos associados 
no domínio.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
8 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Pense, por exemplo, numa vending machine. Ela funciona perfeitamente como 
uma função.
Em uma vending machine, você digita um número e ela te responde com um 
produto. Por exemplo:
34 – Coca-Cola
18 – Água Mineral com Gás
23 – Suco de Laranja
Nessa máquina, o domínio corresponde ao conjunto de números que você pode 
digitar. No caso da máquina do exemplo, você pode digitar números de 1 a 50.
O que aconteceria se você digitasse 60? A máquina daria erro e falaria que não 
existe nenhum produto associado. Em outras palavras, ela diria que não é possível 
calcular a função.
Por outro lado, o contradomínio corresponde ao conjunto de produtos que você 
pode receber, ou seja, tudo o que está dentro da máquina.
Agora, precisamos entender a diferença entre contradomínio e conjunto ima-
gem. Para isso, precisamos tomar como exemplo uma função numérica.
De acordo com a notação que aprendemos, o domínio da função é o conjunto A. 
No conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, portanto, esses são os valores de x que devemos 
colocar na função.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
9 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Para calcular os valores de y correspondentes, devemos substituir os possíveis 
valores de “x” na expressão y = x + 1. Sendo assim, temos:
QUADRO 1 – Cálculo da Função
x y
1 1 + 1 = 2
2 2 + 1 = 3
3 3 + 1 = 4
4 4 + 1 = 5
5 5 + 1 = 6
Pertencem ao conjunto A Pertencem ao conjunto B
Podemos representar pelo seguinte Diagrama de Flechas:
FIGURA 3 – Exemplo de uma função
No conjunto B, destacamos uma região muito importante. A região verde cor-
responde à região em que chegam as flechas. Note que os elementos {0, 1, 7} não 
estão associados a nenhum elemento no conjunto A.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
10 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Por outro lado, a região verde é Im = {2, 3, 4, 5, 6}. Esse conjunto é denomi-
nado conjunto imagem.
Além disso, uma função deve atender à seguinte condição:
Todo elemento do domínio deve estar associado a exatamente um único elemento 
no contradomínio.
Portanto, se um elemento de qualquer domínio não estiver associado a nenhum 
elemento ou estiver associado a mais de um elemento no contradomínio, a relação 
citada não é uma função.
Em outras palavras: no Diagrama de Flechas de uma função, não é permitido que:
• de um ponto qualquer do domínio, não saia nenhuma flecha;
• de um ponto qualquer do domínio, saiam duas flechas.
A seguir, temos os exemplos de duas relações que não são funções.
FIGURA 4 – Exemplos do que não são funções
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
11 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
2.1 Domínio de uma Função
Em linhas gerais, consideraremos o domínio de uma função como o subconjunto 
do conjunto dos números reais mais amplo possível.
Não consideraremos funções de variável complexa, ainda que o seu edital pre-
veja expressamente o assunto “Números Complexos”, porque essas funções so-
mente são estudadas em níveis muito avançados da Matemática. Eu só as estudei 
no segundo ano da faculdade e foi uma das matérias que meus colegas de turma 
mais sofreram para aprender. Portanto, não é nem um pouco razoável que elas 
apareçam em concursos públicos.
Os dois principais impedimentos para o domínio de uma função são:
Denominador não pode ser nulo.
Sabemos que não é possível dividir por zero. Sendo assim, quando uma função 
apresenta uma variável no denominador, devemos garantir que este não se anule. 
Vejamos um exemplo.
Devemos, portanto, excluir a possibilidade de que o denominador seja nulo. 
Façamos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
12 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Chegamos à conclusão de que a função existe e que pode ser calculada para 
qualquer número real diferente de 2. Representando por A o domínio da função, 
têm-se duas formas matemáticas de escrever, sendo a primeira a mais sintética e 
mais comum em provas.
Entendamos essas representações: a operação “\” representa uma diferença 
de conjuntos. Sendo assim, o conjunto representa todo o conjunto de números 
reais, exceto o 2. É exatamente o que queremos dizer com .
Vejamos outro exemplo para fixar o entendimento.
Nesse caso, devemos ter que o denominador tem de ser diferente de zero.
Para o produto de quaisquer dois números ser nulo, um deles deve ser obriga-
toriamente zero. A contrariu sensu (sim, ando aprendendo algumas expressões em 
latim com nossos colegas de Direito ), se queremos que o produto de dois núme-
ros seja diferente de zero, nenhum deles pode ser nulo.
Portanto, pode-se escrever que:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ -02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
13 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Nesse caso, precisamos excluir dois números do domínio. Portanto, o domínio 
restará:
Radicais de Índice Par
Sabemos que as radiciações de índice de par só podem ser tomadas de números 
positivos.
O número não pertence ao conjunto dos números reais. Sendo assim, se 
houver radicais de índice par, devemos prezar que o seu interior tenha um número 
não negativo (maior ou igual a zero).
Qual o domínio da função a seguir?
Como a função é uma raiz quadrada, devemos tomar o número que está dentro 
do radical e impor que ele não seja negativo.
Portanto, para que a função citada exista, devemos tomar os números reais 
maiores ou iguais a 2. Isso é um intervalo aberto.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
14 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Por outro lado, qual seria o domínio da função a seguir?
Nesse caso, tem-se um radical de índice ímpar. E sabemos que podemos tirar 
raiz cúbica de números negativos também. Por isso, não existe nenhum problema 
no domínio dessa função. Esse domínio será, portanto, todo o conjunto de números 
reais.
Uma última situação que pode vir a ser cobrada é quando o radical vem no de-
nominador. Qual o domínio da seguinte função?
Olha só, o denominador tem um radical e também um termo por fora. Primei-
ramente, olhemos para o radical. Como é uma raiz quadrada, o interior do radical 
tem de ser não negativo. Porém, o radical também não pode ser nulo, porque ele 
está no denominador. Sendo assim, temos:
Além disso, temos outra condição:
Sendo assim, devemos considerar ambas as condições no nosso domínio.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
15 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Nesse caso específico do problema apresentado, o conjunto já não contém 
o elemento 1, portanto ele já havia sido excluído do domínio da função na primeira 
condição. Podemos escrever, simplesmente, que o domínio será .
2.2 Função Injetora
É aquela em que cada elemento do domínio tem uma imagem diferente.
Temos a seguir a representação matemática de uma função injetora.
FIGURA 5 – Representação no Diagrama de Flechas de uma Função Injetora
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
16 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Uma notação bastante matemática para as funções injetoras é: “A função de x1 
é igual à função de x2 se, e somente, se x1 for igual a x2.”
A função injetora nos permite resolver equações. Vejamos:
Por que podemos fazer esse procedimento para resolver a equação x + 1 = 3?
A resposta é que a função é injetora. Note que . Isso signifi-
ca que não existe nenhum outro número real, além de 2, que produza o resultado 3.
Sendo assim, se .
Por outro lado, a função real não é injetora. Vejamos:
x y
-3 -3² = 9
-2 -2² = 4
-1 -1² = 1
0 0² = 0
1 1² = 1
2 2² = 4
3 3² = 9
Perceba que existem elementos diferentes no domínio que possuem a mesma 
imagem. É por isso que não podemos resolver uma equação do segundo grau da 
mesma foram que resolvemos uma equação do primeiro grau.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
17 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Tomemos como exemplos a equação x² = 9.
2.3 Função Sobrejetora
Na função sobrejetora, o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Ou seja, 
todos os elementos do contradomínio recebem, pelo menos, uma seta.
É interessante destacar que os conceitos de função injetora e sobrejetora são 
independentes. Portanto, uma função pode ser injetora, mas não sobrejetora. 
Também é possível que uma função seja sobrejetora, mas não injetora.
Como exemplo, já temos que a função da Figura 3Erro: Origem da referência 
não encontrada é injetora, mas não é sobrejetora.
Por outro lado, podemos ter a seguinte função que é sobrejetora, mas não é 
injetora. Essa função calcula o resto da divisão de um número por 4.
FIGURA 6 – Função Resto é Sobrejetora, mas não é Injetora
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
18 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
2.4 Estudo de Caso: Funções Criptográficas Não Injetoras
Essa é uma seção em que tentamos em responder àquela famosa pergunta dos 
alunos: “Mas, Professor, para que serve isso?”
Agora, falaremos de uma aplicação matemática importante no mundo real. Tra-
ta-se da criptografia.
A criptografia é a técnica de escrever uma mensagem de forma que, mesmo 
que ela seja interceptada, não possa ser lida por uma pessoa diferente do seu des-
tinatário.
Suas aplicações são imensas no mundo real. Por exemplo, no sistema bancá-
rio, é indispensável que as mensagens sejam transmitidas de forma segura. Caso 
contrário, hackers poderiam adulterar tais informações e sequestrar o seu dinheiro 
durante uma transferência.
Para entender um pouco de criptografia, apresentaremos o conceito da função 
hash. O hash é um caso particular de funções que não são injetoras. É utilizado em 
criptografia como um garantidor do conteúdo da mensagem.
A função hash é calculada a partir da mensagem original. Vale lembrar que, em 
um computador, tudo o que se escreve é registrado na forma de números binários, 
os famosos 0 e 1, portanto é possível calcular o hash de qualquer mensagem, seja 
ela uma figura, um texto ou até uma música.
O interessante é que, se você tiver o hash da mensagem, é impossível decifrar 
a mensagem original.
Tomemos, como exemplo, que o hash seja a função resto na divisão por 4. O 
hash fornecido da mensagem é 3. Qual o número que, quando dividido por 4, deixa 
resto 3?
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
19 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Você percebeu que, como a função resto não é injetora, existemvários números 
cujo resto é igual 3. Alguns exemplos: 3, 7, 11, 15. Todas essas mensagens deixam 
o mesmo resto, em outras palavras, possuem o mesmo hash.
É o que acontece, por exemplo, com o CPF. O seu CPF é formado por um con-
junto de nove dígitos. Isso mesmo. São apenas nove. Tomemos como exemplo um 
CPF fictício.
395.624.780
Esse é o CPF. E o que fazem aqueles dois dígitos no final? Aqueles dígitos for-
mam um hash.
395.624.780-34
A intenção do hash é evitar que você digite o seu CPF errado e caia no CPF de 
outra pessoa. Se você digitar qualquer número errado, por descuido. Por exemplo.
395.624.750
O hash calculado seria diferente.
395.624.750-19
Portanto, se você digitou: 395.624.750-34, o CPF é inválido, porque o número 
395.624.750 possui hash 19, não 34. Sendo assim, só pode ter havido um erro de 
digitação (ou uma tentativa de fraude).
É importante repetir que, como a função hash não é injetora, caso você saiba os 
dígitos finais do CPF de uma pessoa, você não será capaz de deduzir o restante do CPF.
No caso do CPF, é relativamente possível você chutar e encontrar um CPF ver-
dadeiro. Existem apenas 100 hashes (0 a 99), por isso, você pode testar todas as 
combinações – isso gastará um tempo, mas é possível.
O que aconteceria se o hash fosse formado por mais dígitos?
Por exemplo, no caso do algoritmo SHA-256, todas as mensagens são codifica-
das por um hash de 256 dígitos binários. Isso mesmo, 256.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
20 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Isso significa que existem 2256 hashes = 6.1076 hashes no SHA-256. Como esse 
número é uma quantidade inimaginavelmente grande, o hash calculado para uma 
mensagem será praticamente único e será uma ferramenta extremamente interes-
sante para garantir o conteúdo dela.
No Quadro 2, mostramos um contrato social fictício de uma empresa e uma 
tentativa de fraude bem sutil.
QUADRO 2 – Tentativa de Fraude em um Contrato Social
CONTRATO ORIGINAL CONTRATO FRAUDADO
CLÁUSULA OITAVA: é expressamente vedado, 
sendo absolutamente ineficaz em relação à socie-
dade, o uso da denominação social em títulos, 
avais, fianças, ou quaisquer outras garantias que 
não forem consideradas de exclusivo interesse 
da sociedade, tomadas por decisão unânime dos 
sócios, sob pena de responsabilidade perante ter-
ceiros e a sociedade.
CLÁUSULA NONA: para a alienação a qualquer 
título de bens da sociedade, ou para a constitui-
ção de ônus ou gravames reais sobre os mesmos, 
será necessária a assinatura dos 03 (três) sócios 
em conjunto. A assinatura de apenas alguns deles 
invalida quaisquer documentos firmados para o 
fim previsto nesta cláusula.
CLÁUSULA DÉCIMA: os administradores decla-
ram, sob as penas da lei, que não estão incursos 
em quaisquer crimes previstos em lei ou restri-
ções legais, que possam impedi-los de exercer 
atividade empresarial conforme artigo 1.011, 1º 
do CC/2002.
CLÁUSULA DÉCIMA PRIMEIRA: firma ato contínuo 
a solicitação a solicitação do contrato social da 
sociedade empresária limitada, conforme ato:
CLÁUSULA OITAVA: é expressamente vedado, 
sendo absolutamente ineficaz em relação à 
sociedade, o uso da denominação social em títu-
los, avais, fianças, ou quaisquer outras garantias 
que não forem consideradas de exclusivo inte-
resse da sociedade, tomadas por decisão unâ-
nime dos sócios, sob pena de responsabilidade 
perante terceiros e a sociedade.
CLÁUSULA NONA: para a alienação a qualquer 
título de bens da sociedade, ou para a constitui-
ção de ônus ou gravames reais sobre os mesmos, 
será necessária a assinatura dos 03 (três) sócios 
em conjunto. A assinatura de apenas alguns 
deles valida quaisquer documentos firmados 
para o fim previsto nesta cláusula.
CLÁUSULA DÉCIMA: os administradores decla-
ram, sob as penas da lei, que não estão incursos 
em quaisquer crimes previstos em lei ou restri-
ções legais, que possam impedi-los de exercer 
atividade empresarial conforme artigo 1.011, 1º 
do CC/2002.
CLÁUSULA DÉCIMA PRIMEIRA: firma ato contí-
nuo a solicitação a solicitação do contrato social 
da sociedade empresária limitada, conforme ato:
12859adb2012b961f1fcbb57069989f0f49bd37d-
669d03b6c79ceddfb75b46cd
d3e6603bdc9dc9845a285aad3973857aadb-
c442e9b39a32599315aaa4e02b17a
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
21 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
No apêndice desse material, eu explico como eu calculei hashes dessas mensa-
gens utilizando o algoritmo SHA-256.
Perceba que houve uma mínima alteração no contrato. Caso você ainda não te-
nha percebido, a Cláusula Nona foi modificada – o verbo “invalida” foi trocado por 
“valida”.
Embora a mudança tenha sido ínfima e bastante difícil de se perceber a olho 
nu – ainda mais se você for um advogado que cuida de milhares de contratos de 
centenas de empresas diferentes –, o hash calculado foi completamente diferente.
Perceba o poder que existe por trás dessa ferramenta. Sempre que alguém lhe 
enviar um contrato, para você saber se aquela informação não foi alterada por nin-
guém, você pode, em vez de ler simplesmente calcule o hash.
Se o hash calculado for exatamente igual, o contrato não sofreu absoluta-
mente nenhuma modificação. Porém, qualquer vírgula a mais ou menos produ-
zirá um hash completamente diferente.
Outro fato interessante é que o hash é uma função somente de ida. Não é pos-
sível obter a mensagem original a partir dele. Como já dissemos, a razão para isso 
é que trata-se de uma função que não é injetora.
Sendo assim, essa interessantíssima função garante a integridade da sua men-
sagem ao receptor. Além disso, mesmo que o hash seja interceptado por um ter-
ceiro invasor, este não será capaz de ler a mensagem original.
O algoritmo SHA-256 pertence a um conjunto de funções criptográficas, deno-
minado SHA-2, projetado pela NSA (Agência de Segurança Nacional dos Estados 
Unidos). A sigla SHA significa Secure Hashing Algorithm (Algoritmo de Hash Segu-
ro). Uma de suas aplicações mais conhecidas é o Bitcoin.
Agora, vamos começar a estudar individualmente as principais funções cobra-
das em prova.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
22 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
1. (FGV/PREFEITURA DE OSASCO-SP/2014/ATENDENTE) Dois conjuntos A e B, ambos 
não vazios e com número finito de elementos, são, respectivamente, o domínio e o 
contradomínio de uma função injetora f: a → B. Nestas condições, pode-se afirmar que:
a) A e B devem ter a mesma quantidade de elementos;
b) A pode ter mais elementos que B;
c) A pode ter menos elementos que B;
d) A deve ser subconjunto de B;
e) B deve ser subconjunto de A.
Certo.
Em uma função injetora, dois elementos diferentes do domínio A possuem imagens 
diferentes no contradomínio B.
Por isso, não é possível que A tenha mais elementos que B. Porém, é verdade que 
B pode ter mais elementos que A, como no caso dessa função.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DACRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
23 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
É possível também que tenha exatamente o mesmo número de elementos. 
Nesse caso, a função seria também sobrejetora, portanto, seria uma função 
bijetora.
3. Funções do Primeiro Grau
A função do primeiro grau é também conhecida como função afim. Ela possui 
domínio e imagem em todo o conjunto dos números reais.
O gráfico da função do primeiro grau é uma reta.
3.1 Inclinação
O coeficiente “a” é conhecido como coeficiente linear, é o que multiplica a vari-
ável principal determina a inclinação do gráfico. Têm-se dois casos a comentar:
• a > 0: a função será crescente;
• a < 0: a função será decrescente.
Vejamos dois tipos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
24 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Calcularemos alguns valores e, a seguir, plotaremos o gráfico dessas funções.
FIGURA 7 – Comportamento das Funções f e g
x f(x) g(x)
-3 -10 18
-2 -8 15
-1 -6 12
0 -4 9
1 -2 6
2 0 3
3 2 0
Note que a função f tem o coeficiente a positivo, por isso será crescente. Já a 
função g tem o coeficiente a negativo, por isso, será decrescente.
Quanto maior o módulo do coeficiente linear, maior será a inclinação do gráfico. 
Para deixar isso claro, comparemos duas funções variando apenas esse coeficiente.
A seguir, temos a tabela de valores e o respectivo gráfico plotado para essas 
duas funções.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
25 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
FIGURA 8 – Influência do Coeficiente Linear no Gráfico da Função do Primeiro Grau
x f(x) g(x)
-3 -10 -13
-2 -8 -10
-1 -6 -7
0 -4 -4
1 -2 -1
2 0 2
3 2 5
Perceba que ambas as funções f e g são crescentes, porque possuem coeficiente 
linear positivo. Além disso, a função g possui um coeficiente linear maior, portanto 
cresce com maior velocidade.
3.1.1 Taxa de Variação
Em uma função do primeiro grau, o coeficiente a é associado à taxa de variação 
de y em função de x. Em outras palavras, se temos três pontos no gráfico A(x1, y1), 
B(x2, y2) e C(x3, y3), temos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
26 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Podemos tomar como exemplo a função 
x f(x)
0 3
1 5
2 7
3 9
Podemos calcular as diferenças em relação ao ponto x = 0, que é o ponto (0,3).
Perceba, portanto, que o coeficiente a indica uma proporcionalidade entre as 
variações da variável dependente (y) com a variável dependente (x).
Suponha, agora, que a função represente o custo de fabricação de 
um produto em função do número de unidades produzidas (x).
Podemos dizer que esse custo aumenta 2 unidades a cada unidade produzida 
que é aumentada, justamente porque o coeficiente a = 2.
Por conta disso, o coeficiente a é frequentemente associado aos custos variá-
veis quando se está avaliando os custos de produção.
Esse custo variável aparece em várias situações: é o custo para se adicionar um 
novo convidado a uma festa, é o preço a se pagar para andar 1 quilômetro a mais 
de táxi ou Uber, é o quanto você gasta de gasolina – esse custo depende de quanto 
você anda com o seu carro, não é verdade?
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
27 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
3.2 Intercepto
Agora, vejamos o efeito do coeficiente b. Esse coeficiente provoca apenas um 
deslocamento vertical no gráfico da função, criando uma reta paralela.
FIGURA 9 – Influência do Coeficiente b no Gráfico da Função do Primeiro Grau
x f(x) g(x)
-3 -2 -4
-2 -1 -3
-1 0 -2
0 1 -1
1 2 0
2 3 1
3 4 2
O coeficiente b é, por vezes, chamado de intercepto, porque determine o mo-
mento de encontro entre o gráfico da função e o eixo y.
No eixo y, temos que x = 0, portanto:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
28 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
No caso das funções f e g, temos que os intercepto são, respectivamente, -1 e 1.
O intercepto é frequentemente associado aos custos fixos na produção de um 
determinado produto.
Por exemplo, se você tem um carro, há custos que você deverá ter independente-
mente de rodar com ele: seguro, IPVA e boa parte da manutenção do veículo.
No caso de uma fábrica, também há custos que ela não pode evitar, ainda que não 
esteja produzindo, como os custos administrativos e o aluguel do espaço.
Se a função representa o custo de produzir x unidades de um 
dado produto, temos que o intercepto b = 3 é o custo fixo da companhia.
3.3 Como Esboçar o Gráfico de uma Função do Primeiro Grau
Em questões, é muito útil desenhar por conta própria o gráfico de uma função 
do primeiro grau.
Uma reta pode ser desenhada a partir de dois pontos. Portanto, só precisamos 
marcar dois pontos e traçar a reta para esboçar um gráfico de uma função do pri-
meiro grau.
De maneira geral, podemos adotar o seguinte procedimento em dois passos:
• calculamos o ponto de intersecção do gráfico dessa função com o eixo “x”, ou 
seja, calculamos com x = 0;
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
29 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Portanto, a função do primeiro grau passa pelo ponto . O cruzamento do 
gráfico da função com o eixo “x” sempre ocorrerá no intercepto.
• calculamos o ponto de intersecção do gráfico dessa função com o eixo “y”, ou 
seja, calculamos com y = 0.
Portanto, a função do primeiro grau também passa pelo ponto .
Traçaremos, portanto, os dois pontos selecionados no plano cartesiano. Como 
sabemos, se a > 0, o gráfico será crescente, conforme ilustrado na Figura 10Erro: 
Origem da referência não encontrada.
FIGURA 10 – Função do Primeiro Grau Crescente
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DACRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
30 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
De posse desse algoritmo, vejamos dois exemplos para fins de fixação. Consi-
dere a função linear:
Calculemos os dois pontos notáveis do gráfico. Para x = 0, temos:
Para y = 0, temos:
Agora, vamos desenhar ambos os pontos no gráfico.
FIGURA 11 – Função Linear Crescente
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
31 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Agora, considere a função linear:
Calculemos os dois pontos notáveis do gráfico. Para x = 0, temos:
Para y = 0, temos:
Agora, vamos desenhar ambos os pontos no gráfico.
FIGURA 12 – Função Linear Decrescente
Às vezes, as questões falam de duas funções do primeiro grau. Nesse caso, pode 
ser útil adotar como um dos pontos exatamente o ponto de encontro entre essas 
duas retas. Isso é algo que você verá quando fizermos algumas questões de prova.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
32 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
2. (FCC/SEGEP-MA/2016/ANALISTA AMBIENTAL/BIÓLOGO) Um casal começa a 
planejar sua festa de casamento a partir das seguintes estimativas:
De acordo com essas estimativas, desconsiderando outros gastos, o custo total C 
da festa de casamento, em reais, em função do número de convidados n, pode ser 
expresso pela fórmula:
a) C = 21.500 + 234n
b) C = 21.500 + 238n
c) C = 21.500 + 244n
d) C = 21.500 + 248n
e) C = 21.500 + 274n
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
33 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Letra c.
Uma questão muito boa para começar a entender na prática como funcionam as 
funções de primeiro grau.
Os custos da festa são divididos em dois grupos: os custos fixos, que independem 
do número de convidados, e os custos variáveis, que são proporcionais ao número 
de convidados.
Primeiramente, somaremos os custos fixos:
Esses R$ 21.500 serão gastos independentemente da quantidade de convidados 
que participem da festa. Mesmo que só haja um único convidado, a festa ainda terá 
que ter fotos e vídeo, trajes dos noivos e o aluguel do espaço com decoração.
Por outro lado, os demais custos: convites, buffet, vinho e doces dependem do 
número de convidados presentes. Se os noivos chamarem 100 convidados, terão 
que confeccionar 100 convites, o que custará R$ 400. Se os noivos chamarem 200 
convidados, terão que confeccionar 200 convites, o que custará R$ 800.
Sendo assim, calcularemos os custos variáveis.
O custo total da festa será a soma dos custos fixos com os variáveis.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
34 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Já podemos marcar a letra c. Porém, para fins didáticos, vamos explorar ainda 
mais o problema.
Traçamos o gráfico dessa função em MatLab, mostrando o comportamento do custo 
da festa em função do número de convidados.
Perceba que o intercepto, ou seja, o ponto de encontro com o eixo y ocorre justa-
mente um pouco acima de R$ 20 mil, exatamente no ponto R$ 21.500, que corres-
ponde ao total de custos fixos da festa.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
35 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
3. (ESAF/ANAC/2016/TÉCNICO ADMINISTRATIVO) Sejam f(x) = ax + 7 e g(x) = 
3x + 6 funções do primeiro grau. O valor de “a” que faz com que f(2) seja igual a 
g(3) é igual a:
a) 6
b) 3
c) 5
d) 4
e) 7
Letra d.
Calculamos primeiramente o valor de f(2), que deve ser obtido substituindo x por 2.
Agora, vamos ao valor de g(3).
Agora, precisamos igualar os dois valores.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
36 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
4. (ESAF/DNIT/2013/ANALISTA EM INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES) Supo-
nha que a seguinte relação aritmética foi obtida entre duas variáveis X e Y quais-
quer: y = 3X + 4. Com base nas cinco ilustrações a seguir, assinale a opção que 
melhor corresponde à equação apresentada acima.
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
37 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Letra e.
Para esboçar o gráfico de uma função, devemos ter em mente o intercepto que é 
o ponto de encontro da curva com o eixo y.
Isso já elimina os gráficos II (nunca encontra o eixo x), III (o intercepto é nulo), 
IV (o intercepto é negativo).
Além disso o coeficiente a = 3 > 0, portanto a função é crescente, exatamente 
como mostrado no gráfico V.
(CESPE/SEE-AL/2013/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) O preço de uma corrida de 
táxi convencional é calculado somando o valor da bandeirada (inicial e fixo) com o 
valor da distância percorrida. Essa relação pode ser representada, em um sistema 
de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, por uma função da forma y = f(x), 
em que y é o preço cobrado pela corrida de x quilômetros. Considerando que o 
valor da bandeirada seja de R$ 5,00 e R$ 0,50 por quilômetro percorrido, julgue 
o próximo item.
5. (CESPE/SEE-AL/2013/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Se uma corrida de táxi 
custou R$ 55,00, então a distância percorrida foi superior a 90 km.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
38de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Certo.
A bandeirada representa um custo fixo que deve ser sempre acrescido ao valor da 
corrida.
6. (CESPE/SEE-AL/2013/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Considere que uma coope-
rativa de taxistas dispense o valor da bandeirada, mas passe a cobrar R$ 1,00 por 
quilômetro rodado. Nesse caso, para o usuário desse serviço, independentemente 
da quantidade de quilômetros rodados, é mais vantajoso utilizar os táxis da referi-
da cooperativa.
Letra a.
Nesse caso, o custo da corrida de x quilômetros será:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
39 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Queremos saber quando será mais vantajoso usar essa cooperativa, em outras pa-
lavras, quando o custo será menor.
Sendo assim, a corrida pela cooperativa B somente será mais vantajosa quando a 
distância percorrida for menor que 10 km. Se for maior que 10 km, será mais van-
tajosa a cooperativa A.
Podemos, ainda, explorar mais o problema traçando os gráficos respectivos de cada 
uma das funções.
Primeiramente, elas se encontram o ponto x = 10. Nesse caso, calculamos:
Além disso, podemos usar outro ponto que é o próprio intercepto. Ou seja, o valor 
avaliado da função para x = 0, que corresponde ao próprio valor da bandeirada.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
40 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Com isso, traçamos os gráficos de ambas as funções, obtendo o seguinte resultado.
(CESPE/INPI/2013/TÉCNICO EM PROPRIEDADE INDUSTRIAL) Considerando 
que, em determinado dia, a quantidade de homens e mulheres, em um shopping 
center, entre 10 h e 20 h, seja dada, respectivamente, pelas expressões y = 5 
t + 200 e x = 3 t + 234, em que t seja a hora correspondente, julgue os itens 
que se seguem.
7. (CESPE/INPI/2013/TÉCNICO EM PROPRIEDADE INDUSTRIAL) A quantidade 
de pessoas no shopping center, às 20 h, é superior à quantidade de pessoas às 
10 h.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
41 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Certo.
Um ponto a notar nessa questão é que a variável independente foi chamada de t. 
Já vimos que não há nenhum problema nisso. O número de pessoas corresponde à 
soma de homens e mulheres.
Perceba que, como a>0, a função é crescente, portanto, realmente, às 20h, a 
quantidade de pessoas é superior às 10h. Não é preciso nem fazer a conta.
8. (CESPE/INPI/2013/TÉCNICO EM PROPRIEDADE INDUSTRIAL) Ao longo do dia 
em questão, a quantidade de homens dentro do shopping aumentou, enquanto que 
a quantidade de mulheres no shopping diminuiu.
Errado.
A quantidade de mulheres no shopping também é descrita como uma função no 
tempo
Como a = 3 > 0, temos que a função é crescente, portanto, a quantidade de mu-
lheres no shopping também aumenta ao longo do dia entre as 10h e 20h.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
42 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
9. (CESPE/INPI/2013/TÉCNICO EM PROPRIEDADE INDUSTRIAL) A quantidade de 
homens no shopping torna-se igual à quantidade de mulheres antes das 18 h.
Certo.
Agora, precisamos calcular o ponto de encontro em que x = y.
Realmente, o número de mulheres e homens se igualou às 17h, o que é antes das 18h.
10. (CESPE/INPI/2013/TÉCNICO EM PROPRIEDADE INDUSTRIAL) A cada hora, a 
quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a quantidade de mu-
lheres.
Errado
Nesse caso, o enunciado quer saber da diferença entre homens e mulheres no 
shopping.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
43 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Sendo assim, a inclinação dessa função é a = 2, portanto, a quantidade de homens 
aumenta 2 unidades a mais que a quantidade de mulheres por hora.
Agora, vamos traçar os gráficos em MatLab do número de mulheres e do número 
de homens no shopping entre as 10h e as 20h.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
44 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
(CESPE/PRF/2013) Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo 
linear para a previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas 
estradas brasileiras. Nesse sentido, suponha que o número de acidentes no ano t 
seja representado pela função F(t) = At + B, tal que F(2007) = 129.000 e F(2009) 
= 159.000. Com base nessas informações e no gráfico apresentado, julgue os se-
guintes itens.
11. (CESPE/PRF/2013) A diferença entre a previsão para o número de acidentes 
em 2011 feita pelo referido modelo linear e o número de acidentes ocorridos em 
2011 dado no gráfico é superior a 8.000.
Errado.
Comentário na próxima questão.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
45 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
12. (CESPE/PRF/2013) O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500.
Certo.
A constante A é dada pela inclinação do gráfico. Sendo assim:
Essa constante pode ser utilizada para estimar o número de acidentes em 2011.
Dessa forma, o modelo previu exatamente a quantidade acidentes em 2011. Não 
houve nenhuma diferença.
13. (FGV/SEDUC-SP/2013) Seja f uma função real do 1º grau tal que f (7) - f (3) = 
6. O valor de f (15) - f (9) é:
a) 7
b) 9
c) 10
d) 12
e) 13
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
46 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.brLetra b.
O principal significado da inclinação é que:
14. (FCC/SEE-MG/2012/SUPERVISOR PEDAGÓGICO) Um cliente parcelou o valor 
total a ser pago por um determinado produto. Verificou que no boleto bancário in-
formava-se que haveria multa por atraso. A tabela a seguir indica o valor da multa 
dependendo do número de dias em atraso.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
47 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Considerando y como sendo a multa a ser paga em reais e x o número de dias em 
atraso, a função que representa corretamente a situação descrita é:
a) y = 35x
b) y = 28 + 7x
c) y = x - 5 / 7
d) y = -7x + 28
Letra b.
Como estamos em busca de uma função linear, primeiramente, calcularemos a 
inclinação.
De posse da inclinação, podemos obter o intercepto.
Portanto, a nossa função procurada é:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
48 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
15. (FGV/SEDUC-SP/2013/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Seja R a região do plano 
cartesiano desigualdades definida pelas 2 < x < 10 e 0 < y < (x+8)/2, a área da 
região R é igual a:
a) 50
b) 56
c) 58
d) 62
e) 64
Letra b.
Precisamos traçar o gráfico de y = (x + 8)/2 entre os pontos x = 2 e x = 10. Para 
isso, avaliaremos a função.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
49 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Agora, basta desenhar o gráfico pedido e as retas.
A região R pedida é um trapézio, que possui como base menor o lado de 5 e como 
base maior o lado de 8. A altura é a distância perpendicular entre as duas bases 
que corresponde ao segmento entre 2 e 10, portanto tem comprimento igual a 8.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
50 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
4. Funções do Segundo Grau
A função do segundo grau é definida por um polinômio do segundo grau.
É importante que o coeficiente a não seja nulo. Caso contrário, a função se re-
duziria a uma função do primeiro grau.
O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola.
4.1 Raízes da Função
As raízes da função do segundo grau são aquelas que igualam o valor da função 
a zero. Ou seja:
Não é demais repetir que, na equação do segundo grau, os termos a, b e c são 
números constantes. Por exemplo:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
51 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
4.1.1 Fórmula de Bhaskara
A solução da Equação do Segundo Grau é dada pela Fórmula de Bhaskara. Apre-
sentaremos essa expressão e, a seguir, mostraremos a demonstração.
É interessante notar que o termo dentro da raiz quadrada é denominado discri-
minante e determina o número de soluções da equação do segundo grau.
• Se : a equação tem duas soluções reais.
• Se : a equação tem apenas uma solução real.
• Se : a equação não tem soluções reais, porque a raiz quadrada de um 
número negativo não é real.
Vejamos um exemplo para você entender melhor:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
52 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
As duas soluções para essa equação são, portanto:
4.1.2 Soma e Produto das Raízes
A soma e o produto das raízes de uma equação do segundo grau podem ser 
calculadas diretamente a partir dos coeficientes.
Essas expressões podem ser bastante úteis, porque, em algumas situações, 
você poderá resolver mais rápido algumas equações do segundo grau.
Por exemplo, considere a equação.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
53 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
A soma e o produto das raízes pode ser calculado rapidamente.
Podemos imaginar dois números, cuja soma é igual a 5 e cujo produto é igual a 6? 
Tente.
Já tentou?
Conseguiu?
Podemos notar que 2 e 3 são dois números, cuja soma é igual a 5 e cujo produto é 
igual a 6. Portanto, são essas as duas raízes da equação.
Sendo assim, em algumas equações, você poderá conseguir calcular as raízes de 
cabeça. Caso seja possível, ótimo. Se não, fique tranquilo(a). Basta utilizar a fór-
mula de Bhaskara.
4.2 Sinais
Na função do segundo, o coeficiente “a” domina o sinal quando a variável x é 
muito positiva ou muito negativa. Ou seja, à medida que a função vai andando no 
sentido das infinidades, o sinal dela será o mesmo do coeficiente a.
Quando a função apresenta duas raízes reais, a única região em que a função 
apresenta sinal diferente desse coeficiente é a região entre as raízes.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
54 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Sendo assim:
FIGURA 13 – Sinal da Função do Segundo Grau
É importante lembrar que o zero não possui sinal. Portanto, exatamente nas 
raízes, a função não apresenta sinal, pois é nula.
4.2.1 Funções com Δ > 0
Vejamos como exemplo duas funções com raízes reais distintas, mudando o 
sinal do coeficiente “a”.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
55 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
A primeira coisa a se fazer é calcular as raízes dessas funções. Aplicando a Fór-mula de Bhaskara, podemos obter que são elas:
Podemos, de antemão, prever os sinais dessas funções, aplicando o princípio 
delineado na Figura 13.
Agora, vamos confirmar esses sinais previstos plotando os gráficos de ambas as 
funções no Excel.
Podemos destacar os sinais previstos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
56 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
FIGURA 14 – Gráficos de Funções do Segundo Grau com Δ>0
FIGURA 15 – Ilustração dos Sinais de duas Funções do Segundo Grau com Δ > 0
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
57 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
4.2.2 Funções com Δ < 0
E se a função não tiver raízes reais?
Nesse caso, ela sempre apresentará o sinal do coeficiente a. Vejamos dois 
exemplos.
FIGURA 16 –Gráficos de Funções do Segundo Grau com 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
58 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Observe que o primeiro gráfico é sempre positivo, enquanto que o segundo é 
sempre negativo. Isso acontece, porque ambas as funções não possuem raízes reais.
Os sinais dessas funções podem ser resumidos graficamente pelo esquema que 
aprendemos anteriormente.
FIGURA 17 – Sinais das Funções f e g com 
4.2.3 Funções com Δ = 0
Finalmente, temos um último caso. O que acontece quando a função do segun-
do grau possui exatamente uma raiz real? Ou seja, quando o delta da equação é 
igual a zero.
Nesse caso, a função não tem sinal, ou seja, é nula exatamente na raiz real. Em 
todos os outros pontos, ela assumirá o mesmo sinal do coeficiente a.
Vejamos, como exemplo, as funções.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
59 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Primeiramente, desenharemos a representação esquemática dos sinais dessa 
função.
FIGURA 18 – Sinais de Funções do Segundo com Δ = 0
Para fins de visualização, também podemos plotar os gráficos de ambas as 
funções.
FIGURA 19 – Gráficos de Funções do Segundo Grau com Δ = 0
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
60 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Então, vamos resumir o que você precisa fazer para traçar o gráfico ou, pelo 
menos, saber os sinais de uma função do segundo grau:
• calcular as raízes;
• o sinal da função será o mesmo do coeficiente a no espaço fora das raízes;
• se houver raízes, a única região em que o sinal da função será oposto ao do 
coeficiente a será no intervalo entre elas.
4.3 Vértice
Como vimos, o gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola. Essa 
parábola apresenta um vértice que pode ser um ponto de máximo ou mínimo.
Primeiramente, você deve entender por que o vértice é tão importante.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
61 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Suponha que você tem uma fábrica de chocolates. E o seu lucro é dado em fun-
ção da quantidade de chocolates produzidos (x):
Ao longo das questões, veremos várias tentativas de modelar processos físicos 
de interessante por meio de funções do segundo grau. Em Matemática Aplicada, 
trata-se de um ramo bastante importante. O objetivo é tentar descrever um fenô-
meno da vida real por meio de equações matemáticas.
Você deseja maximizar o seu lucro, não é? Então, você quer saber qual é o valor 
máximo dessa função.
Duas perguntas são naturais:
• quantos chocolates eu devo produzir?
• qual é o maior lucro que se pode obter nessas condições?
Traduzindo essas perguntas para a linguagem matemática, temos o seguinte:
QUADRO 3 – Tradução de Problemas Reais em Problemas Matemáticos
Quantos chocolates eu devo produzir? Qual é o valor de xv que maximiza a função?
Qual é o maior lucro que se pode obter 
nessas condições?
Qual é o maior valor de y que é o valor máximo 
possível da função? Em outras palavras, y = f (xv)?
Um ponto importante a se comentar é que nem sempre as funções do segundo 
grau apresentam máximos e mínimos. Na verdade, fora das raízes, essas funções 
escapam indefinidamente – crescem infinitamente quando a > 0 ou decrescem in-
finitamente quando a < 0.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
62 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Dessa maneira, tem-se que:
• a > 0: a função apresenta um ponto de mínimo;
• a < 0: a função apresenta um ponto de máximo.
Em ambos os casos, as coordenadas do vértice podem ser calculadas pelas ex-
pressões:
QUADRO 4 – Coordenadas Numéricas do Vértice de uma Função do Segundo Grau
Para provar a coordenada do xv, devemos recorrer ao Cálculo Diferencial, por-
tanto está fora do escopo desse curso.
Porém, há algo interessante a se comentar: o x do vértice corresponde à média 
aritmética das raízes.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
63 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Por outro lado, a coordenada y do vértice pode ser calculada de posse de xv. 
Vejamos:
16. (FGV/SME-SP/2016/PROFESSOR DE ENSINO MÉDIO DE MATEMÁTICA) José re-
solveu construir um galinheiro retangular e encontrou, para cercá-lo, apenas 10 
m de tela. Sua casa é muito longe do comércio e ele tem urgência de construir o 
galinheiro. José quer que o galinheiro tenha a maior área possível. Para economizar 
tela, pretende usar o muro da fazenda como uma das paredes do galinheiro.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DACRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
64 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
A solução para o problema será encontrada pelo:
a) mínimo da função y = 2x² - 10x + 10.
b) mínimo da função y = 10w² - 2w - 10.
c) máximo da função y = 2x² - 10x.
d) máximo da função y = 10x - 2x².
e) máximo da função y = 10x² - 2x.
Letra d.
José deverá maximizar a área do galinheiro utilizando apenas 10 metros de cerca. 
Como o galinheiro é um retângulo, a sua área é dada por:
A relação entre w e x é obtida a partir do perímetro da cerca gasta, temos que:
Agora, podemos calcular a área em função do lado x.
Portanto, a área do galinheiro deve ser calculada como o máximo dessa função.
Infelizmente, a questão não pediu nem qual é o valor de x que maximiza a área 
nem qual é a maior área possível a ser obtida pelo galinheiro. No entanto, já sabe-
mos como calcular ambos os valores.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
65 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Já a área máxima do galinheiro será:
17. . (FCC/SEDU-ES/2016/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Na soma 1 + 2 + 3 po-
demos trocar um sinal de “adição” por um sinal de “igual” de forma que apareça 
uma igualdade verdadeira; veja: 1 + 2 = 3. Investigando esse curioso fato, um 
estudante se perguntou se o mesmo fato curioso ocorreria com a soma 1 + 2 + 3 
+ 4 + … +78 + 79 + 80. O professor sugeriu que o estudante tentasse encontrar a 
resposta por conta própria usando a “fórmula da soma dos termos de uma progres-
são aritmética” e, em seguida, a “fórmula de resolução de equação do 2º grau”. Se 
o estudante percorreu corretamente o encaminhamento sugerido pelo professor, 
ele concluiu que o curioso fato não ocorre na nova sequência investigada porque
a) 80 não é um quadrado perfeito.
b) 80 não é um número primo.
c) -1+ √3.240 não é um número natural.
d) (-1+ √12.961)/2 não é um número natural.
e) (-1 + √12.959)/2 não é um número natural.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
66 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Letra d.
Devemos encontrar um número natural N tal qual possamos dividir a soma em 
duas partes.
A soma de todos os 80 primeiros números naturais é dada pela expressão conheci-
da para as progressões aritméticas.
Queremos que as duas partes da soma que separamos sejam iguais, portanto, a 
soma até N deve ser a metade de 3.240.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
67 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Na minha visão, existem formas melhores de resolver tal equação do que simples-
mente aplicar a fórmula de Bhaskara. Porém, as alternativas nos induzem a fazê-lo.
Sendo assim, não conseguimos dividir a soma citada, porque o número encontrado 
não é natural.
18. (FGV/SEDU-ES/2016/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Seja a função quadrática 
g(x) = -x² + 5x + 24, definida com domínio R e contra - domínio R. A quantidade 
de números naturais do domínio que apresentam imagens positiva nessa função é 
igual a:
a) 12
b) 11
c) 7
d) 9
e) 8
Letra e.
Como o coeficiente a é negativo, a = -1 < 0, temos que a função somente apresen-
tará sinal positivo no intervalo entre as duas raízes.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
68 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
Então, precisamos calculá-las.
Como a questão pediu apenas os números naturais que apresentam imagem posi-
tiva, ela se refere aos números {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. São, portanto, 8 números.
É bom deixar claro que essa questão é passível de recurso, tendo em vista que há 
grande divergência na Matemática se “0” é ou não um número natural. Posso citar, 
por exemplo, que os grandes livros de Análise, área estudada em nível superior, 
praticamente nunca citam o “0” como um número natural. Porém, os livros de Ál-
gebra geralmente se referem a ele como número natural.
Minha visão é que, nas provas de concurso, devemos adotar o entendimento de que 
“0” é, sim, natural. Foi o caso dessa questão.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
69 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
19. (CESPE/MCT/2012) Uma creperia vende, em média, 500 crepes por semana, a 
R$ 20,00 a unidade. O proprietário estima que, para cada real de aumento no preço 
unitário de venda dos crepes, haverá redução de dez unidades na média semanal 
de vendas. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
Caso o proprietário aumente em x reais o preço unitário de venda dos crepes, então 
o faturamento médio semanal será de 10.000 + 500x - 10x2 reais.
Errado.
O faturamento da creperia é dado pelo produto do número de unidades vendidas 
pelo preço da unidade.
Se houver um aumento de x reais, o preço do crepe passará a ser de:
Por outro lado, segundo as estimativas do proprietário, ele deixará de vender 10 
unidades de crepe a cada aumento de x reais. Portanto, o número de crepes ven-
didos será:
Dessa maneira, o faturamento semanal do proprietário é dado por:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
http://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
70 de 130
MATEMÁTICA
Equações do 1º e 2º Grau
Prof. Thiago Cardoso
www.grancursosonline.com.br
20. (CESPE/MCT/2012) Para obter o maior faturamento possível, o preço do crepe 
deveria ser de R$ 35,00.
Certo.
Vamos maximizar a função faturamento. Calcularemos o x do vértice.
É importante lembrar que o x corresponde ao aumento do preço, não ao preço em 
si. O preço do crepe é dado por:
21. (ESAF/AFRFB/2012) Sabendo-se que o conjunto X é dado por 
 e que o conjunto Y é dado por , 
onde R é o conjunto dos números reais. Então pode-se afirmar que:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para JULLIANNE FEITOSA DA CRUZ - 02686293152, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se