Aula 1

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FÍSICA - ONDAS, ELETRICIDADE EFÍSICA - ONDAS, ELETRICIDADE E
MAGNETISMOMAGNETISMO
ONDULATÓRIA - REVISÃOONDULATÓRIA - REVISÃO
DE TRIGONOMETRIA,DE TRIGONOMETRIA,
OSCILAÇÕES E ONDASOSCILAÇÕES E ONDAS
Autor: Me. Hugo M. Vasconcelos
Revisor : Rosalvo Miranda
IN IC IAR
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introduçãoIntrodução
Quando deslocamos um sistema de seu equilíbrio estável, forças ou torques tendem a
restaurar este equilíbrio, fazendo com o que os corpos entrem em movimento
oscilatório. Na ausência de atrito, essa oscilação continuaria para sempre. Contudo,
devido às condições enfrentadas pelos objetos, a condição de equilíbrio é restabelecida.
Você conhece algum sistema oscilante? Sabe identi�car os elementos que descrevem
esse sistema? Consegue descrever a propagação de uma onda e suas possíveis
interferências umas com as outras? Fenômenos do tipo periódico estão presentes em
diversas aplicações de Engenharia, como osciladores, corrente elétrica, dentre outros.
Atualmente, tem-se estudado muito sobre o aproveitamento da energia das ondas
marítimas. A forma como as ondas propagam-se ao longo de grandes distâncias cria
uma enorme área de energia aproveitável.
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A trigonometria é umas das áreas do conhecimento humano mais antigas. A
necessidade de determinar posições e distâncias, por exemplo, sempre foi uma questão
interessante para a humanidade. Observar a posição dos astros celestes e a relação
entre estes foi um importante campo de estudos de desenvolvimento para a
astronomia. Já aplicações que envolvem a agricultura também fomentaram o
desenvolvimento desse campo da Matemática, bem como as navegações.
Classi�icação de Triângulos e Teorema de
Pitágoras
Um triângulo pode ser de�nido como uma �gura plana, a qual contém três lados. Estes
podem ser classi�cados em função dos lados, como equilátero, isósceles e escalenos,
conforme vemos na representação da Figura 1.1:
TrigonometriaTrigonometria
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Em função dos ângulos, os triângulos podem, ainda, ser classi�cados como
obtusângulos (um ângulo interno maior do que 90º - ângulo obtuso), acutângulos (três
ângulos internos menores do que 90º - ângulos agudos) ou retângulos (um ângulo
interno igual a 90º - ângulo reto).
Ângulos adjacentes são aqueles que possuem o mesmo vértice e um lado comum,
conforme a Figura 1.2:
Figura 1.1 - Classi�cação dos triângulos quanto aos ângulos
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Figura 1.2 - Os ângulos e são adjacentes, pois possuem o mesmo vértice e
dividem a mesma semirreta 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Daremos uma atenção especial ao triângulo retângulo. É possível perceber que
qualquer um dos triângulos – equilátero, isósceles ou escaleno – pode ser dividido em
triângulos retângulos e, em muitas situações, a resolução de problemas �ca bastante
simpli�cada.
Como já dissemos, um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto, ou seja,
um ângulo igual a 90º, conforme vemos na Figura 1.3:
α β A
AC− −−
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Note que, no triângulo retângulo, A, B, e C representam os vértices, enquanto que ,
e representam os lados do triângulo, em que o lado maior é chamado de hipotenusa,
e os demais de catetos.
Pitágoras descobriu que a soma da área dos quadrados menores (azul e verde),
 formados pelos lados e de um triângulo retângulo, é igual à área do quadrado
maior (amarelo) de lado . Em outras palavras, a soma do quadrado dos catetos é igual
ao quadrado da hipotenusa. Isto é o que chamamos de Teorema de Pitágoras,
conforme ilustrado na Figura 1.4:
Figura 1.3 - Representação de um triângulo retângulo
Fonte: Elaborada pelo autor.
a,  b
c
a c
b
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Matematicamente, escrevemos que:
Círculo Trigonométrico
Em trigonometria, o círculo trigonométrico é utilizado para relacionar o sistema angular
com os números reais. Na Figura 1.5, uma ilustração é feita para essa relação, que
também é útil para representar valores de seno e cosseno.
Figura 1.4 - Teorema de Pitágoras
Fonte: Elaborada pelo autor.
+ c =a2 b2
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Observe que, no círculo, não apenas há a representação dos ângulos, variando de até
, mas também o equivalente em radianos, que varia de até , que equivale a
.
O radiano ( ) é de�nido como a medida do ângulo central, cujo arco
correspondente representa o mesmo comprimento ( ) do raio ( ) da circunferência,
conforme Figura 1.6:
Figura 1.5 - Círculo trigonométrico, em que o eixo x representa o cosseno do ângulo, e o
eixo y representa o seno
Fonte: Elaborada pelo autor.
0
360o 0 2π
180o
1 rad
C R
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Note que o comprimento dado pelo arco é igual ao raio . Além disso, podemos
determinar uma relação entre um ângulo e da seguinte maneira:
Funções Trigonométricas
Iniciamos nossos estudos sobre trigonometria. Agora, vamos conhecer algumas
características mais detalhadas das funções trigonométricas, como domínio, imagem e
grá�co.
A função seno é dada por 
Na Figura 1.7, é possível notar que seu comportamento repete-se a cada intervalo ,
ou seja, é uma função periódica, com período . Além disso, trata-se de uma função
ímpar, uma vez que é simétrica em relação à origem, ou seja, 
Figura 1.6 - De�nição do conceito de radiano no círculo
Fonte: Elaborada pelo autor.
AB R
α rad
α = C/R
f (x) = sen (x) .
2π
2π
f (−x) = f (x) .
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Figura 1.7 - Grá�co da função 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A função cosseno é dada por , conforme o grá�co da Figura 1.8:
f (x) = sen (x)
f (x) = cos  (x)
Figura 1.8 - Grá�co da função 
Fonte: Elaborada pelo autor.
f (x) = cos (x)
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É possível notar que seu comportamento repete-se a cada intervalo , ou seja, é uma
função periódica, com período . Além disso, trata-se de uma função par, uma vez que
é simétrica, em relação ao eixo , ou seja, Perceba, também, que
esta é defasada, com relação à função seno em .
praticarVamos Praticar
Um eletricista está realizando um reparo na instalação elétrica de um prédio. Para atingir
pontos altos, ele utiliza uma escada que possui de comprimento. Em um dado instante, o
eletricista precisou fazer um reparo em uma �ação localizada no teto do apartamento.
Considerando que o menor ângulo que a escada pode ter, em relação à parede, para garantir
segurança ao eletricista, é de , qual deve ser a altura máxima do teto, para que o eletricista
consiga atingir?
a) 1,45 m.
b) 1,36 m.
c) 3,00 m.
d) 3,75 m.
e) 4,50 m.
2π
2π
y f (−x) = −f (x) .
π/2
4 m
20o
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Você, com certeza, já viu uma mola. É um objeto bem familiar, que pode ser utilizado
para diversos �ns, como na composição dos botões de seleção de componentes
eletrônicos, nos sistemas de suspensão de automóveis ou até em colchões. Esta pode
ser utilizada tanto esticada quanto comprimida.
Contudo, você sabe o que acontece quando movimentamos uma mola? Inicialmente,
esta está em equilíbrio. Quando esticamos ou comprimimos-na, exercemos uma força
paralela ao seu comprimento. Mas o que acontece depois? A mola �ca oscilando? Será
que é possível descrever essas oscilações, matematicamente? E mais: será que esse
movimento é característico somente das molas? Observe ao seu redor. Existem vários
movimentos que se repetem ou oscilam, como o pêndulo de um relógio antigo, as
vibrações de uma corda de violão ou o som de um clarinete.
Oscilador Harmônico Simples
A oscilação é o que ocorre quando um sistema em equilíbrio estável, conforme a Figura
1.9, é perturbado, produzindo um movimento de vai e vem, até retornar à posição de
Oscilações -Oscilações -
MovimentoMovimento
Harmônico SimplesHarmônico Simples
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equilíbrio.
Um modelo do movimento harmônico simples é o sistema massa-mola. Considere um
bloco de massa preso à uma mola, como ilustrado na Figura 1.10. Quando o bloco
move-se para a direita, a força age para restaurar no sentido oposto (esquerda),
levando o bloco para a posição de equilíbrio , ou seja, sempre que o bloco estiver
na posição de equilíbrio, a força restauradora será nula.
Figura 1.9 - Ilustração do equilíbrio estável
Fonte: Elaborada pelo autor.
m
x = 0
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Em muitos sistemas, a força restauradora surge, quando deslocamos o sistema do
equilíbrio, de modo que a força é proporcional ao deslocamento, conforme descrito na
equação (1).
Sendo o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio, e a constante
elástica da mola que, no Sistema Internacional (SI), possui unidade de newton por metro
. Em um movimento harmônico simples, a força é proporcional ao
deslocamento. Como a força é restauradora, veri�camos a existência de um sinal
negativo. Assim, toda vez que uma força age em um sentido, o deslocamento age no
sentido oposto, de modo a restaurar a posição de equilíbrio.
Partícula em Movimento Harmônico Simples
O modelo discutido na seção anterior pode ser descrito como uma partícula em
movimento harmônico simples. Podemos aplicar a segunda Lei de Newton, ao sistema
massa-mola, escolhendo o eixo como referência, ao longo do qual ocorre a oscilação.
Então:
Figura 1.10 - Um sistema massa-mola em uma superfície sem atrito
Fonte: Serway e Jewett (2011, p. 5).
F (x) = −kx          (1)
x k
(N/m)
x
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Lembrando que, por de�nição, , podemos escrever:
Que podemos reescrever como:
A qual chamamos a razão de , assim, e a equação toma a forma:
A solução deve ser do tipo periódica. A equação da posição deve satisfazer a
equação diferencial de segunda ordem, bem como possuir a representação matemática
da posição da partícula como uma função do tempo. As funções trigonométricas seno e
cosseno exibem este comportamento. Sendo assim, podemos nos basear nessas
funções, para encontrar a nossa solução.
No tempo inicial , puxamos o corpo de massa e, depois, soltamos. Como o
movimento inicial tem um deslocamento não nulo, a função cosseno é mais apropriada
que a função seno, já que Logo, a solução é dada por:
 é a amplitude máxima do movimento a partir do equilíbrio; é a constante de fase,
apresentando o deslocamento da curva do cosseno para a direita ou para a
esquerda 
A função é periódica, ou seja, sua forma repete-se a cada período de oscilação .
A função cosseno completa um ciclo a cada (em radianos), isto é, (em graus). O
argumento da função cosseno é o qual pode variar de até , e o tempo pode
variar de até Logo:
F = ma = −kx       (2)
a = dv/dt = x/dd2  t2 
m  = −kx        (3)
xd2
dt2
= − x                    (4)
xd2
dt2
k
m
k/m ω2 = k/mω2
= − x          (5)
xd2
dt2
ω2 
x (t)
(t = 0) m
cos ( ) = 1.00
x (t) = A cos  (ωt  + Φ)           (6)
A Φ
(Φ < 0)
(Φ > 0).
x (t) T
2π 360o
ωt, 0 2π
0 2π.
ωT = 2π          (7)
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ou seja,
conforme representação na Figura 1.11:
Figura 1.11 - Representação grá�ca do movimento harmônico simples  a) b)
Fonte: Serway e Jewett (2011, p. 6).
De�nindo a frequência como o inverso do período, ou seja, o número de oscilações por
unidade de tempo, podemos escrever:
Podemos, também, escrever a frequência angular em termos de ou . Assim:
A diferença entre estas é igual a . Tendo a frequência de oscilação da unidade de
medida em , e a frequência angular da unidade de no sistema
internacional.
T = 2π/ω                   (8)
Φ < 0
Φ = 0
f = = =                                            (9)
1
T
ω
2π
1
2π
 
k
m
−−−√
ω f T
ω = 2πf =                                               (10)
2π
T
2π
Hz ω rad/s
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Também podemos obter a velocidade e a aceleração da partícula no movimento
harmônico simples a partir da posição, como ilustrado na Figura 1.12. Para simpli�car,
vamos considerar que a constante de fase . Logo:
Ou seja, a velocidade e a aceleração não são constantes, mas variam entre valores
máximos e mínimos, no decorrer do tempo. Como as funções seno e cosseno variam
entre e , os valores máximos da velocidade e da aceleração, em módulo, são:
O oscilador harmônico simples não é apenas um movimento vibratório, mas também
um tipo muito especí�co de movimento, o qual é determinado pelas equações que
acabamos de estudar.
ϕ = 0
x (t) = Acos (ωt)                         (11)
v (t) = = −ωAsen (ωt)               (12)
dx
dt
a (t) = = − Acos (ωt)            (13)
xd2
dt2
ω2
−1 +1
= ωA = A             (14)vmax
k
m
−−−√
= A = A (15)amax ω2
k
m
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O período corresponde a uma oscilação completa; (b) a velocidade  da partícula;
e (c) a aceleração da partícula.
Energia no Movimento Harmônico
Simples
Assim, como um objeto cai na superfície da Terra, devido ao potencial gravitacional,
uma mola também tem energia potencial, quando é comprimida ou esticada. É a
energia potencial elástica .
Ao deslocar o sistema massa-mola do equilíbrio, você realiza o trabalho, que é
convertido em energia potencial na mola. Quando o objeto é deslocado por uma
distância , a partir da posição de equilíbrio , a mola é contraída para levar o
objeto de volta à posição inicial. Quando o objeto passa pela posição de equilíbrio, este
possui energia cinética máxima e nenhuma energia potencial. A partir daí, o corpo
passa pelo ponto de equilíbrio, ganhando energia potencial, bem como comprimindo a
Figura 1.12 - Descrição do MHS de uma partícula com relação ao (a) deslocamento
, com uma constante de fase igual a zero
Fonte: Halliday (2016, p. 91).
x (t) Φ
T v (t)
a (t)
x x = 0
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mola.
Vamos considerar um objeto que desliza sobre uma superfície sem atrito. Também
vamos desprezar a resistência do ar. Nesse sistema, o processo continua
inde�nidamente. Em um movimento oscilatório, a energia está continuamente sendo
transferida nas formas de energia potencial e energia cinética.
Para um sistema massa-mola, a energia potencial é dada por:
Podemos ilustrar, na Figura 1.13, explicitamente, essa troca entre a energia potencial e
a energia cinética no movimento harmônico simples, pois basta substituir a
dependência da posição (amplitude) , em relação ao tempo na expressão da energia
potencial, e a velocidade na expressão da energia cinética.
Figura 1.13 - Ilustração da variação da Energia Potencial (azul), Energia Cinética (verde)
e Energia Total (linha pontilhada), com a variação da amplitude de oscilação da
partícula
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fazendo isso, encontramos:
U = k             (16)
1
2
x2
x
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Consideramos que . Ambas as energias têm o mesmo valor máximo ,
mas a energia potencial é máxima, quando a energia cinética é zero e vice-versa.
O que podemos dizer sobre a energia total do sistema? É dada por:
Como resultado, encontramos que, apesar da energia cinética e de a energia
potencial variarem no tempo, sua soma – a energia total do sistema – não muda, isto
é, a energia total do sistema é conservada.
Movimento Harmônico Simples e
Movimento Circular Uniforme
Existem alguns dispositivos bastantes conhecidos, os quais apresentam uma relação
entre o movimento oscilatório e o movimento circular. Os pistões de um motor de
automóvel, por exemplo, movem-se para cima e para baixo, em um movimento
oscilatório, que é resultado do movimento circular das rodas. Nas antigas locomotivas,
o eixo de acionamento vai e volta, também, de forma oscilatória, gerando o movimento
circular. Esse movimento de vai e vem aparente é apenas um componente do
movimento circular real e tem uma forma senoidal.
Especi�camente, o vetor posição de qualquer objeto em movimento circular faz um
ângulo que aumenta linearmente com o tempo: , em que medimos em relação
ao eixo . Quando o objeto está sobre o eixo , temos . Logo, as duas
componentes (polares) do objeto:
tornam-se:
U = k = k = k (ωt)          (17)
1
2
x2
1
2
(Acos (ωt))2
1
2
A2
K = k = m = m se (ωt) = k se (ωt)        (18)
1
2
v2
1
2
(−ωAsen (ωt))2
1
2
ω2A2 n2
1
2
A2 n2
= k/mω2 k12 A
2
E = U + K = k (ωt)   + k se (ωt) = k       (19)
1
2
A2
1
2
A2 n2
1
2
A2
K
U
r
θ = ωt θ
x x t = 0
x = r cosθ            y = r senθ
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Essas são as equações para dois osciladores harmônicos simples diferentes: um na
direção , e outro na direção . Já que um oscilador é o cosseno e o outro é seno, estes
estão com uma diferença de fase (defasagem) de ou .
Podemos pensar, portanto, que o movimento circular uniforme é o resultado de
movimentos harmônicos simples perpendiculares, com mesma amplitude e frequência,
mas com de diferença de fase. Isso ajuda-nos a entender porque usamos o termo
frequência angular para o movimento harmônico simples, mesmo sabendo que não há
nenhum ângulo envolvido no sistema.
O argumento na descrição do movimento harmônico simples é o mesmo que
aparece no ângulo da correspondência angular. O tempo para que ocorra um ciclo no
movimento harmônico simples é o mesmo tempo de revolução no movimento circular,
tal que os valores de e são exatamente os mesmos.
É possível veri�car que os movimentos harmônicos simples perpendiculares, com
mesma amplitude e frequência, somam-se vetorialmente para produzir o movimento
circular. Se as amplitudes ou frequências não são as mesmas, os movimentos tornam-
se mais complexos.
Pêndulo Simples
Um pêndulo simples consiste em uma partícula de massa m, suspensa por um �o
inextensível e de massa desprezível, com comprimento . Quando a partícula é
afastada de sua posição de equilíbrio e liberada em seguida, o pêndulo oscilará em um
plano vertical, sob a ação da gravidade, como mostra a Figura 1.14:
x (t) = rcoscos  (ωt)               y (t) = r sen  (ωt)
x y
90o π/2
90o
ωt
θ
T ω
L
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As forças que atuam sobre a partícula de massa são tensão do �o e   força
gravitacional , que pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial ao
movimento, de módulo ; e outra radial, de módulo .
A componente tangencial é uma força restauradora, pois tende a trazer a partícula para
sua posição de equilíbrio, a mais baixa do pêndulo. Essa força age sempre
contrariamente ao movimento da partícula. Aplicando a lei de Newton, na direção
tangencial, temos:
O comprimento do arco $s$ está relacionado ao ângulo por:
Derivando ambos os lados dessa relação, encontramos:
Figura 1.14 - Forças que atuam em um pêndulo simples
Fonte: Tipler (2009, p. 477).
m T
mg
mgsenΦ mgcosΦ
m = ma = −mgsenΦ (20)
sd2
dt2
θ
s = LΦ
= L
xd2
dt2
Φd2
dt2
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Substituindo esse resultado na equação (1), temos:
reflitaRe�ita
Percebeu que a massa m não aparece nesta
equação �nal? Isso signi�ca que o
movimento do pêndulo não depende dela.
Re�ita sobre este fato.
Para ângulos pequenos:
e podemos escrever:
Logo, temos a mesma equação, que descreve o movimento de um objeto ligado a uma
mola, isto é, uma equação de movimento harmônico simples. Para pequenos
deslocamentos angulares, a representação grá�ca do movimento do pêndulo simples é
semelhante ao padrão sinusoidal para o movimento harmônico simples. Analogamente,
sua solução é:
= − senΦ
θd2
dt2
g
L
senΦ ≈ Φ
= − Φ                 Φ ≪ 1
Φd2
dt2
g
L
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 é a amplitude do movimento ou posição angular máxima, e a frequência angular
do pêndulo édada por:
Portanto, o período do movimento para pequenas oscilações é:
O período e a frequência angular do pêndulo simples, oscilando em ângulos pequenos,
dependem apenas do comprimento do �o e da aceleração da gravidade.
saibamaisSaiba mais
Você pode estudar as oscilações em um pêndulo
formado por um corpo rígido qualquer, em que o
corpo oscila em um plano vertical, em torno de um
eixo que passa pelo corpo.
ACESSAR
Oscilador Harmônico Amortecido
Em um movimento harmônico simples, como pode ser veri�cado na Figura 1.15, um
Φ = coscos  (ωt + ϕ)           (21)Φmax
θmax
ω =                         (22)
g
L
−−√
T = = 2π                    (23)
2π
ω
L
g
−−√
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https://pt.khanacademy.org/science/physics/mechanical-waves-and-sound/harmonic-motion/v/pendulum
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objeto oscila com amplitude constante. Isso ocorre porque não há nenhum mecanismo
de dissipação de energia. Na realidade, o atrito ou algum outro mecanismo de
dissipação de energia (por exemplo, a resistência do ar) está sempre presente. Na
presença de algum tipo de energia dissipativa, a amplitude da oscilação diminui, com o
passar do tempo, e o movimento deixa de ser harmônico simples, para tornar-se um
movimento harmônico amortecido. A diminuição na amplitude é chamada
amortecimento.
Figura 1.15 - Oscilador amortecido devido a um líquido viscoso
Fonte: Tipler (2009, p. 483).
Esse tipo de movimento é essencial para o sistema de suspensão de um automóvel. O
amortecedor, ligado a uma mola principal de suspensão, é constituído de um pistão, em
um reservatório de óleo, que se move em resposta a uma vibração na estrada. Nesse
pistão, há buracos que deixam passar o óleo. Assim, durante o movimento, surgem
forças de viscosidade que procam um amortecimento.
Em muitos sistemas, a força de amortecimento é aproximadamente proporcional à
velocidade e com direção oposta:
 é uma constante. Usamos a seta para indicar as grandezas vetoriais.
= −b                        (24)F ⃗ d v ⃗ 
b
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Vamos, agora, escrever a segunda lei de Newton, , incluindo a força de
amortecimento como a força restauradora. Para o sistema massa-mola, temos:
A solução exata para essa equação pode ser encontrada usando métodos padrões para
a resolução de equações diferenciais, que podem não ser familiares a você. Portanto,
vamos, simplesmente, indicar sua solução sem provas. Para constantes de
amortecimento su�cientemente pequenas, a solução é dada por:
em que:
Essa equação descreve um movimento senoidal, cuja amplitude cai exponencialmente
até zero. Esse decréscimo depende da constante de amortecimento b e da massa m.
Quando o amortecimento é tão fraco, ou seja, o valor de b é pequeno, que somente
uma pequena fração da energia total é perdida em cada ciclo, a frequência é,
essencialmente, a mesma da oscilação sem amortecimento, isto é, chamada de
frequência natural:
Por outro lado, se o amortecimento é forte, a força de amortecimento diminui o
movimento, e a frequência torna-se menor. Quando , a amplitude reduz-se a
 de seu valor inicial, em que é a constante de Euler. Esse tempo é
chamado de meia-vida da oscilação.
As equações que você acabou de ver são válidas para . Quando atinge
um valor crítico máximo, , o sistema é chamado de criticamente
amortecido, pois este não oscila e volta ao equilíbrio de forma exponencial.
Muitos sistemas físicos podem ser modelados como osciladores amortecidos.
∑ = mF ⃗  a⃗ 
m = −kx − b                         (25)
xd2
dt2
dx
dt
x (t) = A coscos  ( t + ϕ)                      (26) .e−( )t
b
2m ω′
=                                            (27)ω′ −
k
m
( )b
2m
2− −−−−−−−−−−√
≅ =                                           (28)ω′ ωo k/m
− −−−√
t = 2m/b
1/e e = 2, 718
b ≤ 2 k/m
− −−−√ b
= 2mbc ωo
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Amortecedores de automóveis, por exemplo, são projetados com molas especí�cas
para dar um amortecimento crítico, de modo que obtenha um retorno rápido ao
equilíbrio, para absorver a energia transmitida pelos solavancos da estrada.
Oscilador Harmônico Forçado e
Ressonância
Para manter um sistema amortecido oscilando inde�nidamente, a energia mecânica
deve ser injetada no sistema. Quando isso é feito, o oscilador é dito excitado ou
forçado. Quem mantém uma criança oscilando, no balanço de jardim, empurrando-a
pelo menos uma vez a cada ciclo, está forçando um oscilador. Se o mecanismo de
excitação injeta energia no sistema a uma taxa maior do que a taxa com que esta é
dissipada, a energia mecânica do sistema e a amplitude aumenta com o tempo. Se o
mecanismo de excitação injeta energia a mesma taxa com que esta é dissipada, a
amplitude permanece constante no tempo. Nesse caso, o movimento do oscilador é
estacionário.
A Figura 1.16 mostra um sistema, o qual consiste num corpo em uma mola que está
sendo excitada, movendo-se o ponto de apoio para cima e para baixo, em um
movimento harmônico simples de freqüência . No início, o movimento é complicado,
mas este acaba por entrar em regime estacionário, quando o sistema oscila com a
mesma frequência de excitação e com uma amplitude constante e, portanto, com
energia constante. Em regime estacionário, a energia injetada no sistema pela força de
excitação, a cada ciclo, é igual à energia dissipada pelo amortecimento em cada ciclo.
ω
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A amplitude e, portanto, a energia de um sistema em regime estacionário não depende
apenas da amplitude da força de excitação, mas também depende de sua frequência. A
frequuência natural de um oscilador , , é a sua frequência, quando não há forças
de excitação e nem forças de amortecimento presentes. No caso de uma mola, por
exemplo, . Se a frequência de excitação é su�cientemente próxima da
frequência natural do sistema, o sistema oscilará com uma amplitude relativamente
grande. Por exemplo, se o suporte da �gura anterior oscila em uma frequência próxima
da frequência natural do sistema massa-mola, a massa oscilará com uma amplitude
muito maior do que a que teria se o suporte oscilasse com frequências
signi�cativamente maiores ou menores, conforme ilustração na Figura 1.17. Esse
fenômeno é chamado ressonância. Quando a frequência de excitação é igual à
frequência natural do oscilador, a energia por ciclo transferida ao oscilador é máxima. A
frequência natural do sistema é, então, chamada de frequência de ressonância .
Figura 1.16 - Um corpo preso a uma mola vertical pode ser forçado movendo-se o
suporte para cima e para baixo
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 487).
ωo
=ωo k/m
− −−−√
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A Figura 1.17 mostra os grá�cos da potência média, injetada em um oscilador, como
função da frequência de excitação para dois valores diferentes de amortecimento. Essas
curvas são chamadas curvas de ressonância. Quando o amortecimento é fraco (grande
Q), a largura do pico de ressonância correspondente é pequena, e dizemos que a
ressonância é estreita. Para amortecimento forte,a curva de ressonância é larga. A
largura de cada curva de ressonância, , indicada na Figura 1.16, é a largura na
metade da altura máxima. Pode-se mostrar que, para o amortecimento fraco, a razão
entre a largura de ressonância e a frequência de ressonância é igual ao inverso do fator
:
Assim, o fator é uma medida direta da estreiteza da ressonância. Existem muitos
exemplos de ressonância. Quando você senta em um balanço, intuitivamente, você
inclina-se para impulsioná-lo com sua mesma frequência natural. Muitas máquinas
vibram, porque possuem partes giratórias, as quais não estão perfeitamente
balanceadas.
Figura 1.17 - Curva de ressonância para um oscilador forçado
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 487).
Δω
Q
=                                              (29)
Δω
ωo
1
Q
Q
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Ondas Progressivas e ondas Harmônicas
Em geral, falamos de onda quando há transmissão de um sinal entre dois pontos
distantes, sem que haja transporte direto de matéria. Para uma onda na superfície da
água, podemos associar esse sinal, por exemplo, a uma crista, em que a elevação da
água é máxima. Para uma onda na corda, fazemos um movimento para cima e para
baixo, causando uma perturbação, gerando uma sinuosidade ou um pulso, o qual se
deslocará ao longo da corda.
As ondas classi�cam-se em dois tipos:
1. ondas transversais : quando a vibração é perpendicular à direção de
propagação, como mostrado na Figura 1.19. Por exemplo, as ondas do mar e
ondas em uma corda.
2. ondas longitudinais : quando a direção de propagação coincide com a
direção de vibração, como mostrado na Figura 1.18. Nos líquidos e gases, a
onda propaga-se dessa forma. A mola e o som são alguns exemplos.
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Figura 1.18 - Na ilustração, um êmbolo move-se para trás e para frente, criando uma
onda longitudinal
Fonte: Halliday (2016, p. 119).
Uma onda progressiva é uma onda que se propaga de um ponto a outro e transporta
energia na direção de propagação. O oposto de onda progressiva é uma onda oscilante,
denominada onda estacionária, em que não há �uxo de energia. As ondas sonoras
produzidas na fala são progressivas, enquanto que as originadas no interior de uma
�auta são ondas estacionárias.
Você verá, agora, a descrição matemática da propagação de um pulso em uma onda.
Vamos assumir que a perturbação mantém sua forma enquanto se propaga,
desprezando quaisquer perdas por atrito ou outras formas de dissipação de energia.
Para simpli�car, vamos considerar uma onda mecânica transversal, que se propaga em
uma longa corda esticada. O grá�co (a), na Figura 1.19, mostra um pulso ondulatório,,
de forma arbitrária no instante , que viaja com velocidade v na direção .
Matematicamente, no instante , a altura y da corda passa a ser descrita por uma
função , que descreve a forma do pulso. Em um instante t posterior, o pulso
percorreu uma distância , conforme mostra (b).
t = 0 x
t = 0
f (x)
vt
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Figura 1.19 - Um pulso transversal propagando-se com velocidade v para a direita
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 502).
A coordenada indica o deslocamento transversal de um ponto particular da corda.
Esta depende da coordenada e do tempo , ou seja, . No instante inicial,
temos:
 é uma função que descreve a forma da onda, ou seja, o pulso. Como estamos
assumindo que o pulso não muda ao longo de sua propagação, para qualquer tempo
posterior, a onda continuará sendo descrita pela função . No referencial que
acompanha o pulso, devemos usar a relação entre as abscissas dos dois referenciais:
Portanto, em um instante , a onda é descrita por:
A função tem, no instante , a mesma forma em relação ao ponto ,
que a função tem em relação ao ponto no instante . Para descrever a
onda completamente, temos de conhecer a função 
y
x t y = y (x, t)
y (x, t = 0) = f (x)                                     (30)
f
f (x)
= x − vt                                            (31)x′
t
y (x, t) = f ( ) = f (x − vt)                               (32)x′
f (x − vt) t x = vt
f (x) x = 0 t = 0
f.
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Quando a onda propaga-se no sentido negativo, basta fazer . Nesse caso,
temos:
Como antes, representa a forma da onda em .
A função descreve, completamente, a forma da onda e seu movimento é válido
para ondas de diferentes formas, sejam transversais ou longitudinais.
Um caso particular de onda progressiva é a onda harmônica simples, na qual a função
em possui a forma senoidal. Uma onda harmônica simples pode ser produzida,
por exemplo, movendo uma das extremidades de uma corda longa para cima e para
baixo, mantendo sempre o mesmo deslocamento vertical.
Escolhendo as coordenadas de forma que, em , esta possua um mínimo em
, temos:
 é a amplitude da onda, e é uma constante chamada número de onda. Se a
amplitude for máxima em , temos uma função cosseno, com constante de fase
nula:
Podemos encontrar o valor de , lembrando que a onda repete-se e, portanto,
de�nimos:
• comprimento de onda : distância entre duas cristas ou dois vales da onda;
• período : intervalo de tempo para que a onda viaje por uma distância .
A função seno repete-se quando o ângulo ou o argumento �ca acrescido de , logo,
devemos ter:
ou:
x v = −v
y (x, t) = f (x + vt)                                   (33)
f (x) t = 0
y (x, t)
t = 0
x = 0
t = 0
y (x, 0) = Asen (kx)                               (34)
A k
t = 0
y (x, 0) = Acos (kx)                            (35)
k
(λ)
(T ) λ
2π
kλ = 2π                  (36)
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O número de onda é uma grandeza angular, cuja unidade no SI é o rad/m, assim, como
a frequência angular, este é medido em :
Existe uma relação simples entre o período e o comprimento de onda, que é a
velocidade de qualquer onda periódica. Por de�nição, a velocidade da onda é a
distância de um comprimento de onda percorrida por um período . Assim, tem-se:
Como qualquer outro movimento harmônico, o período está relacionado à frequência:
Logo, a velocidade de propagação da onda também pode ser escrita em termos da
frequência:
Essa terminologia para as relações fundamentais da frequência e velocidade aplicam-se
tanto para ondas transversais quanto para as ondas longitudinais.
Para descrever uma onda movendo-se com velocidade , devemos trocar na
expressão por , obtendo:
Sabemos que e . Logo, o argumento da função cosseno torna-se:
Também sabemos que . A frequência angular que descreve o movimento
harmônico simples é a mesma na descrição do movimento ondulatório. Não é de
k =                 (37)
2π
λ
rad/s
ω = = 2πf                (38)
2π
T
T
v =                             (39)
λ
T
f =                                       (40)
1
T
v = λf                                      (41)
v x
y (x, 0) x  vt
y (x, t) = Acos [k (x − vt)]                         (42)
k = 2π/λ v = λ/T
kvt = ( ) ( ) t = t                            (43)2π
λ
λ
T
2π
T
ω = 2π/T
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admirar-se, pois, em um ponto �xo no espaço, a onda oscila como um oscilador
harmônico simples. Dessa maneira, podemos escrever uma onda que se propaga na
forma senoidal como:
Em que usamos o sinal de +/– para descrever uma onda propagando-se na direção de x
positivo (sinal negativo) e na direção de x negativo (sinal positivo). O argumento do
cosseno é chamado de fase da onda . Para compreender melhor o assunto,
acompanhe o seguinte exemplo prático.
praticarVamos Praticar
Um sur�sta rema para além de onde se quebram as ondas de forma senoidal, com cristas de
14 m de distância. Ele oscila em uma crista com comprimento vertical de 3,6 m, um processo
que leva 1,5 segundos. É possível a�rmar que a equação que descreve a onda:
a) apresenta uma forma do tipo .
b) é descrita por .
c) é descrita por .
d) apresenta uma forma do tipo .
e) apresenta uma forma do tipo .
y (x, t) = Acos [kx ± ωt)]                         (44)
y (x, t) =  cos  (0, 100x − ωt)y1
y (x, t) =  cos  (0, 449x − 1, 5t)y1
y (x, t) = 10 cos  (0, 449x − 2, 09t)
y (x, t) = 1, 8 cos  (0, 449x − 2, 09t)
y (x, t) = 3, 6 cos  (0, 449x − 2, 09t)
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Superposição e Interferência de Ondas
Muitas vezes, duas ou mais ondas sonoras estão presentes no mesmo lugar, ao mesmo
tempo. Um exemplo são as ondas sonoras quando todo mundo está falando em uma
festa ou quando a música toca nos alto-falantes do sistema de som estéreo.
A Figura 1.20 ilustra esse tipo de situação. Ela mostra dois pulsos transversais de alturas
iguais, ambos “para cima”, movendo-se um em direção ao outro. Quando eles se
encontram, os dois pulsos se fundem e formam outro, que é a soma individual de cada
pulso. Esse é um exemplo do princípio de superposição linear .
Figura 1.20 - Exemplo de superposição linear
Fonte: Halliday (2016, p. 132).
Princípio da superposição: quando duas ou mais ondas sobrepõem-se, a onda
resultante é a soma algébrica das ondas individuais. Matematicamente, quando as
ondas sobrepõem-se, o deslocamento da corda é dado pela soma algébrica:
(x, t) = (x, t) + (x, t)                         (45)y′ y1 y2
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Esse princípio pode ser aplicado a todos os tipos de ondas.
No ponto de encontro das duas ondas que você viu na �gura, as cristas coincidem-se, e
a amplitude da onda resultante é, momentaneamente, a soma das duas. Nesse caso,
interferem construtivamente.
Vamos aplicar o princípio de superposição a duas ondas senoidais propagando-se no
mesmo sentido em um meio. As duas ondas podem ter a mesma frequência, mesmo
comprimento de onda e amplitude, mas fases diferentes. Assim, escrevemos:
 e são as constantes de fase de cada onda. Se essas ondas encontrarem-se, a
função de onda resultante é, de acordo com o princípio da superposição:
Em que usamos a identidade trigonométrica:
A constante de fase da onda resultante é dada por .
A função também é senoidal e tem a mesma frequência e comprimento de onda das
ondas individuais. A amplitude resultante é dada por:
Em que é a diferença de fase entre as ondas. Se for zero, a amplitude
da onda resultante é , ou seja, o dobro da amplitude das ondas individuais. Nesse
caso, as duas ondas interferem construtivamente. A condição geral, para que aconteça
uma interferência construtiva, é:
(x, t) = Asen (kx − ωt − )                  (46)y1 ϕ1
(x, t) = Asen (kx − ωt − )                      (47)y2 ϕ2
ϕ1 ϕ2
y (x, t) = + = 2Acos (Δϕ) sen (kx − ωt − )                (47)y1 y2 ϕ
′
sena + senb = 2coscos  ( )  sen ( )                     (48)a − b
2
a + b
2
ϕ = ( + )ϕ1 ϕ22
y
y (x, t) = 2Acos ( )                            (49)Δϕ
2
Δϕ = −ϕ2 ϕ1
2A
Δϕ = 2mπ               (m = 0, ±1, ±2, …)
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Por outro lado, se $\Delta \phi $ é qualquer múltiplo ímpar de $\pi $,
A onda resultante tem amplitude nula, ou seja, as duas ondas interferem
destrutivamente. Nesse caso, o máximo de uma onda coincide com o mínimo da outra.
Δϕ = (2m + 1) π               (m = 0, ±1, ±2, …)                    (51)
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indicações
Material
Complementar
L IVRO
Vibrações e ondas
Editora : IST Press
Autor : João Paulo Silva
ISBN : 978-9898481146
Comentário : o livro cobre, essencialmente, todos os tópicos
de um curso introdutório em vibrações e ondas. Os temas são
abordados recorrendo, geralmente, a exemplos de mecânica
ou eletromagnetismo, sendo, também, dados vários exemplos
da física subatômica. Frequentemente, o estudo de vibrações é
associado a outros temas (termodinâmica, óptica, etc.) e,
nesses casos, o presente livro cobrirá o programa de vibrações.
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WEB
O que signi�ica a descoberta das ondas
gravitacionais?
Ano : 2016
Comentário : as ondas gravitacionais são ondulações na
curvatura do espaço-tempo, que se propagam para o exterior,
a partir da fonte. São ondas transversais, as quais comprimem
e esticam o que estiver em seu caminho.
ACESSAR
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https://www.youtube.com/watch?v=jMVAgCPYYHY
https://www.youtube.com/watch?v=jMVAgCPYYHY
conclusão
Conclusão
Você estudou os elementos dos fenômenos ondulatórios e suas aplicações. Primeiro,
você entendeu a dinâmica do movimento oscilatório, por meio de um exemplo típico,
um corpo ou partícula de massa m, ligado a uma mola horizontal. Nesse caso, surge
uma força restauradora da forma , em que é uma constante, e é o
deslocamento da partícula em relação à sua posição de equilíbrio. Depois, com base na
segunda lei de Newton, você viu como resolver a equação de movimento do sistema.
Ademais, vimos que a energia está continuamente sendo transferida nas formas de
energia potencial e energia cinética , sendo máxima quando é zero, e vice-
versa. A energia total no sistema é constante, ou seja, , já que o
sistema não é dissipativo.
Como aplicação do movimento oscilatório, você estudou o pêndulo simples, que
consiste em uma partícula de massa m, suspensa por um �o de comprimento .
Na segunda parte, foram observados os elementos de uma onda progressiva, em
particular, de uma onda harmônica. Você aprendeu, também, o princípio da
superposição: quando duas ondas sobrepõem-se, a onda resultante é a soma algébrica
das ondas individuais, podendo ocorrer uma interferência construtiva ou destrutiva.
O movimento oscilatório ocorre em todo o mundo físico. As moléculas de água oscilam
para aquecer a comida em um forno micro-ondas, por exemplo. Edifícios e pontes
sofrem movimentos desse tipo. Como engenheiro, você precisará realizar estudos
detalhados desses fenômenos, para evitar resultados desastrosos.
= kxFx k x
U K U K
E = U + K = k12 A
2
L
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referências
Referências
Bibliográ�cas
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de Janeiro: LTC, 2016.
SERWAY, R. A.; JEWETT, J. W. Jr. Física para cientistas e engenheiros : oscilações, ondas
e termodinâmica. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros : mecânica, oscilações e
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.Ead.br https://catalogcdns3.ulife.com.br/content-cli/ENG_FISOEM_20/unidad...
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