Matemática para Ensino Superior Resumo - MA11

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Definições Básicas 
 
Proposição (ou sentença) é uma frase afirmativa em forma de oração, com sujeito, verbo e predicado, que é falsa ou 
verdadeira, sem lugar a uma terceira alternativa. 
 
Proposição Condicional ou implicativa é uma nova proposição formada a partir de duas proposições P e Q, que é escrita na 
forma: 
“Se P, então Q” ou “P implica em Q”, 
onde para o último caso usamos a notação: . Chamamos a proposição P de hipótese e a proposição Q de tese. A 
hipótese também é chamada de proposição antecedente e a tese, de proposição consequente. 
 
A partir de uma proposição condicional podem-se gerar novas proposições. Vamos chamar o modo em que apresentamos 
uma proposição de forma positiva. 
 
Forma Recíproca de uma proposição condicinal 
Para construir a forma recíproca, temos que trocar na forma positiva a hipótese pela tese e vice-versa. 
 
Forma Contrapositiva (ou Contrarrecíproca) de uma proposição condicinal 
Para obtermos a forma contrapositiva a partir da forma positiva de uma proposição condicional podemos fazer primeiro sua 
forma recíproca e, em seguida, negamos as sentenças antecedente e consequente da recíproca, ou também, podemos negar 
tese e a hipótese da forma positiva e, imediatamente, fazer a forma recíproca da última. 
 
Uma demonstração em matemática é um processo de raciocínio lógico e dedutivo para checar a veracidade de uma 
proposição condicional. Nesse processo são usados argumentos válidos, ou seja, aqueles que concluem afirmações 
verdadeiras a partir de fatos que também são verdadeiros. 
 
Sempre que, via uma demonstração, comprovemos a veracidade de uma proposição passamos então a chamar esta de 
teorema. Assim, um teorema é qualquer afirmação que possa ser verificada mediante uma demonstração. 
 
Métodos de Demonstração 
 
Demonstração Direta 
A demonstração direta é aquela em que assumimos a hipótese como verdadeira e através de uma série de argumentos 
verdadeiros e deduções lógicas concluímos a veracidade da tese. 
 
Demonstração por Contraposição 
Este método é baseado no fato de que a veracidade da forma positiva de uma proposição é equivalente à veracidade de sua 
forma contrapositiva, podendo ser esta última, eventualmente, mais fácil de se provar. 
 
Demonstração por Redução ao Absurdo 
O nome deste método provém do latim reductio ad absurdum e é também conhecido como método do terceiro excluído, devido 
ao mesmo estar baseado na seguinte lei: “uma afirmação que não pode ser falsta, deverá ser consequentemente verdadeira”. 
De um modo geral, o roteiro que segue uma demonstração por absurdo é o seguinte: 
 assumimos a validade da hipótese, 
 supomos que a tese é falsa; 
 usando as duas afirmações anteriores concluímos, através de argumentos verdadeiros, uma afirmação falsa.; como tal 
fato não pode ocorrer, então nossa tese deverá ser verdadeira. 
 
Algumas dicas para resolver problemas 
 
R1) Ler bem o enunciado do problema e utilizar todas as informações disponíveis. 
R2) Fazer casos particulares ou casos mais simples de problemas similares, para adquirir familiaridade com o problema. 
R3) Mudar a representação do problema, transformando-o em um problema equivalente; 
R4) Usar a imaginação pesquisando caminhos alternativos. Extrapole os limites! 
 
Equação do 1º Grau 
 
Definição: Uma equação do primeiro grau na variável é uma expressão da forma onde e é um 
número real a ser encontrado. 
 
Propriedade 1: 
Propriedade 2: 
 
Solução da equação do 1º grau: 
 
 
 
Sistemas de Equações do Primeiro Grau 
 
Definição 1: Uma equação do primeiro grau nas variáveis é uma expressão da forma 
 onde são diferentes de zero e é um número real. 
 
Definição 2: Os números formam uma solução da equação , se substituindo por , por , ..., 
 por , temos que a equação acima é satisfeita, isto é, . 
 
Definição 3: Um sistema de equações do primeiro grau em variáveis é um conjunto de equações do 
primeiro grau em algumas variáveis , isto é, tem-se o seguinte conjunto de equações 
 
 
 
onde alguns dos elementos podem ser zero. Porém, em cada uma das equações do sistema 
algum coeficiente é diferente de zero e, além disso, cada variável aparece em alguma equação com coeficiente 
diferente de zero. 
 
Definição 4: Os números formam uma solução do sistema de equações se é solução de 
todas as equações simultaneamente. Quando solucionamos um sistema de equações do primeiro grau, podem acontecer três 
situações: 
i) o sistema tem uma única solução; 
ii) o sistema tem uma infinidade de soluções; 
iii) o sistema não possui solução. 
 
 
Equação do Segundo Grau 
 
Definição 1: A equação do segundo grau com coeficientes é uma expressão da forma onde 
 e é um número real a ser encontrado. 
 
Solução da equação do 2º grau: 
 
 
 
 
onde . 
Para que exista algum número real satisfazendo a igualdade acima, devemos ter que . Em resumo: 
i) se existem duas soluções reais; 
ii) se só existe uma solução real ; 
iii) se não existe solução real. 
 
Relação entre coeficientes e raízes 
 
Dada a equação do segundo grau onde , e supondo que , temos que: 
 
Desta forma calculando temos: 
 
Calculando temos: 
 
como , tem-se que: 
 
 
Teorema: Os números e são as raízes da equação se, e somente se, e . 
 feita anteriormente 
 
Observação: Em geral, dada a equação , com , podemos escrevê-la como , 
com e . Supondo que a equação tem raízes e , a igualdade 
 nos permite concluir que e são raízes da equação do 
segundo grau . 
 
 
Equações Biquadradas 
 
De modo geral consideremos a equação e façamos a seguinte mudança . Então a 
equação dada pode ser reescrita da seguinte forma: 
 
a qual sabemos resolver. Logo, se não possuir solução então também não terá solução. No caso em que ser 
uma raiz de então as soluções para , correspondentes à raiz , podem ser encontradas resolvendo a equação 
simples: 
 
a qual tem as seguinte possibilidades: 
i) uma única solução: se é ímpar; 
ii) nenhuma solução: se e se é par; 
iii) duas soluções: se e se é par. 
 
Método de Viète 
 
Seja a equação e a equação . Note que a última equação possui as soluções 
 
Seja também que . Assim temos: 
 
 
 
Para que o termo se anule temos que: 
 
Substituindo o valor encontrado na equação obtida temos: 
 
 
Desta forma chegamos em: 
 
Lembrando que e que temos que as soluções da equação são: 
 
 
Inequação do Primeiro Grau 
 
Definição: Uma inequação do primeiro grau é uma relação de uma das formas abaixo: 
 
onde e . 
O conjunto solução de uma inequação do primeiro grau é o conjunto de números reais que satisfazem a inequação, isto é, o 
conjunto de número que quanto substituídos na inequação tornam a desigualdade verdadeira. 
 
Seja sendo que , temos que: 
Propriedade 1: (analogamente para os sinais ) 
Propriedade 2: (analogamente para os sinais ) 
Propriedade 3: (analogamente para os sinais ) 
 
Conjunto Solução de uma inequação do 1º grau 
 
 Caso 1: 
o Inequação 
 
Portanto a solução da inequação é dada por: 
 
 
o Inequação 
 
Portanto a solução da inequação é dada por: 
 
 
 
 Caso 2: 
o Inequação 
 
Portanto a solução da inequação é dada por: 
 
 
o Inequação 
 
Portanto a solução da inequação é dada por: 
 
 
 
 
Inequação do 2º grau 
 
Definição: Uma inequação do segundo grau é uma relação das formas abaixo 
 
onde e . 
 
Conjunto Solução de uma equação do 2º grau 
 
Suponhamos primeiramente que queremos resolver a equação . Notemos que valem as seguintes 
desigualdades: 
 
 
onde . 
Considerando esta igualdade, dividimos em vários casos: 
 
 Caso 1: . Nesta situação procedemos tomando em conta o sinal de . 
o . Usando notamos que basta resolver a equação. Multiplicando ambos membros por temos: 
 
Reescrevendo a desigualdade encontrada temos:Agora notemos que se os fatores e são ambos positivos ou ambos 
negativos. No primeiro caso (ambos positivos) temos e , mas como , então . No segundo caso 
(ambos negativos), temos que e , logo . 
 Resumindo, a solução da inequação vem dada pelo conjunto 
 
 
 
 
o . Usando notamos que basta resolver a equação. Multiplicando ambos membros por temos: 
 
Reescrevendo a desigualdade encontrada temos: 
 
 
 
 
Agora notemos que se os fatores e possuem sinais diferentes. Por 
exemplo, se e temos então que deve satisfazer a desigualdade , mas isso é impossível 
considerando que neste caso , por . No caso restante, se e temos que , o 
que é possível. 
 Portanto, o conjunto solução, neste caso, é dado por 
 
 
 
 Caso 2: 
Usando notamos que basta resolver a equação 
 
que é válida para qualquer , se e sempre falsa, se . 
 
 Caso 3: 
Neste caso, quando é positivo todos os valores de reais são soluções de , pois a desigualdade 
 
é sempre satisfeita, dado que . 
 Por outro lado, se é negativo não temos nenhuma solução possível para a inequação já que 
 
é sempre negativo, dado que . 
 
Máximos e Mínimos da Função Quadrática 
 
Definição: A função quadrática , , satisfaz a identidade 
 
onde . O valor mínimo (máximo) da função quadrática é o menor (maior) valor possível que pode assumir 
 quando fazemos percorrer o conjunto dos reais. Da igualdade segue-se que, quando o valor mínimo do 
trinômio é obtido quando e este vale . Similarmente, quando o valor máximo do 
trinômio é obtido quando , valendo também . 
 
Equações Modulares 
 
Definição: Uma equação modular é aquela na qual a variável incógnita aparece sob o sinal de módulo. Para resolver equações 
modulares se usam basicamente três métodos: 
a) eliminação do módulo pela definição; 
b) elevação ao quadrado de ambos os membros da equação; 
c) partição em intervalos. 
 
 
Conceitos Fundamentais e Divisão Euclidiana 
 
Definição 1: Denotamos por o conjunto dos números inteiros formado pelo conjunto dos números naturais 
munido do zero e dos números negativos, ou seja, 
 
As operações soma, diferença e produto estão bem definidas no conjunto dos números inteiros, entretanto, o quociente de dois 
inteiros pode ser inteiro ou não. 
 
Princípio da Boa Ordenação 
Todo conjunto não vazio possui um elemento menor que todos elementos deste, ou seja, existe tal que 
para todo . 
 
Definição 2: Sejam e inteiros. Dizemos que divide se existe um inteiro tal que . Também usaremos as 
frases é divisor de ou é múltiplo de para significar esta situação. Usaremos a notação para representar as frases 
ditas anteriormente. Se não for divisor de , então escreveremos . 
 
Proposição 1: Sejam números inteiros. Então: 
a) se e então ; 
b) se e então e ; 
c) se e são positivos e então ; 
d) se e então ou . 
 
Demonstração 
Se e existem inteiros e tais que 
 
Substituindo em temos que: 
 
Sabemos que e . Então somando ou subtraindo membro a membro as igualdades temos: 
 
Se e são inteiros positivos e , então com . Multiplicando por ambos membros da desigualdade 
temos: 
 
Temos que e . Então divide e divide . Pelo item (c) sabemos que e , ou seja, 
. Logo e ou . 
 
Teorema 1 (Divisão Euclidiana): Dados dois inteiros e sendo positivo existem únicos e tais que 
 
Se , então satisfaz a desigualdade estrita . Os números e no enunciado do teorema são chamados, 
respectivamente de quociente e resto da divisão de por . 
 
Corolário 1: Dados dois números naturais e com , existe um único natural tal que 
 
Demonstração 
Pela divisão euclidiana, existem únicos com tais que . Assim: 
 
Basta agora tomar para obter o resultado. 
Lema 1 (Lema dos Restos): A soma do produto de quais quer números naturais deixa o mesmo resto que a soma e o produto 
dos seus restos na divisão por um inteiro positivo . 
Demonstração 
Sejam . Fazendo a divisão com o resto de ambos os números por temos que: 
 
com . Então: 
 
 
Dividindo por obtemos: 
 
Das igualdades e segue que: 
 
Portanto concluímos que os restos que deixam e na divisão por são iguais. 
 
Bases Numéricas 
Definição: De modo geral, se denotamos por o número inteiro positivo formado pelos algarismos 
, nessa ordem, então se escreve na base decimal da forma 
 
 
Lema 2: Sejam . Temos que: 
 
Consequemente, se , então divide . 
 
Proposição 2 (Critérios de Divisibilidade): Seja um inteiro positivo, então: 
i) é divisível por 10 se, e somente se, for igual a 0; 
ii) é divisível por 3 ou por 9 se, e somente se, a soma dos seus dígitos é divisível por 3 ou por 9, respectivamente; 
iii) é divisível por 5 se, e somente se, for igual a 0 ou 5. 
Demonstração 
Usando a representação decimal temos que 
 
 
Pela proposição 1 (b), tem-se que se, e somente se, . 
Para provar o critério de divisibilidade por 9, temos que 
 
 
Pelo Lema 2 temos que para todo , daí segue-se que: 
 
Então, aplicando novamente a proposição 1 (b) temos que: 
 se, e somente se, . 
 
Teorema 2 (Bases Numéricas): Dados , existem únicos naturais tais que , 
, e satisfazendo 
 
A representação acima é dita representação de na base e usaremos a notação 
 
para fazer referência a esta. 
Máximo Divisor Comum 
 
Definição: Sejam e inteiros diferentes de zero. O máximo divisor comum, resumidamente mdc, entre e é o número 
que satisfaz as seguintes condições: 
i) é um divisor comum de e , isto é, e . 
ii) é o maior inteiro positivo com tal propriedade. 
Neste caso denotamos o mdc entre e por ou simplesmente . Se , então dizemos 
que os números e são primos entre si. 
 
Proposição 3: Sejam e dois inteiros. Então valem as seguintes afirmações: 
a) Se é múltiplo de , então ; 
b) Se , então o conjunto de divisores comuns dos números e coincide com o conjunto dos divisores 
comum dos números e . 
 
Teorema (Teorema de Bachet-Bèzout): Se é o mdc de e , então existem números inteiros e tais que 
 
 
Proposição 4: Sejam e . Então valem as afirmações: 
a) Se e , então ; 
b) O é o menor valor positivo de , onde e percorrem todos os inteiros; 
c) ; 
d) Se e , então . Consequentemente, 
 
e) Se , então ; 
f) Se e , então . 
 
Algoritmo de Euclides 
 
Teorema (Algoritmo de Euclides): Dados dois inteiros positivos, e , aplicamos sucessivamente a divisão euclidiana para 
obter a seguinte sequência de igualdades 
 
até algum dividir . Assim, o , ou seja, é o último resto não-nulo do processo de divisão anterior. 
 
Mínimo Múltiplo Comum 
 
Definição: Sejam e inteiros diferentes de zero. O mínimo múltipo comum, resumidamente mmc, entre e é o inteiro 
positivo que satisfaz as seguintes condições: 
i) é um múltiplo comum de e , isto é, e ; 
ii) é o menor inteiro positivo com tal propriedade. 
Neste caso denotamos o mmc entre e por ou por . 
 
 
Proposição 5: Sejam e . Então valem as seguintes afirmações: 
a) se é múltiplo comum de e , então ; 
b) ; 
c) . 
 
Equações Diofantinas Lineares 
 
Definição: Considere a equação onde , com e . A equação é chamada de 
equação diofantina linear e uma solução desta é qualquer par de inteiros que satisfaçam . É conhecido que todos os 
pontos do plano, com coordenadas , que satisfazem a igualdade representam, geometricamente, uma reta. Logo, as 
soluções de uma equação diofantina linear são os pontos de coordenadas inteiras do plano cartesiano, que estão dispostos 
sobre a reta que esta representa. 
 
Observação: Nem sempre é possível achar soluções para uma equação diofantina linear. Se uma equação deste tipo tem uma 
solução na verdade ela ter uma infinidade de soluções. 
 
Proposição 6: A equação diofantina linear onde , com e , tem solução se, e 
somente se, , onde . Além disso, se é uma solução, então o conjunto solução de é constituído por 
todos os pares de inteiros da forma:Números Primos e Compostos 
 
Definição: Um inteiro positivo é dito primo se os únicos divisores que ele tem são 1 e ele próprio; caso contrário, é dito 
composto. 
Observação: De modo geral o número 1 não é considerado nem primo nem composto. 
 
Proposição 7: Seja um número inteiro. Então: 
i) o menor divisor de diferente de 1 é um número primo; 
ii) se é composto, o seu menor divisor diferente de 1 não é maior que . Em outras palavras, se não possui divisores 
diferentes de 1, menores ou igual a , então é primo. 
 
Teorema (Teorema de Euclides): A quantidade de números primos é infinita. 
 
Proposição 8: Um inteiro positivo é primo se, e somente se, satisfaz a seguinte propriedade 
 
 
Definição: Um número é chamado número de Mersenne quando puder ser escrito na forma . 
 
Proposição 9: Se é primo, então é primo. 
 
Proposição 10 (Identidade de Sophie-Germain): Dados , vale a igualdade: 
 
Demonstração 
 
 
Teorema (Teorema Fundamental da Aritmética): Todo número natural maior que 1 pode ser escrito como um produto 
 
onde é um número natural, e é primo para todo . Além disso, a fatoração em é única se 
exigirmos que . 
 
Princípio das Casas dos Pombos 
 
(Versão Simples) Se distribuirmos pombos em casas, então alguma das casas contém dois ou mais pombos. 
 
Em cada casa , coloca-se um único pombo, denotado por . O pombo restante, denotado por , deve ir 
para alguma das casas, juntando-se ao que já se encontrava contido nela. 
 
Demonstração 
 A prova deste princípio vale de uma simples contagem dos pombos contidos em todas as casas depois de distribuídos. Com 
efeito, suponhamos pelo contrário que em cada casa não existe mais do que um pombo, então contando todos os pombos 
contidos nas casas não teremos mais do que pombos, contradizendo isto a hipótese de termos pombos 
distribuídos nas casas. 
 
(Versão Alternativa) Se a soma de números naturais é igual a , então existe pelo menos um deles que não é maior que 
, assim como existe pelo menos um deles que não é menor que . 
 
(Versão Geral) Se distribuirmos pombos em casas, então alguma das casas contém, pelo menos, pombos.