Matemática para Ensino Superior RESUMO MA11

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MA11 - Unidades 1 e 2
Conjuntos
Aula 1.1 - A Noção de Conjunto
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
24 de Fevereiro de 2013
A noção de conjunto
Noção de conjunto:
Um conjunto é completamente definido por seus elementos.
(Axioma da Extensão)
Igualdade de conjuntos:
A = B se, e somente se, tem-se que x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B.
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Conjuntos e linguagem matemática
Linguagem de conjuntos
Linguagem da lógica
matemática
Dados a e A, vale uma das
possibilidades: a ∈ A ou a 6∈
A.
Prinćıpio do Terceiro Exclúıdo
Dados a e A, não podem valer
simultaneamente ambas
possibilidades: a ∈ A ou a 6∈
A.
Prinćıpio da Não Contradição
Na Sala de Aula: Uma afirmação matemática que não é “sempre
verdadeira” é falsa!
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Conjuntos e linguagem matemática
Propriedades Conjuntos
a tem a propriedade P . A é o conjunto dos elementos
que têm a propriedade P .
a ∈ A
Exemplos:
P : um número inteiro é par. A = {n ∈ Z | n é par }
Q: um número real y é tal que
y2 − 3y + 2 = 0.
B = {y ∈ R | y 2−3y+2 = 0}
x satisfaz P x ∈ A
x satisfaz Q x ∈ B
x satisfaz P e Q x ∈ A ∩ B
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Conjuntos e linguagem matemática
Na Sala de Aula: O que é correto dizer
Duas retas r e s interseptam no ponto P :
r ∩ s = P ou r ∩ s = {P}?
A = {conjunto dos números pares} ou A = {números pares} ?
“Um conjunto vazio” ou “O conjunto vazio”?
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MA11 - Unidades 1 e 2
Conjuntos
Aula 1.2 - A Relação de Inclusão
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
24 de Fevereiro de 2013
A relação de inclusão
Sejam A e B dois conjuntos.
A ⊂ B (A está contido em B , ou A é subconjunto de B) se:
todo elemento de A é elemento de B ,
isto é, x ∈ A ⇒ x ∈ B .
Então, A 6⊂ B se, e somente se: existe pelo menos um elemento a
tal que a ∈ A e a /∈ B , isto é, x ∈ A 6⇒ x ∈ B .
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A relação de pertencer e a inclusão
Para Saber Mais:
⊂ : relação conjunto / conjunto
∈ : relação elemento / conjunto
Se a é elemento de A, é correto dizer a ∈ A ou {a} ⊂ A, mas não
é correto dizer {a} ∈ A ou a ⊂ A.
Existe uma definição para a relação ⊂, mas não para a relação ∈.
Por quê? A relação ∈ é a base do próprio conceito de conjunto.
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Propriedades da inclusão
(i) reflexividade: A ⊂ A;
(ii) antissimetria: se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B ;
(iii) transitividade: se A ⊂ B e B ⊂ C , então A ⊂ C .
∅ ⊂ A, para qualquer conjunto A.
De fato se ∅ 6⊂ A, existiria x tal que x ∈ ∅ mas x /∈ A.
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A propriedade antissimétrica
A ⊂ B
m
(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
B ⊂ A
m
(x ∈ B ⇒ x ∈ A)
A ⊂ B e B ⊂ A
m
(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
m
A = B
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Linguagem
A é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade P .
B é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade Q.
Linguagem de conjuntos
Linguagem da lógica
matemática
A ⊂ B P ⇒ Q
B ⊂ A Q ⇒ P
A = B P ⇔ Q
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A rećıproca de uma implicação
A implicação P ⇒ Q é a rećıproca da implicação P ⇒ Q.
Exemplo: Seja A um quadrilátero.
A é retângulo ⇒ A tem lados opostos paralelos.
A tem lados opostos paralelos 6⇒ A é retângulo.
Neste caso, vale a implicação, mas não vale sua rećıproca.
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Condições necessárias e suficientes
Se P ⇒ Q, dizemos:
A condição P é suficiente para Q.
A condição Q é necessária para P .
Exemplo: Seja A um quadrilátero.
A é retângulo ⇒ A tem lados opostos paralelos.
Ser um retângulo é suficiente para ter lados opostos paralelos
(mas não necessário).
Ter lados opostos paralelos é necessário para ser retângulo
(mas não suficiente).
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Provas por contra-positiva
Para Saber Mais:
P ⇒ Q
m
∼ Q ⇒∼ P
Essa equivalência pode ajudar a entender o significado do termo
“necessário”: se Q não ocorre, então certamente P não ocorrerá
(embora Q possa ocorrer sem que P ocorra).
Exemplo: Seja A um quadrilátero.
A é retângulo ⇒ A tem lados opostos paralelos.
A não tem lados opostos paralelos ⇒ A não é retângulo.
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Implicações lógicas e resolução de equações
Na Sala de Aula:
Exemplo 1: Seja x ∈ R.
(P) x2 − x − 2 = 0;
(Q) (x − 2)(x + 1) = 0;
(R) x = 2 ou x = −1;
(S) x ∈ {2,−1}.
P ⇒ Q ⇒ R ⇒ S .
Além disso, S ⇒ P . Então {2,−1} é o conjunto solução da
equação x2 − x − 2 = 0.
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Implicações lógicas e resolução de equações
Na Sala de Aula:
Exemplo 2: Seja x ∈ R.
(P) x2 + 1 = 0;
(Q) x4 − 1 = 0;
(R) x4 = 1;
(S) x ∈ {−1, 1}.
P ⇒ Q ⇒ R ⇒ S .
Mas, S 6⇒ P . Então {−1, 1} não é o conjunto solução da equação
x2 + 1 = 0.
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MA11 - Unidades 1 e 2
Conjuntos
Aula 1.3 - O Complementar de um Conjunto
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
24 de Fevereiro de 2013
O complementar de um conjunto
Consideremos fixado um conjunto U, chamado Universo.
Seja A ⊂ U.
O complementar de A é o conjunto:
AC = {x ∈ U | x /∈ A}.
Sejam A,B ⊂ U.
A diferença entre A e B é o conjunto:
A \ B = {x ∈ A | x /∈ B}.
Em particular: AC = U \ A.
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Conjuntos e linguagem matemática
Linguagem de conjuntos
Linguagem da lógica
matemática
A ∪ AC = U Prinćıpio do Terceiro Exclúıdo
A ∩ AC = ∅ Prinćıpio da Não Contradição
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Propriedades do complementar
(i) UC = ∅
(ii) ∅C = U
(iii) ∀A ⊂ U :
(
AC
)C
= A
(iv) ∀A,B ⊂ U : A ⊂ B ⇒ BC ⊂ AC
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O complementar e contra-positivas
A é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade P .
B é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade Q.
Linguagem de conjuntos
Linguagem da lógica
matemática
A ⊂ B ⇒ BC ⊂ AC P ⇒ Q ⇐⇒ ∼ Q ⇒∼ P
Exemplo: Seja X um quadrilátero.
X é retângulo ⇒ X é paralelogramo.
X não é paralelos ⇒ X não é retângulo.
{retângulos} ⊂ {paralelogramos}
{não paralelogramos} ⊂ {não retângulos}
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Negação, contrapositiva, rećıproca
Para Saber Mais:
Não confundir a ideia matemática de negação com a ideia (não
matemática) de contrário, ou oposto.
Exemplo 1: Todo matemático é filósofo.
Negação matemática: Existe (pelo menos) um matemático
que não é filósofo.
Contrário (não matemático): Nenhum matemático é
filósofo.
Lembrando: Para que uma afirmação matemática não seja
verdadeira, basta que não valha em um caso!
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Negação, contrapositiva, rećıproca
Para Saber Mais:
Não confundir as ideias de negação, contrapositiva e rećıproca.
A negação contradiz a afirmação original.
A contrapositiva é equivalente à afirmação original.
Se uma afirmação é verdadeira, sua rećıproca, pode ou não
ser verdadeira.
Exemplo 2: P ⇒ Q.
Negação: Existe (pelo menos um caso) em que vale P e não
vale Q. (Nega a afirmação original.)
Contrapositiva: ∼ Q ⇒∼ P . (É equivalente à afirmação
original.)
Rećıproca: Q ⇒ P . (Não nega nem é equivalente à
afirmação original.)
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Negação, contrapositiva, rećıproca
Para Saber Mais:
Não confundir as ideias de negação, contrapositiva e rećıproca.
Exemplo 3: Todo matemático é filósofo.
Negação: Existe (pelo menos) um matemático que não é
filósofo.
Contrapositiva: Se um indiv́ıduo não é filósofo,então não é
matemático.
Rećıproca: Todo filósofo é matemático, ou: Se um indiv́ıduo
é filósofo, então é matemático.
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Negação, contrapositiva, rećıproca
Para Saber Mais:
Todo triângulo equilátero é isósceles.
A afirmação é verdadeira, mas sua rećıproca é falsa.
Todo triângulo equilátero é equiângulo.
A afirmação é verdadeira e sua rećıproca também é verdadeira.
Todo triângulo isósceles é retângulo.
A afirmação é falsa e sua rećıproca também é falsa.
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MA11 - Unidades 1 e 2
Conjuntos
Aula 1.4 - Reunião e Interseção
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
24 de Fevereiro de 2013
Reunião e interseção
Sejam A e B dois conjuntos.
x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B
x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A e x ∈ B
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Conjuntos e linguagem matemática
A é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade P .
B é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade Q.
Linguagem de conjuntos
Linguagem da lógica
matemática
A ∪ B P ∨Q
A ∩ B P ∧Q
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Propriedades da reunião e da interseção
Propriedades básicas:
(i) Comutatividade da união e da interseção:
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.
(ii) Associatividade da união e da interseção:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ).
(iii) Distributividade, de cada uma em relação à outra:
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ),
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Outras propriedades:
(i) A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.
(ii) (A ∪ B)C = AC ∩ BC e (A ∩ B)C = AC ∪ BC.
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Conjuntos e linguagem matemática
A é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade P .
B é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade Q.
Linguagem de conjuntos
Linguagem da lógica
matemática
(A ∪ B)C = AC ∩ BC (P ∨Q) ↔ (∼ P) ∧ (∼ Q)
(A ∩ B)C = AC ∪ BC ∼ (P ∧Q) ↔ (∼ P) ∨ (∼ Q)
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Conjuntos e linguagem: Um breve resumo geral
A é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade P .
B é o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade Q.
A = B P ⇔ Q
A ⊂ B P ⇒ Q
AC ∼ P
A ∪ B P ∨Q
A ∩ B P ∧Q
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Sobre a noção de igualdade
Para Saber Mais:
Os nomes dos conceitos matemáticos são, em geral, inspirados na
linguagem corrente.
Porém, para entender corretamente seu significado matemático, é
preciso “esquecer” seu sentido na linguagem corrente.
Em Matemática, um objeto só igual a ele mesmo.
Duas figuras geométricas que coincidem por superposição são
congruentes.
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MA11 - Unidade 3
Funções
Aula 3.1 - O Conceito de Função
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
4 de Março de 2013
Definindo uma função
“A função y = x2 . . . ” Que função é esta?
f1 : R → R
x 7→ x2
f2 : Z → Z
x 7→ x2
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A definição de função
Sejam X e Y dois conjuntos quaisquer.
Uma função é uma relação f : X → Y que, a cada elemento
x ∈ X , associa um e somente um elemento y ∈ Y .
(i) Os conjuntos X e Y são chamados doḿınio e
contradoḿınio de f , respectivamente;
(ii) O conjunto f (X ) = {y ∈ Y ; ∃ x ∈ X , f (x) = y} ⊂ Y é
chamado imagem de f ;
(iii) Dado x ∈ X , o (único) elemento y = f (x) ∈ Y
correspondente é chamado imagem de x .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 3/1
A definição de função
Para que uma relação f : X → Y seja uma função, deve satisfazer
a duas condições fundamentais:
(I) estar definida em todo elemento do doḿınio;
(II) a cada elemento do doḿınio, não associar mais de um
elemento do contradoḿınio.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 4/1
Funções e fórmulas
Na Sala de Aula:
Nem tudo que tem fórmula é função.
x2 + y2 = 1
Nem toda função tem fórmula.
h : R → R
x 7→
{
0, se x ∈ R \Q
1, se x ∈ Q .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 5/1
MA11 - Unidade 3
Funções
Aula 3.2 - Funções Bijetivas e Funções Inverśıveis
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
4 de Março de 2013
Funções bijetivas e funções inverśıveis
“y =
√
x é a função inversa de y = x2”
p : R → [0,+∞[
x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→
√
x
Uma função é inverśıvel se, e somente, se é bijetiva.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 2/1
Funções bijetivas
Consideremos uma função f : X → Y .
(i) f é sobrejetiva se para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal que
f (x) = y ;
(ii) f é injetiva se x1, x2 ∈ X , x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2);
(iii) f é bijetiva se é sobrejetiva e injetiva.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 3/1
Funções inverśıveis
Sejam f : X → Y e g : U → V duas funções, com Y ⊂ U.
A função composta de g com f é definida por:
g ◦ f : X → Y ⊂ U → V
x 7→ f (x) 7→ g(f (x))
Uma função f : X → Y é invert́ıvel se existe uma função
g : X → Y tal que
(i) f ◦ g = IY ;
(ii) g ◦ f = IX .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 4/1
Funções bijetivas e funções inverśıveis
Voltando ao exemplo anterior...
p ◦ q : [0,+∞[ → R → [0,+∞[
x 7→
√
x 7→
(√
x
)2
= x
q ◦ p : R → [0,+∞[ → R
x 7→ x2 7→
√
x2 = |x |.
p ◦ q = I[0,+∞[ q ◦ p 6= IR
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 5/1
Funções bijetivas e funções inverśıveis
Seja f : X → Y uma função.
Considere f −1 : Y → X sua relação inversa.
(I) f é sobrejetiva ⇐⇒ f −1 está definida em todo elemento
do doḿınio Y .
(II) f é injetiva ⇐⇒ f −1 não associa, a cada elemento
do doḿınio Y , mais de um elemento
do contradoḿınio X .
Teorema Uma função f : X → Y é inverśıvel se, e somente se, é
bijetiva.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 6/1
Inversa à esquerda e inversa à direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma função.
Considere f −1 : Y → X sua relação inversa.
f é sobrejetiva.
m
f −1 está definida em todo elemento do doḿınio Y .
m
∃ g : Y → X tal que f ◦ g = IY .
(inversa à direita de f )
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 7/1
Inversa à esquerda e inversa à direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma função.
Considere f −1 : Y → X sua relação inversa.
f é injetiva
m
f −1 não associa, a cada elemento do doḿınio Y , mais de um
elemento do contradoḿınio X .
m
∃ g : Y → X tal que g ◦ f = IX .
(inversa à esquerda de f )
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 8/1
Inversa à esquerda e inversa à direita
Para Saber Mais:
Voltando ao exemplo anterior...
p : R → [0,+∞[
x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→
√
x
p ◦ q = I[0,+∞[
p é sobrejetiva (mas não injetiva).
q é inversa à direita de p (mas não função inversa de p).
q é injetiva (mas não sobrejetiva).
p é inversa à esquerda de q (mas não função inversa de q).
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 9/1
MA11 - Unidade 3
Funções
Aula 3.3 - Funções e Cardinalidade
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
4 de Março de 2013
Conjuntos cardinalmente equivalentes
Dois conjuntos X e Y são ditos cardinalmente equivalentes
(ou equipotentes) se existe uma bijeção f : X → Y .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 2/1
Cardinalidades
Teorema Se existe uma injeção f : X → Y , então existe uma
bijeção entre X e um subconjunto Y ′ ⊂ Y , isto é, X é
cardinalmente equivalente a um subconjunto de Y .
Se existe uma injeção f : X → Y , então o conjunto de sáıda X é
“menor ou igual” do que o conjunto chegada Y , pois X é
“suficientemente pequeno” para “caber dentro” de Y .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 3/1
Cardinalidades
Teorema Se existe uma sobrejeção f : X → Y , então existe uma
bijeção entre Y e um subconjunto X ′ ⊂ X, isto é, Y é
cardinalmente equivalente a um subconjunto de X .Se existe uma sobrejeção f : X → Y , então o conjunto de sáıda X
é “maior ou igual” do que o conjunto chegada Y , pois X é
“suficientemente grande” para “cobrir” Y .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 4/1
Cardinalidades de conjuntos finitos
No caso de conjuntos finitos, vale:
(i) Existe f : X → Y bijetiva ⇔ #X = #Y
(ii) Existe f : X → Y injetiva ⇔ #X 6 #Y
(iii) Existe f : X → Y sobrejetiva ⇔ #X > #Y
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 5/1
Cardinalidades de conjuntos infinitos
Um conjunto infinito X pode ser cardinalmente equivalente a um
subconjunto próprio Y ( X .
n ↔ 2n
A′ B′X ′
A BX
O
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 6/1
Tantos Racionais Quantos Naturais
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funções slide 8/1
MA11 - Unidade 4
Comensurabilidade e Números Reais
Aula 4.1 - Segmentos Comensuráveis e Incomensuráveis
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
4 de Março de 2013
O que é medir?
Medir é comparar com uma unidade fixada.
Isto é, medir é verificar quantas vezes a unidade
cabe na grandeza a ser medida.
A Bu A Bu′
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 4 , Comensurabilidade e Números Reais slide 2/1
O que é medir?
Quando a unidade u cabe um número inteiro m de vezes no
segmento AB , dizemos que a medida de AB em relação à unidade
u é igual a m.
A Bu
AB = m · u
AB = m
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 4 , Comensurabilidade e Números Reais slide 3/1
O que é medir?
Porém, é claro, nem sempre este é o caso.
Se a unidade u não cabe um número inteiro de vezes em AB , uma
posśıvel estratégia é subdividir a unidade u em partes iguais,
obtendo uma nova unidade u ′, da qual AB seja múltiplo inteiro.
A Bu A Bu′
AB = m · u′
u′ =
1
n
· u
⇒ AB =
m
n
· u ⇒ AB =
m
n
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 4 , Comensurabilidade e Números Reais slide 4/1
O que é medir?
Mas, dados um segmento AB e uma unidade u, é sempre posśıvel
encontrar uma subdivisão de u em partes iguais que caiba um
número inteiro de vezes em AB?
Seja ABCD um quadrado de lado a e diagonal d .
Suponhamos, por absurdo, que existam um segmento u e m, n ∈ N
tais que:
a = m · u
d = n · u
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 4 , Comensurabilidade e Números Reais slide 5/1
O que é medir?
a1 = AB1 = d − a
= (q − p) u
BC1 = B1C1 = a1
d1 = AB − BC1
= a− a1 = (2p − q) u
A
BC
D
B1
C1
D1
Logo, a1 e d1 também seriam múltiplos inteiros de u.
Isto é uma contradição, pois podemos repetir a construção,
obtendo uma sequência de quadrados com lado an e diagonal dn
tão pequenos quanto queiramos.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 4 , Comensurabilidade e Números Reais slide 6/1
Segmentos comensuráveis e incomensuráveis
Sejam AB e CD dois segmentos.
Se existe um segmento u e dois números naturais m e n tais que
AB = m · u e CD = n · u, dizemos que AB e CD são
comensuráveis.
Caso contrário, dizemos que AB e CD são incomensuráveis.
AB e CD são comensuráveis ⇐⇒
AB
CD
∈ Q
AB e CD são incomensuráveis ⇐⇒
AB
CD
/∈ Q
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 4 , Comensurabilidade e Números Reais slide 7/1
MA11 - Unidade 5
Copleteza dos Números Reais
Aula 5.1 - O Corpo Ordenado Completo
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
10 de Março de 2013
O Corpo Ordenado Completo
Os números reais formam um corpo ordenado completo.
(R,+, · ,6)
corpo → estrutura algébrica
ordenado → relação de ordem (compat́ıvel com a estrutura
algébrica)
completo ??
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 5 , Copleteza dos Números Reais slide 2/1
Estrutura algébrica
Corpo → estrutura algébrica
associatividade, comutatividade e elemento neutro da adição;
associatividade, comutatividade e elemento neutro da
multiplicação;
distributividade da multiplicação em relação à adição;
elemento inverso da adição (o que permite que a subtração
fique bem definida);
elemento inverso da multiplicação, para todo elemento não
nulo (o que permite que a divisão fique bem definida).
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 5 , Copleteza dos Números Reais slide 3/1
Relação de ordem
Corpo ordenado → estrutura algébrica e de ordem
reflexiva, antissimétrica e transitiva (que são as condições
ḿınimas para que se tenha uma relação de ordem);
tricotomia, que garante que dois números reais x e y
quaisquer são “comparáveis”, isto é, vale uma e somente uma
das possibilidades x < y , x = y ou x > y ;
monotonicidades em relação à adição e à multiplicação, que
tornam a relação de ordem compat́ıvel com as operações
algébricas:
x 6 y ⇒ x + z 6 y + z
x 6 y , z > 0 ⇒ x · z 6 y · z .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 5 , Copleteza dos Números Reais slide 4/1
O corpo ordenado completo
Corpo ordenado completo
A reta real não tem “buracos”.
A propriedade de completeza caracteriza R.
Q, por exemplo, tem todas as propriedades de corpo ordenado,
mas não é completo.
Existem outros infinitos corpos ordenados K tais que Q ⊂ K ⊂ R.
Porém, o único completo é R.
R é o (único) corpo ordenado completo (a menos de isomorfismo).
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 5 , Copleteza dos Números Reais slide 5/1
O que é completeza?
1. Toda sequência monótona e limitada é convergente.
2. Toda sequência limitada tem uma subsequência convergente.
(Teorema de Bolzano-Weierstrass)
3. Toda sequência de Cauchy é convergente.
4. Toda faḿılia enumerável de intervalos fechados e encaixantes
tem interseção não vazia.
5. Todo subconjunto limitado superiormente tem um supremo.
(Propriedade do Supremo)
6. Toda expressão decimal representa um número real.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 5 , Copleteza dos Números Reais slide 6/1
MA11 - Unidade 6
Representação Decimal dos Reais
Aula 6.1 - Expressões Decimais e Números Reais
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
11 de Março de 2013
Expressões decimais e números reais
Uma expressão decimal é um śımbolo da forma
α = a0, a1a2 . . . an . . . ,
em que a0 é um número inteiro > 0 e a1, a2, . . . , an, . . . são
números inteiros tais que 0 6 an < 10, chamados d́ıgitos.
Toda expressão decimal α representa um número real:
α = a0 +
a1
10
+
a2
102
+ · · ·+
an
10n
+ · · · .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 2/8
Expressões decimais e números reais
A soma anterior faz sentido se pensamos nela como o limite de
uma sequência (αn)n∈N:
αn = a0 +
a1
10
+
a2
102
+ · · ·+
an
10n
.
Dado α ∈ R, α > 0, como se determina a representação decimal?
a0 é a parte inteira de α, isto é, o maior inteiro menor ou
igual a α.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 3/8
Expressões decimais e números reais
a2 é o maior d́ıgito tal que α2 = a0 +
a1
10
+
a2
102
6 α.
Portanto, α− α2 6
1
102
= 10−2 .
0 1 2 3 4π
2, 8 2, 9 3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5π
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 5/8
Expressões decimais e números reais
a0 é a parte inteira de α, isto é, o maior inteiro menor que α.
De forma geral, tem-se que an é o maior d́ıgito tal que
αn = a0 +
a1
10
+ . . .+
an
10n
6 α.
Portanto,
0 6 α− αn 6
1
10n
= 10−n .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 6/8
Um caso particularmente polêmico
0, 9 = 1
Se a sequência (αn)n∈N é definida αn = 0, 9 . . . 9 (com n d́ıgitos
9), então αn → 1.
Portanto, pode-se dizer que αn = 0, 9 . . . 9 (para n grande)
“aproxima” 1.
Mas 0, 9 = 1!
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 7/8
Um caso particularmente polêmico
Na Sala de Aula:
Se fosse verdade que 0, 999 . . . < 1, então teria que existir um
outro número real, diferente de 0, 999 . . . e de 1, que ficasse
entre 0, 999 . . . e 1. Você seria capaz de exibir tal número?
Se é verdade que 0, 333 . . . = 13 então quanto vale 0, 999 . . . ?
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 8/8
MA11 - Unidade 6
Representação Decimal dos ReaisAula 6.2 - Representação decimal dos números racionais
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
11 de Março de 2013
Representação decimal dos números racionais
Seja x ∈ R. Então:
α ∈ Q
m
α tem representação decimal periódica (ou finita)
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 2/1
Todo número com representação periódica é racional
α tem representação decimal periódica (ou finita) ⇒ α ∈ Q
Determinação da fração geratriz de uma d́ızima periódica.
Exemplo:
α = 0, 35172
100α = 35, 172 = 35 +
172
999
=
35× 999 + 172
999
=
=
35(1000 − 1) + 172
999
=
35000 + 172− 35
999
=
35172 − 35
999
.
Portanto:
α =
35172 − 35
99900
.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 3/1
Todo número com representação periódica é racional
Para Saber Mais:
Como toda expressão decimal infinita representa o limite de uma
série, então as operações que fazemos para deduzir as frações
geratrizes de d́ızimas periódicas são operações com limites.
Portanto, essas operações só são válidas porque sabemos de
antemão que todos os limites com que operamos existem.
Se aplicarmos operações com limites sem ter essa certeza,
podemos chegar a resultados inconsistentes.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 4/1
Todo racional tem representação periódica
α ∈ Q ⇒ α tem representação decimal periódica (ou finita)
Algoritmo da divisão continuada.
Exemplo:
140 27
50 0, 518
230
140
Portanto:
14
27
= 0, 518518 . . .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 5/1
Todo racional tem representação periódica
140 27
50 0, 518
230
140
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 6/1
Todo racional tem representação periódica
140 27
50 0, 518
230
140
14 27
14 0
140 27
5 5
50 27
23 1
230 27
14 8
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 6/1
Todo racional tem representação periódica
p = a0q + r0, a0, r0 ∈ N, r0 < q
p
q
= a0 +
r0
q
, a0 ∈ N, 0 6
r0
q
< 1
10r0 = a1q + r1, a1, r1 ∈ N, a1 < 10, r1 < q
r0
q
=
a1
10
+
r1
10 q
, a1, r1 ∈ N, a1 < 10, 0 6
r1
q
< 1
p
q
= a0 +
a1
10
+
r1
10q
, a0, a1, r1 ∈ N, 0 6 a1 < 10, 0 6
r1
10q
<
1
10
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 7/1
MA11 - Unidade 6
Representação Decimal dos Reais
Aula 6.2 - Cardinalidades dos Conjuntos Númericos
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
11 de Março de 2013
Tantos racionais quantos naturais
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 2/6
Tantos racionais quantos naturais
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 3/6
A diagonal de Cantor
Suponhamos que exista f : N → [0, 1] bijetiva
1 → f (1) = α1 = 0, a11a12a13a14a15 . . .
2 → f (2) = α2 = 0, a21a22a23a24a25 . . .
3 → f (3) = α3 = 0, a31a32a33a34a35 . . .
4 → f (4) = α4 = 0, a41a42a43a44a45 . . .
5 → f (5) = α5 = 0, a51a52a53a54a55 . . .
...
...
Constrúımos um número real β = 0, b1b2b3 . . ., em que cada d́ıgito
bk é obtido trocando-se o d́ıgito akk acima.
Então β é diferente de todos os αk , pois difere de cada um destes
em pelo menos um d́ıgito.
Logo não pode haver uma bijeção entre N e R.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 5/6
Mais irracionais que racionais
Então:
R não é enumerável.
A cardinalidade de R é estritamente maior que a de N.
Se R \Q fosse enumerável, então R = (R \Q) ∪Q também
seria.
Existem:
Tantos inteiros e racionais quantos naturais (como já foi visto
nas unidades anteriores).
Mais irracionais que racionais.
Tantos irracionais quantos reais.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 6 , Representação Decimal dos Reais slide 6/6
MA11 - Unidade 7
Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto
Aula 7.1 - Desigualdades
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
18 de Março de 2013
Corpo Ordenado
Já observamos anteriormente que (R,+, · ,6) é um corpo
ordenado.
Isto significa que R é munido de uma relação de ordem
satisfazendo ∀ x , y , ∈ R:
(i) reflexividade: x 6 x ;
(ii) antissimetria: x 6 y e y 6 x ⇒ x = y ;
(iii) transitividade: x 6 y e y 6 z ⇒ x 6 z ;
(iv) tricotomia: vale uma e somente uma das possibilidades
x < y , x = y ou x > y ;
(v) monotonicidade da adição: x 6 y ⇒ x + z 6 y + z ;
(vi) monotonicidade da multiplicação: x 6 y , z > 0 ⇒
x · z 6 y · z .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 2/8
Corpo Ordenado
Estas propriedades podem ser estabelecidas de forma equivalente:
Existe um subconjunto R+ ⊂ R, chamado conjunto dos números
reais positivos, satisfazendo ∀ x , y , ∈ R:
P1) Dado o número real x , há três possibilidades que se excluem
mutuamente: ou x ∈ R+, ou x = 0 ou −x ∈ R+.
P2) A soma e o produto de números positivos são ainda números
positivos.
Definição: x < y se y − x ∈ R+.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 3/8
Propriedades das Desigualdades
Dáı, decorrem as demais propriedades:
(i) tricotomia: vale uma e somente uma das alternativas x < y ,
x = y ou x > y ;
(ii) transitividade: x < y e y < z ⇒ x < z ;
(iii) monotonicidade da adição: x < y ⇒ x + z < y + z ;
(iv) monotonicidade da multiplicação: x < y , z positivo ⇒
x · z < y · z .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 4/8
Tricotomia e Transitividade
A tricotomia segue imediatamente de (P1):
vale uma e somente uma das alternativas x − y ∈ R+, x − y = 0
ou y − x ∈ R+.
A transitividade segue de (P2):
x < y ⇒ y − x ∈ R+
y < z ⇒ z − y ∈ R+
}
⇒ (y − x) + (z − y) ∈ R+
⇒ z − x ∈ R+
⇒ x < z
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 5/8
Monotonicidades
A monotonicidade de adição segue da definição de x < y :
x < y ⇒ y − x ∈ R+ ⇒ (y + z)− (x + z) ∈ R+ ⇒ x + z < y + z
A monotonicidade de multiplicação segue de (P2):
x < y , z > 0 ⇒ y − x ∈ R+ , z ∈ R+ ⇒ (y − x) z ∈ R+
⇒ y z − x z ∈ R+
⇒ x z < y z ∈ R+
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 6/8
Generalizações das monotonicidades
Monotonicidade da adição generalizada:
x < y e x ′ < y ′ ⇒ x + x ′ < y + y ′.
x < y
x ′ < y ′
}
⇒
{
x + x ′ < y + x ′
x ′ + y < y ′ + y
}
⇒ x + x ′ < y + y ′
Monotonicidade da multiplicação generalizada:
0 < x < y e 0 < x ′ < y ′ ⇒ x x ′ < y y ′.
x < y , x ′ > 0 ⇒ x x ′ < y x ′
x ′ < y ′ , y > 0 ⇒ x ′ y < y ′ y
}
⇒ x x ′ < y y ′
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 7/8
Generalizações das monotonicidades
x > 0 ⇒ x2 > 0
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 8/8
Generalizações das monotonicidades
x > 0 ⇒ x2 > 0
0 < x < y ⇒ 0 <
1
y
<
1
x
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 8/8
Generalizações das monotonicidades
x > 0 ⇒ x2 > 0
0 < x < y ⇒ 0 <
1
y
<
1
x
x < y , z < 0 ⇒ x z > y z
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 8/8
MA11 - Unidade 7
Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto
Aula 7.2 - Intervalos
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
17 de Março de 2013
Intervalos
Sejam a, b números reais, com a < b. Os nove subconjuntos de R
abaixo definidos são chamados intervalos.
[a, b] = {x ∈ R ; a ≤ x ≤ b}; (−∞, b] = {x ∈ R ; x ≤ b};
(a, b) = {x ∈ R ; a < x < b}; (−∞, b) = {x ∈ R ; x < b};
[a, b) = {x ∈ R ; a ≤ x < b}; [a,+∞) = {x ∈ R ; a ≤ x};
(a, b] = {x ∈ R ; a < x ≤ b}; (a,+∞) = {x ∈ R ; a < x};
(−∞,+∞) = R.
Atenção: ∞ não é um número real!!
Aqui, o śımbolo ∞ serve justamente para indicar que o intervalo
não é limitado por nenhum número real
(inferior ou superiormente, conforme o caso).
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalose Valor Absoluto slide 2/4
Intervalos
Para todo intervalo I ⊂ R vale a propriedade:
x , y ∈ I , x < z < y ⇒ z ∈ I .
Se considerados também os intervalos degenerados:
o conjunto vazio ∅;
os conjuntos unitários {a};
Então vale a caracterização:
I ⊂ R é um intervalo se, e somente se,
x , y ∈ I , x < z < y ⇒ z ∈ I .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 3/4
Intervalos e densidade
Q e R \Q são densos em R.
m
Todo intervalo não degenerado contém
(infinitos) número racionais e
(infinitos) números irracionais.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 4/4
MA11 - Unidade 7
Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto
Aula 7.3 - Valor Absoluto
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
17 de Março de 2013
Definição
Definição (para x ∈ R):
|x | =
{
x , se x > 0
−x , se x < 0.
Outras caracterizações equivalentes:
|x | = max{−x , x} |x | =
√
x2
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 2/5
Interpretação geométrica
Interpretação geométrica de |x |: distância até a origem.
Interpretação geométrica de |x − y |: distância de x a y .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 3/5
Valor absoluto e desigualdades
|x | < ε ⇐⇒ −ε < x < ε
0 ε−ε
|x − a| < ε ⇐⇒ −ε < x − a < ε ⇐⇒ a− ε < x < a+ ε
A distância de x a a é menor que ε.
aa− ε a + ε
ε ε
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 4/5
Propriedades algébricas
(i) |x + y | 6 |x |+ |y | (desigualdade triangular)
(ii) |x y | = |x | |y |
x 6 |x | e y 6 |y | ⇒ x + y 6 |x |+ |y |
−x 6 |x | e −y 6 |y | ⇒ −(x + y) 6 |x |+ |y |
⇒ |x |+ |y | > max{x + y ,−(x + y)} = |x + y |
|x y |2 = (x y)2 = x2y2 = |x |2|y |2 ⇒ |x y | = |x | |y |
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 7 , Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto slide 5/5
MA11 - Unidade 8
Funções Reais e Gráficos
Aula 8.1 - Gráficos
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
18 de Março de 2013
Funções Reais e Gráficos
Uma função f : D ⊂ R→ R é chamada uma função real de
variável real.
O gráfico de f é o subconjunto do plano cartesiano R2:
G (f ) =
{
(x , y) ∈ R2 ; x ∈ D , y = f (x)
}
.
(x , y) ∈ G (f ) ⇐⇒ x ∈ D e os números reais x e y
satisfazem a lei de associação de f .
O gráfico de f é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a
sua lei de associação.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 2/6
Gráficos e Tabelas
Procedimento usual para traçar gráficos (no ensino básico):
fórmula → tabela → gráfico
Este procedimento requer cuidados!
Exemplo 1: h : R \ {0} → R, h(x) =
x
|x |
1 2 3 4−1−2−3−4
1
2
−1
−2
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 3/6
Gráficos e Tabelas
Exemplo 2: q : R→ R, q(x) = 2x3 − 3x2 + x
x q(x)
−3 −84
−2 −30
−1 −6
0 0
1 0
2 6
3 30
1 2 3−1−2−3
10
20
30
−10
−20
−30�
�
� �
�
�
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 4/6
Gráficos e Tabelas
Exemplo 2: q : R→ R, q(x) = 2x3 − 3x2 + x
x q(x)
0, 1 0, 072
0, 2 0, 096
0, 3 0, 084
0, 4 0, 048
0, 5 0
0, 6 −0, 048
0, 7 −0, 084
0, 8 −0, 096
0, 9 −0, 072
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1−0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 5/6
Gráficos e Tabelas
Exemplo 2: q : R→ R, q(x) = 2x3 − 3x2 + x
Gráfico em duas janelas diferentes:
1 2 3−1−2−3
10
20
30
−10
−20
−30
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1−0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 6/6
MA11 - Unidade 8
Funções Reais e Gráficos
Aula 8.2 - Gráficos, Equações, Inequações e Doḿınios
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
18 de Março de 2013
Gráficos, equações e inequações
Exemplo 1:
2x − 1
x − 2
> 3, para x ∈ R.
Se x − 2 > 0, isto é, x > 2:
2x − 1
x − 2
> 3 ⇐⇒ 2x − 1 > 3x − 6 ⇐⇒ x < 5.
Os valores que satisfazem à inequação neste intervalo são:
2 < x < 5.
Se x − 2 < 0, isto é, x < 2:
2x − 1
x − 2
> 3 ⇐⇒ 2x − 1 < 3x − 6 ⇐⇒ x > 5.
Não existem valores que satisfaçam à inequação neste
intervalo.
Solução: ]2, 5[ .
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 2/6
Gráficos, equações e inequações
Exemplo:
2x − 1
x − 2
> 3, para x ∈ R.
1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5
1
2
3
4
5
−1
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 3/6
Gráficos e doḿınios
Não é incomum encontrarmos em livros do ensino médio exerćıcios
do tipo “determinar o doḿınio” de funções com expressões
algébricas dadas.
Uma função é definida por três elementos: doḿınio, contradoḿınio
e lei de associação.
Assim, o doḿınio de uma função é parte de sua definição.
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 4/6
Gráficos e doḿınios
Exemplo: Dentre todos os retângulos cujo peŕımetro é igual a 1,
determinar aquele de maior área.
Se chamamos a medida do lado de x , a área será dada por:
S(x) = x
(
1
2
− x
)
.
S :
]
0, 12
[
→ R
x 7→ x
(
1
2 − x
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.1
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 5/6
Gráficos e doḿınios
Exemplo: O preço de um lápis é R$ 0, 25. Qual é o preço de n
lápis?
p : N → R
n 7→ 0, 25 n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 6/6
MA11 - Unidade 8
Funções Reais e Gráficos
Aula 8.3 - Gráficos e Transformações no Plano
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
18 de Março de 2013
Gráficos e translações
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
1
2
−1
y = sen x
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 2/12
Gráficos e translações
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
1
2
−1
y = sen x
y = sen x + 1
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 3/12
Gráficos e translações
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
1
2
−1
y = sen x
y = sen
(
x − π
4
)
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 4/12
Gráficos e translações
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
1
2
−1
y = sen x
y = sen x y = sen
(
x − π
4
)
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 5/12
Gráficos e translações
Parâmetros aditivos ←→ Translações horizontais e verticais
f (x) = f (x − b) + a
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 6/12
Gráficos e translações
Parâmetros aditivos ←→ Translações horizontais e verticais
f (x) = f (x − b) + a
Parâmetro a ←→ Translações verticais:
se a > 0, no sentido positivo do eixo (para cima);
se a < 0, no sentido negativo do eixo (para baixo).
Parâmetro b ←→ Translações horizontais:
se b > 0, no sentido positivo do eixo (para a direita);
se b < 0, no sentido negativo do eixo (para a esquerda).
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 6/12
Gráficos e dilatações
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
1
2
−1
y = sen x
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 7/12
Gráficos e dilatações
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
1
2
−1
−2
y = sen x
y = 2 sen x
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 8/12
Gráficos e dilatações
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
1
2
−1
−2
y = sen x
y = 2 sen x y = sen
(x
2
)
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 8 , Funções Reais e Gráficos slide 9/12
Gráficos e dilatações
Parâmetros multiplicativos ←→ Dilatações e reflexões horizontais e verticais
f (x) = c f (d x)
Parâmetro c ←→ Dilatações verticais:
se c > 1, esticamento vertical;
se 0 < c < 1, encolhimento vertical;
se −1 < c < 0, encolhimento vertical composto com reflexão
em relação ao eixo horizontal;
se c < −1, esticamento vertical composto com reflexão em
relação aoeixo horizontal;
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Gráficos e dilatações
Parâmetros multiplicativos ←→ Dilatações e reflexões horizontais e verticais
f (x) = c f (d x)
Parâmetro d ←→ Dilatações horizontais:
se d > 1, esticamento horizontal;
se 0 < d < 1, encolhimento horizontal;
se −1 < d < 0, encolhimento horizontal composto com
reflexão em relação ao eixo vertical;
se d < −1, esticamento horizontal composto com reflexão em
relação ao eixo vertical;
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Transformações e o vértice da parábola
y = a x2 + b x + c
y = a (x − x0)2 + y0
(forma canônica)
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Transformações e o vértice da parábola
y = a x2 + b x + c
y = a (x − x0)2 + y0
(forma canônica)
1 2−1−2
1
2
3
4
−1
1 2−1−2
1
2
3
4
−1
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	MA11 RES
	resumo1.1
	resumo1.2
	resumo2.1
	resumo2.2
	MA11_Resumo 03,1
	MA11_Resumo 03,2
	MA11_Resumo 03,3
	MA11_Resumo 04,1
	MA11_Resumo 05,1
	MA11_Resumo 06,1
	MA11_Resumo 06,2
	MA11_Resumo 06,3
	MA11_Resumo 07,1
	MA11_Resumo 07,2
	MA11_Resumo 07,3
	MA11_Resumo 08,1
	MA11_Resumo 08,2
	MA11_Resumo 08,3