Exercícios sobre Médias

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Exercícios sobre Médias 
 
1. Um carro percorre metade de certa distância com velocidade e percorre a outra metade com velocidade . Qual a 
sua velocidade média? 
 
 
 
2. Um carro tem velocidade durante metade do tempo de percurso e tem velocidade durante a outra metade do 
tempo. Qual sua velocidade média? 
 
 
 
3. População de um país cresceu 44% em uma década e cresceu 21% da década seguinte. Qual é, aproximadamente, a 
taxa média decimal de crescimento nesses 20 anos? 
 
 
 
4. No problema anterior, qual a taxa média anual de crescimento nesses 20 anos? 
 
 
5. A valorização mensal das ações de certa empresa nos quatro primeiros meses do ano foi de + 25%, + 25%, – 25% e 
– 25%. Qual a valorização total e qual a valorização média mensal nesse quadrimestre? 
 
 
 
 
 
6. Em uma sala há três túneis. Um conduz à liberdade em 3 horas, outro em 5 horas, e o último conduz ao ponto de partida 
depois de 9 horas. Qual é o tempo médio que os prisioneiro descobrem os túneis gastam para escapar? 
A B C 
 dos casos gastam 
 3 horas para escapar 
 dos casos gastam 
 5 horas para escapar 
 dos casos gastam 
 9 horas para escapar 
 
Então voltam e: 
 dos casos 
demoram MAIS 
3 horas para 
escapar 
(3 + 9 = 12 horas 
ao todo) 
 dos casos 
demoras MAIS 5 
horas para 
escapar 
(5 + 9 = 14 horas 
ao todo) 
 
 
 
 
7. Suponha, no problema anterior, os prisioneiros que entram pelo terceiro túnel, quando voltam ao ponto de partida, não se 
lembram de qual foi o túnel em que entraram e, portanto, escolhem para a próxima tentativa um entre os três túneis. 
 
Como não sabemos o tempo médio para escapar vamos chamá-lo de . Utilizando-se do raciocínio do exercício anterior, 
temos: 
 
 
 
 
8. Prove que a média aritmética de uma lista de números satisfaz , onde e são respectivamente o 
menor e o menor dos números. 
 
 
 
 
 
 
i) por hipótese, é o menor elemento de então: 
 
 vezes 
 
 
 
ii) por hipótese, é o maior elemento de então: 
 
 vezes 
 
 
 
Concluímos então que 
 
 
9. Em um concurso, havia apenas provas de Português e Matemática. O resultado do concurso está no quadro abaixo. 
Candidato Português Matemática Classificação 
João 5 7 2º 
Pedro 6 4 1º 
José 2 5 4º 
Paulo 4 1 3º 
 
João achou que havia um erro na classificação porque fizera mais pontos que Pedro e classificara-se atrás dele. Houve 
necessariamente erro na classificação? 
 
 
Não, pois se o peso da prova de português for 4 e o da prova de matemática for 1, João terá 27 pontos enquanto Pedro terá 
28. 
 
10. Pneus novos duram 40 000 km, quando usados nas rodas dianteiras, e duram 60 000 km, quando usados nas rodas 
traseiras. 
a) com 4 pneus novos e fazendo um rodízio adequado entre eles, quantos quilômetros um carro pode rodar? Como? 
b) e com 5 pneus novos? Como? 
c) a resposta do item a) é uma média entre 40 000 km e 60 000 km. Qual? 
 
a) Suponha que um pneu rode mil quilômetros na roda dianteira e mil quilômetros na roda traseira. Logo seu gasto será 
 mil quilômetros. Para que o gasto seja minimizado todos os pneus devem gastar o mesmo tanto igualmente, ou seja,. 
Para que isto ocorra cada pneu deve gastar o mesmo tanto na roda dianteira e na roda traseira. Logo e 
Resolvendo a equação temos .. Ou seja, cada pneu deve rodar 24 000 
quilômetros na roda dianteira e depois ser trocado para a roda traseira (e vice-versa). No final o carro poderá rodar 
. 
 
b) A otimização do pneu é a mesma, ou seja, cada um deve rodar 24 000 quilômetros em cada roda. Porém como agora temos 
5 pneus o carro poderá rodar . Para isso basta fazer um rodízio a cada 12 000 quilômetros. Seja 
A e B os pneus dianteiros, C e D os pneus traseiros e E o estepe. Seja as configurações: 
AB CD E 
d t e 
 
BC DE A 
d t e 
 
CD EA B 
d t e 
 
DE AB C 
d t e 
 
EA BC D 
d t e 
 
 
c) 
 
Média Harmônica 
 
11. A média aritmética de 50 números é 40. Se dois desses números, 125 e 75, forem suprimidos, qual será a média 
aritmética dos números restantes? 
 
 
 
 
 
12. Prove que, para dois números positivos e , suas médias aritméticas , geométrica , harmônica e quadrática , 
satisfazem . Prove também que duas quaisquer dessas médias são iguais se e somente se . 
 
 
 
 
 
 
Logo . Caso então . Então . 
Aplicando este resultado ao inverso de e temos: 
 
De outra forma temos . 
 
13. Prove que o produto de dois números de soma constante é máximo quando esses números são iguais. 
 
 
 
 
Substituindo na expressão inicial temos: 
 
 
Se temos: 
 
 
Substituindo em temos: 
 
 
14. Prove que a soma de dois números positivos de produto constante é mínima quando esses números são iguais. 
 
 
 
 
Substituindo na expressão inicial temos: 
 
 
Se temos: 
 
 
Substituindo novamente na expressão inicial temos: 
 
 
 
 
 
15. Prove que a média quadrática de números positivos 
 
é sempre maior ou igual a sua média aritmética e só é igual quando todos os números são iguais. 
 
tendo a igualdade quando . 
 
16. Prove que 
 
para quaisquer 
 
Vamos usar a desigualdade entre as médias aritméticas e geométricas aos pares . 
 
 
 
 
 
Somando as desigualdades temos: 
 
 
 
17. Prove que 
 
se . 
 
Faremos a prova em duas etapas: 
 
 
 
Sabemos que para os números . Assim temos: 
 
 
 
 
 
Agora observaremos que 
 
 
 
Elevando ambos membros ao quadrado temos: 
 
 
 
 
 
que de acordo com o exercício anterior é válido. 
Logo reunindo as desigualdades provadas em e tem-se que: 
 
 
18. Um mágico se apresenta usando um paletó cintilante e uma calça colorida e não repete em suas apresentações o mesmo 
conjunto de calça e paletó. Para poder se apresentar em 500 espetáculos, qual o menor número de peças de roupa que 
pode ter seu guarda-roupa? 
 
Chamemos de o número de paletós e de o número de calças. O número de combinações possíveis é . Como o número 
de apresentações é constante sabemos que para o produto ser mínimos os valores de e devem ser iguais. Logo: 
 
Com roupas isto não é possível pois . 
Mas com roupas temos possíveis combinações. 
 
19. Prove que, se são positivos, então: 
 
 
Sabemos que para . Logo temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. Uma caixa retangular sem tampa tem arestas medindo (veja figura, onde as linhas tracejadas indicam segmentos 
de arestas obstruídos por alguma face). 
 
a) Exprima a área e o volume da caixa em função de . 
b) Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32, então sua área é maior ou igual a 
48. 
c) Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32. 
 
a) A área da caixa é igual a 
 
e seu volume é igual a 
 
 
b) Aplicando a desigualdade entre as médias aritméticas e geométricas nos números temos: 
 
 
Supondo , resulta em 
 
 
 
c) A igualdade entre as médias aritméticas e geométrica ocorre se, e somente se, os termos são iguais. Neste caso, quando 
. Como o volume é positivo, têm que ser positivos, em particular não nulos. Então, da equação 
 tiramos que , e da equação tiramos . Como então , isto é, 
, ou ainda, . Então e . 
 
21. Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 14 cm, calcule seu perímetro. 
 
 
 
22. Encontre o intervalo de variação de no conjunto dos reais, sabendo que os lados de um triângulo são expressos em 
centímetros por . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Em um triângulo , o lado tem por comprimento um número inteiro de centímetros. Calcule o maior valor possível 
para , sabendo que , e que . 
Chamemos o maior valor possível de . Logo temos: 
 
 
 
Logo temos: 
 
 
24. Em um triângulo escolhemos aleatoriamentepontos , todos diferentes dos vértices de 
. Prove que o perímetro do triângulo é menor que o perímetro do triângulo . 
 
Provar que 
Pela desigualdade triângulo no triângulo temos: 
 
Analogamente nos triângulos e temos: 
 
 
Somando as desigualdades temos: 
 
 
 
25. Em todo convexo, prove que o comprimento de cada lado é menor que a soma dos comprimentos de 
lados restantes. 
 
Seja um , cujos lados possuem medidas iguais a , provaremos que cada lado é menor que 
a soma dos comprimentos de lados restantes. 
Vamos provar para o lado de medida (para os demais a demonstração é análoga). 
Como já foi provado anteriormente sabemos que escolhido um vértices, podemos através do mesmo particionar o polígono em 
 triângulos. 
Aplicando a desigualdade triangular para esses triângulo temos: 
 para o triângulo 
 para o triângulo 
 para o triângulo 
 
 para o triângulo 
Somando as desigualdades membro a membro temos: 
 
 
26. Se são comprimentos dos lados de um triângulo, prove que . 
Do enunciado temos 
 
Da desigualdade triangular temos 
 
 
 
Comparando e temos: 
 
 
27. (Tornei das Cidades) Se são os comprimentos dos lados de um triângulo, prove que 
(Sugestão: fatore e use a desigualdade triangular). 
Da desigualdade triangular temos 
 
 
 
Do enunciado temos: 
 
 
 
 
28. Dado um quadrilátero convexo , prove que o ponto do plano para o qual a soma é 
mínima é o ponto do concurso das diagonais de . (Sugestão: aplique a desigualdade triangular aos triângulos 
e ). 
 
Seja um ponto qualquer do plano . 
No triângulo temos: 
 
No triângulo temos: 
 
Somando as desigualdades e temos: