UNIDADE1-VARIc381VEISALEATc393RIASCONTINUAS_2019_2_ALUNOS

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02/08/2019
UNIDADE 1 -
VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS 
CONTINUAS 
1.1 –Variáveis Aleatórias 
Continuas:
Distribuição Uniforme, 
Distribuição Exponencial. 
https://www.google.com.br/url?sa=i&source=images&cd=&ved=2ahUKEwjbo9OPrrrcAhXJTZAKHffFCakQjhx6BAgBEAM&url=https%3A%2F%2Fabertoatede
madrugada.com%2F2014%2F07%2Fo-que-e-algo-aleatorio.html&psig=AOvVaw3Yce40F8i57Bo_ppx_PKuq&ust=1532611728879115
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS
Uma variável aleatória é uma função real (isto é, que assume valores em ℝ),
definida no espaço amostral Ω - ômega - de um experimento aleatório.
Dito de outra forma, uma variável aleatória é uma função que associa um
número real a cada evento de Ω.
Exemplos de variáveis aleatórias:
Experimento Variáveis aleatórias
Lançamento de dois dados X=soma dos números
Lançamento de uma moeda 25 vezes X=número de caras em 25 
lançamentos
Aplicar diferentes quantidades de 
fertilizantes em pés de milho
X=colheita/acre
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Muitos experimentos aleatórios produzem
resultados não-numéricos. Antes de analisá-
los, é conveniente transformar seus
resultados em números, o que é feito através
da variável aleatória, que é uma regra de
associação de um valor numérico a cada
ponto do espaço amostral. Portanto, variáveis
aleatórias são variáveis numéricas às quais
iremos associar modelos probabilísticos.
Veremos que uma variável aleatória tem um
número para cada resultado de um
experimento e que uma distribuição de
probabilidades associa uma probabilidade a
cada resultado numérico de um experimento.
VA
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S 
A
LE
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Ó
RI
A
S
http://estpoli.pbworks.com/f/livro_probabilidade_estatistica_2a_ed.
pdf
Por exemplo:
O número de 
reclamações 
de clientes 
Por exemplo:
O número
de falhas ou
defeitos.
Variáveis aleatórias 
discretas e 
contínuas
Uma variável aleatória é
DISCRETA se sua imagem (ou
conjunto de valores que ela
assume) for um conjunto finito
ou enumerável.
Se a imagem for um conjunto
não enumerável, dizemos que
a variável aleatória é contínua.
https://www.mazettoseguros.com.br/blog/seguros/seguro-para-fabrica/
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CUSTO DO SINISTRO 
DE UM CARRO
TEMPERATURA 
MÍNIMA DIÁRIA
SALDO EM 
APLICAÇÕES 
FINANCEIRAS
VELOCIDADE DO 
VENTO
Umidade do ar
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω (ou S) 
e assumindo valores num intervalo de números reais, é 
denominada variável aleatória contínua. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS
ALTURA DE UM ADULTO
DISTÂNCIA 
PERCORRIDA
GANHO DE PESO 
APÓS DIETA
Exercício
É possível estabelecer 
uma associação entre um 
valor numérico e um 
resultado experimental 
possível. Suponha o 
experimento 
representado pela 
operação de um 
restaurante durante um 
dia. O número de clientes 
que entram no 
restaurante durante um 
dia, constitui uma:
variável aleatória 
discreta
1
variável aleatória 
contínua
2
https://www.tripadvisor.com.br/Restaurants-g303322-Brasilia_Federal_District.html
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Exercício
Uma empresa produz
Chips para telefones
móveis. Para seu controle
de qualidade precisa
saber a duração média do
chip produzido. A
duração do chip é uma
variável aleatória discreta
ou contínua?
http://www.slate.com/blogs/future_tense/2018/01/05/the_bright_side_of_the_two_intel_chip_security_vulnerabilities.html
variável aleatória 
contínua
2
variável aleatória 
discreta
1
Os valores de uma variável aleatória contínua são definidos a
partir do espaço amostral de um experimento aleatório. Sendo
assim, é natural o interesse na probabilidade de obtenção de
diferentes valores dessa variável.
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
O comportamento probabilístico de uma
variável aleatória contínua será descrito pela sua
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE.
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FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (f)
DEFINIÇÃO
Função densidade de probabilidade utilizando a NOÇÃO DE ÁREA
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Da mesma forma que a função de probabilidade de uma
variável aleatória discreta, a função densidade de
probabilidade nos dá toda a informação sobre a variável
aleatória contínua X, ou seja, a partir da função densidade
de probabilidade, podemos calcular QUALQUER
probabilidade associada à variável aleatória X.
Função de Distribuição (F)
Também como no caso discreto, podemos calcular
probabilidades associadas a uma variável aleatória
contínua X a partir da função de distribuição acumulada
(também denominada simplesmente função de
distribuição).
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA (F)
DEFINIÇÃO
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Valem as seguintes propriedades para a função de distribuição
acumulada (FDA) de uma variável aleatória contínua:
0 ≤ 𝐹 (𝑋) ≤ 1 
lim
→
𝐹 (𝑋) = 1 
lim
→
𝐹 (𝑋) = 0 
𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝐹 (𝑎) ≤ 𝐹 (𝑏)
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA (FDA)
Da interpretação de probabilidade como área, resulta que 𝐹
(x) é a área à esquerda de x sob a curva densidade 𝑓 
Função de distribuição - cálculo a partir da área sob a curva 
densidade
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 
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Existe uma relação entre a função densidade de probabilidade e a
função de distribuição acumulada, que é consequência do Teorema
Fundamental do Cálculo. Por definição, temos o seguinte resultado:
e do Teorema Fundamental do Cálculo resulta que
𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹 (𝑥)
𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 𝑓
isto é, a função densidade de probabilidade é a derivada da função de 
distribuição acumulada.
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO
FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA - Indica a probabilidade de que a variável 
aleatória X assume quando um valor é inferior ou igual a um determinado x.
A função distribuição de probabilidade associa cada valor x da variável 
aleatória X à sua probabilidade de ocorrência P(x)
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Regras de derivação:
Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer.
Então, valem as propriedades:
Regras de Integração
http://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/listas/fuv/tabela-derivadas-
e-integrais.pdf
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DEFINIÇÃO: A esperança matemática de uma variável
aleatória contínua X fica dada por:
𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Esperança
A variância de uma variável aleatória X 
contínua é definida por:
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝐸(𝑋 − 𝜇)
= 𝐸 𝑋 − 𝜇
Em que:
𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Variância
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Note que se X for medido em uma dada unidade de medida
(por exemplo, m), então a variância de X será medida em
valores quadrados desta unidade (𝑚 ).
Por isto, às vezes é comum se utilizar o desvio-padrão de
uma variável aleatória como medida de sua variabilidade.
O desvio-padrão 𝜎(𝑋) de X é igual a 𝑉𝑎𝑟(𝑋).
Desvio-padrão de uma variável aleatória
Exercício
A demanda diária de arroz num 
supermercado, em centenas de 
quilos, é uma v.a. com f.d.p.
𝑓 𝑥 =
0 𝑠𝑒 𝑥 < 0
2𝑥/3 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
1 −
𝑥
3
𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 3
0 𝑥 > 3
Qual a probabilidade de se vender 
mais do que 150 kg, num dia 
escolhido ao acaso? 
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Distribuição 
Uniforme
A distribuição uniforme é a mais simples das
distribuições contínuas, entretanto uma das
mais importantes e utilizadas dentro da
teoria de probabilidade. A distribuição
uniforme tem uma importante característica:
a probabilidade de acontecer um fenômeno
de mesmo comprimento é a mesma.
Uma distribuição de variável aleatória contínua é a
distribuição uniforme cuja função densidade de
probabilidade é constante dentro de um intervalo de
valores da variável aleatória X. Dessa maneira, cada um
dos possíveis valores que X com distribuição uniforme
pode assumir tem a mesma probabilidade de ocorrer
A distribuição uniforme contínua é definida pela massa
uniformemente espalhada sobre um intervalo [a,b]. Sua fdp
(função densidade de probabilidade ) é dada por:
DistribuiçãoUniforme
𝑓 𝑥 𝑎, 𝑏 =
1
𝑏 − 𝑎
se 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
0 Caso contrario.
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https://www.medcalc.org/manual/uniform_distribution_functions.p
hp
Exemplo:
Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5],
notação 𝑋 ∼ 𝑈[1, 5], então a função densidade de
probabilidade de X é definida por:
𝑓 𝑥 1,5 =
1
4
1 ≤ 𝑥 ≤ 5
0 Caso contrario.
A área totalsob a curva pode ser calculada de duas formas, 
diretamente pela solução da integral ou pela área. Tentem 
fazer....
DistribuiçãoUniforme
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A área total sob a curva pode ser calculada 
diretamente pela solução da integral .
1
4
𝑑𝑥 =
1
4
𝑑𝑥
DistribuiçãoUniforme
=
1
4
𝑥| =
1
4
5 − 1 =
4
4
= 1
Exemplo:
Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5],
notação 𝑋 ∼ 𝑈 1, 5 descreva a função densidade de
probabilidade de X .
DistribuiçãoUniforme
A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de 
base ∆ = 4 e altura ℎ = 1 /4.
𝐴 = ∆ × ℎ = 4 × 1 /4 = 1.
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Exercício
Se uma variável aleatória (X) tem distribuição uniforme: 
𝑋 ∼ 𝑈[1, 5].
a) calcule a probabilidade de x estar entre 1 e 2, ou seja, 
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 2).
b) Esboce graficamente a função de distribuição 
uniforme.
DistribuiçãoUniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória com
distribuição uniforme no intervalo [a,b], notação
𝑋 ∼ 𝑈[𝑎, 𝑏], então:
𝑓 𝑥 𝑎, 𝑏 =
1
𝑏 − 𝑎
se 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
0 Caso contrario.
A esperança de X fica dada por:
DistribuiçãoUniforme
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Vamos supor que X é uma variável aleatória com
distribuição uniforme no intervalo [a,b], notação
𝑋 ∼ 𝑈[𝑎, 𝑏], então:
𝑓 𝑥 𝑎, 𝑏 =
1
𝑏 − 𝑎
se 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
0 Caso contrario.
A variância de X fica dada por
DistribuiçãoUniforme
Variância da uniforme
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Exercício de fixação.
Calcule a média e o desvio padrão da variável aleatória X com 
distribuição uniforme no intervalo (100,200). 
Qual a probabilidade de um valor de X pertencer ao intervalo (120, 1 
70)? 
Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo 
[1,5; 5,5]. Determine (a) E(X) e V(X). (b) P(X<2,5)
Exercício
Dada uma distribuição
uniforme no intervalo
[17, 29], temos:
a) média 6 e variância 12.
b) média 23 e desvio padrão 3,5.
c) média 6 e variância 3,5.
d) média 23 e desvio padrão 1,5.
e) média 6 e desvio padrão 1,5.
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Exercício
Se retirarmos uma
amostra aleatória de
1200 observações de
uma população com
distribuição uniforme
no intervalo [17, 29], a
distribuição da média
amostral será
aproximadamente,
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T 
contínua é definida por:
𝑭 𝑿 = 𝑷 𝒕 < 𝑿 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕
𝑿
Distribuição Uniforme: A função de distribuição acumulada de 
uma variável aleatória 𝑇 ∼ 𝑈[𝑎, 𝑏] é dada por:
𝑭 𝑿 = 𝑷 𝒕 < 𝑿 =
𝟎
𝒙 − 𝒂
𝒃 − 𝒂
𝟏
𝒙 < 𝒂,
𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃,
𝒙 ≥ 𝒃.
Função de Distribuição Acumulada (DFA)
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Distribuição Uniforme: A função de distribuição acumulada de uma 
variável aleatória 𝑇 ∼ 𝑈[𝑎, 𝑏]
Função de distribuição acumulada
Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [0, 2]
Qual será a probabilidade de que o ponto 
escolhido esteja entre 1 e 3/2 ? 
Exercício
20
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Latas de Coca-Cola 
são enchidas num 
processo 
automático(em ml) 
segundo uma 
distribuição uniforme 
no intervalo 
[345,355].
A. Qual é a probabilidade de uma
lata conter mais de 353 ml?
B. Qual é a probabilidade de uma
lata conter menos de 346 ml?
C. Qualquer lata com volume 4 ml
abaixo da média pode gerar
reclamação do consumidor e com
volume 4 ml acima da média pode
transbordar no momento de
abertura, devido à pressão
interna. Qual é a proporção de
latas problemáticas?
https://www.buscape.com.br/coca-cola-lata-350-ml
Exercício:
2 - Dada a v.a. X, uniforme em [5, 10], calcule as probabilidades abaixo:
(a)P(X < 7)
(b)P(8 < X < 9)
(c)P(X > 8,5)
(d)P(|X − 7,5| > 2) 
Note que a densidade de é 𝑓 (𝑥) = 1/(10 − 5) 𝑠𝑒 𝑥 ∈ (5, 10) e 0 caso 
contrário. Basta integrar na região dos eventos.
3 –
Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] 
com média 7,5 e variância 6,75. Determine os valores de a e b, sabendo 
que 𝑏 > 𝑎 > 0
Exercício:
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Distribuição
Exponencial
Uma distribuição exponencial de
probabilidade é muito útil para descrever o
tempo que se leva para completar uma
tarefa, podendo também descrever o
tempo entre a chegada de um motoboy a
casa do cliente, o tempo exigido para
alguma tarefa dentro de uma fabrica. Esta
distribuição pode, assim, ser aplicada em
qualquer área aonde exista a necessidade
de identificar tempos percorridos ou ate
variações de maiores erros.
Tempo de vida de 
componentes que 
falham sem efeito 
de idade
Chegadas de 
consumidores
Falha do ventilador 
de motores
Demandas de serviços 
Duração de chamadas 
telefônicas
Distribuição Exponencial
A densidade exponencial pode ser utilizada para modelar os seguintes fenômenos:
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Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de
parâmetro λ > 0 (𝑋 ∼ 𝐸𝑥𝑝(𝜆)), a função densidade de
probabilidade de X é definida por:
𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒 
em que x > 0
Distribuição Exponencial
Função densidade de probabilidade (f.d.p) utilizando a noção de 
área
Descrição de f(x) para λ = 3
A área total sob a curva é calculada 
através da integral.
𝜆𝑒 𝑑𝑥 = 𝜆 𝑒 𝑑𝑥 = 1
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Exemplo: Probabilidade de eventos 
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) corresponde à área na figura 
abaixo e pode ser calculada pela integral
𝐴 = 𝜆𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 − 𝑒
Função densidade 
Para que uma função f(x) seja uma função densidade, sua
integral no domínio de definição tem que ser igual a 1.
Considerando, então, a função 𝑓 𝑥 = 𝑒 para 𝑥 > 0,
temos que:
E portanto, 𝑓 𝑥 = 𝜆𝑒 define uma função de densidade 
de probabilidade para 𝑥 > 0
𝜆𝑒 𝑑𝑥 = 1
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Função de distribuição
Por definição, temos que
𝐹 𝑋 = 1 − 𝑒 se 𝑋 > 0
0 se 𝑋 ≤ 0
Função de distribuição acumulada (FDA)
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O cálculo dos momentos da distribuição exponencial se faz 
com auxílio de integração por partes. 
E(X)=∫ 𝜆𝑒 𝑑𝑥
Esperança e Variância
𝑋~ exp(λ) ⟹
𝐸 𝑋 =
1
𝜆
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
1
𝜆
Primeiro momento=E[x]=esperança de x
Segundo momento=V[x]=variância de x
O cálculo dos momentos da distribuição exponencial se faz 
com auxílio de integração por partes. A esperança é:
E(X)=∫ 𝜆𝑒 𝑑𝑥
Definindo:
𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 
𝑑𝑣 = 𝜆𝑒 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = −𝑒
O método de integração por partes nos dá que:
o lado esquerdo desta última igualdade é zero. Logo
Esperança e Variância
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o lado esquerdo desta última igualdade é zero. Logo
Desse resultado segue que
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Seja X uma variável aleatória exponencial com média 4. Calcule
a)P(X > 1) 
b)Pr (1 ≤ X ≤ 2)
Exercício:
Seja 𝑋 ∼ exp 𝛽 . Calcule 𝑃(𝑋 > 𝐸(𝑋)).
Note que essa é a probabilidade de uma variável
aleatória exponencial ser maior que o seu valor médio; o
que mostramos é que essa probabilidade é constante,
qualquer que seja o parâmetro.
Exercício:
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Observa-se que um tipo particular de chip é igualmente
provável durar menos que 5.000 horas ou mais que 5.000
horas. Determine:
a) Determine o tempo de duração médio de um chip deste
tipo.
b)Qual a probabilidade que o chip durará menos de 1.000
horas ou mais de 10.000 horas?
Exercício: