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Lista 1 (probabilidade e v. Aleatória continua) 
1. Através do Diagrama de Venn abaixo (onde os valores marcados
correspondem às probabilidades das áreas delimitadas), verifique que,
apesar de que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐶), A e B e C não são
eventos independentes.
R:
2. Suponha que, numa eleição para governador em um estado norte americano, temos um candidato democrata e um republicano.
Entre os eleitores brancos, 30% votam no democrata, esta proporção sobe para 60% entre os eleitores negros e é de 50% entre os
eleitores de outras etnias. Sabendo-se que há 70% de eleitores brancos, 20% de negros e 10% de outras etnias, se um voto democrata
é retirado ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha sido dado por um eleitor negro?
Lista 1 (probabilidade e v. Aleatória continua) 
3. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 peças são retiradas uma
após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam
boas?
A={a 1ª peça é boa}
B={a 2ª peça é boa}
P(A ∩ B)= P(A). P(B/A)= 8/12.7/11=14/33
Isto é, se P(A)=P(A/B) «É evidente que, se A é independente de B, B é
independente de A; P(B)=P(B/A). Se A e B são independentes, então temos
que
P(A ∩ B)=P(A).P(B)
4. Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças
defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de
que a peça tenha vindo da máquina B? E da máquina A?
Solução
Temos que :
P(A) = 0,4
P(B) = 0,5
P(C)= 0,10
P(D/A) = 0,03
P(D/B) = 0,05
P(D/C) = 0,02
P(B/D) = ?
Utilizando a Regra de Bayes temos:
5. Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana. No final do curso,
eles são submetidos a uma prova e 25% são classificados como bons (B), 50% como médios (M) e os restantes 25% como fracos (F). Para
facilitar a seleção, a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo questões referentes a conhecimentos gerais e
específicos. Para isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser considerado fraco, caso fizesse o
curso. Assim, neste ano, antes do início do curso, os candidatos foram submetidos ao teste e receberam o conceito aprovado (A) ou reprovado
(R). No final do curso, obtiveram-se as seguintes probabilidades condicionais:
P(A|B) = 0,80, P (A|M) = 0,50, P (A|F) = 0,20.
Encontre P(F|A) – probabilidade dos aprovados é que seriam classificados como fracos durante o curso.
Então, apenas 10% dos aprovados é que seriam classificados como fracos durante o curso. De modo análogo podemos encontrar P(B|A) =
0,40 e P(M|A) = 0,50, que poderiam fornecer subsídios para ajudar na decisão de substituir o treinamento pelo teste.
Lista 1 (probabilidade e v. Aleatória continua) 
6. A administração de um fundo de investimentos em ações pretende divulgar, após
o encerramento do pregão, a probabilidade de queda de um índice da bolsa no dia
seguinte, baseando-se nas informações disponíveis até aquele momento. Suponha
que a previsão inicial seja de 0,10. Após encerrado o pregão, nova informação
sugere uma alta do dólar frente ao real. A experiência passada indica que quando
houve queda da bolsa no dia seguinte, 20% das vezes foram precedidas por esse
tipo de notícia, enquanto, nos dias em que a bolsa esteve em alta, apenas em 5%
das vezes houve esse tipo de notícia no dia anterior. Chamando de E o evento que
indica “queda da bolsa”, a sua probabilidade a priori é P(E) = 0,10, enquanto a
probabilidade de alta é P(Ec) = 0,90. Se B indicar “alta do dólar”, então as
verossimilhanças são dadas por P(B|E) = 0,20, P (B|Ec) = 0,05.
Qual a P (E|B) – probabilidade de queda na bolsa dada a alta do dólar? Inicialmente
ela é de 10% como descrito.
7. Observe o Histograma alisado: distribuição uniforme contínua
O histograma corresponde à seguinte função:
Calcule a área correspondente ao intervalo [a, b) (hachurada na Figura).
Como vimos na construção de histogramas, a área correspondente ao intervalo [a, b) (hachurada na Figura) deve indicar a
probabilidade de a variável estar entre a e b. Matematicamente, isso é expresso por meio da integral da função entre a e b; então,
pois a integral definida de uma função entre dois pontos determina a área sob a curva representativa da função, compreendida entre
esses dois pontos.
8. Se 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 1/2) , e zero fora desse intervalo, vemos que 𝑓(𝑥) ≥ 0, para qualquer x, e a área sob o gráfico de 𝑓(𝑥) é unitária.
Logo, a função f pode representar a função densidade de uma v.a. contínua X.
Lista 1 (probabilidade e v. Aleatória continua) 
Calcule 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 1/2).
Observamos, então, que a probabilidade de essa v.a. assumir um valor pertencente ao intervalo [0, 1/2) é menor que a probabilidade
de a variável assumir um valor pertencente ao intervalo [1/2, 1).
9. Um caso particular bastante interessante é aquele distribuição uniforme na qual α = –1/2 e β = 1/2. lndicando essa v.a. por U,
teremos:
Calcule a esperança, a variância desta variável aleatória e escreva a Função de Distribuição acumulada.
10. O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser considerado uma v.a com distribuição exponencial com 1/𝜆 = 500. Segue-
se que a vida média do transistor é E(T) = 500 horas. Calcule a probabilidade de que ele dure mais do que a média.
11. Dada a função:
(a) Mostre que esta é uma f.d.p.
(b) (b) Calcule a probabilidade de X > 10.
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12. Encontre o valor da constante c se
for uma densidade e Encontre P(X > 15).
13. A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto. Suponha que T seja
considerada uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo (150, 300). Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo seja
C1 reais. Se o óleo for destilado a uma temperatura inferior a 200°, o produto obtido é vendido a C2 reais; se a temperatura for
superior a 200°, o produto é vendido a C3 reais.
(a) Fazer o gráfico da f.d.p. de T.
(b) (b) Qual o lucro médio por galão?