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MAP2320 – aula 14 MAP 2320 – MÉTODOS NUMÉRICOS EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS II 2º Semestre - 2020 Prof. Dr. Luis Carlos de Castro Santos lsantos@ime.usp.br MAP2320 Heat and Mass Transfer (SI Unit) By (author) Yunus A. Cengel , By (author) Afshin J. Ghajar http://www.bookdepository.com/author/Yunus-A-Cengel http://www.bookdepository.com/author/Afshin-J-Ghajar MAP2320 • The rate of heat conduction through a medium in a specified direction (say, in the x-direction) is expressed by Fourier’s law of heat conduction for one- dimensional heat conduction as: Heat is conducted in the direction of decreasing temperature, and thus the temperature gradient is negative when heat is conducted in the positive x -direction. MAP2320 • The heat flux vector at a point P on the surface of the figure must be perpendicular to the surface, and it must point in the direction of decreasing temperature • If n is the normal of the isothermal surface at point P, the rate of heat conduction at that point can be expressed by Fourier’s law as MAP2320GENERAL HEAT CONDUCTION EQUATION Rectangular Coordinates MAP2320 MAP2320 MAP2320 • Specified Temperature Boundary Condition • Specified Heat Flux Boundary Condition • Convection Boundary Condition • Radiation Boundary Condition • Interface Boundary Conditions • Generalized Boundary Conditions Boundary Conditions MAP2320 MAP2320 MAP2320 MAP2320 MAP2320 MAP2320 y MAP2320 Além disso )()()(),( ykyYaXyau == Essa condição será usada para definir os termos da série depois da forma da solução ser encontrada. MAP2320 Iniciando com a equação diferencial em y, que tem as condições em ambos os contornos conhecidos e homogêneos. 𝑌´´(𝑦) + 𝜆𝑌(𝑦) = 0, 𝑌 0 = 𝑌 𝑏 = 0 A equação característica: 𝑟2 + 𝜆 = 0 Logo, 𝑟 = ± 𝜆 𝑖 Sendo assim 𝑌 𝑦 = 𝐶1 cos 𝜆 𝑦 + 𝐶2 sin 𝜆 𝑦 𝑌 0 = 𝐶1 = 0 𝑌 𝑏 = 𝐶2 sin 𝜆 𝑏 = 0 𝜆 𝑏 = 𝑛𝜋 , 𝑛 = 1,2, … 𝜆 = 𝑛2𝜋2 𝑏2 𝑌𝑛 = sin 𝑛𝜋𝑦 𝑏 MAP2320 Analisando agora a equação em X: 𝑋´´ 𝑥 − 𝜆𝑋(𝑥) = 0, 𝑋 0 = 0 A equação característica nesse caso é: 𝑟2 − 𝜆 = 0 Logo, 𝑟 = ± λ mas como 𝜆 = 𝑛2𝜋2 𝑏2 temos 𝑟 = ± 𝑛𝜋 𝑏 Portanto a solução tem a forma: 𝑋 𝑥 = 𝐶1𝑒 𝑛𝜋 𝑏 𝑥 +𝐶2 𝑒 − 𝑛𝜋 𝑏 𝑥 Substituindo a condição de contorno: 𝑋 0 = 𝐶1+𝐶2= 0 𝐶2 = −𝐶1 𝑋 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑛𝜋 𝑏 𝑥 − 𝑒− 𝑛𝜋 𝑏 𝑥Assim: Reconhecemos a função hiperbólica: 𝑋𝑛 = sinh 𝑛𝜋 𝑏 𝑥 MAP2320 Os coeficientes da série de senos de k(y) definem os coeficientes da solução 𝑏𝑛 = 𝑐𝑛 sinh 𝑛𝜋𝑎 𝑏 MAP2320 a=3 b =2 k(y) MAP2320 MAP2320 MAP2320 MAP2320 Além disso )()()0(),0( yhyYXyu == y MAP2320 MAP2320 MAP2320 Os coeficientes da série de senos de h(y) definem os coeficientes da solução 𝑏𝑛 = 𝑐𝑛 sinh 𝑛𝜋𝑎 𝑏 MAP2320 a=3 b =2 h(y) MAP2320 MAP2320 MAP2320 MAP 2320 – MÉTODOS NUMÉRICOS EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS II 2º Semestre - 2020 Roteiro do curso • Introdução • Séries de Fourier • Método de Diferenças Finitas • Equação do calor transiente (parabólica) • Equação de Poisson (elíptica) • Equação da onda (hiperbólica)
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