GAB_APX3_CI_2021-2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO APX3 – CÁLCULO I – 2/2021
Código da Disciplina: EAD 1005 - EAD 1083
Questão 1 [2.5 pontos]
Considere as funções f : (−∞, 1) −→ R e g : R −→ R definidas por:
f(x) = ln
( 1− x
1 + x2
)
e g(x) = (x3 + x− 1) sen(4x).
Se A e B são constantes reais tais que
A = lim
x→−1
f ′(x) e B = lim
x→0
g′(x),
é correto afirmar que:
(a) A = 1/2 e B = −4;
(b) A = −1/2 e B = −4;
(c) A = 1/2 e B = 4;
(d) A = 1/2 e B = −1;
(e) A = −1/2 e B = −1.
Solução: Resposta correta no item (a).
Temos que:
f ′(x) =
(1 + x2
1− x
)[−(1 + x2)− (1− x)(2x)
(1 + x2)2
]
⇒
f ′(x) =
x2 − 2x− 1
(1− x)(1 + x2)
e
g′(x) = (3x2 + 1) sen(4x) + (x3 + x− 1) cos(4x) (4) ⇒
g′(x) = (3x2 + 1) sen(4x) + (4x3 + 4x− 4) cos(4x).
Logo,
lim
x→−1
f ′(x) = lim
x→−1
x2 − 2x− 1
(1− x)(1 + x2)
=
2
4
=
1
2
!
Cálculo I Gabarito APX3 2/2021
e
lim
x→0
g′(x) = lim
x→0
[
(3x2 + 1) sen(4x) + (4x3 + 4x− 4) cos(4x)
]
= −4. !
Questão 2 [2.5 pontos]
A equação x2− 5xy+ 3y2 = 3 define implicitamente uma função derivável y = y(x) em
torno do ponto de abscissa x = 1 e ordenada y > 0. A expressão (em termos de x e
de y) que define a derivada de f e a equação que define a reta tangente ao gráfico de f
neste ponto são, respectivamente:
(a) y′ =
5y − 2x
6y − 5x
e 8x− 7y = −6;
(b) y′ =
5y − 2x
6y − 5x
e 7x− 8y = −6;
(c) y′ =
5x− 2y
6x− 5y
e 8x− 7y = −6;
(d) y′ =
5x− 2y
6x− 5y
e 7x− 8y = −6;
(e) y′ =
5x− 6y
5y − 2x
e 7x− 8y = −6.
Solução: Resposta correta no item (a).
Derivando implicitamente temos:
x2 − 5xy + 3y2 = 3
2x− 5y − 5x y′ + 6y y′ = 0
(6y − 5x) y′ − (5y − 2x) = 0
y′ =
5y − 2x
6y − 5x
Para determinar a ordenada do ponto em questão, fazemos x = 1 na equação x2− 5xy+
3y2 = 3 e lembramos que y > 0.
1− 5y + 3y2 = 3
3y2 − 5y − 2 = 0
y =
5±
√
25 + 4× 3× 2
6
y =
5± 7
6
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Assim, y = 2, uma vez que a outra possibilidade é y = −1/3, e o ponto em questão é
(1, 2). Calculando a inclinação da reta:
y′ =
1−−2
12− 5
=
8
7
.
Portanto, a equação da reta é y − 2 = 8
7
(x− 1) ou 8x− 7y = −6. !
Questão 3 [2.5 pontos]
Considere a famı́lia T de triângulos retângulos construı́dos no primeiro quadrante do
plano cartesiano de tal forma que os catetos estão contidos nos eixos de coordenadas e as
hipotenusas estão contidas nas retas tangentes à curva definida pela equação y = 4 − x2
(veja dois exemplos na figura abaixo).
A menor das áreas dos triângulos da famı́lia T é:
(a) 6, 1574 unidades de comprimento2;
(b) 0, 61574 unidades de comprimento2;
(c) 0, 061574 unidades de comprimento2;
(d) 61, 574 unidades de comprimento2;
(e) 615, 74 unidades de comprimento2.
Solução: Resposta correta no item (a).
Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = 4− x2 no ponto de coordenadas
(a, 4− a2). Essa reta tem inclinação y′(a) = −2a e sua equação é
y − (4− a2) = −2a (x− a)
y = −2a x+ 2a2 + 4− a2
y = −2a x+ a2 + 4
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Para determinar os comprimentos dos catetos, devemos determinar as interseções dessa
reta com os eixos de coordenadas:
å Fazendo y = 0, obtemos 2a x = a2 + 4 ou x =
a2 + 4
2a
.
å Fazendo x = 0, obtemos y = a2 + 4.
Assim, a equação da área do triângulo em questão é:
S(a) =
1
2
a2 + 4
2a
(a2 + 4) =
(a2 + 4)2
4a
Para encontrar o candidato a triângulo com a menor área, devemos derivar S(a) em
relação a a:
S(a) =
a4 + 8a2 + 16
4a
=
=
a3
4
+ 2a+
4
a
=⇒
S ′(a) =
3a2
4
+ 2− 4
a2
=
=
3a4 + 8a2 − 16
4a2
Para encontrar os pontos crı́ticos devemos resolver a equação 3a4 + 8a2 − 16 = 0. Daı́
obtemos a2 = 4/3 e, no intervalo a ∈ [0, 2], temos a raiz
a =
2
√
3
3
Substituı́ndo em S(a), obtemos a menor área S ≈ 6, 1574. !
Questão 4 [2.5 pontos]
Sejam a uma constante real e f a função f : R− {a} −→ R definida por
f(x) =
1
x− a
− 1
(x− a)2
Sabendo que f tem um ponto de inflexão em x = 6, é correto afirmar que:
(a) a = 3;
(b) a = −3;
(c) a = 1/3;
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(d) a = −1/3;
(e) a = −1.
Solução: Resposta correta no item (a).
Vamos derivar a função f(x) =
1
x− a
− 1
(x− a)2
= (x− a)−1 − (x− a)−2:
f(x) = (x− a)−1 − (x− a)−2 ⇒
f ′(x) = −(x− a)−2 + 2 (x− a)−3 ⇒
f ′′(x) = 2 (x− a)−2 − 6 (x− a)−4 =
=
2
(x− a)3
− 6
(x− a)4
=
=
2(x− a)− 6
(x− a)4
Se x = 6 é um ponto de inflexão, então f ′′(6) = 0, ou seja, 2(6 − a) − 6 = 0. Assim,
a = 3 é a solução procurada. !
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