Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AD1 – CA´LCULO I – 2015/2 Gabarito Questa˜o 1 [2 pontos] Calcule os seguintes limites de func¸o˜es: (a) [1,0 ponto] lim x→0 2− 2cos(x2) x4 − 3x3 − 4x2 (b) [1,0 ponto] limx→−5+ |3 + 2x− x2| − 32 x2 + 3x− 10 Soluc¸a˜o: (a) lim x→0 2− 2cos(x2) x4 − 3x3 − 4x2 = limx→0 [ 2− 2cos(x2) x4 − 3x3 − 4x2 · 2 + 2cos(x2) 2 + 2cos(x2) ] = = lim x→0 4− 4cos2(x2) (x4 − 3x3 − 4x2)(2 + 2cos(x2)) = limx→0 4sen2(x2) x2(x2 − 3x− 4)(2 + 2cos(x2)) = = lim x→0 4 sen(x2) (x2 − 3x− 4)(2 + 2cos(x2)) · limx→0 sen(x2) x2 = 0 (b) lim x→−5+ |3 + 2x− x2| − 32 x2 + 3x− 10 = limx→−5+ (x2 − 2x− 3)− 32 (x+ 5)(x− 2) = limx→−5+ x2 − 2x− 35 (x+ 5)(x− 2) = = lim x→−5+ (x+ 5)(x− 7) (x+ 5)(x− 2) = limx→−5+ x− 7 x− 2 = 12 7 Questa˜o 2 [2 pontos] Considere o gra´fico da func¸a˜o ξ dado abaixo: Determine, se existirem: CA´LCULO I Gabarito AD1 2 (a) o dom´ınio D(ξ) e a imagem Im(ξ) de ξ; (b) lim x→a+ ξ(x), lim x→a− ξ(x) e lim x→a ξ(x); (c) lim x→b+ ξ(x), lim x→b− ξ(x) e lim x→b ξ(x) (d) lim x→c+ ξ(x), lim x→c− ξ(x) e lim x→c ξ(x); (e) lim x→d+ ξ(x), lim x→d− ξ(x) e lim x→d ξ(x); (f) lim x→e+ ξ(x), lim x→e− ξ(x) e lim x→e ξ(x); (g) lim x→f+ ξ(x), lim x→f− ξ(x) e lim x→f ξ(x); (h) lim x→g+ ξ(x), lim x→g− ξ(x) e lim x→g ξ(x); (i) lim x→h+ ξ(x), lim x→h− ξ(x) e lim x→h ξ(x); (j) lim x→i+ ξ(x), lim x→i− ξ(x) e lim x→i ξ(x). Soluc¸a˜o: (a) D(ξ) = [a, i] e Im(ξ) = (−∞, L4]; (b) lim x→a+ ξ(x) = L2, na˜o existem lim x→a− ξ(x) e lim x→a ξ(x); (c) lim x→b+ ξ(x) = lim x→b− ξ(x) = lim x→b ξ(x) = 0; (d) lim x→c+ ξ(x) = lim x→c− ξ(x) = lim x→c ξ(x) = 0; (e) lim x→d+ ξ(x) = lim x→d− ξ(x) = lim x→d ξ(x) = L3; (f) lim x→e+ ξ(x) = lim x→e− ξ(x) = lim x→e ξ(x) = 0; (g) lim x→f+ ξ(x) = lim x→f− ξ(x) = lim x→f ξ(x) = L1; (h) lim x→g+ ξ(x) = L3, lim x→g− ξ(x) = L1 e na˜o existe lim x→g ξ(x); (i) lim x→h+ ξ(x) = lim x→h− ξ(x) = lim x→h ξ(x) = L4; (j) lim x→i− ξ(x) = l3 e na˜o existem lim x→i+ ξ(x) e lim x→i ξ(x). Questa˜o 3 [2,5 pontos] Considere a func¸a˜o f(x) = x2 + x− 1√ x4 − 3x3 − 4x2 . (a) Determine o dom´ınio de f ; (b) Encontre, caso existam, as ass´ıntotas horizontais e as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito; (c) Trace um esboc¸o do gra´fico de f . Soluc¸a˜o: (a) D(f) = {x ∈ R; x4 − 3x3 − 4x2 > 0} = {x ∈ R; x2(x2 − 3x− 4) > 0} = = {x ∈ R; x2(x− 4)(x+ 1) > 0} = {x ∈ R; (x− 4)(x+ 1) > 0} = Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO I Gabarito AD1 3 = {x ∈ R; x < −1 ou x > 4} = (−∞,−1) ∪ (4,+∞) (b) Temos que: (i) lim x→4+ x2 + x− 1√ x4 − 3x3 − 4x2 = +∞, pois x 2 + x − 1 → 19 > 0 e √x4 − 3x3 − 4x2 → 0+ quando x→ 4+; (ii) lim x→−1− x2 + x− 1√ x4 − 3x3 − 4x2 = −∞, pois x 2 + x− 1→ −1 < 0 e √x4 − 3x3 − 4x2 → 0+ quando x→ −1−; (iii) lim x→+∞ x2 + x− 1√ x4 − 3x3 − 4x2 = limx→+∞ x2 ( 1 + 1 x − 1 x2 ) √ x4 ( 1− 3 x − 4 x2 ) = limx→+∞ x2√x4 = limx→+∞ x 2 x2 = 1; (iv) lim x→−∞ x2 + x− 1√ x4 − 3x3 − 4x2 = limx→−∞ x2 ( 1 + 1 x − 1 x2 ) √ x4 ( 1− 3 x − 4 x2 ) = limx→−∞ x2√x4 = limx→−∞ x 2 x2 = 1; De (i) e (ii), concluimos que as reta x = −1 e x = 4 sa˜o as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f e, de (iii) e (iv), concluimos que a reta y = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . (c) Um esboc¸o do gra´fico de f e´: Questa˜o 4 [2,0 pontos] Seja f : R → R definida por f(x) = x2 − 1, se x ≤ −1 B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2 x3 − x+ C, se x > 2 Sabendo f e´ cont´ınua em todo o seu dom´ınio, determine B + C. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO I Gabarito AD1 4 Soluc¸a˜o: Se a func¸a˜o f e´ cont´ınua em todo o seu dom´ınio, enta˜o f e´ cont´ınua em x = −1 e em x = 2. Logo, lim x→−1+ f(x) = lim x→−1− f(x) = f(−1) e lim x→2+ f(x) = lim x→2− f(x) = f(2). Temos que: (i) f(−1) = 0 (ii) f(2) = 6 + C (iii) lim x→−1+ f(x) = lim x→−1+ B − 2Ax = B + 2A (iv) lim x→−1− f(x) = lim x→−1− x2 − 1 = 0 (v) lim x→2+ f(x) = lim x→2+ x3 − x+ C = 6 + C (vi) lim x→2− f(x) = lim x→2− B − 2Ax = B − 4A De (i) = (iii) = (iv) e (ii) = (v) = (vi), obtemos, respectivamente, as equac¸o˜es B + 2A = 0 e B − 4A = 6 + C. Da´ı, B = −2A e C = −6A− 6. Portanto, B + C = −8A− 6. Questa˜o 5 [1,5 pontos] Utilize o teorema do Valor Intermedia´rio para provar que a equac¸a˜o sen x = x2 − 4 admite duas ra´ızes reais e distintas. Soluc¸a˜o: Seja f(x) = x2 − 4− senx. (i) Temos que f (−pi 2 ) < 0 < f (−3pi 2 ) . Logo, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, que existe c1 ∈ (−3pi 2 , −pi 2 ) tal que f(c1) = 0. Logo, f possui uma raiz c1 em (−3pi 2 , −pi 2 ) . (ii) Temos que f (pi 2 ) < 0 < f (3pi 2 ) . Logo, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, que existe c2 ∈ (pi 2 , 3pi 2 ) tal que f(c2) = 0. Logo, f possui uma raiz c2 em (pi 2 , 3pi 2 ) . Como (−3pi 2 , −pi 2 ) e (pi 2 , 3pi 2 ) sa˜o intervalos disjuntos, segue que c1 6= c2. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar