AD2_AL_2023_2 (Avaliação de Álgebra Linear)

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Curso de Tecnologia em Sistemas de Computação
Disciplina : Álgebra Linear - Profs Mauro Rincon & Marcia Fampa
AD2 (Segunda Avaliação a Distância) - Segundo Semestre 2023
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1.(2.0) Seja a matriz triangular superior, definida por
A =

1 −1 −2 0
0 2 −1 4
0 0 2 6
0 0 0 3

(a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes usando a ex-
pansão de cofatores.
(b) Podemos assegurar que a matriz A tem inversa? Se positivo, cal-
cule a inversa da matriz A.
(c) A inversa de A, se existir, também é uma matriz triangular supe-
rior?
(d) Determine, se possível, a solução do sistema linear Ax = b =
(1, 0,−1, 2)t
2.(2.0) Sejam as matrizes A e B. A matriz A é chamada de Matriz de Pascal
e det(A) = 1. A matriz B é a matriz A, subtraindo uma unidade do
elemento a44. Explique porque o det(B) = 0?
A =

1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
 , B =

1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 19

1
3.(2.0) Considere o sistema linear homogêneo;
x1 + 5x2 + x3 = 0
x1 + x2 + 2x3+ 2x4 = 0
2x2 + 2x3+ 2x4 = 0
Determine, pelo método de Gauss-Jordan, a solução não trivial, isto é,
X = (x1, x2, x3, x4) 6= (0, 0, 0, 0) do sistema.
4.(2.0) Seja a aplicação TA : IR4 → IR3, definida por TA(x) = Ax, para
x ∈ IR4. Seja A de ordem 3×4, a matriz dos coeficientes da 2o questão.
(a) Prove que TA é uma transformação linear.
(b) Verifique se TA é injetora?
(c) Verifique se TA é bijetora?
5.(2.0) Calcule os autovalores e os correspondentes autovetores da matriz tri-
angular superior A da questão 1? Para cada autovalor λ, os seus cor-
respondentes autovetores geram um subespaço chamado de subespaço
próprio. Determine uma base para cada um dos subespaços.
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