AV4 - Cálculo Diferencial e Integral II

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1(ENADE, 2014) No estudo de funções de variáveis reais, buscam-se informações sobre continuidade, diferenciabilidade, entre outras. Considere uma função de duas variáveis f: R²-->R, definida por
A
II, apenas.
B
I e III, apenas.
C
I e II, apenas.
D
III, apenas.
2A construção da Usina Hidrelétrica de Itaipu no rio Paraná, na fronteira entre o Brasil e o Paraguai, iniciou-se na década de 1970, mais precisamente em Janeiro de 1975. Nesta época, não existiam ferramentas computacionais para representar os desenhos referentes à planta de construção da usina e nem para realizar cálculos com tamanha exatidão e rapidez. Na época, a importância dos matemáticos era grande e foi necessária a atuação de um deles para a determinação do comprimento correto da barragem da usina. Sabe-se geometricamente, através do desenho da planta da usina, constatou que a função matemática que mais se aproximava da curva representativa da barragem da Usina era f(x) = ln (cos x) em que f(x) é dado em km. Com base nessas informações, qual das alternativas representa o valor provável do comprimento da barragem da usina, sabendo-se que o valor de x da função f(x) varia de pi/6 a pi/4?
A
0,6640 km.
B
0,5493 km.
C
0,3320 km.
D
0,8813 km.
3
Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=4x3y4+y3.
 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resultado:
A
∂2f∂x2=24xy2; ∂2f∂y2=48x3y2;∂2f∂xy=∂2f∂xy=48x2y3.
B
∂2f∂x2=20xy2; ∂2f∂y2=40x3y2;∂2f∂xy=∂2f∂xy=24x2y3.
C
∂2f∂x2=2y2; ∂2f∂y2=8xy2;∂2f∂xy=∂2f∂xy=8x2.
D
∂2f∂x2=24x; ∂2f∂y2=48y2;∂2f∂xy=∂2f∂xy=48xy.
4
Encontre as derivas parciais de f(x, y) = 2x² + 3x³y² no ponto (2,1).
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resultado:
A
∂f∂x=16; ∂f∂y=22.
B
∂f∂x=10;  ∂f∂y=12.
C
∂f∂x=10 ; ∂f∂y=30.
D
∂f∂x=12; ∂f∂y=20.
5
Ao analisar uma função qualquer, por vezes é necessário analisar qual é o comportamento dessa função quando ela atende a algum valor, mas não chega a atingir esse valor. Esse é o conceito de limites. Esse conceito pode ser aplicado para concluir se uma função é contínua em um determinado valor e também para efetuar a derivada de uma função.
Determine o limite da seguinte função quando (x,y) --> (-1,2)
f(x,y) = (xy) / (x2+y2)
A
-(2/5)
B
5
C
0
D
(2/5)
6(ENADE, 2005)
A
Atingirá o seu maior valor no centro da bola.
B
Estará sempre aumentando durante todo o percurso.
C
Será máxima nos pontos da fronteira da bola.
D
Estará sempre diminuindo durante todo o percurso.
7
Ao analisar uma função qualquer, por vezes é necessário analisar qual é o comportamento dessa função quando ela atende a algum valor, mas não chega a atingir esse valor. Esse é o conceito de limites. Esse conceito pode ser aplicado para concluir se uma função é contínua em um determinado valor e também para efetuar a derivada de uma função.
Caso exista, determine o limite da seguinte função quando (x,y) --> (0,0):
f(x,y) = ( sen( x2 + y2)) / (x2 + y2)
A
1.
B
0.
C
-1.
D
Não existe limite nestas condições.
8
Se f é uma função de x, então a sua integral definida é uma integral restrita a valores em um intervalo específico, digamos, a ≤ x ≤ b . O resultado é um número que depende apenas de a e b, e não de x.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resultado da integral 
A
(-e+1) / 2.
B
(e-1) / 2.
C
(-e-1) / 2.
D
(e+1) / 2.
9A função T(x,y) = 16x² + 32x + 40y² representa a temperatura em graus Celsius de uma placa de metal no plano cartesiano xy. Usando o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis, assinale a alternativa CORRETA:
A
A função temperatura T tem um ponto de mínimo e um ponto de máximo.
B
A função temperatura T tem um ponto sela.
C
A função temperatura T tem um ponto de mínimo.
D
A função temperatura T tem um ponto de máximo.
10
Três propriedades elementares da Integral são embasadas pelas somas de Riemann, em que são conservdas as propriedades da área e de somatório. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta uma dessas propriedades:
A
A motivação para o conceito de integral é o cálculo de área.
B
A integral do quociente de uma função é sempre zero.
C
A integral do produto de uma constante por uma função não existe.
D
A integral de uma soma algébrica de funções é igual à soma algébrica das integrais das funções.
11
Com o objetivo de auxiliar nas várias áreas das ciências exatas, foi criado o cálculo. O cálculo foi desenvolvido por dois grandes nomes, sendo eles Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Apesar de suas teorias e cálculos serem muito parecidas, elas foram criadas sem eles haverem se conhecido ou tido algum tipo de contato. O cálculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática, química, física clássica, física moderna e economia. Resolva a questão a seguir:
+ ) dx
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resultado:
A
53x53 + ln x + c.
B
x53 + 13 ln x + c.
C
35x53 + 13 ln x + c.
D
x53 + ln x + c.
12No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calcule a área limitada por y = 2x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 4 através da integração.
A
Área = 12.
B
Área = 16.
C
Área = 15.
D
Área = 10.