7_Análise matemática para Engenharia III_2OrdemHomogenea_CC

Prévia do material em texto

AULA VIII: EDO 2ª ORDEM_Homogênea_Parte1
PROFª ALINE VIANA 
ANÁLISE MATEMÁTICA 
PARA ENGENHARIA III
Uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem tem a forma geral
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
= 𝒇 𝒙, 𝒚,
𝒅𝒚
𝒅𝒙
Ela é dita linear se 𝑓 𝑥, 𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 − 𝑝 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑞 𝑥 𝑦.
É possível reescrever a equação acima do seguinte modo:
𝒂𝒚′′ + 𝒃𝒚′ + 𝒄𝒚 = 𝒈 𝒙
Se 𝑔 𝑥 = 0, então a equação acima é chamada de homogênea. Caso contrário, é
não homogênea.
Podemos notar que
g 𝑥 , 𝑝 𝑥 𝑒 𝑞(𝑥) são
funções dependentes
apenas de x.
a = 1; b = p(x); c = q(x)
I. DEFINIÇÃO
a) 𝒚′′ = 𝟐𝒙𝒚𝒚′ + 𝒆−𝒙
Equação não linear de segunda ordem não homogênea.
O coeficiente de 𝑦′depende da variável y e 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥
b) 𝒚′′ − 𝟕𝒚′ + 𝟏𝟐𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
Equação linear de segunda ordem não homogênea. Pois, 𝑓 𝑥 = cos 𝑥.
c) 𝒚′′ − 𝟕𝒚′ + 𝟏𝟐𝒚 = 𝟎
Equação linear de segunda ordem homogênea. Pois, 𝑓 𝑥 = 0.
EXEMPLOS
São equações diferenciais ordinárias de segunda ordem do tipo
𝒂𝒚′′ + 𝒃𝒚′ + 𝒄𝒚 = 𝟎
em que os coeficientes de y e suas derivadas (a, b, c) são constantes, ou seja
são números reais.
Exemplos:
a) 𝑦′′ − 3𝑦′ + 6𝑦 = 0 b) 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 6𝑦 = 0
𝑎 = 1; 𝑏 = −3; 𝑐 = 6;
coeficientes constantes
𝑎 = 𝑥2; 𝑏 = −3𝑥; 𝑐 = 6;
coeficientes não constantes
II. COEFICIENTES CONSTANTES
De maneira geral a solução geral de uma EDO de 2ª ordem homogênea e de
coeficientes constantes é dada por 𝒚 = 𝒄𝟏𝑒
𝑥 + 𝒄𝟐𝑒
−𝑥 . Entretanto, como a
equação sempre é relacionada com uma equação de 2° grau, chamada de
equação característica, temos que considerar o valor de Δ, para então definirmos
a solução geral adequadamente.
I. Δ > 0 ⇒ 𝜆1 ≠ 𝜆2 ⇒ 𝒚 = 𝒄𝟏𝒆
𝝀𝟏𝒙 + 𝒄𝟐𝒆
𝝀𝟐𝒙
II. Δ = 0 ⇒ 𝜆1 = 𝜆2 ⇒ 𝒚 = 𝒄𝟏𝒆
𝝀𝒙 + 𝒄𝟐𝒙𝒆
𝝀𝒙
III. Δ < 0 ⇒ 𝜆1 = 𝑎 + 𝑏𝑖; 𝜆2 = 𝑎 − 𝑏𝑖 ⇒ 𝒚 = 𝒆
𝒂𝒙 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒙) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝒃𝒙)
SOLUÇÃO
1. Δ > 0
Resolva 𝒚′′ − 𝟑𝒚′ − 𝟏𝟎𝒚 = 𝟎
• Equação característica: 𝜆2 − 3𝜆 − 10 = 0
• Δ = 9 − 4.1. −10 = 49 ⇒ 𝜆1 ≠ 𝜆2 ⇒ 𝒚 = 𝒄𝟏𝒆
𝝀𝟏𝒙 + 𝒄𝟐𝒆
𝝀𝟐𝒙
• Solução da equação característica:𝜆 =
−(−3)± 49
2.1
⇒ 𝜆1 = 5 e 𝜆2 = −2
• Solução geral: 𝑦 = 𝑐1𝑒
5𝑥 + 𝑐2𝑒
−2𝑥
EXEMPLOS
2. Δ = 0
Resolva 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎
• Equação característica: 𝜆2 + 2𝜆 + 1 = 0
• Δ = 4 − 4.1.1 = 0 ⇒ 𝜆1 = 𝜆2 ⇒ 𝒚 = 𝒄𝟏𝒆
𝝀𝒙 + 𝒄𝟐𝒙𝒆
𝝀𝒙
• Solução da equação característica:𝜆 =
−2± 0
2.1
⇒ 𝜆1 = 𝜆2 = −1
• Solução geral: 𝑦 = 𝑐1𝑒
−𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
−𝑥
EXEMPLOS
3. Δ < 0
Resolva 𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎
• Equação característica: 𝜆2 − 2𝜆 + 2 = 0
• Δ = 4 − 4.1.2 = −4 ⇒ 𝜆1 = 𝑎 + 𝑏𝑖; 𝜆2 = 𝑎 − 𝑏𝑖 ⇒ 𝒚 = 𝒆
𝒂𝒙 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒙) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝒃𝒙)
• Solução da equação característica:𝜆 =
−(−2)± −4
2.1
=
2 ± −1. 4
2
=
2 ±2𝑖.
2
= 1 ± 𝑖
• Solução geral: 𝒚 = 𝒆𝒙 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝒙)
𝒚𝟏 = 𝒆
𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒙)
𝒚𝟐 = 𝒆
𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙)
𝒚 = 𝒄𝟏𝒚𝟏 + 𝒄𝟐𝒚𝟐
EXEMPLOS
1. Resolva:
a) 2𝑦′′ − 5𝑦′ − 3𝑦 = 0 𝒚 = 𝒄𝟏𝒆
𝟑𝒙 + 𝒄𝟐𝒙𝒆
−
𝒙
𝟐
b) 𝑦′′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 0 𝒚 = 𝒄𝟏𝒆
𝟓𝒙 + 𝒄𝟐𝒙𝒆
𝟓𝒙
c) 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑦 = 0 𝒚 = 𝒆−
𝒙
𝟐 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔(
𝟑
𝟐
𝒙) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏 (
𝟑
𝟐
𝒙)
d) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0 𝒚 = 𝒄𝟏𝒆
𝟐𝒙 + 𝒄𝟐𝒙𝒆
𝟐𝒙
e) 𝑦′′ − 10𝑦′ + 41𝑦 = 0 𝒚 = 𝒆𝟓𝒙 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟒𝒙)
EXERCÍCIOS
Vimos que a solução geral de uma EDO de segunda ordem envolve duas constantes
arbitrárias 𝑐1 𝑒 𝑐2 e para determina-las o problema precisa apresentar, além da
equação diferencial, as condições iniciais.
Este problema é conhecido como Problema de Valor Inicial, que é apresentado da
seguinte maneira:
൞
𝑦′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′)
𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝑦′ 𝑥0 = 𝑦1
PVI
Resolva
൞
𝑦′′ + 4𝑦 = 0
𝑦 0 = 1
𝑦′ 0 = 2
1°) Encontrar a equação característica.
𝜆2 + 4 = 0
2°) Resolver a equação característica.
𝜆 = ± −4 ⇒ 𝜆 = ±2i
3°) Solução Geral.
𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 (𝑏𝑥)
𝑦 = 𝑒0𝑥 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)
𝒚 = 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙)
EXEMPLO
4°) Resolver o P.V.I
൞
𝑦′′ + 4𝑦 = 0
𝑦 0 = 1
𝑦′ 0 = 2
Utilizando 𝑦 0 = 1
𝑦 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)
1 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(0) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 0
1 = 𝑐1. 1 ⇒ 𝒄𝟏= 𝟏
Utilizando 𝑦′ 0 = 2
𝑦′ = −2𝑐1 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 2𝑐2𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
2 = −2𝑐1 𝑠𝑒𝑛(0) + 2𝑐2𝑐𝑜𝑠 (0)
2 = 2𝑐2𝑐𝑜𝑠 (0)
𝑐2 . 1 = 1 ⇒ 𝒄𝟐= 𝟏
5°) Solução Particular
𝑦 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) + 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙)
EXEMPLO
3. Verifique se a função 𝑦 = 9𝑒−2𝑥 − 7𝑒−3𝑥 é solução do P. V. I
൞
𝑦′′ + 5𝑦′ + 6𝑦 = 0
𝑦 0 = 2
𝑦′ 0 = 3
𝑦 = 8𝑒−2𝑥 − 6𝑒−3𝑥
4. Resolva o P. V. I
൞
𝑦′′ − 4𝑦′ + 13𝑦 = 0
𝑦 0 = −1
𝑦′ 0 = 2
𝑦 = 𝑒2𝑥 −cos 3𝑥 +
4
3
𝑠𝑒𝑛 (3𝑥)
EXERCÍCIOS