Unidade IV Progressões aritmética e geométrica

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Sequências, séries 
e progressões
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Nogueira Junqueira
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Progressões aritmética e geométrica
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• Introdução
• Progressões aritmética e geométrica
• Progressões aritméticas
• Progressões geométricas 
 · Apresentar o conceito de progressão aritmética, suas propriedades e operações, 
como termo geral e soma de uma progressão aritmética, relacionando com 
sequências numéricas. 
 · Apresentar o conceito de uma progressão geométrica, suas propriedades e 
operações, como termo geral e soma, finita e infinita, de uma progressão 
geométrica, relacionado com sequência e séries geométricas. 
 · Explorar convergência de progressões, exemplos e exercícios. 
 · Apresentar aplicações de progressões. 
Caro(a) aluno(a),
Vamos estudar progressões aritméticas e geométricas. Tentaremos mostrar a sua importância 
na matemática e também algumas aplicações que têm utilidade prática na vida cotidiana.
Não deixem de ver os tópicos abordados em Contextualização, por situarem o 
desenvolvimento do tema ao longo da história até os dias atuais e em Material Complementar, 
para ampliar o conhecimento e aplicações em outras áreas do saber.
Acompanhe o desenvolver da teoria, preste bem atenção às definições, propriedades e 
teoremas, confira os exemplos dados, preparando-se assim para resolver as atividades 
propostas na unidade. Serão úteis as estratégias algébricas bem como conhecimentos sobre 
função afim, função exponencial, e manipulações com potências e logaritmos.
E seguem as recomendações de praxe para que sempre sejam lembradas. Organize-se 
para dar conta do estudo em tempo hábil. Não deixe acumular, não se atrase. Em cursos à 
distância a disciplina pessoal e organização do tempo são fatores fundamentais para que você 
tenha autonomia e seja o protagonista da construção do seu conhecimento. Claro que você 
terá o acompanhamento do tutor para auxiliá-lo nos estudos, mas o caminho é determinado 
por você. Não deixe as tarefas se acumularem, pois a temática da disciplina requer estudos 
que reservem tempo para reflexão para cumprir o ciclo de aprendizagem, por isso, não deixe 
para a última hora.
Teremos, como de costume, atividades avaliativas e de reflexão sobre o tema da unidade. 
Fique atento aos prazos!
Espera-se que ao término da unidade você seja capaz de reconhecer, analisar e trabalhar 
com progressões, e também utilizar os conceitos aqui tratados transpondo-os em outras 
situações em que se façam presentes.
Progressões aritmética e geométrica
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Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Contextualização
As progressões foram estudadas desde povos muito antigos como os babilônicos e 
os egípcios. Na Mesopotâmia surgiram várias tabletas babilônicas muito interessantes. 
De aproximadamente meio milhão de tabletas de argila babilônicas escavadas desde o 
início do século XIX, milhares são de natureza matemática, provavelmente a mais famosa 
delas seja a tableta Plimpton 322 (referindo-se ao fato de ter o número 322 na coleção 
G.A. Plimpton da Columbia University). Acredita-se que esta tableta tenha sido escrita 
no século XVIII a.C. Possui uma tabela de 4 colunas e 15 linhas de números em escrita 
cuneiforme do período. Confira na imagem a seguir.
Fonte: Wikimedia Commons
Embora esta tabela tenha sido formalmente interpretada pelos principais matemáticos 
como uma lista de ternos pitagóricos, existe uma perspectiva mais atual publicada pela 
Mathematica Association of America que diz que esta interpretação é questionável. Segundo 
Robson (2002), Plimpton 322, analisada apenas como uma peça matemática parece muito 
moderna, embora seja impossível dizer a qual ramo da matemática moderna mais se aproxima: 
trigonometria, teoria dos números ou álgebra. Entretanto, parece milênios à frente de seu 
tempo, incomparavelmente mais sofisticado do que outros documentos matemáticos antigos, 
e de onde emerge um produto muito particular de determinado lugar e tempo, fortemente 
dependente do antigo ambiente de escribas por seu layout físico, como uma mesa; seu conteúdo 
matemático e sua função como auxílio ao professor. As técnicas utilizadas são amplamente 
atestadas em outras partes do antigo corpo da Matemática escolar da Mesopotâmia e, sob 
esse olhar, podemos admirar a organização e habilidade em aritmética de seu autor ancestral, 
embora qualquer semelhança que a Plimpton 322 possa ter com a matemática moderna está 
em nossas mentes, não na dele.
Segundo EVE (1997), a matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido pela 
matemática babilônica. São muito diferentes as histórias políticas do Egito e da Babilônia 
antigos. Esta última era aberta a invasões de povos vizinhos e, por consequência, havia períodos 
de turbulência, com um império sucedendo outro. O Egito Antigo, ao contrário, manteve-se em 
semi-isolamento, protegido de invasões estrangeiras, governado pacificamente por sucessão 
de dinastias, enquanto a babilônia era o centro das rotas de navios, e consequentemente, era 
um centro de troca de saberes. No entanto, devemos lembrar que os egípcios desenvolveram 
7
um papel primordial na preservação de muitos papiros que contribuíram para o nosso 
conhecimento atual sobre a Matemática. Dentre esses papiros destacam-se o papiro de Moscou 
(1850 a.C.) e o papiro de Rhind (1650 a.C.).
O Papiro de Moscou (ou de Moscovo) também conhecido como Papiro Golenischev 
em referência ao seu proprietário Vladmir Golenischev, que o adquiriu em 1893 no Egito. Tem 
forma de uma estreita tira de 5,5m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas 
matemáticos grafados com escrita hierática, sendo impossível interpretar muitos deles devido 
ao grau de degradação do manuscrito. Neste papiro é apresentada uma forma de cálculo do 
volume do tronco de pirâmide de base quadrada. Foi adquirido em 1917, pelo Museu Pushkin 
de Belas Artes de Moscou, onde se encontra até hoje.
O Papiro de Rhind (ou de Ahmes) trata-se de um texto matemático na forma de um 
manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática de um trabalho mais 
antigo pelo escriba Ahmes. Vale conhecer um pouco a trajetória deste papiro: em 1858, esse 
documento muito antigo foi comprado por um antiquário escocês chamado Henry Rhind 
numa cidade do Egito. Esse documento mede 30 centímetros de largura por 5 metros de 
comprimento e contém diversos assuntos matemáticos: sistema de numeração, geometria, 
álgebra e muitas brincadeiras e jogos com números. 
Papiro de Rhind
Fonte: fisica-interessante.com
Nesse papiro encontram-se problemas envolvendo progressão aritmética e geométrica, como:
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em 
Progressão Aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à 
soma das duas menores”.
“Em 7 casas há 49 gatos, que comeram 343 ratos, que, se não morressem, comeriam 
2401 espigas, cujos grãos encheriam 16807 cuias”.
No papiro de Rhind aparece também uma progressão geométrica envolvendo frações 
bastante interessantes: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, conhecidas como as frações dos 
olhos do deus Hórus.
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Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Olho de Hórus
Fonte: Adaptado de fisem.org
Os antigos egípcios usavam alguns caracteres para representar um sistema de frações. Os 
problemas 80 e 81 do papiro de Rhind apresentam uma tabela com essas frações.
Representação das frações do Olho de Hórus
Fonte: Adaptado de portalsaofrancisco.com.br
Os egípcios acreditavam que cada fração representava um sentido e todas juntas 
representariam a “unidade perfeita”, isto é, 1/2 (olfato), 1/4 (visão), 1/8 (pensamento), 1/16 
(audição), 1/32 (paladar) e 1/64 (tato). Além disso, acredita-se que esse esquema representativo 
do olho de Hórus no papirode Rhind tinha o intuito de ser analisado durante procedimentos 
matemáticos ou até mesmo em caráter de crendices (como amuleto).
Os babilônicos também utilizavam sequências. Segundo EVE (1997, p. 77), há tabletas 
nas coleções de Berlim, de Yale e do Louvre que contêm problemas sobre juros compostos. 
Há uma tableta em Istambul que parece ter sido originalmente tabelas de a n, para n de 1 a 
10 e para a = 9,16,100,225.
Na tábua de Louvre, de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema: Por quanto tempo 
deve-se aplicar certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre? 
Segundo SÀ (2012), é interessante registrar que a prática do uso das taxas anuais, que 
ainda vigora nos dias atuais, tem tradição milenar e era plenamente justificável na época, pois 
havia a prática da troca e do escambo. Os tomadores do empréstimo, que pegavam sementes 
emprestadas para a semeadura, por exemplo, precisavam de um ano de prazo para que se 
concretizasse a nova colheita.
Podemos resolver a antiga questão constante na tábula do Louvre em linguagem algébrica 
atual e recairmos em fatos matemáticos importantes, estudados na Escola Básica ou no Ensino 
Superior, os quais, normalmente, não são relacionados às questões financeiras. 
9
Analisando o problema apresentado na tábula do Louvre, temos:
Se o capital C está crescendo a juros compostos de 20% ao ano, temos que ao final do 
primeiro ano, o capital C estará acrescido de 0,20 C, ou seja, valerá 1,2 C. No segundo ano, o 
novo capital 1,2 C ficará acrescido de 0,2. 1,2 C, ou seja, 1,2 C + 0,24 C ou 1,44 C. Isso é o 
mesmo que 1,22 C. Seguindo essa mesma linha de raciocínio, após t anos, teremos que o capital 
inicial C será transformado no montante M, tal que: M = 1,2t C, que recai na função exponencial. 
Atualmente tal equação é resolvida aplicando logaritmo, ou seja, 
( )
( )
2
3,8
1,2
log
t
log
= ≅ anos.
Mas os antigos babilônios não conheciam ainda os logaritmos. Entretanto, naquela 
época era resolvido de outra maneira. A partir de suas tabelas, já sabiam que 1,23 = 1,728 
e 1,24 = 2,0736, logo o valor de t estaria entre 3 e 4, e aplicavam o método aproximado 
de interpolação linear, que significa divisão proporcional: o valor t que divide o intervalo 
entre 3 e 4 está na mesma proporção que 2, divide o intervalo entre 1,728 e 2,0736. 
Assim, chegaram ao resultado t = 3,787, que é notavelmente próxima da resposta correta. 
Com essas tabelas de potências criadas pelos babilônios em notação sexagesimal, de 
certa forma, já antecipavam o uso de logaritmos na resolução de problemas cotidianos, 
notadamente relativos a juros compostos.
Se generalizarmos este tipo de crescimento teremos outra revelação que nos faz recair no 
número e, tão utilizado em cálculo e comumente conhecido como 1lim 1
n
n
e
n→∞
 + = 
 
.
Vemos que muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos costumes de 
empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas. A História também 
revela que a ideia tinha se tornado tão bem estabelecida que já existia uma firma de 
banqueiros internacionais em 575 a.C, com os escritórios centrais na Babilônia. Sua 
renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o 
financiamento do comércio internacional. O juro não é apenas uma das nossas mais antigas 
aplicações da Matemática Financeira e Economia, mas também seus usos sofreram poucas 
mudanças através dos tempos. Isso deixa claro que os problemas de matemática financeira 
podem ser estudados via progressão geométrica ou via função exponencial. 
Em outra tábua de Louvre, datando por volta de 300 a.C., foram também encontrados dois 
problemas sobre progressão, segundo Eve (1997, p. 62). Um deles é expresso pela sentença 
(em notação atual):
1 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 = 29 + 29 – 1
E o outro por:
2 2 2 2 1 21 2 3 10 1. 10 .55 385
3 3
    + + +…+ = + =        
Seria de se admirar que os babilônios conhecessem fórmulas como 
1
0
1
1
i
i rr
r
+
∞ −
=
−∑ .
Entretanto, essa fórmula era conhecida dos gregos contemporâneos e Arquimedes encontrou 
resultados interessantes desse tipo.
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Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Arquimedes, grande matemático da antiguidade, nasceu e viveu em Siracusa, uma 
cidade da Sicília que existe até os dias de hoje. Segundo Souza (1986), consta que ele 
morreu em 212 a.C. e que viveu até os 75 anos. Portanto, conclui-se que nasceu no ano 
287 a.C. Siracusa era na época uma cidade-estado das muitas fundadas pelos gregos, 
por isso Arquimedes era um matemático grego. Mas nessa época a Grécia já tinha sido 
conquistada por Alexandre da Macedônia, que expandira seu império pela Ásia e Egito. 
Alexandre resolvera instalar a capital do império em uma cidade a ser construída na parte 
oeste do Delta do Nilo, o que foi feito; não por ele que morreu em 323 a.C., mas por um 
dos seus generais, Ptolomeu Soter, que ficou com a parte egípcia do império e iniciou uma 
dinastia grega no Egito. Assim, surgiu a cidade de Alexandria, centro que ficou famoso 
na cultura helênica, com um instituto de altos estudos e a famosa biblioteca que chegou 
a ter 750 mil volumes (depois destruída em 682 d.C. por um incêndio, embora nessa 
época já estivesse decadente por faltas de verbas públicas e em ruínas por perseguições 
e ações militares). Arquimedes tinha bom relacionamento com o rei Heron de Siracusa, 
talvez até fosse parente (daí a história sobre a coroa do rei). Siracusa nas guerras púnicas 
resistiu bravamente aos ataques do general Marcelo, graças, sobretudo, às máquinas de 
guerra inventadas por Arquimedes, mas depois de longo cerco, sucumbiu à superioridade 
das tropas romanas. Quanto a Arquimedes, há várias versões sobre sua morte, segundo 
uma delas, durante um saque da cidade em 212, ele foi morto por um sodado romano, 
enquanto, absorto, se ocupava de problemas matemáticos.
Foram inúmeras as descobertas de Arquimedes, entre elas uma que muito nos interessa 
aqui foi o aparecimento de uma série geométrica em um dos seus trabalhos, de cálculo da área 
de um segmento de parábola delimitado entre um arco parabólico e um segmento retilíneo 
determinado por dois pontos A e B.
Fonte: Ávila (1996), RPM 31, p. 8
Segundo Ávila (1996), Arquimedes procedeu da seguinte maneira: pelo ponto médio do 
segmento AB traça uma paralela ao eixo da parábola, que encontra a parábola no ponto C, 
resultando na construção do triângulo ∆ ACB. Repete esse processo nos trechos AC e CB da 
parábola, resultando em triângulos ∆ ADC e ∆ CEB. Repete o processo nos trechos AD, DC, 
CE e EB, encontrando outros 4 triângulos e, assim sucessivamente. A ideia é encontrar a área 
do arco da parábola como a soma de todos esses triângulos obtidos, primeiro 2 triângulos, 
depois 4, 8, 16, 32, 64, e assim por diante. Arquimedes prova que a soma das áreas dos 
triângulos em cada etapa do processo é 
1
4
 da soma das áreas dos triângulos obtidos na etapa 
11
anterior. Assim, a soma a1 das áreas dos dois triângulos ∆
 ADC e ∆ CEB é 1
4
 da área a0 do 
primeiro triângulo ∆ ACB. A soma das áreas a2 dos 22 triângulos da segunda etapa do processo 
é 1
1
4
a , e assim sucessivamente. 
Desse modo, a área procurada S, sendo an a soma das áreas dos 2n triângulos obtidos na 
n-ésima etapa do processo é:
S = a0 + a1 + a2 +...+ an + ...
0 0
02 3
41 1 11 14 4 4 31
4
a aa = + + + +… = = 
  −
Ou seja, a área do segmento de parábola delimitado pelos pontos A e B é igual a 4
3
 da área 
do triângulo nela inscrito. 
Entretanto, Arquimedes não soma desta maneira todos os termos de uma série infinita. 
Ele teve a ideia genial de fazer a soma
Sn = a0 + a1 + a2 =...+ an
E como 1
4
n
n
aa −= temos: 14
3 3 3
n n n
n
a a aa −+ = =
Assim: ( )01 2 13 3
n n
n n n
a aS a a a a a−
 + = + + +…+ + + = 
 
 ( ) 10 1 2 1 3
n
n
aa a a a −−+ + +…+ +
Logo: 1 2 0 01 2 0
4
3 3 3 3 3
n n n
n n n
a a a a aS S S a− −− −+ = + = + = … = + =
Atualmente, bastaria fazer n → ∞, assim Sn → S e an → 0 e obteríamos o resultado 
desejado 0
4
3
aS = . Mas estaríamos lidando com o infinito e os matemáticos gregos, em 
particular Arquimedes, evitavam o infinito a todo custo. Arquimedes prova este resultado 
mostrando que o segmento de parábola não pode ser nem maior, nem menor do que 04
3
a , 
tendo que ser igual. Esse procedimento é conhecido como “dupla redução ao absurdo”. 
Isto, no entanto, não significa que Arquimedes não utilizasse métodos intuitivos, mas depois 
de encontrar resultados novos, ele tentava fazer demonstrações rigorosas.
Acredita-se que Pitágoras e os sábios gregos também conheciam as progressões aritméticas, 
as geométricas, as harmônicas e musicais. Conheciam, ainda, as proporções, os quadrados de 
uma soma ou de uma diferença. Como consequência de várias observações, concluíram que 
a relação entre a altura dos sons e a largura da corda da lira seria responsável pela harmonia 
musical e que os intervalos musicais formavam progressões aritméticas. Aos pitagóricos se 
deve a teoria sobre a relação entre a música e a matemática. 
O grego Euclides de Alexandria também teve grande êxito na história da matemática, 
produzindo a obra Os Elementos, uma compilação dos conhecimentos matemáticos da 
época. A primeira edição desse trabalho surgiu em 1482 e depois desta data já surgiram 
mais de mil. Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado, e 
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Unidade: Progressões aritmética e geométrica
provavelmente exerceu grande influência no pensamento científico, afinal, por mais de dois 
milênios esse trabalho dominou o ensino de geometria. 
Da natureza de seu trabalho pode-se presumir que tenha estudado com discípulos de 
Platão, ou na própria Academia. Proclo (410-485 d.C.), que escreveu comentários sobre Os 
Elementos, foi obrigado a apresentar raciocínios de plausibilidade para afirmar que Euclides 
viveu durante o reinado de Ptolomeu I Sóter do Egito (304-285 a.C.). Ele ainda afirma que 
Euclides precedeu Arquimedes (287-212 a.C.), pois Arquimedes cita Os Elementos. 
Essa obra se compõe de 465 proposições distribuídas em treze livros, e é no livro VIII que 
encontramos as proporções contínuas e Progressões Geométricas relacionadas, de forma 
que, se temos uma proporção contínua a : b = b : c = c : d, então a, b, c, d formam uma 
Progressão Geométrica.
O problema 21 do livro IV diz: “Encontre três números em Progressão Geométrica de 
maneira que a diferença entre dois quaisquer deles é um quadrado”. Segundo o autor do 
problema a resposta é 81/7, 144/7 e 256/7.
A proposição 35 do livro IX, o último dos três sobre teoria dos números, contém uma 
fórmula para a soma de números em “progressão geométrica”, expressa em termos elegantes 
mas poucos usuais:
“Se tantos números quantos quisermos estão em proporção continuada, e 
se subtrai do segundo e último número iguais ao primeiro, então assim como 
o excesso do segundo está para o primeiro, o excesso do último estará para 
todos os que o precedem”.
Foram várias as contribuições de diversos matemáticos ao longo da história para o estudo 
das sequências, principalmente de progressões aritméticas e geométricas. Até na doutrina 
Darwiniana podemos encontrar as progressões aritméticas e geométricas. Uma referência 
encontrada no Darwinismo refere-se a uma influência das ideias de um famoso economista 
Thomas Malthus (1766-1834). Malthus escreveu dois ensaios que têm como princípio 
fundamental a hipótese de que as populações humanas crescem em progressão geométrica. 
Também estudou possibilidades de restringir esse crescimento, pois os meios de subsistência 
poderiam crescer somente em progressão aritmética. Suas obras exerceram influência em 
vários campos do pensamento e forneceram a chave para a teoria evolucionista de Darwin, 
que afirmou: “devido a tal desproporção, os indivíduos empenhar-se-iam numa luta pela vida, 
ao final da qual seriam selecionados os mais fortes ou os mais aptos – seleção natural – de 
alguns indivíduos em detrimento de muitos outros”. Atualmente, sabe-se que, apesar da taxa 
de crescimento populacional ser maior que a taxa de produção de alimentos, não há uma 
desproporção tão grande quanto à comparação feita por Malthus, o que tornou a teoria 
malthusiana inaceitável nos dias de hoje. 
Vemos, portanto, que as progressões foram desenvolvidas estabelecendo conexões entre 
os diversos conceitos matemáticos e ainda buscando sua relevância cultural, no que diz 
respeito às suas aplicações dentro e fora da Matemática. Na sociedade contemporânea as 
progressões apresentam diversas aplicações. Por exemplo, as progressões geométricas estão 
presentes em várias situações envolvendo crescimento de bactérias, aplicações financeiras, 
fractais, entre outros.
13
Introdução
Vamos ver inicialmente o que são progressões aritméticas, que por serem antes de tudo 
uma sequência, interessa saber o que as caracteriza como progressão aritmética, que a forma 
de constituição da sequência: a diferença de dois termos consecutivos ser uma constante, 
denominada razão da progressão aritmética e denotada por r. A partir disso, podemos deduzir 
as expressões de termo geral e da soma de n termos de uma progressão aritmética.
Em seguida, veremos o que são progressões geométricas, que também por serem uma 
sequência, interessa saber o que caracterizam as progressões geométricas: o quociente 
do termo subsequente pelo anterior ser uma constante, denominada razão da progressão 
geométrica e denotada por q. A partir disso, deduzimos as expressões do termo geral, da soma 
de n termos, do produto de n termos, bem como o da soma de infinitos termos, no caso da 
progressão geométrica convergente.
Precisamos saber todas estas expressões? É bom, mas elas podem sempre ser consultadas. 
Acima de tudo é muito importante compreender o seu significado, o que facilita a manipulação 
algébrica em uma resolução de exercícios sobre progressões.
Além disso, veremos os principais resultados dessas definições e deduções, como também 
alguns teoremas importantes. Não faltarão exemplos variados, evidenciando as resoluções, 
para mostrar o tipo de desenvolvimento e raciocínio utilizados, visando auxiliar a aprendizagem 
significativa desses conceitos.
Alguns exemplos foram cuidadosamente escolhidos por mostrarem aplicações úteis na 
prática, em situações cotidianas.
14
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Progressões aritmética e geométrica
Progressões aritméticas e geométricas são sequências, cada uma com um tipo especial 
de padrão. Portanto, vão se comportar como sequências, quer sejam finitas ou infinitas, 
obedecendo ao padrão que as caracteriza e apresentando propriedades específicas. Vejamos:
 Exemplo 1 
Quando precisamos tomar um medicamento de 3 em 3 horas, e começamos às 7 horas, por 
exemplo, então teremos que repeti-lo ao longo do dia nos horários: 10, 13, 16, 19 e 22 horas.
Observamos que:
10 = 7 + 3
13 = 10 + 3
16 = 13 + 3
19 = 16 + 3
22 = 19 + 3
A sequência finita (7, 10, 13, 16, 19, 22) forma uma progressão aritmética. Esse é o 
tipo de padrão: termos consecutivos diferem por um valor constante.
 Exemplo 2 
Os sons musicais são representados por sinais chamados notas.
Para indicar a duração dos sons, são dadas formas diferentes às notas musicais. Assim, as 
formas figuradas das notas são sete, como indica o quadro.
A unidade de valor rítmico é a semibreve. Cada nota vale a metade da precedente, na citada 
ordem. Podemos representar esses valores por uma sequência finita: 
1 1 1 1 1 11, , , , , ,
2 4 8 16 32 64
 
 
 
15
Acima de tudo observemoso padrão:
1
2
 = 1 ⋅ 1
2
1
4
 = 
1
2
 ⋅ 1
2
1
8
 = 
1
4
 ⋅ 1
2
1
16
 = 
1
8
 ⋅ 1
2
1
32
 = 
1
16
 ⋅ 1
2
1
64
 = 
1
32
 ⋅ 1
2
A sequência 
1 1 1 1 1 11, , , , , ,
2 4 8 16 32 64
 
 
 
 forma uma progressão geométrica e apresenta um 
seguinte padrão: termos consecutivos, a partir do primeiro, são obtidos multiplicando-se o 
anterior por um número constante. 
Veja na configuração o que ocorre nesse exemplo em particular:
Fonte: Carvalho (1997, p. 31)
Vamos ver cada tipo de progressão em suas particularidades e propriedades.
16
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Progressões aritméticas
Definição 1 A progressão aritmética (PA) é toda sequência na qual cada termo, 
a partir do segundo, é obtido somando-se um valor constante r, 
denominado razão. 
Assim, se a é o primeiro termo, podemos definir uma PA pela fórmula 
de recorrência, para todo n ≥ 1:
1
1
a
r−
=
 = + n n
a
a a
Mas podemos também deduzir, a exemplo do que fizemos na unidade 
1, a expressão do termo geral an em função do número de termos. 
Para tal, basta verificarmos que PA segue o padrão representado na 
tabela a seguir:
1º Termo a1 a1
2º Termo a2 a1 + r
3º Termo a3 a1 + 2r
4º Termo a4 a1 + 3r
...
...
...
nº Termo an a1 + (n – 1) r
Podemos concluir que: numa progressão aritmética em que o primeiro 
termo é a1 e a razão é r, o termo geral será: an = a1 + (n – 1) r.
São comuns na vida real grandezas que sofrem variações iguais em 
intervalos de tempos iguais, como no exemplo a seguir.
 Exemplo 3 
O cometa Halley “visita” a Terra a cada 76 anos. Sua última passagem aqui foi em 1986. 
Quantas vezes ele ‘visitou’ a Terra desde o nascimento de Cristo? Em que ano foi a sua 
primeira aparição na era cristã?
Os anos de passagem do cometa foram: 1986, 1910, 1834, 1758, ... que formam uma 
PA de razão r = –76. O termo de ordem n é an = 1986 – 76 (n – 1) = 2062 – 76n.
Buscamos 20620 27,1316
76n
a n> ⇒ < ≅ . Logo, os termos positivos desta progressão são os 
primeiros 27: a1, a2, a3, ... , a27.
Portanto, o cometa Halley ‘visitou’ a Terra 27 vezes na era cristã e sua primeira aparição 
foi no ano a27 = 2062 – 76.27 = 2062 – 2052 = 10 d.C.
17
Obs: Segundo Lima (1999), poderíamos também ter resolvido esta questão aproveitando 
o fato de os termos da progressão aritmética serem inteiros positivos de razão não nula, 
pois nessas condições, todos os termos dão o mesmo resto quando divididos pela razão. 
Daí, como 
1986
76
 deixa resto 10, a primeira visita ocorreu entre os anos 1 e 76, inclusive. 
Dentre estes, o único que deixa resto 10 quando dividido por 76 é o ano 10. Para concluir 
e encontrar a ordem deste termo, basta usar a fórmula do termo geral:
205210 1986 76( 1) 10 2062 76 76 2052 27.
76
n n n n n= − − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =
 Exemplo 4 
(Unicamp-2013-fase2-adaptado) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o 
recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos 
estão expressos de modo aproximado na tabela a seguir.
Tempo (segundos) 0 1 2 3 4
Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140
Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre 
o valor da velocidade, em km/h, no 30° segundo. 
Analisando a variação da velocidade descrita na segunda linha da tabela, em relação ao 
tempo t, vemos que seus valores formam uma PA, cujo primeiro termo a1 = 35 e a razão r = 35. 
Portanto, para t = 30s temos: 
35 (30 1).35 35 29.35 35 1015 1050 / .V V V V Km h= + − ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
 Exemplo 5 
Observe a sequência de triângulos formada por palitos de fósforos.
Qual é a fórmula que representa a quantidade de palitos em função do número de triângulos?
Vamos observar a tabela que indica esta relação:
t 1 2 3 4 5
p 3 5 7 9 11
É possível notar que, a cada triângulo colocado a mais, aumenta em duas unidades o número 
de palitos. Portanto, a quantidade de palitos na sequência de triângulos caracteriza uma progressão 
aritmética, cujo primeiro termo é a1 = 3 e a razão é r = 2. Portanto, temos: an = 3 + 2 (n – 1) = 1 + 2n, 
onde an fornece a quantidade de palitos para compor o n-ésimo triângulo tn.
18
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
E se quisermos saber o número de palitos necessários para compor toda a sequência de 
triângulos: t1, t2, t3, ... , tn? Teríamos que somar os termos da sequência (an )n, ou seja, encontrar 
S = a1 + a2 + a3 + ... an. Vejamos então como podemos encontrar a expressão da soma dos 
termos de uma PA.
Soma dos termos de uma PA finita
Em toda sequência aritmética finita (a1, a2, a3, ... , an–1, an ), dois termos são chamados 
equidistantes dos extremos se o número de termos, que precedem um deles é igual ao número 
de termos que sucede o outro. Daí, a soma dos termos equidistantes é uma constante, como 
por exemplo, na sequência (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35):
Portanto, a soma de quaisquer termos equidistantes é igual à soma dos termos extremos 
da sequência. 
Podemos representar a sequência que constitui a PA da seguinte maneira:
1 2 3 , 1 1 2 1, , , , , , , , , , ,+ − − + − −… … …


k k n k n k n n n
k termosk termos
a a a a a a a a a a
E, portanto:
Teorema 1 Em toda progressão aritmética com um número finito de termos, a soma dos 
termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos termos dos extremos.
ak+1 + an–k = a1 + an, k < n
Além disso, como ak+1 e an–k são equidistantes dos extremos, vamos ver o 
que ocorre com a soma dos índices de termos equidistantes dos extremos:
(k + 1) + (n – k) = n + 1
Também em consequência deste teorema temos o seguinte:
Corolário 1 Em toda PA finita com número ímpar de termos, o termo médio é a 
média aritmética dos termos extremos. 
Podemos ver isto claramente no exemplo anterior em que 
5 35 4020
2 2
+
= = .
19
Fórmula da Soma de uma PA
Teorema 2 A soma dos n primeiros termos de uma PA, cujo primeiro termo é a1 e 
cuja razão é r, é: ( )12n n
nS a a= + .
Demonstração: Vamos escrever a soma dos n primeiros termos de 
uma PA.
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
n n n n
n n n n
S a a a a a a
S a a a a a a
− −
− −
= + + +…+ + +
⊕  = + + +…+ + +
Portanto:
2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an–1) + (a3 + an–2) + ... +
+ (an–2 + a3 ) + (an–1 + a2 ) + (an + a1)
Como temos n parênteses cuja soma é igual à soma dos extremos (observe 
que a soma dos índices de cada parênteses é igual a n + 1, garantindo que os 
respectivos termos são equidistantes dos extremos), concluímos:
2Sn = n . (a1 + an)
Chegamos ao que queríamos demonstrar:
( )1
2
n
n
a a n
S
+
=
Como an = a1 + (n – 1) r, podemos também escrever a fórmula equivalente:
[ ] ( ) ( )1 1 1 11 2 12 2 2n n
n n nS a a a a n r a n r   = + = + + − = + −   
Dessa forma:
( )12 12nS a r
n n = + − 
 Exemplo 6 
Encontre a soma dos 30 primeiros termos da seguinte sequência: 10, 17, 24, 31, 38, ...
Vemos que a sequência é uma PA cujo primeiro termos é a1 = 10 e a razão é r = 7.
Dessa forma, a30 = a1 + 29. r = 10 + 29.7 = 10 + 203 = 213
E a soma dos 30 primeiros termos é:
( ) ( ) ( )30 1 30
30 10 213 15. 223 3345
2 2
nS a a= + = + = =
20
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
 Exemplo 7 
Escreva uma PA obtida quando se insere 6 números entre 7 e 42.
Nesse caso, queremos formar uma PA com 8 termos, cujos extremos são 7 e 42. 
(7,_,_,_,_,_,_,42)
Esse tipo de problema é chamado de Interpolação Aritmética, o que significa inserir 
meios aritméticos entre os valores dados.
O que falta é descobrir a razão desta PA. 
Vamos usar que:
8 1
357 42 7 7 7 42 7 7 35 5
7
a a r r r r r r= + ⇒ = + ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =
A PA assim formada é: ( )7,12,17, 22, 27, 32, 37,42
 Exemplo 8 
(VUNESP-adaptado) Duas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 
3000 pares e 1100 pares de sapatos por mês. Se a partir de janeiro, a fábrica A aumentar 
sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente 
a produção em 290 pares por mês, a partir de que mês a produção de B superará a 
produção de A?
Vemos que as produções das duas fábricas, a partir de janeiro, vão formar uma PA.
Fábrica A: a1 = 3000 e rA = 70 ⇒ an = 3000 + 70 (n – 1) = 2930 + 70n
Fábrica B: b1 = 1100 e rB = 290 ⇒ bn = 1100 + 290 (n – 1) = 810 + 290n
Vamos encontrar n tal que an = bn:
2930 + 70n = 810 + 290n ⇒ 220n = 2120 ⇒ n ≅ 9,63
Então só no décimo mês após janeiro, ou seja, em outubro, é que a produção da fábrica B 
irá superar a produção da fábrica A. Atente que o mês de janeiro corresponde a n = 1, quando 
a1 = 3000 e b1 = 1100, logo n = 10 corresponde ao mês de outubro.
Essa questão poderia também ser resolvida representando graficamente num mesmo 
plano cartesiano as duas funções que representam as progressões aritméticas das produções 
das fábricas A e B e encontrando o ponto de interseção. Observe que uma PA tem como 
representação gráfica os pares ordenados (n, an ) contidos no gráfico de uma função afim 
y = mx + x0 cujo coeficiente angular m = r, uma vez que ( )
1 1
11
k k k ka a a am r
k k
+ +− −= = =
 + − 
 . Ou seja, 
a representação gráfica de uma PA são pontos contidos em uma reta.
21
Veja, por exemplo, a sequência (10, 12, 14, 16, ...) que é uma PA de razão 2. Então o termo 
geral desta sequência é an = 10 + 2(n – 1) = 2n + 8.
Assim podemos associar essa PA com a função F(n) = 2n + 8, n real ≥ 0, cujo gráfico está 
a seguir. Observe que os pares ordenados (n, an ) considerados quando n é inteiro positivo ≥ 1 
representam os pontos da PA contidos na reta determinada pela função F. Essa é uma 
importante característica de uma PA.
 Exemplo 9 
Seja a PA representada por (1, 2, 3, 4, ...). Quantos termos devem ser somados para obter 
uma soma igual a 171. 
Como é uma PA com a1 = 1 e r = 1, queremos encontrar n tal que Sn = 171.
( )( ) ( ) ( ) 212 1 2 1 1 171 3422 2 2n
n n nS a n r n n n n= + − = + − = + = ⇒ + =
2
2 184 1 1 1368 1 37342 0
192 2 2
nb b acn n n
na
=− ± − − ± + − ±
+ − = ⇒ = = = =  = −
Como a raiz negativa não serve, precisamos somar até o 18° termo da PA para a soma 
ser 171.
22
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
 Exemplo 10 
O gráfico a seguir indica o ‘risco- Brasil’ entre os anos 2000 e 2013. O indicador mensura 
o excedente que se paga em relação à rentabilidade garantida pelos bônus do governo 
norte-americano. A confiança ou desconfiança dos investidores estrangeiros é representada, 
respectivamente, se a curva decresce ou cresce no gráfico, ou seja, maior confiança-menor 
risco e vive versa.
Fonte: investorbrasil.com
Nos dias atuais, a desconfiança no país vem aumentando e, em consequência, aumenta 
gradativamente o chamado ‘risco-Brasil’. 
Suponha que a variação linear observada entre 2012 e 2013 (confira a seguir na parte 
destacada do gráfico) se repetisse nos anos subsequentes. Assim sendo, em que ano, a partir de 
2012, o ‘risco-Brasil’ voltaria a atingir o valor de 1446 pontos percentuais, ocorrido em 2002?
Se considerarmos, a partir de 2012, a variação de 112 pontos percentuais ocorrida entre 
2012 e 2013, termos uma PA, cujo primeiro termo é o valor ocorrido em 2012, a1 = 138 e a 
razão é r = 112. Queremos saber em quantos anos atingiria o valor 1446, ou seja, para qual n 
o termo an = 1446.
( ) ( )1 1 1446 138 112 1 26 112na a n r n n= + − ⇒ = + − = +
1420112 26 1446 112 1420 12,67
112
n n n+ = ⇒ = ⇒ = ≅
Logo, só após 12 anos (no 13° ano) a contar de 2012, ou seja, no ano de 2025 o 
‘risco-Brasil’ voltaria ao patamar do ano de 2002.
23
 Exemplo 11 
(UFRJ-98-adaptado) O oriental Num Ka Kay, famoso por sua inabalável paciência, deseja 
bater o recorde mundial de construção de castelos de cartas. Ele vai montar um castelo na 
forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar 
apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estarão apoiadas em 
uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo em três níveis.
Fonte: iStock/Getty Images
Entretanto, Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Quantas cartas ele vai 
utilizar nessa construção?
Olhando o castelo de cartas começando de cima, para efeito de contagem, não da construção, 
é claro, podemos observar que no primeiro nível tem duas cartas inclinadas e uma carta na 
horizontal; no segundo nível, temos 4 cartas inclinadas e 2 na horizontal; no terceiro nível, 
temos 6 cartas inclinadas e 3 horizontais; e assim sucessivamente, sendo a única exceção a 
base, no nível 40, que não tem cartas horizontais. É fácil deduzir então que no nível n teremos 
an = 2n + n = 3n cartas, para 1 ≤ n ≤ 39 e a40 = 2.40 = 80.
Vamos verificar a razão que se mantém entre o 1° e o 39° níveis. Para tal basta verificar a 
diferença entre dois níveis, por exemplo, a2 – a1 = 6 – 3 = 3 = r.
Agora precisamos encontrar a soma S40 = S39 + a40.
[ ] [ ] [ ]39 1
39 39 392 38. 2.3 38.3_ 120 60.39 2340
2 2 2
S a r= + = + = = =
Sendo necessárias S40 = 2340 + 80 = 2420 cartas para a construção do castelo. Exemplo 12 
 Exemplo 12 
(UFG) Em uma gincana, 20 caixinhas estão distribuídas ao longo de uma pista retilínea, 
distantes 4 metros umas das outras. Um competidor, que se encontra a 5 metros da primeira 
caixinha, conforme figura a seguir, deve correr até esta primeira caixa, pegar um objeto e 
retornar ao local de partida para deixar este objeto. Em seguida, ele vai até a segunda caixinha, 
retira o objeto e o devolve no ponto de partida, e assim sucessivamente, até devolver o objeto 
da vigésima caixinha no ponto de partida. Quantos metros o competidor deverá percorrer 
para realizar a prova?
24
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Fonte: Thinkstock/Getty Images
Pelas regras da prova, o competidor tem que ir e voltar do ponto de partida a cada local de 
uma caixinha. Esse percurso será sempre dobrado para cada caixa. O ponto de partida fica a 
5 metros da primeira caixa e cada caixa dista 4 metros da seguinte. Então teremos:
a1 = 2(5); a2 = 2(5 + 1.4); a3 = 2(5 + 2.4); ... ; an = 2(5 + 4 (n – 1) )
Logo: a1 = 10, a20 = 2(5 + 4.19) = 2(5 + 76) = 162
e [ ] ( )20 1 20
20 10 10 162 1720
2
S a a= + = + = metros de percurso na prova toda.
 Exemplo 13 
Se 3 , , 9x x x− − − são os três primeiros termos de uma PA, encontre o valor de x e dê o 
quinto termo dessa PA.
Uma das propriedades de uma PA é a diferença entre dois termos consecutivos ser uma 
constante r, a razão da PA. Temos:
( ) ( )3 9x x x x− − − = − − −
3 9x x− − = − ( ) ( )223 9x x⇒ − − = −
( )2 2
0
6 9 9 7 0 7 0
7
x
x x x x x x x
x
=
+ + = − ⇒ + = ⇒ + = ⇒  = −
Para 0 3, 0, 3x = ⇒ não é PA.
Para 7 10, 7, 4x = − ⇒ é uma PA de razão r = –3. Logo a5 = –2.
25
 Exemplo 14 
Quantos números inteiros existem, entre 84 e 719, que são múltiplos de 5?
O primeiro múltiplo de 5 , entre 84 e 719, é o 85. A partir daí temos que encontrar uma 
PA, com primeiro termo 85 e razão 5 e achar o número de termos desta sequência até 715, 
que é o último múltiplo de cinco menor que 719. Logo: a1 = 85, an = 715 e r = 5. Como é uma 
PA, sabemos que an = a1 + (n – 1).r .
Portanto: ( )715 85 5 1 715 80 5 5 635 127n n n n= + − ⇒ = + ⇒ = ⇒ = . Logo, existem 127 
múltiplos de 5 entre os números 84 e 719.
Definição 2 Define-se para sequências o operador ∆, chamado de operador 
diferença, por 1na n na a+∆ = − .
Uma sequência (an ) é uma progressão aritmética se, e somente se, na∆ 
é uma constante. Isso é fácil de ver, pois:
(an ) é PA 1n na a r+⇔ − = , narconstante é constante⇔ ∆
Definição 3 Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência 
(an ) na qual as diferenças 1na n na a+∆ = − , entre cada termo e seu anterior 
formam uma progressão aritmética não estacionária (não nula). 
Em outras palavras:
(an ) é uma PA de segunda ordem (ou ordem 2) ⇔ na∆ é uma PA. 
De uma maneira geral:
Uma sequência (an ) é uma PA, de ordem k ⇔ na∆ é uma PA de 
ordem (k – 1).
 Exemplo 15 
Considere a sucessão (bn) dada por (1, 5, 10, 16, 23, 31, ...). Essa sucessão é uma PA de 
segunda ordem, pois a sequência ( )nb∆ , definida por 1nb n nb b+∆ = − , é igual a (4, 5, 6, 7, 8, ...) que 
é uma PA de primeira ordem.
26
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
 Exemplo 16 
(Lima, 1999, p.8). Considere a sequência (an ), definida por an = n3 – n, e as suas diferenças 
( )na∆ , ( ) ( )2 nn aa∆ = ∆∆ , ( ) ( )3 2n na a∆ = ∆∆ representadas na tabela a seguir:
n an na∆
2
na∆
3
na∆
0 0 0 6 6
1 0 6 12 6
2 6 18 18 6
3 24 36 24 6
4 60 60 30 ■
5 120 90 ■
6 210 ■
7 ■
Se ( )3 na∆ é constante, então ( )2 na∆ é uma PA, ( )na∆ é uma PA de segunda ordem e (an ) é 
uma PA de terceira ordem. Isto de fato ocorre, pois:
an = n3 – n
( ) ( )3 3 31 1 1 3 3na n na a n n n n n n+  ∆ = − = + − + − − = + 
( ) ( )32 33 1 3 1 3 3 6 6na n n n n n ∆ = + + + − + = + 
( ) [ ]3 6 1 6 6 6 6na n n∆ = + + − + =
Obs: Os elementos assinalados por ■ que podem ser calculados, da direita para a esquerda, 
são iguais a: 6, 30 + 6 = 36, 90 + 36 = 126, 210 + 126 = 336. Portanto, a7 = 336 = 73 – 7.
Agora veremos outro tipo de progressão, com suas propriedades e aplicações.
27
Progressões geométricas
Definição 4 Uma progressão geométrica (PG) é toda sequência na qual cada 
termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma 
constante dada.
Assim, se a é o primeiro termo e a constante dada é q, chamada 
razão, podemos definir a PG pela seguinte fórmula de recorrência, 
para todo n ≥ 1:
1
1 .
a
q+
=
 = n n
a
a a
Mas podemos também deduzir a expressão do termo geral an em função 
do número de termos. Para tal, basta verificarmos que uma PG segue o 
padrão representado na tabela a seguir:
1º Termo a1 a1
2º Termo a2 a1 . q
3º Termo a3 a1 . q
2
4º Termo a4 a1 . q
3
...
...
...
nº Termo an a1 . q 
n–1
Podemos concluir que: numa progressão geométrica em que o primeiro 
termo é a1 e a razão é q, o termo geral será: 
an = a1 . q n–1
Podemos ainda concluir que: 
1, 
1, 
1, 
q a PG é crescente
q a PG é decrescente
q a PG é estacionária
>
 <
 =
 Exemplo 17 
(Telecurso 2000- Fundação Roberto Marinho)
Existem bactérias que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é a 
bactéria causadora da sífilis (chamada treponema pallidum): cada uma se transforma em 8 
iguais, no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir, quantas 
serão 12 horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido? 
Vemos que a população de bactérias aumenta a cada hora, por reprodução assexuada, 
formando uma PG de razão q = 8. Assim, temos:
a1 = 1, a2 = 8, a3 = 82, a4 = 83, ... , an = 8 n–1
Após 12 horas, teremos a13 = 812 = 68.719.476.736 bactérias.
28
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
 Exemplo 18 
No cassino de um cruzeiro marítimo são disputadas 10 rodadas em uma noite. Na primeira, 
o valor do prêmio é de R$ 500,00. Sabendo que os valores dos prêmios aumentam segundo 
uma PG, qual será o valor da última rodada, se na quinta o prêmio é de R$ 8.000,00?
Vemos que 1 500a = e a5 = 8.000 e como a5 = a1 . q 4, temos:
44 4 448000500. 8000 16 16 2 2
500
q q q= ⇒ = = ⇒ = = =
Assim, a10 = a1.q 9 = 500.29 = 500.(512) = 256.000
O valor do prêmio da décima rodada é R$ 256.000,00.
Interpolação geométrica
Inserir ou interpolar k termos geométricos entre dois números a e b significa obter a PG, 
de k + 2 termos de extremos a e b. Para realizar a interpolação basta determinar qual é a 
razão da PG:
a1 = a, ak+2 = b ⇒ b = a . q k+2–1 ⇒ 
1+ =k
bq
a
Dá para dizer que a interpolação geométrica se resume a achar a razão da PG.
 Exemplo 19 
Inserir 4 meios geométricos entre 2 e 486. Queremos, então, encontrar a razão q: 
5 5 55486 243 243 3 3
2
q q= = ⇒ = = = .
Logo, a PG resultante é: (2, 6, 18, 54, 162, 486)
 Exemplo 20 
Complete a sequência ( )800, , , , , 25 de forma que seja uma PG. Vamos encontrar 
a razão:
5 5 5
6 1 5
25 1 1 1. 25 800.
800 32 2 2
a a q q q q= ⇒ = ⇒ = = = ⇒ =
Sendo assim, a PG é: (800, 400, 200, 100, 50, 25).
29
Fórmula do produto
O conceito de termos equidistantes dos extremos é válido para qualquer tipo de sequência finita.
Teorema 3 Em toda progressão geométrica finita, o produto de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
ak+1 . an–k = a1 . an
Corolário 2 Em toda PG finita com um número ímpar (2k + 1) de termos, o quadrado 
do termo médio é igual ao produto dos extremos.
a2k+1 = a1 . a2k+1
 Exemplo 21 
Considere a sequência (3, 6, 12, 24, 48). Vemos que é uma PG de razão 2. Observe que 
os termos equidistantes dos extremos, 6 e 24, satisfazem:
6.24 = 3.48 = 144
Além disso, como a PG tem um número ímpar de termos, vale:
122 = 6.24 = 144
Principais propriedades das progressões geométricas
Propriedade 1 Em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Propriedade 2 O produto de termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Propriedade 3 A sequência (a, b, c), com a ≠ 0 é uma PG se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos, isto é, b 2 = a . c.
Propriedade 4 A sequência (a, b, c), é uma PG de razão q ≠ 0 se, e somente se, 
ba
q
= e c = b . q.
 Exemplo 22 
Qual número deve ser somado a 1, 9 e 15 para que se tenha, nessa ordem, três números 
em PG?
Para que (x + 1, x + 9, x + 15) seja uma PG, temos que ter:
( ) ( ) ( )29 15 9 1 . 15
1 9
x x x x x
x x
+ +
= ⇒ + = + +
+ +
2 218 81 16 15 2 66 33x x x x x x+ + = + + ⇒ = − ⇒ = −
30
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Teorema 4 O produto dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, cujo 
primeiro é a1 e a razão é q é:
( )1.
n
n nP a a=
Demonstração
Vamos procurar a fórmula do produto dos n primeiros termos de uma PG.
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
. . .. . .
. . .. . .
n n n n
n n n n
P a a a a a a
P a a a a a a
− −
− −
= …
⊕  = …
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1. . . . . .. . . . . .n n n n n n nP a a a a a a a a a a a a− − − −= …
Usando o resultado de produto de temos equidistantes dos extremos temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 1 1
 
. . . . . .. . . . . .n n n n n n n
n fatores iguais
P a a a a a a a a a a a a= …

( ) ( )2 1 1. .
n
n nP a a= ⇒ =
n
n nP a a
Dessa fórmula podemos extrair outra se usarmos an = a1 . q n–1
( )
( )1
1 2 12 22 2
1 1 1 1 1. . . . .
n n n nn nn n
n nP a a a a q a q a q
−
− −   = = = =   
Ou seja:
( )1
2
1 .
n n
n
nP a q
−
=
Falta analisarmos o sinal do produto. Claro que se algum termo for nulo, o 
produto é nulo. Suponhamos que todos os termos sejam não nulos, então:
a) a1 > 0 e q > 0 ⇒ todos os termos da PG são positivos ⇒ Pn > 0.
b) a1 < 0 e q > 0 ⇒ todos os termos da PG são negativos 
0, 
0, 
n
n
P n par
P nímpar
>
⇒  <
c) a1 ≠ 0 e q < 0 ⇒ PG é alternante e notando que cada grupo de quatro 
 termos consecutivos dá um produto parcial positivo, temos:
1
1
0
4 1 sinal
4 2 0
4 3 si
4
nais
n
n
n
n
n k P e a têm mesmo
n k P
n k P e a têm contrário
n
s
k P >
=
= ⇒ 
 
 
 
 

+ ⇒
= + ⇒

<+ ⇒ =

31
 Exemplo 23 
Calcular o produto
i) Dos 15 primeiros termos da PG (–3, –9, –27, –81, ...)
 Vemos que é uma PG com a1 = –3 < 0 e q = 3 > 0 e queremos calcular o P15.
( )15 15 115 15 105 1202
15 1 . 3 .3 3P a q
−
= = =
 Quanto ao sinal de Pn, como a1 < 0, q > 0 e n = 15, que é ímpar, pelo item (b) concluímos que 
 Pn é negativo, portanto, P15 = –3120.
ii) Dos 21 primeiros termos da PG (3, –6, 12, –24, 48, –96, ...)
 Agora temos uma PG com a1 = 3 > 0 e q = –2 < 0 e queremos calcular o P21.
( )21 21 121 21 2102
21 1 . 3 .2P a q
−
= =
 É uma PG alternante e n = 21 = 4.5 + 1, então P21 tem o sinal de a1 > 0. Logo, P21 = 321 . 2210.
Teorema 5 A sequência (bn ) é uma progressão geométrica de termos positivos se, e 
somente se, a sequência (an ), definida por an = log (bn ), é uma progressão 
aritmética.
Demonstração
Seja (bn ) uma PG de termos positivos, então 
1n
n
b q
b
+ = , com q ≠ 1 a razão da 
PG, que é uma constante. Para que a sequência (an ) com an = log (bn ) seja 
uma PA, a diferença an+1 – an tem que ser constante. Mas:
( ) ( ) ( )11 1 nn n n n
n
ba a log b log b log log q
b
+
+ +
 
− = − = = 
 
, com q ≠ 0 que é uma 
constante. 
Por outro lado, se (an ) é uma PA, então an+1 – an = r, constante. Então
( ) ( ) 1 11 1 rn nn n n n
n n
b ba a log b log b r log r e
b b
+ +
+ +
 
− = − = ⇔ = ⇔ = 
 
, que é constante 
e, portanto (bn ) é uma PG de razão q = e r.
32
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Fórmula da soma de uma PG
Teorema 6 A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica cujo primeiro 
termo é a1 e cuja razão é q, q ≠ 1 é:
1 1.
1
n
n
a a qS
q
−
=
−
Demonstração
Vamos somar os n primeiros termos dessa PG.
2 3 2 1
1 1 1 1 1 1
2 3 2 1
1 1 1 1 1 1
. . . . .
. . . . . . .
n n n
n
n n n
n
S a a q a q a q a q a q
q S a q a q a q a q a q a q
− − −
− −
 = + + +…+ + +
− 
= + + +…+ + +
( ) ( )11 11 1 1 1
. 1.. . 1 .
1 1
nn
n n
n n n n
a qa a qS qS a a q S q a a q S
q q
−−
− = − ⇒ − = − ⇒ = =
− −
Podemos também representar essa fórmula assim:
( )1 1
1
n
n
a q
S
q
−
=
−
Ou ainda, substituindo 
1
1 11 1
1
.. ..
1 1
n
n n
n n
a a qa a q qa a q S
q q
−
− −−= ⇒ = =
− −
Logo, podemos também representar Sn:
1 .
1
n
n
a a qS
q
−
=
−
 Exemplo 24 
Determine a soma dos vinte primeiros termos da PG (2–2, 2–1, 20, 21, 22, 23, ...)
Vemos que a1 = 2–2 e q = 2 e queremos encontrar S20.
( ) ( ) ( )
20 2 20
1 20 18
20 2
1 2 1 2 1 12 1 2 262.143,75
1 1 2 2 4
a q
S
q
−− −
= = = − = − =
− −
Série geométrica infinita
Na unidade de séries numéricas tratamos de séries geométricas. No entanto, vamos 
relembrar seu principal resultado.
33
Teorema 7
Considere a série geométrica infinita 1
1
n
na q
∞ −∑
a) Se | q | < 1, a série converge e sua soma é 1
1
aS
q
=
−
b) Se a1 = 0, a série converge e sua soma é zero.
c) Se | q | ≥ 1 e a1 ≠ 0, a série diverge.
Demonstração
Se a1 = 0 a série converge trivialmente para zero. Vamos considerar a1 ≠ 0.
Se | q | = 1, temos séries divergentes 11 a
∞∑ ou ( ) 11 1 .
n
na
∞ +
−∑ .
Vamos considerar | q | ≠ 1 e a1 ≠ 0. Como o termo geral da sequência de 
somas parciais é 
( )1. 1
1
n
n
a q
S
q
−
=
−
, basta calcular o limite de Sn quando n → ∞.
( ) ( )1 1
. 1
lim lim .lim 1
1 1
n
n
nn n n
a q aS q
q q→∞ →∞ →∞
−
= = −
− −
Como ( ) 1, 1lim 1 , 1
n
n
se q
q
nãoexiste se q→∞
 <− =  >
Portanto, se | q | ≥ 1 e a1 ≠ 0, a série diverge e se | q | < 1 a série converge e 
sua soma é ( )1 1 1.lim 1 .11 1 1
n
n
a a aS q
q q q→∞
= − = =
− − −
.
Podemos concluir:
Uma série geométrica infinita converge se | q | < 1 e sua soma é:
1 , 1
1
aS se q
q
= <
−
 Exemplo 25 
Na figura a seguir temos uma espiral formada por semicírculos cujos centros pertencem ao 
eixo das abscissas. Sabendo que o raio do primeiro semicírculo é igual a 1 e o raio de cada 
semicírculo é igual à metade do raio do semicírculo anterior, encontre:
a) O comprimento da espiral até o oitavo semicírculo. 
b) O comprimento da espiral infinita.
Vamos lembrar que o comprimento de uma semicircunferência é c = πr. Sendo assim, a 
progressão geométrica que temos é formada pelos comprimentos das semicircunferências 
cujos raios estão em PG de razão 1
2
.
34
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Então temos a sequência , , , , ...
2 4 8
π π ππ  
 
 que é uma PG de razão 1
2
q = e c1 = π.
a) 
( ) ( )
8
8
1
8
1 1. 1 1. 1 2 255256 2 2 0,9961 6,25871 11 2561
2 2
c q
S
q
π π
π π
    −   −   −       = = = = ≅ ≅ −  −
b) 1 21 11 1
2 2
cS
q
π π π= = = =
− −
Pode-se perceber nesse exemplo que as somas parciais dos comprimentos dos semicírculos 
da espiral vão tendendo, por valores inferiores, para o comprimento total da espiral que é 2π, 
exatamente o comprimento do círculo todo inicial de raio 1.
 Exemplo 26 
(UnB-adaptado) Conta uma lenda que o rei de certo país ficou tão impressionado ao 
conhecer o jogo de xadrez que quis recompensar seu inventor, dando-lhe qualquer coisa que 
pedisse. O inventor disse ao monarca que bastava lhe dar a quantidade de trigo suficiente 
para preencher as casas do tabuleiro de xadrez da seguinte forma: um grão na primeira casa, 
dois grãos na segunda casa, três grãos na terceira casa e assim sucessivamente, até chegar à 
64a casa do tabuleiro. O rei considerou o pedido bastante simples e ordenou aos súditos que 
providenciassem o pedido. Resolva:
a) Você acha que o pedido pode ser cumprido?
b) Supondo que um grão de trigo tem massa igual a 0,05g e sabendo que a produção global 
 de trigo da safra 2014/15 prevista pelo USDA (Departamento de Agricultura dos Estados 
 Unidos) é da ordem de 700 milhões de toneladas, compare este valor com a quantidade 
 a ser entregue ao inventor.
Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas e a progressão dos grãos de trigo sobre o tabuleiro 
formam uma PG de razão 2 e a1 = 1, a saber, (20, 2, 22, 23, 24, 25, ... , 263)
Temos que encontrar a soma:
( )64 641 64
64
. 1 1 2 2 1 18.446.744.073.709.551.615
1 1 2
a q
S
q
− −
= = = − =
− −
Ficaram espantados? Pois é, a exorbitante quantidade da ordem de 18 quintilhões de grãos, 
isto se ainda desconsiderarmos os quase 450 quadrilhões de grãos, quantia nada desprezível, 
não acham? Com certeza, o pedido do inventor não pode ser cumprido. 
Para termos e comparação, simplificando bastante, vamos considerar a quantidade de 
grãos pedida pelo inventor como 18,4.1018 grãos e, como cada grão tem massa de 0,05g, 
isto corresponde a (18,4.1018) . (5.10–2) = 92.1016 gramas. 
Mas cada 1 grama equivale a 10–6 toneladas, portanto, a massa total seria de 92.1010 
toneladas ou 920.109 toneladas. Em outras palavras, 902 bilhões de toneladas, logo, mais de 
mil vezes a produção mundial de trigo prevista para a safra de 2014/15.
35
É interessante trabalharmos com esses números muito grandes para vermos o efeito de uma 
progressão geométrica de razão maior do que 1. E notem que a razão nesse caso era apenas 2.
Podemos pensar uma PG como essa em que an = a0 . q n como os pontos de uma função 
a (x) = a0 . q x quando restringimos seu domínio aos números naturais, portanto, os pares 
ordenados (n, an ), com n ≥ 0 estarão contidos no gráfico dessa função, como podemos ver na 
representação gráfica a seguir, para q > 1.
Claro que se q < 1 a função é decrescente, mas de qualquer forma, funções exponenciais 
crescem ou decrescem muito rapidamente.
Importante!
Uma PA tem como representação gráfica os paresordenados, correspondentes às abscissas naturais, contidos 
em uma função afim, ou seja, em uma reta. 
Uma PG tem como representação gráfica os pares 
ordenados, correspondentes às abscissas naturais, contidos 
em uma função exponencial.
 Exemplo 27 
(UFPEL) O lado do primeiro quadrado mede L. Unindo-se os pontos médios dos lados opostos, 
obtêm-se quatro novos quadrados. Se procedermos assim sucessivamente, obteremos novos 
quadrados cada vez menores, conforme indica a figura, que mostra parte de uma sequência 
infinita. Encontre a soma dos perímetros de todos os infinitos quadrados escuros da sequência.
36
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Observemos que o lado de um quadrado em uma determinada posição é sempre igual à 
metade do lado do quadrado na posição imediatamente anterior. Logo, está em PG de razão 1
2
. 
Como o perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados, os perímetros 
desses quadrados estão em PG também de razão 
1
2
 da forma: 4 , 2 , , , , ,
2 4 8
L L LL L L … 
 
. 
Na verdade, o termo geral da PG é 
4
2n n
Lp = , n ≥ 1.
Queremos encontrar a soma dessa PG infinita de razão 
1 1
2
q = < , então temos:
0 4 4 81 11 1
2 2
p L LS L
q
= = = =
− −
 Exemplo 28 
(Unesp 2011-adaptado). Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar 
mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00, 
R$ 8,00 e assim sucessivamente até o depósito atingir o valor de R$ 2.048,00. No mês 
seguinte, o pai recomeçaria os depósitos como do início e assim o faria até o 21° aniversário 
do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, calcule o montante dos 
depósitos, em reais, feitos pelo pai na caderneta de poupança para o filho.
Vamos analisar primeiro quanto tempo levou para o pai interromper o processo inicial para 
depois retomar da mesma maneira a cada intervalo de mesmo período de tempo. Os depósitos 
neste período compuseram a seguinte PG de razão 2.
(1, 2, 4, 8, ... , 2048)
Temos, então que a1 = 1, an = 2048 e q = 2 e queremos encontrar n. 
Como an = a1 . qn–1 ⇒ 2048 = 2n–1 ⇒ 211 = 2n–1 ⇒ n – 1 = 11 ⇒ n = 12 meses, ou seja, 1 ano. 
Então a cada ano o pai depositava um montante igual a:
( )12 121 12
12
. 1 1 2 2 1 4.095,00
1 1 2
a q
S
q
− −
= = = − =
− −
Portanto, a cada ano o pai depositava um montante de R$ 4.095,00. 
Como fez esse tipo de depósito durante 21 anos, o montante total de depósitos foi de: 
21.(4095) = 85995, ou seja, de R$ 85.995,00
 Exemplo 29 
Resolva a equação:
2 3 4 4
4 16 64 3
x x xx − + − +… =
Observe que as parcelas da soma infinita do primeiro membro da equação formam uma PG 
de razão 22
xq = − e para que tenha soma 4
3
, 1
4
x
q = < , ou | x | < 4.
37
Mas como 1
4 4 4 12 4 16 8 16 2
1 4 4 31
4
a x x xS x x x xxq x x
= = = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
− + ++
.
Veremos a seguir alguns exemplos que mostram aplicações práticas do conteúdo de 
progressões.
Algumas aplicações de progressões
 Exemplo 30 
No mês corrente, uma empresa registrou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de 
R$ 800 mil. Para voltar a ter lucro, a empresa pretende manter constante a receita, e reduzir 
suas despesas, mensalmente, em exatos R$ 45 mil. Escreva a expressão que fornece o valor 
da despesa em função do número de meses transcorridos, considerando como inicial o mês 
corrente. Calcule em quantos meses a despesa será menor que a receita. 
No mês corrente, a empresa descobriu que a despesa ultrapassou a receita e decidiu 
reduzir as despesas, mensalmente, em 45 mil reais, a partir desse mês corrente. Como a 
redução mensal é uma constante, isto forma uma PA de razão r = –45 (em mil reais) com 
termo inicial d1 = 800. Portanto, a expressão que fornece o valor da despesa da empresa, 
após n meses, é:
dn = d1 + (n – 1).r = 800 – 45(n – 1) = 845 – 45n
Queremos saber em quantos meses a despesa será inferior à receita mantida constante no 
valor de 600 mil reais. Basta substituir na equação acima colocando dn = 600 para encontrar n.
600 = 845 – 45n ⇒ 45n = 245 ⇒ n ≅ 5,4
Só depois de 6 meses a despesa será inferior à receita. 
Esta é uma questão simples, que facilmente poderia ser calculada; entretanto, a intenção 
aqui é mostrar que tal situação se configura como uma progressão aritmética.
 Exemplo 31 
(McCallum et al, 2011) Saldo bancário 
Uma pessoa para poupar dinheiro para sua aposentadoria deposita R$ 5.000,00 por ano 
em uma caderneta de poupança que rende juros de 6% ao ano, capitalizando anualmente. 
Depois do primeiro depósito, mas antes de receber qualquer juro, o saldo da conta, em 
reais, é b1 = 5000. 
Depois de um ano, o primeiro depósito do novo ano recebe juros, e o saldo fica:

( )2
2 
 1 
5000 5000 1,06
depótito
juros do depósito
b
°
°
= +

 ⇒ b2 = 5000 + 5000 (1,06)
38
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Depois do segundo ano, é feito o terceiro depósito, e o saldo fica sendo:

( ) ( )23
3 
 2 1 
5000 5000 1,06 5000 1,06
depósito
juro do depósito juros do depósito
b
°
° °
= + + ⇒
 
b3 = 5000 + 5000(1,06) + 5000 (1,06)2
E assim sucessivamente. Seja bn o saldo, em reais, depois de n depósitos. Então:
bn = 5000 + 5000 (1,06) + 5000 (1,06)2 + ... + 5000 (1,06)n–1
Quanto terá na conta essa pessoa no início do sexto ano?
b6 = 5000 + 5000 (1,06) + 5000 (1,06)2 + 5000 (1,06)3 + 5000 (1,06)4 + 5000 (1,06)5
b6 ≅ 5000 (1 + 1,06 + 1,1236 + 1,19102 + 1,2625 + 1,3382) ≅ 34.876,59
 Exemplo 32 
(McCallum et al, 2011) Níveis de remédio no corpo
É aplicada uma injeção de 250 mg de determinado remédio em um paciente. O corpo 
do paciente metaboliza 20% do remédio, de modo que, depois de 1 dia, só permanecem 
80%, ou 4
5
, da quantidade original; depois de 2 dias, permanecem 16
25
, e assim por diante. 
É aplicada uma injeção de 250 mg todos os dias à mesma hora. Escreva uma série geométrica 
que fornece o nível de remédio no corpo do paciente logo após a n-ésima injeção. 
Vejamos o que temos nos dados da questão:
Imediatamente após a primeira injeção, o nível do remédio no corpo é Q1 = 250.
Um dia depois, esses 250 mg ficaram reduzidos a 
4 . 250 200
5
= mg e é aplicada a segunda 
injeção de 250 mg. Logo após a aplicação da segunda injeção, o nível do remédio no corpo 
do paciente é:
2
2ª 
 1ª 
4250 . 250
5injeção
resíduo da injeção
Q = +

Q2 = 250 + 200 = 450 mg
Dois dias depois, os 250 mg originais caíram para 
24 4 4. 250 . 250 160
5 5 5
   = =   
  
 mg, os 
250 mg da segunda injeção caíram para 4 . 250 200
5
= mg, e é aplicada a terceira injeção. 
Daí o nível do medicamento no organismo do paciente é:

2
3
3ª 
 2ª 1ª 
4 4250 . 250 . 250
5 5injeção
resíduo da injeção resíduo da injeção
Q  = + +  
 


39
2
3
4 425 .250 .250 250 200 160 610
5 5
Q  = + + = + + = 
 
mg
Continuando o processo, vemos que, logo após a aplicação da n-ésima injeção, a quantidade 
do medicamento no organismo do paciente é:
2 2 14 4 4 4250 . 250 . 250 . 250 . 250
5 5 5 5
n
nQ
−
       = + + + +…+       
       
Portanto configura uma série geométrica, cujo primeiro termo é 250 e cuja razão é 
4
5
q = .
Se quisermos saber qual a quantidade do medicamento, após 15 dias de tratamento, 
basta calcular:
( )
15
15
4250 1
5
1250 1 0,0352 1206,0241
5
Q
  −     = = − ≅
− mg
E como q < 1, a série geométrica converge e sua soma, quando o tratamento se prologa 
muito, Qn tende para:
250 5.250 125041
5
Q = = =
−
mg
 Exemplo 33 
Usa-se a técnica do Carbono-14 para determinar a idade de espécimes arqueológicos.Este 
método se baseia no fato de o C-14, isótopo instável, estar presente no CO2 da atmosfera. 
Os organismos vivos assimilam carbono da atmosfera e, quando morrem, o C-14 acumulado 
começa a decair, com meia-vida (período de tempo para reduzir à metade a quantidade 
anterior) de, aproximadamente, 5.700 anos. Medindo-se a quantidade de C-14 que resta 
em um espécime, é possível determinar quando o organismo morreu. Suponha que um osso 
fóssil acuse 20% da quantidade de C-14 presente em um osso dos dias atuais. Qual é a idade 
aproximada desse fóssil?
A cada período de 5.700 anos a quantidade de C-14 se reduz à metade, então, se a 
quantidade original era Q0 e se n representa o número de períodos de 5.700 anos, temos uma 
PG de razão 
1
2
q = . Portanto, medimos a quantidade de C-14 após n períodos pela expressão: 
Qn = Q0 . qn (observe que iniciamos com n = 0)
( ) ( )0 0 0
10,2 0,2 . 0,2 2 0,2 . 2
2
n
n
nQ Q Q Q ln n ln
− = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − 
 
( )
( )
0,2 1,6094 2,32
2 0,6931
ln
n
ln
−
= − ≅ − ≅
Assim, o fóssil tem aproximadamente (2,32) . 5700 ≅ 13224, ou seja, cerca de 13.200 anos.
40
Unidade: Progressões aritmética e geométrica
 Exemplo 34 
Segundo dados do IBGE, de julho de 2014, a população da cidade de São Paulo é de 
11.895.893 habitantes e a taxa de crescimento geométrico anual é de 0,86%. Por simplicidade 
nos cálculos, consideremos a população da capital paulista em 12 milhões, em janeiro de 
2015, e suponhamos que a taxa geométrica anual de crescimento se mantenha em 0,84% 
pelos próximos anos. Dessa forma, se isto se confirmar, qual o número inteiro mínimo de 
anos para que a população da capital paulista ultrapasse o dobro de sua população de janeiro 
de 2015?
Pelos dados da questão, vemos que a população, em milhões de habitantes, a partir de 
2015, vai compor uma sequência (Pn )n ≥ 0 cujo termo geral é:
12.(1 0,0084) 12.(1,0084) , 0n nn nP P n= + ⇒ = ≥
Queremos encontrar n (anos) tal que Pn = 24 milhões. Então temos:
12.(1,0084) 24 1,0084 2 ln1,0084 ln 2 .ln1,0084 ln 2
ln 2 0,69315 82,91
1,0084 0,00836
n n n n
n n n
lm
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ ≅ ⇒ ≅
Se a taxa geométrica permanecer conforme previsto, daqui a 83 anos a população da 
capital paulista terá ultrapassado os 24 milhões de habitantes.
Concluindo
Assim chegamos ao fim dessa unidade, a última da disciplina. Abordamos progressões que 
são um tipo especial de sequências numéricas: a progressão aritmética se caracteriza pela 
soma de uma constante, a razão da PA, ao termo imediatamente anterior da sequência; e a 
progressão geométrica pelo produto de uma constante não nula, a razão da PG, pelo termo 
imediatamente anterior da sequência. Vimos também as expressões do termo geral e da soma 
de n termos de uma PA e de uma PG e ainda tratamos de encontrar o produto de n termos de 
uma PG, bem como a soma de infinitos termos de uma PG convergente. Mostramos resultados 
fundamentais, como propriedades e teoremas, e uma diversidade de exemplos evidenciando 
as resoluções e o raciocínio utilizados, bem como algumas aplicações, visando contribuir com 
a aprendizagem significativa do conteúdo sobre progressões. 
Esperando que tenham aproveitado bem, recomendo rever os exemplos e resultados mais 
importantes para se prepararem para resolver as atividades da unidade. 
Bom estudo!
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Material Complementar
I) Dobre um papel 42 vezes e ele chegará à Lua
Pode parecer absurdo, mas tem toda uma lógica matemática por trás dessa afirmação, à 
primeira vista impossível. Você alguma vez na vida tentou dobrar uma folha de papel várias 
vezes? Certamente não conseguiu dobrá-la muitas vezes. Para constar, parece que o recorde 
de dobras atual é de 12 dobras sucessivas. Mas hipoteticamente se a folha for grande o 
suficiente e usando grande energia, é possível dobrá-la quantas vezes quiser.
Mas como é possível um papel de 0,1 mm de espessura se tonar tão grosso? A resposta é 
o crescimento exponencial.
Segundo Nikola Slavkovic, autor do vídeo a seguir, após 12 dobras, um pedaço de papel 
não ultrapassaria a altura de uma mesa. Mas à medida que, teoricamente, o papel é dobrado, 
ele vai crescendo exponencialmente. Ao ser dobrado 42 vezes, ele se estenderia até a Lua. 
Claro que é uma ideia puramente matemática – como dissemos, fisicamente é impossível. 
Acontece que nossas mentes tendem a pensar linearmente, e não de forma exponencial.
Ele cria mais algumas associações curiosas: com 3 dobras, o papel tem a espessura de 
um prego; com 10 dobras, a largura de sua mão; com 30 dobras, o papel se estenderia por 
100 km de comprimento, capaz de atingir o espaço. Com 51 dobras, ele se estenderia por 
150 milhões de km, o suficiente para chegar ao Sol. E, com 103 dobras, seu crescimento 
exponencial seria o suficiente para englobar todo o universo observável. Não é incrível, mesmo 
que incompreensível pela maioria das pessoas? Veja o vídeo (em inglês) no link:
https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=AAwabyyqWK0
Acesso em 25 de maio de 2016.
II) A Lei de Weber
O físico e filósofo alemão Gustav Theodor Fechner (1801-1887) propôs um método de 
construção de escalas baseado na Lei de Weber. Propôs que enquanto os estímulos variassem 
em progressão geométrica, as medidas das respostas variariam em progressão aritmética. 
Dessa forma, as medidas da resposta y e do estímulo x se relacionam por y = a + b . log (x). 
Uma das mais conhecidas escalas de Fechner é a que mede a sensação de ruído, definida 
por L = 120 + 10 . log (l), em que L é a medida da sensação de ruído em decibéis (dB) e l é a 
intensidade sonora, medida em W/m2.
A lei de Weber, em homenagem ao fisiologista alemão Ernest Heinrich Weber (1795-
1878), para respostas de seres humanos a estímulos físicos, afirma que diferenças marcantes 
na resposta a um estímulo ocorrem para variações de intensidade do estímulo proporcionais ao 
estímulo. Por exemplo, uma pessoa que sai de um ambiente iluminado para outro, só percebe 
uma variação de luminosidade se esta for superior a 2%, ou só distingue entre soluções salinas 
se a variação da salinidade for superior a 25%. 
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Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Weber foi um médico alemão, considerado um dos fundadores da psicologia experimental. 
Estudou medicina na Universidade de Wittenberg, e em 1818 foi nomeado professor adjunto 
de anatomia comparada na Univerdade de Leipzig. 
Gustav Theodor Fechner (1801 – 1887), apesar de ter sido um filósofo alemão e professor 
em Leipzig, era um brilhante matemático e físico. Quando em 1839 foi ameaçado pela 
cegueira, entrou numa crise pessoal e passou a interessar-se mais por questões religiosas 
e psicológicas. Fechner considerava a realidade física e a psíquica aspectos de uma mesma 
realidade essencial e não realidades opostas.
Por volta de 1860, Weber trabalhou com Fechner aplicando os princípios da Psicofísica, 
quando formulou a Lei que leva seu nome, realizando estudos pioneiros capazes de quantificar 
um fenômeno psicológico, que serviam para mapear a sensibilidade táctil em vários pontos da 
pele através de uma técnica chamada de limiar de dois pontos. Porém o principal experimento 
que resultou na descoberta da primeira relação matemática entre um fenômeno psicológico 
(a consciência ou sensação de um estímulo) e um evento físico (a intensidade física de um 
estímulo) ocorreu através de estudos de julgamento de pesos. Nestes experimentos, Weber 
colocava um determinado peso na mão de uma pessoa, em seguida ele ia gradualmente 
aumentando esse peso até que a pessoa notasse que o peso havia aumentado.
A Lei de Weber mais tarde foi complementada por Fechner, que propôs um método 
de construção de escalas baseado na Lei de Weber. Propôs que, enquanto os estímulos 
variassem em progressão geométrica, as medidas das respostas variariam em 
progressão aritmética.Dessa forma, as medidas da resposta y e do estímulo x se 
relacionam por y = a + b . log (x). Uma das mais conhecidas escalas de Fechner é a que 
mede a sensação de ruído, definida por uma equação logarítmica.
A unidade de medida do ruído é dada em bels (designação em homenagem a Alexander 
Graham Bell, físico escocês inventor do telefone). No Brasil, utilizamos um submúltiplo do bel, 
o decibel (dB).
Uma pessoa com audição normal é capaz de ouvir uma grande faixa de sons de intensidade 
bem diferentes. O som pode ser classificado como fraco ou forte quanto à sua intensidade, que 
é representado por I, medida em 2W m (watts por metro quadrado). Existe um valor mínimo 
de intensidade de som, abaixo da qual é impossível ouvir algo. À essa intensidade damos o 
nome de limiar de audibilidade. Com base nos valores de intensidade de som, podemos definir 
o nível de intensidade β medindo em decibéis (dB): 
0
10. Ilog
I
β
 
=  
 
, onde I é a intensidade 
correspondente ao nível β; I0 é uma constante que representa o nível de referência tomado 
como limiar de audição, 12 20 10 /I W m
−= .
De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), sons de até 55 dB são aceitáveis. 
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Vejam na tabela a seguir os níveis de intensidade de alguns tipos de som.
Nível de Ruído em Decibels
Conforto
Acústico
Muito baixo
0 dB Limiar do som
5 dB Passarinho
10 dB Cochicho
15 dB Torneira
20 dB Conversa
Baixo
25 dB Relógio
30 dB Biblioteca Limite para o sono
35 dB Enfermaria
40 dB
Moderado
45 dB
50 dB Aspirador de pó
Moderado 55 dB Bebê chorando Irritação
Moderado Alto 60 dB Irritação aumenta 
consideravelmente
Riscos de 
Danos à Saúde
Moderado Alto
65 dB Cachorro latindo
70 dB
75 dB Sala de aula
80 dB Piano
Alto
85 dB Telefone tocando
Tolerâncias 
diárias de 
exposição
8h
90 dB Secador de cabelos 4h
95 dB Moto 2h
100 dB Cortador de grama 1h
Muito alto
105 dB Caminhão 30 min
110 dB Pátio no intervalo das aulas 15 min
115 dB Banda tocando 7 min
120 dB Tiro
125 dB Auto-falante
130 dB Britadeira
135 dB Avião
140 dB
Fonte: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/11/logaritmos-os-sons-e-audicao-humana.html.
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Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Por exemplo, para calcular a intensidade correspondente ao nível de 130 dB (britadeira) 
fazemos assim:
( )12 13 1212 12130 10 . 13 10 . 10 10 .10 10
I Ilog log log I I− −
   = ⇒ = = ⇒ = ⇒   
   
210 /I W m=
Para o nível de 50 dB (aspirador de pó), você pode fazer o mesmo cálculo e encontrará 
I = 10–7 W / m2
Por outro lado, se tivermos a intensidade sonora é possível encontrarmos os respectivos 
decibéis (níveis de intensidade). Por exemplo, nos metrôs antigos estima-se que a intensidade 
sonora seja de 10–2 W / m2. O nível de intensidade é:
( ) ( )
2
10
12
1010 . 10 . 10 100 . 10 100
10
log log logβ
−
−
 
= = = = 
 
 dB
Outro exemplo é a intensidade da onda correspondente à fala humana, a um metro de 
distância é de 4 . 10–6 W / m2. A quantidade de decibéis é:
( ) ( )( )
6
6 12
12
4.1010 . 10. 4 10 10
10
log log log logβ − −−
 
= = + − 
 
Como log4 = log(22) = 2 . log2 ≅ 2.0,3 = 0,6, temos:
β ≅ 10. (0,6 – 6 + 12) = 66 dB
III) Matemática financeira
1) Se certo capital C for aplicado por seis meses a uma determinada taxa de juros i mensal, 
 em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se obterá o maior rendimento?
Modalidade de juros simples.
Nessa modalidade o montante M pode ser assim obtido:
M = C + j , em que j é o juros, j = C . i . n, então M = C + C . i . n, portanto:
M = C (1 + i . n)
Para n = 6, temos: M = C (1 + 6i)
Modalidade de juros composta:
M = C (1 + i )n
Para n = 6, temos: M = C (1 + i )6
É claro que, para uma mesma taxa i, para o mesmo período n > 1, o montante M será 
maior na modalidade de juros composta. Isto porque, na modalidade de juros simples estamos 
tratando de uma progressão aritmética e, na modalidade de juros composta, estamos tratando 
de uma progressão geométrica.
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2) Se R$ 10.000,00 forem aplicados por 1 ano a uma taxa de juros simples de 3% ao mês 
 para produzir o mesmo montante, na modalidade de juros composto, em uma aplicação 
 com a mesma duração, a que taxa mensal deverá ser aplicado?
Como na modalidade de juros simples M = C (1 + i . n) temos:
M = 10000 (1 + 12 . (0,03)) = 10000 (1 + 0,36) = 10000 (1,36) = 13.600,00
Agora que já sabemos o montante, vamos calcular a taxa mensal de juros composto que 
produziria esse mesmo montante, para o capital inicial de R$ 10,000,00, pelo prazo de 
seis meses.
Como, na modalidade juros composto, M = C (1 + i )n temos:
12 12 12 121360013600 10000.(1 ) (1 ) (1 ) 1,36 1 1,36
10000
1 1,02595 1,02595 1 0,02595
i i i i
i i i
= + ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒
⇒ + ≅ ⇒ ≅ − ⇒ ≅
0,02595 2,5957%i = ≅ ao mês para produzir o mesmo montante.
Esperamos ter mostrado algumas aplicações envolvendo as noções relacionadas às 
progressões, bem como evidenciado as diferenças entre progressões aritméticas e geométricas.
Sites:
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/07/lei-de-weber-e-as-escalas-de-fechner.html
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/11/logaritmos-os-sons-e-audicao-humana.html
http://estudospercepcao.blogspot.com.br/p/ernst-heinrich-weber.html
Acessos em 25 de maio de 2016.
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Unidade: Progressões aritmética e geométrica
Referências
Referências Bibliográficas 
BOULOS, P. Exercícios resolvidos e propostos de sequências e séries de números 
e de funções. São Paulo: Edgard Blucher, 1986.
GUELLI, C. A.; IEZZI, G.; DOLCE, O. Álgebra I: sequências, progressões, logaritmos. 
São Paulo: Moderna, 1997.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
Referências Complementares
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. v. 2., 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
CARVALHO, M. C. C. S. Padrões numéricos e sequências. São Paulo: Moderna, 1997. 
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Harper & Row 
do Brasil, 1982. 2 v.
LIMA, E. L. A Matemática do Ensino Médio. v. 2. Coleção do Professor de Matemática. 
Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1999. 
MACHADO, A. S. Matemática: temas e metas: trigonometria e progressões. São Paulo: 
Atual, 2004.
McCALLUM, W. G., et al. Álgebra: forma e função. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
THOMAS, G. B. Cálculo. v 2. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
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Anotações