DIMENSÃO FRACTAL

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DIMENSÃO FRACTAL
1. Introdução
Riemann foi o primeiro a discordar que “o gráfico de uma função contínua
possui tangente bem definida em todos os pontos, salvo talvez em um número finito
de seus pontos”, chegando a exibir um exemplo errôneo de uma função que
contrariava a afirmação. O gráfico destas funções contínuas e não diferenciáveis em
todo o ponto é atualmente chamado de fractal [1].
Em geral, fractais, são objetos gerados a partir da repetição de um processo
recursivo, apresentando auto-similaridade, complexidade e dimensão fracionada. A
auto-similaridade é uma característica dos fractais de apresentar cópias de si
mesmo em seu interior em diferentes tamanhos. Uma pequena parte é semelhante
ao todo, ou seja, uma fração de um fractal é uma réplica do todo, isto é, pequenas
partes de um fractal em diferentes escalas é semelhante ao todo [1]. A principal
diferença entre as estruturas euclidianas e fractais é a relação entre a massa do
objeto e uma dimensão linear característica do mesmo. Enquanto nas primeiras a
proporcionalidade de dá com um expoente d inteiro, nas fractais ela se dá com
expoente D fracionário. Um exemplo clássico de fractal embebido na dimensão 2 e
a folha de samambaia rendada [2].
No estudo de bolas de diferentes materiais a dimensão linear de interesse é o
diâmetro. Nesse caso, o modelo para a relação entre a massa e o diâmetro, é dado
por:
onde K é uma constante.
É possível determinar o valor da dimensão fractal D de cada material,
verificando a relação entre a massa das bolas e o diâmetro médio das mesmas.
Para facilitar a análise estatística, optou-se pela inversão da relação da equação M,
o que resultou em:
Com a linearização da equação Ø, obtemos:
onde,
(1)
Logo, quando construído um gráfico de logØ em função do log M, para cada
material, e determinando os coeficientes lineares e angulares das retas ajustadas, é
possível determinar os valores de D e K [2].
A complexidade é uma propriedade dos fractais a qual significa que nunca se
pode representá-los completamente, pois os mesmos tem detalhes infinitos. Sempre
existirão reentrâncias e saliências cada vez menores. A dimensão dos fractais não é
inteira como na geometria euclidiana. Na geometria euclidiana um ponto tem
dimensão zero, uma linha é unidimensional, o plano bidimensional, o sólido
tridimensional, já os fractais têm dimensão fracionada que está relacionada ao grau
de irregularidade dos mesmos [1].
Uma maneira de avaliar-se a confiabilidade de uma medição é repeti-la várias
e várias vezes e examinar os valores obtidos, contudo todas essas repetições
contém um certo tipo de incerteza experimental [3].
Não pode-se avaliar todos os tipos de incerteza experimental, através da
análise estatística de repetidas medições. Por este motivo as incerteza são divididas
em dois grupos: as incertezas aleatórias, as quais podem ser tratadas
estatisticamente, e as incertezas sistemáticas, que não podem ser tratadas
estatisticamente [3].
Um experimento pode ser avaliado usando o método da propagação de erro
ou a análise estatística, já que a tanto a propagação de erro como a análise
estatística são complementares. Para a determinação das incertezas pode-se
proceder de duas formas. Estima-se realisticamente as incertezas em suas
medições de x e y, podendo-se propagar essas incertezas para determinar as
incertezas em suas medições z. Outra maneira é a partir dos vários valores de z
analisar-se estatisticamente, o desvio padrão deles será uma boa medida de
incerteza. Para se determinar a incerteza deve-se utilizar ambos os métodos, já que
a incerteza pode ser determinada por ambos, para verificar que eles apresentam,
aproximadamente, a mesma resposta [3].
2. Objetivos
Aprender a utilizar instrumentos de medidas, avaliar a precisão de medidas
por meio do cálculo das incertezas e erros associados, realizar a linearização de
curvas utilizando o papel dilog.
3. Procedimento Experimental
3.1 Materiais
- Paquímetro
- Balança
- Régua
3.2 Procedimento
Inicialmente pegou-se duas unidades de papéis diferentes, sendo um papel
sulfite A3 e o outro papel alumínio, em seguida recortou-se o papel alumínio do
mesmo tamanho do papel A3.
Logo em seguida amassou-se uma folha de papel sulfite A3 e uma de
alumínio no formato de uma bola, em seguida dobrou-se na metade as folhas
restantes A3 (sulfite e alumínio), em seguida foi recortado as folhas ao meio
formando duas folhas A4, da mesma forma amassou-se uma folha de papel sulfite
A4 e uma de alumínio no formato de uma bola, em seguida dobrou-se na metade as
folhas restantes A4 (sulfite e alumínio) em seguida foi recortado as folhas ao meio
formando duas folhas A5, da mesma forma amassou-se uma folha de papel sulfite
A5 e uma de alumínio no formato de uma bola.
Esse mesmo processo foi repetido até chegar a folha A9, em seguida como o
auxílio de um paquímetro mediu-se 10 vezes o diâmetro das bolas de papel,
anotando as medidas e calculando o valor médio, incertezas instrumentais,
incertezas estatísticas e total de cada medida.
Em seguida com o auxílio de um balança pesou-se todas as bolinhas de
papel, verificando a precisão experimental.
A partir dos dados obtidos de massa e dos valores de diâmetro, realizou-se
um gráfico para cada papel, de massa por diâmetro, discutindo os resultado e
incertezas de cada papel.
3.3 Formulário
4. Resultados e discussão
TABELA 1:Massa e diâmetros das bolas de papel sulfite
FOLHAS
SULFITE Massa (gramas) Diâmetro (cm)
A3 9,43 5,028
A4 4,58 4,1045
A5 2,3 3,088
A6 1,15 2,32
A7 0,58 1,508
A8 0,29 1,206
A9 0,14 0,804
TABELA 2: Massa e diâmetro das bolas de papel alumínio
PAPEL ALUMÍNIO Massa (gramas) Diâmetro (cm)
A3 3,62 3,71
A4 1,81 3,19
A5 0,9 2,12
A6 0,45 1,46
A7 0,23 1,22
A8 0,11 0,93
A9 0,05 0,67
TABELA 3: Incertezas das medições da folha sulfite
FOLHAS
SULFITE
Incerteza
estatística
Incerteza total (estatística +
paquímetro)
Incerteza total (estatística +
massa)
A3 ± 0,051 ± 0,053 ± 0,053
A4 ±0,13 ± 0,067 ± 0,068
A5 ± 0,047 ± 0,050 ± 0,051
A6 ± 0,050 ± 0,050 ± 0,052
A7 ± 0,027 ± 0,027 ± 0,029
A8 ± 0,032 ± 0,051 ± 0,052
A9 ± 0,086 ± 0,012 ± 0,016
TABELA 4: Incertezas das medições do papel alumínio
PAPEL
ALUMÍNIO
Incerteza
estatística
Incerteza total (estatística +
paquímetro)
Incerteza total (massa +
paquímetro)
A3 ± 0,11 ± 0,10 ± 0,011
A4 ± 0,044 ± 0,047 ± 0,014
A5 ± 0,041 ± 0,041 ± 0,041
A6 ± 0,091 ± 0,091 ± 0,091
A7 ± 0,043 ± 0,043 ± 0,034
A8 ± 0,077 ± 0,056 ± 0,053
A9 ± 0,033 ± 0,050 ± 0,051
Ao medir-se o diâmetro e a massa de cada bolinha, tanto de sulfite quanto de
alumínio, construiu-se um gráfico no papel dilog do diâmetro versus a massa, além
disso também calculou-se as incertezas associadas a cada medida e a total,
representando as mesmas no gráfico.
O diâmetro de cada bola representado no gráfico foi proveniente de uma
média de 10 medidas de cada uma das 14 bolas, no qual procurou-se tomar
cuidado para que a cada nova medida realizada a bola estaria posicionada no
paquímetro diferente do modo anterior . As médias das massas e diâmetro obtidas
tanto das bolas de papel sulfite quanto de papel alumínio podem ser vistas na
TABELA 1 e 2.
A primeira incerteza calculada foi a incerteza estatística pela fórmula 1, na
qual propagou-se às incertezas do resultado por parte do experimentador, uma vez
que este cometeu possíveis erros em suas medidas. Após calculou-se a
propagação da incerteza estatística e da incerteza instrumental através da fórmula
2, ou seja, a incerteza do instrumento utilizado para fazer as medições, que no caso
foi o paquímetro, este tendo uma incerteza de 0,0005 mm. Com isso encontrou-se
as incertezas relacionadas às medidas do diâmetro de cada bola. Entretanto ao
pesar-se as bolas de papel sulfite e alumínio também houve uma propagação de
incertezas, neste caso sendo só a instrumental relacionada a balança, sendo que
incerteza da mesma era de 0,001 g, com isso, utilizando-se novamente a fórmula 2,
calculou-se a propagação das incertezas total das medidas dos diâmetros eda
incerteza instrumental da medida das massas, tendo assim um resultado no qual é
expresso a incerteza total das medidas, tais incertezas podem ser observada na
tabela 3 e 4. As incertezas foram representadas cuidadosamente no gráfico,
zelando a mudança de escalas do mesmo por se tratar de um papel dilog.
Após construir-se os gráficos e expressar todas as incertezas, traçou-se uma
reta da máxima incerteza do maior ponto até a mínima incerteza do menor ponto,
uma reta da máxima incerteza do penúltimo ponto até o segundo ponto com a
mínima incerteza. Essas duas retas se cruzaram e com isso traçamos uma terceira
reta que atravessa-se exatamente no meio do encontro dessas duas retas, isso foi
preciso uma vez que como os dados experimentais não formaram uma reta perfeita
por erros e incertezas, tentou-se expressar a reta da melhor forma possível, ou seja,
que passassem por cima ou mais perto possível de todos os pontos, procurando
obter valores o mais próximo do esperado.
Com a reta feita, agora pode-se calcular a dimensão fractal, ou seja, a
dimensão das bolas de alumínio e sulfite. Como a fórmula 1 apresentada na
introdução tem forma da equação da reta, vemos que a dimensão fractal
corresponde a “b”, ou seja, nosso coeficiente angular, com isso calculou-se a
variação entre dois pontos no eixo y pela variação de dois pontos no eixo x, os
pontos a serem escolhidos não eram experimentais, isso foi determinado para que
pudesse ser observado se a reta desenhada realmente passava por cima de pontos
próximos do esperado. Após os cálculos, os resultados obtidos das dimensões
fractais foram:
Dimensão da folha sulfite: 2,13± 0,7
Dimensão da folha de alumínio: 2,5 ± 0,5
As incertezas associadas à dimensão foram calculadas com o mesmo
método: calculando o coeficiente angular, só que desta vez, das retas que se
cruzavam. com estes dados em mão calculou-se a incerteza como apresentado na
fórmula 3, no qual b máximo é o coeficiente angular da reta de maior inclinação e b
mínimo o coeficiente angular da reta de menor inclinação. Os valor do coeficiente
esperado para a reta de maior inclinação, era um valor maior, que o valor esperado
para o coeficiente da reta de menor inclinação, já que sua inclinação era maior. Os
cálculos realizados obtiveram valores coerentes com a teoria.
Os valores esperados para a dimensão fractal era entre 2 e 3, já que as bolas
por não serem esferas perfeitas estariam entre a 2° e 3° dimensão, sendo que não
estaria exatamente em um plano bidimensional uma vez que as bolas não são
planas e também não estariam no plano tridimensional já que não eram esferas
perfeitas. Os valores também deveria ser com vírgula, já que as bolas possuíam
espaços uma vez que não haviam sido amassadas totalmente. Os valores
encontrados como já apresentados satisfazem tais condições, outra observação
importante é que, como a dimensão esperada era três e a bolinha de manuseio
mais fácil era a de alumínio, na qual havia mais facilidade em amassar e formar uma
esfera melhor que as feitas de papel sulfite, esperava-se um valor da mesma maior
e mais perto do valor 3 que a da bola de papel sulfite.
Para se calcular a densidade usou-se a fórmula 4 na qual por questão de
simplificação, usou-se o valor de 1 para log D, uma vez que log de 1 é 0, fica mais
fácil de se observar no gráfico sem a necessidade de se calcular a densidade do
material em questão, sendo assim bastava olhar no eixo x onde era log de 1 e
procurar no eixo y qual ponto correspondia a log de 1 na reta. Com isso sabia-se
que o valor do eixo x era a densidade procurada. Sendo assim, encontrou-se o valor
da densidade tanto para o papel sulfite quanto para o papel alumínio:
Densidade papel sulfite: 0,23 ± 0,2 g/cm
Densidade papel alumínio 0,032 ± 0,5 g/cm
As incertezas relacionadas à densidade foram calculadas da seguinte forma
primeiro se calculou o coeficiente angular da reta de maior inclinação (a máximo) e
após o coeficiente da reta de menor inclinação (a mínimo), após aplicou-se tais
valores na fórmula 5, sendo assim, encontrou-se a incerteza do coeficiente angular,
ou seja, da densidade.
Como já visto inúmeras vezes, todas as medidas realizadas em laboratórios
apresentam erros. Neste experimento foi constatado um erro grotesco, uma vez que
ao observar os gráficos, vemos que as incertezas representadas no início do gráfico
são menores que algumas incertezas representadas nos pontos finais do gráfico,
isso não deveria ter acontecido já que as incertezas deveriam ter seguido um
padrão de diminuição de incertezas por conta do papel e diferenças de escalas,
também conforme a bola fosse maior a incerteza deveria crescer, já que
supostamente esta bola proveniente de uma folha maior seria mais difícil de se
amassar e assim teria mais espaços vazios e uma geometria mais longe da de uma
esfera, causando uma maior imprecisão nas medidas. O observado no gráfico foi
que alguns pontos referentes as bolas maiores obtiveram uma incerteza menor que
as bolas menores. Isso ocorreu possivelmente, por conta do experimentador
responsável por estas medidas não ter tomado pontos diferentes para a medição do
diâmetro da bola em questão, acarretando assim a valores extremamente próximos
que induzem a pensar que a bola era quase perfeita e assim obtendo uma incerteza
menor, porém não coerente.
5. Conclusão
Neste experimento a utilização do papel dilog se fez muito importante, pois,
além de calcular-se a dimensão fractal das bolinhas, que fico entre um plano
bidimensional e um tridimensional, utilizou-se o mesmo para o cálculo da densidade
tanto do papel sulfite como do papel alumínio, além de conseguir-se calcular o
coeficiente angular.
6. Bibliografia
[1] - < http://matematicajatai.com/rematFiles/2-2010/dimfractal.pdf > Acessado
em 10 de Abril de 2018.
[2] - < http://www2.if.usp.br/~eletivos/volume01/p07.pdf > Acessado em 10 de
Abril de 2018.
[3] - TAYLOR, JOHN R. Introdução à Análise de Erros: O estudo de incertezas
em medições físicas. 2 ed. Bookman, capítulo 4, página 94 e 95.