Métodos Quantitativos - Vetores e Espaços Vetoriais

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31/10/2023, 14:44 Estácio: Alunos
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Exercício
 avalie sua aprendizagem
Determine o valor de k real sabendo que os vetores ,    e   são
coplanares.
Determine o valor da constante k para que os vetores  e  sejam
ortogonais.
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Lupa  
 
ARA1517_201802090941_TEMAS
Aluno: ANDERSON CLEITON DA SILVA ANDRADE Matr.: 201802090941
Disc.: METOD.QUANTIT  2023.2 (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
VETORES E ESPAÇOS VETORIAIS
 
1.
1
7
-4
-8
3
Data Resp.: 18/10/2023 21:37:49
Explicação:
A resposta correta é: -8
 
2.
1
0
→u(2, −2, 0) →v(k, 0, 2) →w(2, 2, −1)
→u(3, 4, −5) →v(5k + 2, 1, 7 − k)
1
2
2
5
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javascript:diminui();
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javascript:aumenta();
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Uma aplicação comum para o uso de matrizes é na resolução de sistemas lineares. Os sistemas lineares são
utilizados para modelar uma variedade de problemas em diversas áreas, como engenharia, física, economia, entre
outras. Considere as matrizes e valor da expressäo
 é:
Um grupo de cientistas está estudando transformações geométricas no espaço tridimensional. Eles utilizam
matrizes para representar essas transformações. Durante suas pesquisas, eles descobriram um tipo especial de
matriz chamada de matriz ortogonal. Qual é a de�nição correta de uma matriz ortogonal?
Data Resp.: 18/10/2023 21:38:09
Explicação:
A resposta correta é: 
MATRIZES E DETERMINANTES
 
3.
.
.
.
.
.
Data Resp.: 18/10/2023 21:57:49
Explicação:
Calculando os determinantes das matrizes:
Resolvendo a expressäo:
 
4.
É uma matriz que possui apenas números positivos em suas entradas.
5
4
5
4
A = [ 5 2
2 −1
] ,B = [ 14 −2
3 −1
] C = [
√6 √33
√2 −1
] .0
y =
det(A)xdet(B)
det(C)
5(√6−√66)
6
3(√6−√66)
5
6(√6−√66)
5
6(√2−√5)
5
5(√33−√66)
5
A = [ 5 2
2 −1
] → det(A) = 5 ⋅ (−1) − 2 ⋅ 2 = −9
B = [ 14 −2
3 −1
] → det(B) = 14 ⋅ (−1) − 3 ⋅ (−2) = −8
C = [
√6 √33
√2 −1
] → det(C) = √6 ⋅ (−1) − √2 + √33 = −√6 − √66
= = ⋅ =
= =
det(A)x det(B)
det(C)
−9 ⋅ (−8)
(−√6 − √66)
−9 ⋅ (−8)
(−√6 − √66)
(√6 − √66)
(√6 − √66)
−9 ⋅ (−8) ⋅ (√6 − √66)
−6 + 66
det(A)x det(B)
det(C)
−9 ⋅ (−8) ⋅ (√6 − √66)
60
6(√6 − √66)
5
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Um grupo de arquitetos está projetando um complexo residencial em uma área urbana. Eles estão analisando as
posições relativas de diferentes blocos de apartamentos para garantir que não haja superposição ou espaços vazios
indesejados. Para isso, eles utilizam sistemas de equações lineares com três variáveis para representar os planos de
cada bloco. Sobre a analogia entre a solução de sistemas de três variáveis e a posição relativa de planos na
geometria analítica, assinale a alternativa correta:
A programação linear é uma técnica matemática usada para otimizar recursos limitados e tomar decisões e�cientes
em situações em que existem restrições. Os modelos de programação linear são amplamente aplicados em diversas
áreas, como logística, produção, �nanças e transporte. Com relação a esse tema, analise as seguintes asserções:
 
I. A de�nição correta das variáveis de decisão é o passo mais importante no desenvolvimento de modelos de
programação linear.
É uma matriz que possui determinante igual a zero.
É uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas.
É uma matriz cuja inversa é igual à sua transposta.
É uma matriz que possui elementos simétricos em relação à sua diagonal principal.
Data Resp.: 18/10/2023 21:42:19
Explicação:
Uma matriz ortogonal é aquela em que sua inversa é igual à sua transposta. Isso implica que, ao multiplicarmos a
matriz por sua inversa, obtemos a matriz identidade. Essa propriedade é fundamental para uma matriz ser
considerada ortogonal.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
 
5.
Um sistema possível e determinado corresponde à situação em que os planos dos blocos de apartamentos são
paralelos e não se interceptam, resultando em uma distribuição desejada dos espaços.
Um sistema possível e indeterminado corresponde à situação em que os planos dos blocos de apartamentos
não têm pontos de interseção, resultando em um projeto arquitetônico impossível de ser concretizado.
Um sistema impossível corresponde à situação em que os planos dos blocos de apartamentos se interceptam
em diferentes pontos, gerando sobreposições indesejadas e inviabilizando a construção do complexo
residencial.
Um sistema possível e determinado corresponde à situação em que os planos dos blocos de apartamentos se
interceptam em um único ponto, garantindo uma posição precisa para cada bloco.
Um sistema possível e indeterminado corresponde à situação em que os planos dos blocos de apartamentos
se interceptam em uma reta comum, permitindo diferentes combinações de posicionamento dos blocos.
Data Resp.: 18/10/2023 21:42:39
Explicação:
Ao considerar sistemas de equações lineares com três variáveis para representar os planos dos blocos de
apartamentos, uma solução possível e indeterminada ocorre quando esses planos se interceptam em uma reta
comum. Isso signi�ca que existem diferentes combinações de posicionamento dos blocos que são viáveis,
resultando em in�nitas soluções para o sistema. As demais alternativas apresentam interpretações incorretas
sobre os sistemas possíveis e determinados, sistemas impossíveis ou sistemas possíveis e indeterminados
relacionados à posição relativa dos planos na geometria analítica.
EM2120664APLICAÇÕES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR
 
6.
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PORQUE
 
II. Um equívoco na seleção das variáveis de decisão resulta em erros na identi�cação da função objetivo e do
conjunto de restrições.
 
Analisando as asserções realizadas acima, assinale a opção que representa a correta razão entre elas.
A distância entre pontos é um conceito fundamental na geometria e na matemática em geral, e tem
amplas aplicações em diversos campos, desde navegação e geogra�a até física e engenharia.
Determine o valor de k, positivo, para que a distância entre os pontos e 
seja de 6.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justi�cativa correta da I.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da I.
Data Resp.: 18/10/2023 21:43:13
Explicação:
I - Correta.
II - Correta. Sendo uma justi�cativa da I.
Analisando as a�rmações, podemos concluir que ambas são verdadeiras e estão em concordância com o trecho
original. A seleção correta das variáveis de decisão é, de fato, um passo crucial no desenvolvimento de modelos
de programação linear, e um equívoco nessa seleção pode levar a erros na identi�cação da função objetivo e do
conjunto de restrições.
RETAS E PLANOS
 
7.
3.
6.
2.
4.
5.
Data Resp.: 18/10/2023 21:44:09
Explicação:
A resposta correta é: 6
A distância pode ser calculada por:
A (2, −1, 2) B (k, 1, −2)
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
6 = √(k − 2)2 + (1 − (−1))2 + (−2 − 2)2
6 = √(k − 2)2 + 4 + 16
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Determine o ponto de interseção da reta  com o plano 2x-y+z-3=0.
 
Portanto, os possíveis valores de k são 6 e -2, como estamos procurando um valor positivo, a
resposta é 6.
 
8.
I(6,6,11).
I(-1,6,11).I(1,-6,-11).
I(-11,6,1).
I(-1,-6,-11).
Data Resp.: 18/10/2023 21:50:30
Explicação:
A opção correta é: I(-1,6,11).
Determinando as coordenadas:
O ponto de interseção é I(-1,6,11).
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
 
6 = √(k − 2)2 + 20
62 = (k − 2)2 + 20
36 = (k − 2)2 + 20
(k − 2)2 = 36 − 20
(k − 2)2 = 16
k − 2 = ±4
k
′ = 2 + 4 = 6
k
′′ = 2 − 4 = −2
r :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 1 + γ
y = 2 − 2γ
z = 5 − 3γ
2x − y + z − 3 = 0
2(1 + γ) − (2 − 2γ) + 5 − 3γ − 3 = 0
2 + 2γ − 2 + 2γ + 5 − 3γ − 3 = 0
γ = −2
x = 1 + γ = 1 + (−2) = −1
y = 2 − 2γ = 2 − 2(−2) = 6
z = 5 − 3γ = 5 − 3(−2) = 11
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Obtenha a imagem do vetor ( 3, 4) em relação a transformação linear de�nida por T:R2   R2 tal que T(x,y) = ( 2x - y,
x + y).
Determine os autovalores do sistema linear de equações 
9.
(1, 2)
(7, 2)
(2, 7)
(3, 8)
(3, 4)
Data Resp.: 18/10/2023 21:52:45
Explicação:
Ao realizar a trasnformação temos: (3.2-4, 3+4), logo:
(6-4, 7) = (2, 7)
 
10.
1/4 e 1
1 e 4
2 e 6
3 e 7
4 e 5
Data Resp.: 18/10/2023 21:56:54
Explicação:
A resposta correta é: 1/4 e 1.
Por Gauss temos:
→
{ 8x − 2y = 0
2y + 4x = 3
31/10/2023, 14:44 Estácio: Alunos
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    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício inciado em 18/10/2023 21:36:53.