Aula 04 Métodos quantitativos para tomada de decisão

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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO 
GRÁFICO
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Utilizar o método gráfico para resolver problemas de Programação Linear.
1 MÉTODO GRÁFICO: CONCEITO
O que é Método Gráfico?
O método gráfico consiste em um sistema de coordenadas ortogonais, onde se mostra um polígono convexo que
contém os pontos representativos das possibilidades.
Essas possibilidades são determinadas a partir do sistema de coordenadas ortogonais das inequações que
representam as restrições, de maneira que a sua solução venha a dar o conjunto convexo que é a solução do
sistema de inequações.
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Analisando a Representação Gráfica, podemos calcular a função que queremos otimizar, pela intersecção dessa
função com pontos extremos. Teremos, então, o Ponto-solução.
Para saber mais sobre o Método Gráfico
Esse método é bastante útil, simples e de fácil entendimento (leitura do gráfico), quando se tem duas variáveis
decisórias. Quando o número de variáveis decisórias for três, já é necessário um bom conhecimento em desenho,
pois fica relativamente difícil o seu uso.
Quando se tem mais de três variáveis decisórias, não se tem nenhuma forma gráfica de representação, uma vez
que a representação de 4 variáveis já ficaria graficamente muito abstrata.
2 MÉTODO GRÁFICO: APLICAÇÃO DE MAXIMIZAÇÃO
Para facilitar o entendimento do método gráfico, vamos utilizar um exemplo. Leia com atenção.
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das seguintes matérias-primas - cobre, zinco e
chumbo:
• a liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo;
• a liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo.
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00.
Deseja-se saber as quantidades de liga tipo A e B que deverão ser produzidas, para que a indústria tenha um
lucro máximo”.
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Acompanhe, nas próximas telas, a solução do problema pelo Método Gráfico.
SOLUÇÃO DO PROBLEMA
Inicialmente, recomenda-se a construção de um quadro resumo com as informações do problema, a partir do
qual será construído o modelo matemático primai. Observe.
Com base nesse quadro, é possível construir o modelo matemático primal:
Cobre -> 2 X + X 1 2 ≤ 16
Zinco -> X1 + 2X2 ≤ 11
Chumbo -> X1 + 3X2 ≤ 15
Z = 300 X + 500 XMáx. 1 2
Como o objetivo é maximizar o lucro, vamos considerar a variável como a quantidade de e aX1 liga tipo A 
variável a quantidade de . Os valores de e são os valores que vãoX 2 liga tipo B X 1 X 2 maximizar a função
, e serão obtidos através da .objetivo solução gráfica
Cada inequação será representada no gráfico (recomenda-se o uso de papel milimetrado) por uma reta.
Portanto, teremos três retas, cada uma representando um item (cobre, zinco e chumbo).
Para conhecer detalhes importantes sobre a construção do gráfico:
Ao traçarmos cada uma das retas, é importante identificar no gráfico o campo solução limitado pela reta.
O sinal da restrição ≤ indica que a reta limitou a solução para baixo, ou seja, voltada para a origem do gráfico;
porém, se a restrição for do tipo ≥, indica que a reta limitou a solução para cima, ou seja, afastada da origem da
reta.
Para plotarmos cada uma das inequações, é preciso identificar o par ordenado de cada reta, que é obtido
dividindo cada restrição pelo coeficiente das variáveis X e .
1
X2
Na primeira inequação, basta dividir 16 por 2 e 16 por 1. As inequações teriam os seguintes pares ordenados.
2 X + X 1 2 ≤ 16 (8; 16)
X1 + 2X2 ≤ 11 (11; 5,5)
- -5
X1 + 3X2 ≤ 15 (15; 5)
Primeiro, precisamos saber, dadas as restrições, quais as possíveis combinações dos tipos de liga que se podem
fabricar. Isto é, precisamos verificar qual ou quais as áreas que satisfazem as restrições, pois a empresa tem, em
seu estoque de matérias-primas disponíveis, somente 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15 kg de chumbo.
Área solução indicada pelo Método Gráfico
A área solução indicada pelo método gráfico, destacada em amarelo, é a área comum a todas as inequações.
Os do problema, correspondem aos pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas depontos solução X1
e .X2
No problema, temos quatro possíveis pontos solução: .A (O; 5), B (3; 4), C (7; 2) e D (8; 0)
Para sabermos qual dos quatro pontos ( ) irá maximizar a função objetivo, basta substituir os valoresA – B – C – D
de cada ponto na função objetivo. Veja.
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A (0; 5) -> Z = 300 (0) + 500 (5) = 2.500Máx. 
Esta solução indica que a indústria não produziria nenhuma unidade da liga tipo A, produziria 5 unidades da liga
tipo B, e teria um lucro de R$ 2.500,00.
B (3; 4) -> Z = 300 (3) + 500 (4) = 2.900Máx. 
Esta solução indica que a indústria produziria 3 unidades da liga tipo A e 4 unidades da liga tipo B, e teria um
lucro de R$ 2.900,00.
C (7; 2) -> Z = 300 (7) + 500 (2) = 3.100Máx. 
Esta solução indica que a indústria produziria 7 unidades da liga tipo A e 2 unidades da liga tipo B, e teria um
lucro de R$ 3.100,00.
D (8; 0) -> Z = 300 (8) + 500 (0) = 2.400Máx. 
Esta solução indica que a indústria produziria 8 unidades da liga tipo A e nenhuma unidade da liga tipo B, e teria
um lucro de R$ 2.400,00.
A solução do problema é o ponto , com X = 7 e X = 2 e o lucro máximo de RS 3.100.00.C
1 2
A solução proposta viola as restrições impostas ao modelo?
Precisamos nos certificar disso fazendo a verificação.
Para saber como realizar essa verificação.
Com a solução identificada, podemos substituir X = 7 e X = 2 para verificarmos se houve violação de alguma
1 2
das restrições impostas ao modelo:
2 X + X 1 2 ≤ 16
X1 + 2X2 ≤ 11
X1 + 3X2 ≤ 15
Substituindo, temos:
(2 x 7) + 2 = 16
7 + (2 x 2) = 11
7 + (3 x 2) = 13
Constata-se que não houve violação das restrições impostas ao modelo, com a produção e venda de 7 unidades
da liga tipo A, e a produção e venda de 2 unidades da liga tipo B.
3 MÉTODO GRÁFICO: APLICAÇÃO DE MINIMIZAÇÃO
SOLUÇÃO PROBLEMA
Para ilustrarmos esta situação, vejamos um outro exemplo.
- -7
"Uma companhia fabrica um produto a partir de dois ingredientes, e .A B
Cada de contém , , equilo A 7 unidades de produto P1 4 unidades de produto P2 2 unidades de produto P3 
custa $100.
Cada de contém , equilo B 3 unidades de produto P
1, 
4 unidades de produto P2 7 unidades de produto P3 
custa .$150
A mistura deve conter pelo menos , e 21 unidades de P1 20 unidades de P2 14 unidades de P3.
Formule este problema de para que o do produto seja o ”. Programação Linear custo menor possível
Veja o quadro resumo com as informações do problema.
Com base no quadro, é possível construir . Lembramos que o sentido daso modelo matemático primal
restrições será ≥, pois cada mistura deve conter pelo menos 21 unidades de P , 20 unidades de P e 14 unidades
1 2
de P .
3
Para ver como fica o do problema:modelo matemático primal 
Produto P -> 7 X + 3X 1 1 2 ≥ 21
Produto P 2 -> 4X1 + 5X2 ≥ 20
Produto P 3 -> 2X1 + 7X2 ≥ 14
Z = 100x + 150xMin. 1 2
O objetivo, neste caso, é minimizar o custo, e, portanto, vamos considerar a variável X como a quantidade do
1 
ingrediente A e a variável X , a quantidade do ingrediente B.
2
O procedimento a ser utilizado, neste exemplo, é o mesmo utilizado no anterior.
Vamos, inicialmente, encontrar o par ordenado das variáveis X e X de cada inequação dividindo as restrição de
1 2
cada inequação pelo coeficiente de cada variável X e X . Observe.
1 2
7x + 3x 1 2 ≥ 21 (3; 7)
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4x1 + 5x2 ≥ 20 (5; 4)
2x1 + 7x2 ≥ 14 (7; 2)
Primeiro, precisamos saber, dado as restrições, quais as possíveis combinações dos tipos de ingredientes A e B.
Isto é, precisamos verificar qual ou quais as áreas que satisfazem as restrições, pois cada mistura deve conter
pelo menos 21 unidades de P , 20 unidades de P e 14 unidades de P .
1 2 3
Para identificar os pontos de soluçãodo problema indicados pelo Método Gráfico:
Os pontos solução do problema correspondem aos pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas de X e
1
X .
2
- -9
No problema, temos quatro possíveis pontos solução .: A (0; 7), B (2; 2,4), C (3,8; 1,9) e D (7; 0)
Veja as soluções possíveis.
A (0; 7) -> Z = 100 (0) + 150 (7) = 1.050Min. 
Esta solução indica que a indústria não produziria nenhuma mistura tipo A, produziria 7 unidades da mistura
tipo B, e teria um custo de R$ 1.050,00.
B (2; 2,4) -> Z = 100 (2) + 150 (2,4) = 560Min. 
Esta solução indica que a indústria produziria 2 unidades da mistura tipo A e 2,4 unidades da mistura tipo B, e
teria um custo de R$ 560,00.
C (3,8; 1,9) -> Z = 100 (3,8) + 150 (1,9) = 665Min. 
Esta solução indica que a indústria produziria 3,8 unidades da mistura tipo A e 1,9 unidades da mistura tipo B, e
teria um custo de R$ 665,00.
D (7; 0) -> Z = 100 (7) + 150 (0) = 700Min. 
Esta solução indica que a indústria produziria 7 unidades da mistura tipo A e nenhuma unidade da mistura tipo
B, e teria um custo de R$ 700,00.
A solução do problema é o ponto , com e o custo de RS 560,00.B X = 2 e X = 2,41 2
A solução proposta viola as restrições impostas ao modelo?
Precisamos nos certificar disso fazendo a verificação.
Com a solução apresentada, podemos substituir X = 2 e X = 2,4 para verificarmos se houve violação de alguma
1 2
das restrições impostas ao modelo:
7 X + 3 X 1 2 ≤ 16
- -10
4 X1 + 5 X2 ≤ 11
2 X1 + 7 X2 ≤ 15
Substituindo, temos:
(7 x 2) + (3 x 2,4) = 21,20
(4 x 2) + (5 x 2,4) = 20
(2 x 2) + (7 x 2,4) = 20,80
Constata-se que não houve violação das restrições impostas ao modelo.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu que o método gráfico consiste em um sistema de coordenadas ortogonais, onde se mostra um 
polígono convexo que contém os pontos representativos das possibilidades;
• Compreendeu que as possibilidades são determinadas a partir do sistema de coordenadas ortogonais 
das inequações que representam as restrições, de maneira que a sua solução venha a dar o conjunto 
convexo que é a solução do sistema de inequações;
• Aprendeu a analisar a Representação Gráfica para identificar o ponto-solução;
• Descobriu que o Método Gráfico é útil, simples e de fácil entendimento quando se tem apenas duas 
variáveis decisórias;
• Aprendeu que é recomendável iniciar o Método Gráfico construindo um quadro resumo com as 
informações do problema, a partir do qual será construído o modelo matemático primal;
• Compreendeu que cada inequação será representada no gráfico por uma reta;
• Aprendeu que para plotarmos cada inequação, é preciso identificar o par ordenado de cada reta obtido, 
dividindo cada restrição pelo coeficiente das variáveis;
• Reconheceu a necessidade de verificar se as restrições impostas ao modelo foram violadas.
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