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- -1 MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO TEORIA DA DUALIDADE - -2 Olá! Ao final desta aula, você será capaz de: - Entender que todo problema de Programação Linear, chamado primal, tem associado a ele outro problema de Programação Linear, chamado dual. 1 O PROBLEMA DUAL Uma das mais importantes descobertas no início do desenvolvimento da foi o conceito de Programação Linear e suas muitas ramificações importantes.dualidade Esta descoberta revelou que todo o problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de Programação Linear chamado dual. Problema de Programação Linear Problema de Programação Linear Dual As relações entre o problema dual e o problema original (chamado de primal) provam ser úteis de diversas maneiras. 2 COMPARAÇÃO DA FORMA DOS PROBLEMAS PRIMAL E DUAL A cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, formado por esses mesmos coeficientes, porém dispostos de maneira diferente, utilizando-se o conceito de matriz transposta. Saiba mais Problema dual - O problema dual é um modelo associado ao original, que traz a interpretabilidade econômica para os valores de recursos e para os coeficientes da função objetivo. Esta interpretabilidade serve para amenizar as dúvidas impostas pela hipótese de certeza do problema de Programação Linear. - -3 SAIBA MAIS Vamos entender melhor o conceito de Programação Dual? Exemplo Seja o assim definido:problema primal a x + a X +...........+ a x 11 11 12 2 1n n ≤ b 1 (y ) 1 a x + a X +...........+ a x 21 11 22 2 2n n ≤ b 2 (y ) 1 .................................................................. Z = C x + C x +.........+ C x Max 1 1 2 2 n n Associando-se a cada i do primal uma conforme indicado acima, o é assimrestrição variável y ,1 problema dual definido a y + a y +...........+ a y 11 11 21 2 m1 m ≥ c 1 a y + a X +...........+ a y 12 11 22 2 m2 m ≥ c 2 ................................................................ a y + a y +...........+ a x n1 1 n2 2 mn m ≥ c n Z = b y + b y +.........+ b y Min 1 1 2 2 n m Para ilustrar a teoria que você acabou de estudar, veja agora um exemplo numérico. Modelo matemático primal 2 X + X 1 2 ≤ 16 X1 + 2X2 ≤ 11 X1 + 3X2 ≤ 15 Z = 300 X + 500 XMáx. 1 2 Modelo matemático dual associado ao primal 2Y + Y + Y 1 2 3 ≥ 300 Y + 2Y + 3Y 1 2 3 ≥ 500 Z = 16Y + 11Y + 15YMin 1 2 3 Observe atentamente os dois modelos e procure identificar as características de cada um. SAIBA MAIS Depois, leia um comentário sobre essa comparação. Comentário Comparando os modelos e , verificamos que:primal dual As do dual são do tipo ≥ ao passo que as do são do tipo restrições , primal ≤; - -4 O número de do (m valores de y ) é ao número de do ;incógnitas dual i igual restrições primal O número de do é ao número de do (n valores de x );restrições dual igual incógnitas primal j A do é a da matriz dos coeficientes do ;matriz dos coeficientes dual transposta primal A do é de , ao passo que a do é de ;função objetivo dual minimização primal maximização As são ostermos constantes das restrições do dual coeficientes da função objetivo do primal; Os são oscoeficientes da função objetivo do dual termos constantes das restrições do primal. 3 EXEMPLO DA SOLUÇÃO GRÁFICA DO PRIMAL E DUAL Para facilitar o entendimento, vamos utilizar um exemplo de modelo matemático primal com duas variáveis com apenas .(X1 e X2), duas inequações Primal X + 2X 1 2 ≤ 3 (3; 1,5) X1 + X2 ≤ 2 (2; 2) Z = 5 X + 7 XMáx. 1 2 Dual Y + Y 1 2 ≥ 5 (5; 5) 2Y + Y 1 2 ≥ 7 (3,5; 7) Z = 3Y + 2YMin 1 2 Conheça os dados do problema que aparecem na solução gráfica. Dados do problema • Substituindo os pontos solução na função objetivo do primal: A (0; 1,5) -> Z = 5 (0) + 7 (1,5) = 10,5 Máx • - -5 B (1: 1) -> Z = 5 (1) + 7 (1) = 12 Máx C (2: 0) -> Z = 5 (2) + 7 (0) = 10 Máx O ponto solução é X = 1 e X = 1, que maximiza o lucro em 12.1 2 • Substituindo os pontos solução na função objetivo do dual: A (0; 7) -> Z = 3 (0) + 2 (7) = 14 Min B (2: 3) -> Z = 3 (2) + 2 (3) = 12 Min C (5: 0) -> Z = 3 (5) + 2 (0) = 15 Min O ponto solução é Y = 2 e Y = 3, que minimiza o lucro em 12.1 2 4 MÉTODO DUAL-SIMPLEX Você conhece as características do ?Método Dual-Simplex O método Dual-Simplex lida com o quê? O lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém “melhores que a ótima”, emétodo Dual-Simplex procura achar a compatibilidade do problema. Ele lida com o problema exatamente como se o método simplex estivesse sendo simultaneamente aplicado ao seu problema dual. O método Dual-Simplex é empregado em quê? O é bastante empregado em análise de sensibilidade, quando são feitas pequenasmétodo Dual-Simplex modificações no modelo. Além disso, algumas vezes é mais fácil começar com uma solução básica incompatível, porém “melhor que a ótima”, e procurar a compatibilidade, do que obter uma solução compatível básica inicial e depois otimizá-la, como se faz no método simplex. Para facilitar o entendimento do método, vamos utilizar um exemplo. X + 2X 1 2 ≤ 3 X1 + X2 ≤ 2 Z = 5 X + 7 XMáx o lucro. 1 2 Colocando as variáveis de folga nas inequações do modelo matemático primal e multiplicando a função objetivo por (-1) temos: X + 2X + X =1 2 3 3 X1 + X2 + X = 24 -Z = -5X – 7XMáx o lucro 1 2 • - -6 Veja como ficou a construção do primeiro quadro do simplex. 1º Quadro do Simplex Aplicando as regras do simplex, chegamos aos quadros do simplex. 2º Quadro do Simplex 3º Quadro do Simplex O próximo passo é colocar as variáveis de folga nas inequações do modelo matemático dual e multiplicar a função objetivo por (-1). Veja o resultado dessa operação. Y + Y - Y =1 2 3 5 2Y1 + Y2 - Y = 74 - -7 -Z = -3Y – 2XMin o custo 1 2 Agora é possível identificar a solução do dual. Veja como fazê-lo. Solução dual Para identificarmos a solução do dual, basta colocar no último quadro do simplex primal, onde temos as variáveis originais do modelo primal, as variáveis de folga do dual e onde ficam as variáveis de folga do primal, as variáveis originais do dual. Observe. Veja como é feita a identificação da solução no quadro do simplex. Primal: é a relação das variáveis da linha da base com os valores da coluna b, sendo portanto X = 1, X = 1, X = 1 2 3 0 e X = 0, e o valor máximo de lucro igual a 12. 4 Dual: é a relação das variáveis que estão na primeira linha com os valores que estão na linha –Z, sendo portanto Y = 2, Y = 3, Y = 0 e Y = 0, e o valor mínimo de custo igual a 12. 1 2 3 4 Em resumo, quando trocamos a visão de maximização do lucro (diferença entre receita e custo) na fase primal, pela minimização de custos na fase dual, estamos considerando o benefício da produção. CONCLUSÃO Nesta aula, você: • Aprendeu que todo o problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de Programação Linear chamado dual; • Compreendeu que o problema dual é um modelo associado ao original, que traz a interpretabilidade econômica para os valores de recursos e para os coeficientes da função objetivo; • Descobriu que a interpretabilidade serve para amenizar as dúvidas impostas pela hipótese de certeza do problema de Programação Linear; • Aprendeu que a cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, • • • • - -8 • Aprendeu que a cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, formado por esses mesmos coeficientes, porém dispostos de maneira diferente, utilizando-se o conceito de matriz transposta; • Aprendeu que o método Dual-Simplex lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém, “melhores que a ótima”, e procura achar a compatibilidade do problema, sendo bastante empregado em análise de sensibilidade, quando são feitas pequenas modificações no modelo; • Aprendeu os procedimentos para aplicação do método Dual-simplex. •• •
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