Questão resolvida - Prove, usando a definição de limite, que lim(2x-3)-1 - Cálculo I

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Prove, usando a definição de limite, que .2x - 3 = - 1lim
x 1→
( )
 
Resolução:
 
Para provar que o limite de a medida que tende a é igual a , vamos usar a 2x - 3 x 1 -1
definição formal de limite. A definição de limite nos diz que:
 
f(x) = Llim
 
x a→
 
Isso significa que, para qualquer número positivo , existe um número positivo tal que:𝜀 𝛿
 
0 < |x - a| < 𝛿, então, |f(x) - L| < 𝜀
 
Aqui, estamos tentando mostrar que:
 
(2x - 3) = - 1lim
 
x 1→
 
Então, usando a definição formal de limite, fica:
 
|2x - 3 - (-1)| < 𝜀
Simplificando a expressão acima:
 
|2x - 2| < 𝜀
 
Agora, nosso objetivo é encontrar um tal que, sempre que , a desigualdade 𝛿 0 < |x - 1| < 𝛿
acima seja satisfeita.
Prosseguindo com a prova. Primeiro, podemos fatorar o lado esquerdo da desigualdade:
 
|2(x - 1)| < 𝜀
 
 
 
Assim, podemos dividir ambos os lados da desigualdade por 2:
 
|x - 1| <
𝜀
2
Dessa forma, escolhemos para ser igual a . Isso significa que, se , então;𝛿
𝜀
2
0 < |x - 1| < 𝛿
 
|x - 1| <
𝜀
2
E, portanto:
 
|2(x - 1)| < 𝜀
O que mostra que:
 
(2x - 3) = - 1lim
 
x 1→