FISICA PARA UNIVERSITARIOS

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Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
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MECÂNICA
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B344f Bauer, Wolfgang.
 Física para universitários [recurso eletrônico] : mecânica /
 Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Iuri
 Duquia Abreu, Manuel Almeida Andrade Neto ; revisão técnica:
 Helio Dias. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2012.
 Editado também como livro impresso em 2012.
 ISBN 978-85-8055-095-5
 1. Física. 2. Mecânica. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio.
 III. Título. 
CDU 531
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
220 Física Moderna para Engenheiros e Cientistas: Mecânica
7.6 Colisão perfeitamente inelástica
Em todas as colisões que não são completamente elásticas, a conservação de energia cinética 
não é mais válida. Essas colisões são chamadas de inelásticas, porque parte da energia cinética 
inicial é convertida em energia interna de excitação, deformação, vibração ou (com o tempo) 
calor. À primeira vista, essa conversão de energia pode tornar a tarefa de calcular o momento 
final ou vetores velocidade dos objetos em colisão aparentemente mais complicada. Porém, 
isso não é verdade; em especial, a álgebra torna-se muito mais fácil para o caso limitante das 
colisões perfeitamente inelásticas.
Uma colisão perfeitamente inelástica é aquela em que os objetos em colisão se aderem 
após colidirem. Esse resultado implica que os dois objetos têm o mesmo vetor velocidade 
após a colisão: (Assim, a velocidade relativa entre os dois objetos em colisão é 
zero após a colisão.) Usando e a conservação do momento, obtemos o vetor veloci-
dade final:
(7.21)
Essa fórmula útil permite solucionar praticamente todos os problemas que envolvam colisões 
perfeitamente inelásticas. A Demonstração 7.3 mostra como ela foi obtida.
DEMONSTRAÇÃO 7.3 
Começamos com a lei da conservação para o momento total (equação 7.8):
Agora usamos e obtemos
A condição de que a colisão seja perfeitamente inelástica implica que as velocidades finais dos 
dois objetos sejam as mesmas. Portanto, temos a equação 7.21:
Observe que a condição de uma colisão perfeitamente inelástica implica apenas que as 
velocidades finais sejam as mesmas para os dois objetos. Em geral, os vetores momento final 
dos objetos podem ter módulos bem diferentes.
Sabemos, pela terceira lei de Newton (veja o Capítulo 4), que as forças que dois objetos 
exercem entre si durante uma colisão têm o mesmo módulo. Porém, as mudanças de velocida-
de, ou seja, as acelerações que os dois objetos sofrem em uma colisão perfeitamente inelástica, 
podem ser drasticamente distintas. O exemplo a seguir ilustra esse fenômeno.
Em uma colisão perfeitamente 
inelástica entre um objeto em 
movimento e um objeto estacio-
nário, os dois objetos
a) se aderem.
b) ricocheteiam entre si, per-
dendo energia.
c) ricocheteiam entre si, sem
perder energia.
7.9 Exercícios
de sala de aula
Capítulo 7 Momento e Colisões 221
Pêndulo balístico
Pêndulo balístico é um dis p ositivo que pode ser usado para medir a velocidade de projéteis 
disparados de armas de fogo. Ele consiste em um bloco de material sobre o qual o projétil é dis-
parado. Esse bloco fica suspenso de forma a criar um pêndulo (Figura 7.13). A partir do ângulo 
defletido do pêndulo e das massas conhecidas do projétil, m, e do bloco, M, podemos calcular 
a velocidade do projétil logo antes de atingir o bloco.
Para obter uma expressão para a velocidade do projétil em termos do ângulo de deflexão, 
temos que calcular a velocidade da combinação do projétil com o bloco logo após o projétil 
entrar no bloco. Trata-se de uma colisão perfeitamente inelástica típica e, portanto, podemos 
aplicar a equação 7.21.
EXEMPLO 7.3 Colisão frontal
Considere uma colisão frontal de uma caminhonete de massa M = 3023 kg e um carro compacto 
de massa m = 1184 kg. Cada veículo tem velocidade inicial de v = 22,35 m/s (50 mph), e eles estão 
se movendo em sentidos opostos (Figura 7.12). Então, como mostra a figura, podemos dizer que 
vx é a velocidade inicial do carro compacto e que –vx é a velocidade inicial da caminhonete. Os 
dois carros colidem e ficam juntos, um caso de colisão perfeitamente inelá stica.
x
vx
�vx
Mm
Figura 7.12 Colisão frontal de dois veículos com massas diferentes e velocidades idênticas.
PROBLEMA
Quais são as mudanças nas velocidades dos dois carros na colisão? (Despreze o atrito entre os 
pneus e a estrada.)
SOLUÇÃO
Primeiro calculamos a velocidade final que a massa combinada tem imediatamente após a colisão. 
Para realizar esse cálculo, simplesmente usamos a equação 7.21 e obtemos
Logo, a mudança de velocidade para a caminhonete é de
Porém, a mudança de velocidade para o carro compacto é
Obtemos as acelerações médias correspondentes dividindo as mudanças de velocidade pelo inter-
valo de tempo, �t, durante o qual a colisão ocorre. Esse intervalo de tempo é obviamente o mesmo 
para os dois carros, o que significa que o módulo da aceleração sofrida pelo corpo do motorista do 
carro compacto é maior do que a sofrida pelo corpo do motorista da caminhonete por um fator 
de 32,12/12,58 = 2,55.
Somente com base nesse resultado fica claro que é mais seguro estar na caminhonete nessa 
colisão frontal do que no carro compacto. Lembre-se de que esse resultado é verdadeiro, embora a 
terceira lei de Newton afirme que as forças exercidas pelos dois veículos entre si sejam as mesmas 
(compare com o Exemplo 4.6).
(a)
(b)
� �
h
Figura 7.13 Pêndulo balístico usado 
em um laboratório de introdução à 
física.
Podemos começar com a terceira 
lei de Newton e usar o fato de 
que as forças que os dois carros 
exercem entre si são iguais. Uti-
lize os valores das massas dadas 
no Exemplo 7.3. Qual é a razão 
obtida entre as acelerações dos 
dois carros?
7.6 Pausa para teste
222 Física Moderna para Engenheiros e Cientistas: Mecânica
Como o pêndulo está em repouso antes do projétil atingi-lo, a velocidade da combinação entre 
o bloco e o projétil é
em que vb é a velocidade do projétil antes de atingir o bloco e v é a velocidade das massas com-
binadas logo após o impacto. A energia cinética do projétil é logo antes de atingir o 
bloco, enquanto logo após a colisão a combinação entre o bloco e o projétil tem a energia cinética
(7.22)
É evidente que a energia cinética não é conservada no processo segundo o qual o projétil 
penetra no bloco. (Com um pêndulo balístico real, a energia cinética é transferida em defor-
mação do projétil e do bloco. Nesta versão de demonstração, a energia cinética é transferida em 
trabalho de atrito entre o projétil e o bloco.) A equação 7.22 mostra que a energia cinética total 
(e, com ela, a energia mecânica total) é reduzida por um fator de m/(m + M). Porém, após a 
colisão, a combinação entre o bloco e o projétil retém sua energia total restante no movimento 
subsequente do pêndulo, convertendo toda a energia cinética inicial da equação 7.22 em ener-
gia potencial no ponto mais alto:
(7.23)
Como se pode ver na Figura 7.13b, a altura h e o ângulo � estão relacionados através de 
 onde é o comprimento do pêndulo. (Encontramos a mesma relação no Pro-
blema resolvido 6.4.) A substituição desse resultado na equação 7.23 gera
(7.24)
Fica claro, na equação 7.24, que praticamente qualquer velocidade de projétil pode ser 
medida com um pêndulo balístico, contanto que a massa do bloco, M, seja escolhida de modo 
adequado. Por exemplo, se você disparar com uma arma Magnum calibre.357 (m = 0 , 125 kg) 
em um bloco (M = 40,0 kg) suspenso por uma corda de 1,00 m de comprimento, a deflexão é 
25,4°, e a equação 7.24 permite deduzir que a velocidade desse projétil disparado da arma que 
você usou é de 442 m/s (que é um valor típico para esse tipo de munição).
Perda de energia cinética em colisões perfeitamente inelásticas
Como acabamos de ver, a energia cinética total não é conservada em colisões perfeitamente ine-
lásticas. Quanta energia cinética se perde no caso geral? Podemos encontrar essa perdaatravés 
da diferença entre a energia cinética inicial total, Ki, e a energia cinética inicial final, Kf:
A energia cinética inicial total é a soma das energias cinéticas individuais dos dois objetos antes 
da colisão:
A energia cinética final total para o caso em que os dois objetos se aderem e se movem como se 
fossem um só, com a massa total de e velocidade usando a equação 7.21 é
Se você usar um projétil que 
tenha metade da massa de um 
cartucho de Magnum calibre.357 
e mesma velocidade, qual é seu 
ângulo de deflexão?
7.7 Pausa para teste
Um pêndulo balístico é usado 
para medir a velocidade de um 
projétil disparado de uma arma. 
A massa do projétil é de 50,0 
g, e a massa do bloco é de 20,0 
kg. Quando o projétil atinge o 
bloco, a massa combinada sobe 
uma distância vertical de 5,00 
cm. Qual era a velocidade do
projétil quando atingiu o bloco?
a) 397 m/s d) 479 m/s
b) 426 m/s e) 503 m/s
c) 457 m/s
7.10 Exercícios
de sala de aula
Capítulo 7 Momento e Colisões 223
Agora podemos calcular a diferença entre as energias cinéticas final e inicial e obter a perda de 
energia cinética:
(7.25)
A derivação desse resultado envolve um pouco de álgebra e é omitida aqui. O que importa, 
contudo, é que a diferença das velocidades iniciais – ou seja, a velocidade relativa inicial – entra 
na equação para perda de energia. Vamos explorar o significado desse fato na seção seguinte e 
novamente no Capítulo 8, quando estudarmos o movimento do centro de massa.
Suponha que a massa 1 esteja 
inicialmente em repouso e a 
massa 2 se mova inicialmente 
com velocidade vi,2. Em uma 
colisão perfeitamente inelásti-
ca entre dois objetos, a perda 
de energia cinética em termos 
da energia cinética inicial é 
maior para
a) m1 m2 c) m1 = m2
b) m1 m2
7.11 Exercícios
de sala de aula
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
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