Questão resolvida - (UERJ-RJ_2009) escape de uma partícula corresponde à velocidade c da luz no vácuo Determine a densidade mínima de um buraco negro, em função de R, de c e da constante G - Física

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(UERJ-RJ/2009) LEIA AS INFORMAÇÕES A SEGUIR PARA A SOLUÇÃO DESTA 
QUESTÃO.
Buracos negros são corpos celestes, em geral, extremamente densos. Em qualquer instante, 
o raio de um buraco negro é menor que o raio R de um outro corpo celeste de mesma 
massa, para o qual a velocidade de escape de uma partícula corresponde à velocidade c da 
luz no vácuo. 
Determine a densidade mínima de um buraco negro, em função de R, de c e da constante G.
 
Resolução:
 
A densidade mínima de um buraco negro pode ser determinada usando a relação entre sua 
massa, seu raio e a constante gravitacional . Vamos usar a fórmula que descreve o raio de G
Schwarzschild (o raio de um buraco negro) em termos de sua massa ( ) e da constante :M G
 
R =
2GM
c
2
Onde:
 
• é o raio do buraco negro.R
• é a constante gravitacional.G
• é a massa do buraco negro.M
• é a velocidade da luz no vácuo.c
 
Agora, desejamos encontrar a densidade mínima de um buraco negro. A densidade (ρ é )
definida como a massa ( ) dividida pelo volume ( ) ocupado pelo buraco negro:M V
 
 
(1)
 
ρ =
M
V
 
O volume de um buraco negro é aproximadamente igual ao volume de uma esfera com raio 
, dado por:R
 
V = πR
4
3
3
Vamos isolar na equação 1;M
 
R = = R
2GM
c
2
→
2GM
c
2
 
M =
Rc
2G
2
 
Sabstituindo as equações 3 e 4 em 2, temos que:
 
ρ =
πR
Rc
2G
2
4
3
3
Organizando os termos que a densidade mínima de um buraco negro;
 
ρ =
3c
8GπR
2
2
 
 
ρ = = ⋅ =
πR
Rc
2G
2
4
3
3
Rc
2G
2 1
πR
4
3
3
3c
4 ⋅ 2GπR
2
2
2
(2)
(3)
(4)
(Resposta)