_produto escalar

Prévia do material em texto

produto escalar
valor - 1,0
29) Sendo u = ( 2,3,1) e v = ( 1,4, 5) , calcular:
a) u•v b) (u–v) c) (u + v)2 d) (3u– 2v)2 e) (2u 3v)•(u+2v)
a)19
u (2,3,1). v (1,4,5)= 19
(2.1)+(3.4)+(1.5) =
2+12+5= 19
b)18 ??
u(2,3,1) - v(1,4,5) (= -4?)
2-1 = 1
3-4 = -1
1-5 = -4
c) 94
u(2,3,1)+ v(1,4,5)²
2+1 = 3²↨3+4=7²•1+5=6²♠
3²= 9 + 7²= 49 + 6²= 36
9 + 49 + 36 = 94
d) 66
3u (2,3,1) - 2v (1,4,5)²
u- 3.2 = 6 3.3 = 9 3.1 = 3
v- 2.1 = 2 2.4 = 8 2.5 = 10
6-2 9-8 3-10
4 + 1 + ( -7) ²
16 + 1 + 49 = 66
e) –205
u (2,3,1) v(1,4,5)
(2u - 3v) . (u + 2v)
2u - ( 2.2 = 4 2.3 = 6 1.2 = 2)
3v - (1.3 = 3 4.3 = 12 5.3 = 15)
(2u - 3v = 1, -6, -13)
(u + 2v = 4 + 11 + 11)
1.4 = 4 -6.11 = -66 -13.11 = -143
4-66-143 = -205
2u - 3v . u + 2v = (-205)
30) Sendo a=(2,–1,1), b=(1,–2,–2) e c=(1,1,–1). Calcular um vetor v=(x,y,z), tal que v •
a= 4, v• b= –9 e v• c= 5.
2x - y + z = 4
x - 2y - 2z = -9
x + y - z = 5
3x = 9
x = 3
-y + z = -2
y + z = 6
2z = 4
z = 2
y + 2 = 6
y = 4
v = (3,4,2)
31) Sejam os vetores a=(1,–m,–3),b=(m+3,4–m,1)e c=(m,–2,7).Determinar m para que
a•b=(a+b)•c.
A·B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz
a·b = 1·(m + 3) + (-m)·(4 - m) + (-3)·1
a·b = m + 3 - 4m + m² - 3
a·b = m² - 3m
(a + b)·c = ((1, -m, -3) + (m + 3, 4 - m, 1))·(m, -2, 7)
(a + b)·c = (4 + m, 4 - 2m, -2)·(m, -2, 7)
(a + b)·c = (4 + m)·m + (4 - 2m)·(-2) + (-2)·7
(a + b)·c = 4m + m² - 8 + 4m - 14
(a + b)·c = m² + 8m - 22
m² - 3m = m² + 8m - 22
-3m = 8m - 22
-11m = -22
m = 22/11
m = 2
32) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2),
B(3,1,3) e C(a+1,–2,3).
a = a1i + a2j + a3k
b = b1i + b2j + b3k
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
v = ai + bj + ck >> | | v | | = √a² + b²n + c²
a.b = | | a | | | | b | | cos (a.b)
AB = OB =OA
AB = (3i + j + 3k) - (i +2k)
AB = 2i + j + k
AC = OC - OA
AC = (a+1) i + -2j + 3k - (i +2k)
AC = ai - 2j + k
AB . AC = | | AB | | AC | | cos (AB, AC)
2a + 1(-2) + 1(1) = √2² +1² + 1² √a² + (-2)² + 1² cos (60)
2a -2 + 1 = √6 √a² + 5 ½
* 4a - 2 = √6a² + 30
16a² - 16a + 4 = 6a² + 30
10a² - 16a - 26 = 0
5a² - 8a - 13 = 0
△ 64 + 260
△ 324 > √△ = 18
a = 8 +| 18 | 10
a ‘ = 13 | 5 a ‘’ = -1
33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:
a) Se eles formam alguma figura. Em caso afirmativo, qual?
Paralelogramo.
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores BD e AC.
v = ac = (-1,2,4)
w = bc = (1,0,0)
cos (a) = | v. w | | ||v||.||w||
|v.w| = 1=1+0+0=1
||v|| = √(-1²) + 2² + 4² = √21
||w|| = √(1)² + 0² + 0² = 1
cos a - |v.w| | ||v||.||w|| =
1 | √21.1 = √21 |21
34) Os vetores U e V formam um ângulo de 60°. Sabe-se que u=8 e v=5, calcule:
a) | | u+v | | b) | | u–v | | c) | | 2u+3v | | d) | | 4u– 5v | |
a) √129
|| u+v ||= √ || u ||² + || v ||² + 2* || u || * || v || *cos 60
√(8² + 5² )+ ((2* 8*5) *cos 60)
√(64+25)+(80* 1|2)
√(89)+(40) = √129
b) 7
u - v = (||u|| - ||v||) . cos 60) i 0 ||v|| . sen 60 j
u - v = ( 8 - 5.1 | 2) i - 5 . √3 | 2 j
||(u - v )|| =√ (11 | 2)² + (5√3 | 2)²
|| (u - v) || = √ 121 | 4 + 75 | 4 = √ 196 | 4 = 7
c) √721
|| (2u + 3v) || = √||2u||² + ||3v²|| + 2 . ||2.u|| . ||3.v|| . cos 60
|| 2u + 3v || = √256 + 225 + 2.16.15. 1 | 2 = √721
d) √849
||(4u - 5v)|| = √(||4u|| - ||5v|| . cos 60)² + (||5v|| . sen 60)²
|| 4u - 5v || = √(32 - 125)² + (25. √3 | 2) ²
|| 4u - 5v || = √380,25 + 468,75 = √ 849
35) Os vetores a e b formam um ângulo de 150°, sabe-se que | | a | | = √3 e que | | v || =
√2, calcule:
a) | | a+b | | b) | | a–b | | c) | | 3a+2b | | d) | | 5a– 4b | |
a) √5-3-√2
|| a + b || = √||a||² + ||b||² + 2 . ||a|| . ||b|| . cos 150
|| a + b || = √3 + 2 + 2 . √3 . √2 . cos 150 = √5-3 . √2
b) √5+3√2
|| a - b || = √(||a|| - ||b|| . cos 150)² + (||b|| . sen 150)²
|| a - b || = √(√3 - √2 . cos 150)² + (√2 . sen 150)²
|| a - b || = √8, 74 + 0,5 = 3,04
c) √35-18√2
|| 3a + 2b || = √||3a||² + ||2b||² + 2 . ||3a|| . ||2b ||. cos 150
||3a + 2b || = √9.3 + 4.2 + 2. 3 . √3 .2 . √2. cos 150
||3a + 2b || = √27+ 8 - 25, 46 = 3,09
d) √107+60√2
||5a - 4b || = √(||5a|| - ||4b||) . cos 150² + (||4b|| . sen 150) ²
||5a - 4b|| = √183,85+8 = 13,85
36) Determinar o valor de x para que os vetores v= xi–2j+3k e v=2i–j+2k, sejam
ortogonais.
v = (x, -2, 3)
u = (2, -1, 2)
2x+2+6 = 0
x = -8 | 2 = -4
37) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a=(2,6,–1) e b=(0,–2,1).
a x u = 0 = (2, 6, -1)*(x, y, z) = 2x + 6y - z = 0
b x u = 0 = (0, -2, 1)*(x, y, z) = -2y + z = 0
√(x² + y² + z²) = 1 = x² + y² + z² = 1
2x + 6y - z = 0 = z = 2x + 6y
0x - 2y + z = 0 = z = 2y
x² + y² + z² = 1
2x + 6y = 2y = 2x = -4y = x = -2y
(-2y)² + y² + (2y)² = 1
4y² + y² + 4y² = 1
9y² = 1 = y² = 1/9 = y = 1/3 ou y = -1 | 3
x = -2y = -2 | 3 ou x = 2 | 3
z = 2y = 2 | 3 ou z = -2 | 3
u = ( - 2 | 3, 1 | 3, 2 | 3)
38) Dados a=(2,1,–3) e b=(1,–2,1), determinar o vetor v_|_a, v_|_ b e || v || =5.
i j k
2 1 -3
1 -2 1
i-3j-4k-k-6i-2j = -5i-5j-5k
w = (-5,-5,-5)
| | w | | = √(-5)² + (-5)² = √75-5√3
u = (-5, -5, -5) | 5√3 = ( - 1 |√3 , - 1 |√3 , - 1 | √3 )
v = 5u
v = 5 ( - 1 | √3 , - 1 |√3 , - 1 | √3 )
v = ( - 5 | √3 , - 5 |√3 , -5|√3 )
39) Dados dois vetores a =(3,–1,5) e b=(1,2,–3), achar um vetor x, sabendo-se que ele
é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: x•a=9, e x•b=–4.
x = (a,b,c)
x · oz = 0
(a,b,c) · (0,0,1) = 0
c = 0
x · a = 9
(a,b,0) · (3,-1,5) = 9
3a - b = 9
x · b = -4
(a,b,0) · (1,2,-3) = -4
a + 2b = -4
3a - b = 9
a + 2b = -4
a = 2
b = -3
x = (2,-3,0)
40) Seja o cubo de aresta representado na figura abaixo. Determinar:
a) OA*OC
OA*OC = (a,0,0)*(0,a,0) = a*0 + 0*a + 0*0 = 0
b) OA*OD
OA*OD = (a,0,0)*(0,a,a) = a*0 + 0*a + 0*a = 0
c) OE*OB
OE*OB = (0,0,a)*(a,a,0) = 0*a + 0*a + a*0 = 0
d) |OB| e |OG|
|OB|² = a² + a² = 2a²
|OB| = a√2
|OG|² = a² + a² + a² = 3a²
|OG| = a√3
e) EG*CG
EG*CG = (a - 0, a - 0, a - a)*(a - 0, a - a, a - 0) = (a,a,0)*(a,0,a) = a*a + a*0 + 0*a = a²
f) (ED*AB)*OG
ED*AB = (0 - 0, a - 0, a - a)*(a - a, a - 0, 0 - 0) = (0,a,0)*(0,a,0) = 0*0 + a*a + 0*0 = a²
(ED*AB)*OG = a²*OG = a²*(a,a,a) = (a³,a³,a³)
g) o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma aresta
OG*OA = a*a + a*0 + a*0 = a²
|OG|² = a√3
|OA| = a
OG*OA = | OG |*| OA |*cosθ
a² = (a√3) * a *cosθ
a² = a²(√3) cosθ
cosθ = 1/(√3) = (√3)/3
θ = arc cos (√3/3) = 54,74 º
h) o ângulo formado por duas diagonais do cubo
OG*BE = a*(-a) + a*(-a) + a² = -a²
OG*BE = | OG |*| BE |*cosθ
-a² = (a√3)²*cosθ
-a² = a²*3cosθ
-1 = 3cosθ
cosθ = -1 | 3
θ = arc cos (-1/3) = arc cos(1/3) = 70,53 º
41) Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos
agudos de um triângulo retângulo isósceles.
tan (a) =2/1 =2
arco tan (2) = 63,435
x +2 . a + 90 = 360
x = 360 - 2 . a- 90
x = 360 - 2 . 63, 435-90 = 14,313
y = 180 - 143, 15 = y=36,87
y = 36° 52’ 11,6315’’
42) Um vetor v forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados
positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que v= 3.
cos B = u . w | ||u|| . ||w||
i (1, 0, 0)
j (0,1,0)
z (0,0,1)
cos θ = cos θ = cos θ
v . i | ||v|| . ||i|| = v . j | ||v|| . ||j|| = v . k | ||v|| . ||k||
v . i | ||i|| = v . j | ||j|| = v . k | ||k||
(x,y,z) . (1,0,0) (x,y,z) . (0,1,0) (x,y,z) . (0,0,1)
—————— = —————— = ——————
||(1,0,0)|| ||(0,1,0)|| ||(0,0,1)||
x . 1 + y . 0 + z .0 x. 0 + y . 1 + z . 0 x . 0 + y . 0 + z . 1
——————— = ——————— = ———————
√1² + 0² + 0² √0² + 1² + 0² √0² + 0² + 1²
x y z
—— = —— = ——
√1 √1 √1
x = y = z
||v|| = 3
||v||² = 3
||v||² = 9
x² + y² + z² = 9
x² + x² + x² = 9
3x² = 9
a² = 9/3
x² = 4
x = +| √3
v = (√3, √3, √3) ou v = (-√3, -√3, √3)
43) Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os
outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v.
v = (x, y, z)
||v|| = 1 ||v||² = 1
x² + y² + z² = 1
j = (0,1,0)
k = (0,0,1)
cos θ = v . j
——————
||v|| . ||j||
cos θ (x.y.z) . (0,1,0)
——————
1 . || (0,1,0) ||
cos θ x. 0 + y . 1 + z . 0
——————
1 . √0² +1² + 0²
cos θ = y
—— = y
1.1
cos θ = z
cos θ = cos θ
y = z
cos 60 = v . i
——————
||v|| . ||i||
½ = (x,y,z) . (1,0,0)
——————
1 . √1² + 0² + 0²
½ = x | 1.1
x = ½x² + y² + z² =1
(½)² + y² + y² = 1
2y² = 1 - ¼
y² = 3/2 . ¼
y = +| √3 . √1 √3
—— —— = +| ——
√2 √4 2√²
y = +| √3 . √2
————
2. 2
y = +| √6
——
4
v = (½ , +| √6, +| √6)
— — —
2 4 4
44) O vetor v=(-1,-1,-2) forma um ângulo de 60º com o vetor AB, onde A=(0,3,4) e
B=(m,-1,2) calcular o valor de m.
v = (-1, -1, -2)
AB = B-A = (m, -4, -2)
B = (m, -1, 2)
A = (0, 3, 4)
θ = 60
cos θ = ( m, v )
————
||m|| ||v||
(v, AB) = -m + 4 + 4 = -m + 8
||v|| = √(-1)² + (-1)² + (-2² ) = √6
||AB|| = √m² + (-4)² + (-2)² = √m² +20
½ = -m + 8
√6 . √m² +20
√6m² + 120 = 2 (-m + 8)
6m² + 120 = 2² (m² -16m + 64)
6m² + 120 = 4m² - 64m _256
2m² + 64m - 136 = 0
2 (m² + 32m - 68) = 0
△ = 1024 - 41 (-68) = 1296
-32 +| 36/2
m’ = 2
m ‘’ = -34
m = 2
m = -34
45) Os vetores a e b formam um ângulo θ=π/6, calcular o ângulo entre os vetores
p=a+b e q=a -b, sabendo que ||a|| = √3 e ||b|| = 1.
46) Dados u=(2,–3,–6) e v=3i–4j–4k, determine:
a) a projeção algébrica de v sobre u ( norma do vetor projeção de v sobre u);
u = (2; -4; -6)
v = 3i - 4j - 4k
|u| = √2² + 3² + 6² = √49 = 7
2; -3 ; -6 /7
v * u/|u|
(3; -4;4) * (2; -3; -6)/7
(2*2) + (-4*-3) + (4*-6)/7 = 42/7 = 6
b) 0 vetor projeção de v sobre u.
6 * u/|u| = 6/7 * (2;-3;-6)
47) Decomponha o vetor v=(–1,2,–3) em dois vetores a e b, tais que aw e bw, com
w=(2,1,–1).
A=(a1,a2,a3) -> A= KW -> A{2k,k,k}
B=(b1,b2,b3) -> B x W=0 -> 2b1+b2-b3=0
a+b=v -> v=(a1+b1+a2+b2+a3+b3)
a1=2K; a2=K; a3=-k } 2b1+b2-b3=0
a1+b1=-1 ; a2+b2=2 ; a3+b3=-3
2b1+b2-b3=0 2b1+b2-b3=0
2K+b1=-1 x(-2) -> -4K-2b1=2
k+b2=2 x(-1) -K-b2=2
-k+b3=-3 -k-b3=-3
Somando tem se:
-6K=-3
K=1/2
48) São dados os vetores v1 = (1,1,1), v2=(–1,2,3) e v3 =(26,6,8). Decompor o vetor
em dois vetores x e y ortogonais entre si, sendo simultaneamente ortogonal a v1 e a
v2.
X (x, y, z)
Y(26 - x, 6 - y, 8 - z)
A = k . B
V1 x V2 = (1 . 3 - 1 . 2 , -[1 . 3 - 1 . (-1)] , 1 . 2 - 1 . (-1) ) = (1, - 4, 3)
X = k . (V1 x V2)
(x, y, z) = k(1, -4, 3)
x = k, y = -4k , z = 3k :
x(26 - x) + y(6 - y) + z(8 - z) = 0
k(26 - k) + (-4k)(6 + 4k) + (3k)(8 - 3k) = 0
(26 - k) - 4(6 + 4k) + 3(8 - 3k) = 0
26 - k - 24 - 16k + 24 - 9k = 0
26k = 26
k = 1
X = (1, -4, 3) e Y(25, 10, 5)
49) São dados V1=(3,2,2) e V2=(18,–22,–5), determine um vetor V, que seja ortogonal
a V1 e a V2, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que ||V|| = 28.
v1 x v2 =
i j k
3 2 2
18 -22 -5
v1 x v2 = -10i + 36j - 66k + 44i +15j - 36k
v1 x v2 = 34i + 51j - 102k
v1 x v2 = (34,51, - 102)
|| (34, 51, -102)|| = √34² + 51² + (-102)²
|| (34, 51, -102)|| = √1156 + 2601 + 10404
|| (34, 51, -102)|| = √14161
|| (34, 51, -102)|| = √119²
|| (34, 51, -102)|| = 119
||v|| = ||a (34,51,-102)||
||v|| = |a| . ||(34,51, -102)||
28 = |a| . 109 (/7)
4 = |a| . 17
|a| = 4/17
cos θ = v . e2 / ||v|| ||e2||
a (34,51, -102) . (0,1,0) / |a| . 119 . √0² + 1² + 0²
a (34. 0 + 51. 1 - 102 . 0) / |a| . 119 . 1
51a / |a| . 119
a = -4/17
v = -4/17 (34,51,-102)
v = -4/17 . 17 (2,3,06)
v = 4 (-2, -3,6)
v = (-8, -12, 24)
50) Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as
coordenadas do vetor MH, onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ.
(NQ)[MN] = [(MN * NQ)/(NQ*NQ)] * (NQ)
MN = N - M = (5, 1, 3) - (1, 1, 2) = (4, 0, 1)
NQ = Q - N = (-3, 9, 3) - (5, 1, 3) = (-8, 8, 0)
MN * NQ = (4, 0, 1) * (-8, 8, 0) = -32
NQ * NQ = (-8, 8, 0) * (-8, 8, 0) = 128
HN = (-32/128) * (NQ)
HN = (-1/4) * (-8, 8, 0)
HN = (2, -2, 0)
H = N - HN
H = (5, 1, 3) - (2, -2, 0)
H = (3, 3, 3)
MH = H - M = (3, 3, 3) - ( 1, 1, 2) = (2, 2, 1)
MH = (2, 2, 1)