AD2-GE-2013.1-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFF/CEDERJ/UAB 
 
Gabarito da AD2 de Geometria Espacial – 2013.1 
 
Questão 1 [1,0pt]: Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24cm o 
perímetro da base e 30cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais. 
Solução: Temos seis arestas laterais, cada uma medindo 5cm (30cm/6) e seis arestas 
da base, cada uma medindo 4cm (24cm/6). 
 
A área da base (Ab) da pirâmide é igual a seis vezes a área do triângulo equilátero de 
lados 4cm, então: 
Ab = 6.(4.2 /2) = 24 cm
2 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo acima, obtém-se a altura da pirâmide (H): 
52 = H2 + 42 
H2 = 25 – 16 
H = 3 cm 
Cálculo do volume: 
V = Ab.H/3 = 24 . 3/3 = 24 cm
3 
 
Questão 2 [1,0pt]: Duas esferas de metal de raios 2r e 3r se fundem para formar uma 
esfera maior. Determine o raio dessa nova esfera. 
Solução: De acordo com a figura abaixo: 
V1 = 4 3/3 e V2 = 4 3/3 
VTotal = V1 + V2 = 4 
3/3 + 4 3/3 = 36 3 + 32 3/3 = 140 3/3 
Cálculo do raio da esfera maior (R): 
4 3/3 = 140 3/3 
 3 = 140 3/4 = 35 3 
 = 
 
 
2 
 
 
 
 
Questão 3 [1,0pt]: Calcule a área lateral do prisma oblíquo, cuja seção reta é um 
triângulo equilátero de 4 m2 de área, sabendo que a aresta lateral é igual ao perímetro 
da seção reta. 
Solução: Sabemos que a seção reta é obtida quando o plano secante faz ângulo reto 
com as arestas laterais do prisma. A seção reta é o triângulo equilátero abaixo: 
 
a = 4 m 
A aresta lateral (aL) é igual ao perímetro da seção reta, então: 
aL = 12 m 
Cada uma das três faces laterais é um paralelogramo de base 12cm e altura 4cm, então, 
a área lateral (AL) é: 
AL = 3. 12. 4 = 144 m
2 
 
Questão 4 [1,0pt]: As alturas de um cone circular reto de volume P e de um cilindro 
circular reto de volume Q são iguais ao diâmetro de uma esfera de volume R. Se os raios 
das bases do cone e do cilindro são iguais ao raio da esfera, determine P - Q + R. 
Solução: 
 
 
3 
 
Questão 5 [1,5pts]: Calcule o número de diagonais de um dodecaedro regular e a soma 
dos ângulos de todas as suas faces. 
Solução: 
 
Cálculo da soma dos ângulos de todas as faces (S): 
S = (V – 2).4r, onde r = 90o 
S = 18 . 360o = 6480o 
 
Questão 6 [1,5pts]: Um plano intersecta uma esfera perpendicularmente a um de seus 
diâmetros, num ponto P distinto do centro da esfera e interior a esse diâmetro, de acordo 
com a figura abaixo. 
a) Determine (em função do raio R da esfera) a distância do ponto P ao centro (d), a 
fim de que o círculo intersecção tenha área igual à metade da área de um círculo 
máximo da esfera. 
b) Determine (em função do raio R da esfera) as distâncias polares (d1 e d2) de um 
ponto Q, sobre o círculo intersecção. 
 
Solução: a) Cálculo de r: 
πr2 = πR2/2 
r = R / = R / 2 
Cálculo de d: 
 R2 = d2 + (R / 2) 
d2 = R2- (R / 2)2 
d2 = R2/2 
4 
 
d = R / = R / 2 
b) Cálculo das distâncias polares do ponto Q: 
d12 = (R / 2)
2 + (R + R / 2)
2 
d12 = R2 / 2 + R2 + R2 + R2 / 2 
d12 = 2R2 + R2 
d1 = R 
d22 = (R / 2)2 + (R - R / 2)2 
d22 = R2 / 2 + R2 - R2 + R2 / 2 
d22 = 2R2 - R2 
d2 = R 
 
Questão 7 [1,5pts]: Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares 
igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de 
faces desse poliedro. 
Solução: Dados: V = 11, n faces triangulares, n faces quadrangulares e 1 face 
pentagonal. 
3n + 4n + 5 = 2.A 
7n + 5 = 2.A 
F = 2n + 1 
Aplicando o teorema de Euler: 
11 + 2n + 1 = (7n + 5)/2 + 2 
22 + 4n + 2 = 7n + 5 + 4 
15 = 3n 
n = 5 
F = 2 . 5 + 1 = 11 
 
Questão 8 [1,5pts]: O reservatório abaixo é formado por um cone invertido e um cilindro 
com mesma base. Determine a altura do nível de água quando o reservatório está com a 
metade da sua capacidade. 
 
Solução: