AP2-GE-2018.1-gabarito

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Geometria Espacial Solução da AP2 Página 1 de 3
Solução da Segunda avaliação presencial de Geometria Espacial - 2018.1
Questão 1. (2,5 pts) A área da interseção de um plano com uma bola de raio 18 cm é 256π cm2. Determine
a distância do plano ao centro da bola.
Solução: A interseção de um plano e uma bola pode ser vazia, um ponto ou um ćırculo. Denote por
r o raio desta interseção. Como a área desta interseção é πr2 = 256π, segue que r = 16 cm. Sejam O o
centro da bola, O′ o centro do ćırculo e A um ponto na interseção da esfera com o ćırculo (veja a figura).
A distância d do centro da esfera ao plano é a distância entre O e O′. No triângulo OO′A temos
R2 = r2 + d2 ⇒ d2 = 182 − 162 ⇒ d = 2
√
17 cm.
Questão 2. (2,5 pts) O poliedro que inspirou a bola da Copa de 70 é formado por faces pentagonais e hexagonais,
e é constrúıdo a partir do icosaedro da seguinte forma:
• Considere um icosaedro regular de aresta a (Fig. 1).
• A partir de um vértice e sobre cada uma das 5 arestas que concorrem nesse vértice, assinale os pontos que
estão a uma distância de a3 desse vértice. Esses 5 pontos formam um pentágono regular (Fig. 2).
• Retirando a pirâmide de base pentagonal que ficou formada obtemos a Fig. 3.
• Repetindo a mesma operação para todos os vértices do icosaedro obtém-se o poliedro P .
Determine quantas são as faces pentagonais e quantas são as faces hexagonais de P . (Dica: Lembre-se que o
icosaedro é um poliedro com 20 faces, todas triangulares)
Solução: Observe que da construção, quando retiradas as três pirâmides, as faces do icosaedro regular
se converterão em hexágonos, de modo que o poliedro P terá 20 faces hexagonais. Além disso, cada um
dos vértices do icosaedro originará uma face pentagonal, assim o número de faces pentagonais é o número
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de vértices do icosaedro. Este número é obtido a seguir.
Como o icosaedro possui exatamente 20 faces, todas triangulares, o número A de arestas do icosaedro se
relaciona com o número F de faces deste poliedro por 2A = 3F , pois cada aresta de uma face é lado de
exatamente 2 faces triangulares. Portanto, para o icosaedro, temos F = 20 e A = 30, logo da relação de
Euler: V −A+ F = 2, obtemos V = 12. Assim o número de faces pentagonais do poliedro P é 12.
Questão 3. Considere um paraleleṕıpedo retângulo de bases ABCD e EFGH e arestas laterais AE, BF , CG
e DH. Os comprimentos são AB = 6, AD = AE = 4 e M é o ponto médio da aresta EF . São feitas as seções
pelos planos MHA e MBG. Retirando-se os tetraedros EMHA e FMBG resulta o poliedro P .
a) (1,25 pt) Faça um desenho do poliedro P .
b) (1,25 pt) Calcule o volume deste poliedro.
Solução:
a) O desenho de P está abaixo.
b) No tetraedro EMHA, a aresta EA é perpendicular à face EMH. Assim consideraremos EMH
como base e a aresta EA como altura deste tetraedro. Deste modo o volume de A−EMH pode ser
facilmente calculado:
Vol(A− EMH) = 1
3
· EM · EH
2
· EA = 1
3
· 3 · 4
2
· 4 = 8.
O tetraedro B −FMG tem também volume 8 porque é congruente a A−EMH. O volume de P é o
volume do paraleleṕıpedo subtráıdo dos volumes dos tetraedros, ou seja,
Vol(P ) = 6× 4× 4− 2× 8 = 96− 16 = 80.
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Questão 4. (2,5 pts) Um triângulo retângulo tem catetos medindo 2 cm e 2
√
3 cm. Determine o volume do
sólido gerado pela rotação completa desse triângulo em torno de sua hipotenusa.
Solução: Este é o exerćıcio 2 do EP12. Veja a solução na plataforma.
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