Material cadeira Bioestatistica Cesuca

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Bioestatística
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Sidney Silva Santos 
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Luciene Oliveira da Costa Granadeiro
Probabilidade e Distribuição de Frequências 
como Estimativa da Probabilidade
• Noções de Probabilidade;
• Eventos Independentes;
• Distribuição Normal ou de Gauss;
• Distribuição Normal Reduzida.
• Estudar as probabilidades e as distribuições de frequências como estimativas de probabilidade.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Probabilidade e Distribuição 
de Frequências como Estimativa 
da Probabilidade
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de 
aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Probabilidade e Distribuição de Frequências 
como Estimativa da Probabilidade
Noções de Probabilidade
Após realizar a descrição dos eventos utilizando gráficos, tabelas, calculado mé-
dia, desvio padrão, fazendo correlações e regressões, o pesquisador deseja fazer 
inferências, ou seja, extrapolar seus resultados para a população. Para tanto, é 
necessário entender de probabilidade, uma vez que as inferências são expressas em 
probabilidade de aquela conclusão ser falsa ou verdadeira. 
Probabilidade aleatória
Para entender a probabilidade de um evento aleatório, precisamos definir:
• S – Espaço amostral: É o conjunto de todos os elementos possíveis;
• EVENTO – É qualquer subconjunto de S (Notação A, B, C, ...);
• Φ (phi) – Conjunto vazio, ou seja, representa um evento impossível.
Definimos, então, probabilidade de um evento A como a razão entre o número 
de elementos de A e o número de elementos do espaço amostral (S). Representa-
mos com a fórmula abaixo:
P A Número de elementos de A
Número de elementos de S
( ) =
Vamos considerar o seguinte exemplo: 
Um pesquisador deseja saber qual a probabilidade de, ao lançar um dado, esse 
cair com a face 3 voltada para cima.
Analisando esse exemplo simples, porém, muito ilustrativo, temos:
• Um dado tem 6 faces;
• Cada vez em que um dado é lançado, somente uma face fica voltada para 
cima, Então temos as seguintes possibilidades:
Figura 1
• Portanto, das 6 possibilidades, somente uma satisfaz a condição CAIR FACE 3.
Figura 2
8
9
Em termos de probabilidade, temos o seguinte:
• O espaço amostral (S) é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
• O evento (A) CAIR FACE 3 é: A = {3};
• A probabilidade do evento A (CAIR FACE 3) é dado pela expressão:
P A( ) = 1
6 
1 ÚNICO ELEMENTO DO EVENTO A {3}
6 elementos do espaço amostral S {1;2;3;4;5;6}
Resolvendo a equação:
P (A) = 0,1667 ou 16,67%
São propriedades da probabilidade:
• A probabilidade de qualquer evento é um valor entre 0 e 1: 0 ≤ P ≤ 1; se apre-
sentado na forma de porcentagem: 0% ≤ P ≤ 100%;
• A probabilidade de um evento vazio é sempre igual a zero: P (Φ) = 0. Voltando 
ao nosso exemplo anterior, se o pesquisador perguntasse qual a probabili-
dade de, ao jogar um dado, CAIR A FACE 7? Como um dado não possui 
essa face, o evento A é vazio ou A:{ }. Pela fórmula, zero divido por qualquer 
número continua sendo zero;
• A probabilidade de ocorrer um evento igual ao espaço amostral é 1: P(S) = 1. 
No nosso exemplo, se o pesquisador perguntasse qual a probabilidade de, 
ao jogar um dado, CAIR UMA FACE ENTRE 1 E 6? Veja que o evento A se 
satisfaz com qualquer uma das faces do dado, ou seja A:{1;2;3;4;5;6}, que equi-
vale ao espaço amostral. Pela fórmula, teremos uma probabilidade dada pela 
razão entre A, ou seja, 6 e S, que também é a que resulta no valor 1 ou 100%.
Probabilidade condicional
Chamamos de probabilidade condicional a probabilidade de ocorrer determina-
do evento quando ele depende de uma dada condição. A probabilidade de ocorrer 
o evento A sob a condição de ter ocorrido o evento B é representada então: P(A|B); 
que se lê: probabilidade de A dado B.
De volta ao nosso exemplo dos dados, pense na seguinte pergunta:
Qual a probabilidade de, ao se lançar um dado, ocorrer face 6, sabendo antecipada-
mente que a face que ocorreu é par? 
Em termos de estatística, a pergunta deveria ser construída assim: 
Qual a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B? 
Escrevemos da seguinte maneira: P (A|B).
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UNIDADE Probabilidade e Distribuição de Frequências 
como Estimativa da Probabilidade
A fórmula para a resolução de uma probabilidade condicional é:
P A B A B
B
( | )
( )
=

Onde se lê: a probabilidade de A dado B é a razão (divisão) entre o número de 
elementos da intersecção entre A e B e o número de elementos de B.
Entendendo a fórmula
• Evento A: face 6, já sabemos que o dado tem somente 1 face com o número 6;
• Evento B: face par, o dado possui as seguintes faces com números pares: {2; 
4; 6}, ou seja, 3 faces com números pares. A intersecção entre os Eventos A e 
B é a quantidade de elementos que existem nos dois conjuntos: A e B.
A B
2
4
6
6
Figura 3 – Evento A e Evento B
A
B
2
4
6
Figura 4 – Intersecção entre os eventos A e B
Sabemos que: A = 1 elemento; B = 3 elementos; P (A ∩ B) = 1 elemento. 
Então, temos:
P A B A B
B
P A B
P A B
P A B
( | )
( )
( | )
( | ) ,
( | ) , %
=
=
=
=

1
3
0 3333
33 33
10
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Eventos Independentes
Dizemos que dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer 
um dos eventos não é modificada pela ocorrência do outro.
Vamos pensar nesta situação:
Um jogador joga uma moeda e um dado, e ele deseja saber qual a probabilidade de 
ocorrer cara na moeda sabendo que, no jogo do dado, caiu a face 5.
Devemos raciocinar: o resultado do jogo da moeda interfere no resultado do jogo 
do dado? Uma moeda tem duas faces, uma chamada cara (C) e a outra coroa (K); 
por sua vez, o dado, como já vimos, tem 6 faces. Visualize, antes do jogo de moe-
das: qual o espaço amostral do jogo de dados? É o seguinte: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Figura 5
A moeda foi lançada, caiu a face cara. Como fica o espaço amostral do jogo de 
dado após o jogo da moeda? É o seguinte: S={1; 2; 3; 4; 5; 6}
Figura 6
Ou seja, não muda. Portanto, dizemos que o evento “Cair 5 no jogo de dados” 
é independente do evento “Cair cara no jogo de moeda”.
Dizemos, então, que a probabilidade de A dado B é igual à probabilidade de A, 
e representamos isso da seguinte maneira:
P (A|B) = P (A)
Teorema do produto
Esse teorema diz que, se A e B são eventosindependentes, a probabilidade de 
ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A multiplicada pela de ocorrer B.
P (A e B) = P (A) x P (B)
Exemplo: Qual a probabilidade de ocorrer cara jogando uma moeda duas vezes?
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UNIDADE Probabilidade e Distribuição de Frequências 
como Estimativa da Probabilidade
Possibilidades:
Tabela 1 – Probabilidades em um jogo duplo de moedas
Tentativa 1º. Lançamento 2º. Lançamento
1 C C
2 C K
3 K C
4 K K
Veja que a probabilidade de cair cara (C) no primeiro lançamento é de ½, e de 
cair coroa (K) no 2º Lançamento é de ½. E de cair em dois lançamentos cara (C) e 
cara (C), é de ¼. Então, aplicando a fórmula, temos: 
P (C e C) = ½ x ½ = ¼
Teorema da soma
Quando A e B são eventos que não podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabili-
dade de ocorrer A ou B é dada pela seguinte expressão: P (A ou B) = P (A) + P (B).
Se uma urna possui duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha e retiramos 
uma ao acaso, qual a probabilidade de sair uma colorida?
Figura 7 – Urna com bolas coloridas
A condição só é satisfeita se for sorteada a bola vermelha ou a azul. Veja que 
duas bolas, das quatro existentes, satisfazem a condição. A probabilidade de ser re-
tirada tanto a bola azul quanto a bola vermelha é de ¼, portanto, a expressão fica:
P (azul ou vermelha) = ¼ + ¼ = ½
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Distribuição Normal ou de Gauss
As frequências obtidas da maioria das medidas biológicas e de outras situações 
dão origem aos gráficos com características em comum, semelhante ao apresen-
tado abaixo. Observem que essa distribuição de frequências apresenta muitos indi-
víduos com valores semelhantes. No exemplo, entre 39 e 41, poucos com valores 
abaixo disso e poucos com valores acima. Vemos então um gráfico com formato de 
sino. Esse tipo de distribuição de frequências recebe o nome de distribuição normal.
Número
de soldados
Distribuição de medidas do tórax (polegadas) de soldados escoceses
diâmetro em polegadas
0
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
200
400
600
800
1000
Figura 8 – Distribuição de medidas do tórax (polegadas) de soldados escoceses
Fonte: Adaptado de Daly F. et al. Elements of Statistics, 1999
A distribuição normal tem as seguintes características:
• A variável aleatória pode assumir qualquer valor;
• O gráfico da distribuição é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da 
média populacional representada pela letra grega µ;
• A área total da curva representa uma frequência de 100% da população. A área 
representa a probabilidade da variável assumir qualquer valor; 
• Os parâmetros são: µ (média populacional) e a σ2 (variância populacional).
Cada população apresentará uma média e uma variância que vai gerar uma curva 
normal diferente e característica daquela população. Na figura acima, se quisermos 
saber a probabilidade de um soldado daquela população ter medida de tórax entre 38 
e 39 polegadas, basta calcular a área da curva dessa parcela da população. Para isso, 
são necessários cálculos complexos, pois a figura é uma curva e não uma reta.
Para entender melhor esse conceito, faça um exercício mental tentando respon-
der às questões propostas abaixo:
• Como seria um gráfico de distribuição de frequências da altura da população 
adulta do Brasil?
• Sabendo que a glicemia (quantidade de glicose no sangue) normal das pessoas 
é de 80 mg/dL, como seria a distribuição de frequências da glicemia da popu-
lação de uma cidade?
• Em uma prova aplicada a 1000 alunos, valendo de zero a dez, como seria o 
gráfico da distribuição de frequências das notas?
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UNIDADE Probabilidade e Distribuição de Frequências 
como Estimativa da Probabilidade
Distribuição Normal Reduzida
O cálculo de probabilidades de populações com distribuição do tipo normal é 
complexo para ser utilizado rotineiramente. Para facilitar esse tipo de cálculo, foi 
feita o tabelamento de todas as possíveis probabilidades de uma única curva nor-
mal, que recebeu o nome de Curva Normal Reduzida. 
Essa curva possui as seguintes características:
• É uma distribuição com média 0 e variância 1;
• A variável aleatória representada pela distribuição normal reduzida é a z;
• Na distribuição normal reduzida, os valores de probabilidade de 0 até z estão 
dispostos em tabelas.
Exemplo: 
A probabilidade de ocorrer valores entre 0 e 1,5 corresponde à área pintada:
0 1,5 Z
Figura 9
Se formos procurar na tabela a probabilidade entre 0 e 1,5, obtemos o valor de 
0,4332 ou 43,32%. Na tabela, devemos procurar a linha que contenha a primeira 
unidade e o decimal 1,5, e a coluna com o centésimo e o milésimo: 0,00. No cru-
zamento da linha com a coluna selecionada, obtemos então o valor 0,4332 que, em 
porcentagem, fica 43,32%. Observe que a tabela apresenta somente a parte posi-
tiva da curva, porém, como a curva é simétrica, a probabilidade do lado positivo é 
idêntica à do lado negativo.
Cálculo de probabilidade com qualquer 
variável com distribuição normal
Vejamos o seguinte exemplo:
A quantidade de colesterol no plasma tem distribuição normal com média 
200mg e desvio padrão de 20mg, conforme a ilustração a seguir:
14
15
0
μ = 200
y
x
Figura 10
Perguntamos:
Qual a probabilidade de um indivíduo apresentar valores de colesterol entre 200 e 
225 mg?
Para facilitar o entendimento, coloque os valores em um esboço da curva, como 
mostrado abaixo:
0 200 225
y
x
Figura 11
Se X é uma variável com distribuição normal (essa informação tem que ser dada 
no exercício) de média µ e desvio padrão σ, então devemos transformar a variável 
X em Z pela seguinte expressão:
Z x� � �
�
Substituindo os valores:
• Para X (valor dado na questão) = 225, temos: Z1 = (225-200)/20 = 1,25
• Para X (valor dado na questão) = 200, temos: Z2 = (200-200)/20 = 0
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UNIDADE Probabilidade e Distribuição de Frequências 
como Estimativa da Probabilidade
Substituímos X1 (=225) e X2 (=200) dados na questão por Z1 e Z2, que foram calcu-
lados pela fórmula, assim teremos o seguinte esboço da distribuição normal reduzida:
0 0 1,25
y
z
Figura 12
O que significa dizer que a probabilidade X entre 200mg e 225mg é a mesma 
probabilidade de Z assumir valores entre 0 e z=1,25, que, segundo a tabela, vamos 
buscar a linha 1,2 (veja na tabela abaixo) e a coluna 0,05 (veja na tabela abaixo) 
onde obtemos o valor: 0,3944 ou 39,44%.
Figura 13 – Tábua da distribuição das probabilidades em uma 
curva normal reduzida, valores entre 0 e z P(0 - z)
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Probabilidade: conceitos básicos
https://youtu.be/8g571hUvgeo
Construindo a Distribuição de Probabilidade para Variáveis Aleatórias
https://youtu.be/lqhsgj4wwbg
Teorema da Soma
https://youtu.be/3QQ6l-WUBWc
 Leitura
Probabilidade condicional
https://goo.gl/Zt7Jb7
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UNIDADE Probabilidade e Distribuição de Frequências 
como Estimativa da Probabilidade
Referências
BERQUÓ, E. S.; SOUZA, J. M. P.; GOTLIEB, S. L. D. Bioestatística. 2. ed. São 
Paulo: Editora Pedagógica e Universitária, 1981.
VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 5. ed. São Paulo: Campus, 2008.
______. Bioestatística: tópicos avançados. 2. ed. São Paulo: Campus, 2003.
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