Aula 06 - Elementos estaticamente indeterminados

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GRADUAÇÃO - ENGENHARIA
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL – CCE1682
DSc MIGUEL HENRIQUE DE OLIVEIRA COSTA
PROFESSOR
Rio de Janeiro, 2021.2
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL
Aula 06 – Elementos estaticamente indeterminados
Ementa
• Torção:
• Revisão;
• Torque
• Ângulo de torção
• Momento de inércia polar
• Tensão cisalhante
• Transmissão de potência
• Elementos Estaticamente indeterminados com torque
• Eixos não circulares maciços
• Exercícios
Torque
TORQUE→ é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo
longitudinal. Quando o torque é aplicado os círculos e as retas longitudinais das
grades tendem a distorcer.
• Regra da MÃO DIREITA ao longo
do vetor normal à seção
transversal. Um ângulo de giro
positivo, (x), é uma rotação da
seção transversal em x no sentido
da regra da mão direita em relação
ao eixo x.
Momento Polar de Inércia
EIXO MACIÇO
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4
EIXO TUBULAR
𝐽 =
𝜋
2
𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4
Ângulo de Torção ()
• A ação do torque Tx provocará uma torção no disco, de tal modo que a rotação relativa 
de uma de suas faces em relação à outra será d
𝑑 = 𝛾
𝑑𝑥
𝜌
→ 𝑑 =
𝑇𝑥
𝐽𝑥𝐺
𝑑𝑥 ∴  = න
0
𝐿 𝑇𝑥
𝐽𝑥𝐺
𝑑𝑥
 =
𝑇𝐿
𝐽𝐺
• G é o módulo de cisalhamento e as
semelhanças com as barras axialmente
carregadas mostram que é possível obter a
taxa de giro ao longo do comprimento L.
Tensão de Cisalhamento
• Assim como ocorre com a deformação por cisalhamento para um eixo maciço, 
vai de zero na linha central do eixo longitudinal a um valor máximo máx na
superfície externa.
τ =
𝜌
𝑐
τ𝑚á𝑥
τ𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
T → Torque interno;
c → Raio externo;
J → Momento de Inércia Polar
τ𝑚á𝑥 =
𝑇𝜌
𝐽
 → Distância média;
• Ela só é válida se o eixo for circular e o material
for homogêneo e comportar-se de uma maneira
linear elástica, a tensão de cisalhamento ser
proporcional à deformação por cisalhamento.
Transmissão de Potência
• Eixos e tubos de seções transversais circulares são usados para transmitir potência
desenvolvida por uma máquina. Estão sujeitos a torques que dependem da potência e
da velocidade angular do eixo. Potência é definida como o trabalho realizado por
unidade de tempo.
𝑃 =
𝑇𝑑𝜃
𝑑𝑡
∴ 𝑃 = 𝑇𝑤𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 → 𝑤 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
• Em máquinas a frequência de rotação é medida em Hertz (Hz), ou 1 ciclo/s e 1 ciclo
representa uma rotação completa 2 rad.
1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 1 𝐻𝑧 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 → 𝑤 = 2𝜋𝑓
𝑃 = 2𝜋𝑓𝑇 𝟏𝑯𝑷 ≅ 𝟕𝟒𝟓, 𝟕 𝑵.𝒎/𝒔
Exemplo 01:
Um eixo com tensão de cisalhamento admissível adm = 84 MPa. Se o diâmetro do eixo for
37,5 mm, determine o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque
máximo T' se fosse feito um furo de 25 mm de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da
distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.
Elementos Estaticamente Indeterminados
Um eixo carregado com torque pode ser classificado como estaticamente indeterminado
se a equação de equilíbrio de momento aplicada em torno da linha central do eixo não for
adequada para determinar os torques desconhecidos que agem no eixo. OS torques de
reação nos apoios A e B são desconhecidos
෍𝑀𝑥 = 0 → 𝑇 − 𝑇𝐴 − 𝑇𝐵 = 0
A condição de compatibilidade necessária, exige que 
o ângulo de torção de uma extremidade do eixo em 
relação à outra extremidade seja igual a zero (A/B=0).
 =
𝑇𝐿
𝐽𝐺
𝑇𝐴𝐿𝐴𝐶
𝐽𝐺
−
𝑇𝐵𝐿𝐶𝐵
𝐽𝐺
= 0
𝑇𝐴 = 𝑇
𝐿𝐵𝐶
𝐿
𝑇𝐵 = 𝑇
𝐿𝐴𝐶
𝐿𝐿 = 𝐿𝐴𝐶 + 𝐿𝐶𝐵
Exemplo 02:
O eixo maciço de aço tem de 20 mm. Se for submetido aos dois torques, determine as
reações nos apoios fixos A e B.
෍𝑀𝑥 = −𝑇𝐵 + 800 − 500 − 𝑇𝐴 = 0 ∴ 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 300
Somatório dos momentos
𝐴𝐵 = 0 𝑒  =
𝑇𝐿
𝐽𝐺
−
𝑇𝐵 × 0,20
𝐽𝐺
+
𝑇𝐴 + 500 × 1,50
𝐽𝐺
+
𝑇𝐴 × 0,30
𝐽𝐺
= 0
−0,20𝑇𝐵 + 1,80𝑇𝐴 + 750 = 0
𝑇𝐴 = 300 − 𝑇𝐵
−0,20𝑇𝐵 + 1,80 × 300 − 𝑇𝐵 + 750 = 0
−0,20𝑇𝐵 − 1,80𝑇𝐵 + 540 + 750 = 0
2𝑇𝐵 = 1290 ∴ 𝑇𝐵 = 645 𝑁.𝑚
𝑇𝐴 = −345 𝑁.𝑚
Exemplo 02:
O eixo maciço de aço tem de 20 mm. Se for submetido aos dois torques, determine as
reações nos apoios fixos A e B.
𝑇𝐵 = 645 𝑁.𝑚𝑇𝐴 = −345 𝑁.𝑚
DCL
Eixos não circulares maciços
As de formações por cisalhamento não variam
linearmente e as seções ficarão abauladas ou
entortarão. A tabela apresenta as fórmulas da tensão
máxima e do ângulo de torção para algumas seções
transversais.
Em todos os casos, a tensão
de cisalhamento máxima
ocorre em um ponto na
borda da seção transversal
mais próxima da linha
central do eixo.
Exemplo 03:
O eixo de alumínio 6061-T6 possui área de seção transversal na forma de um
triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à
extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento =56 MPa e o ângulo de torção na
extremidade estiver na extremidade restrito a = 0,02 rad. Qual é a intensidade do
torque que pode ser aplicado a um eixo de seção transversal circular feito com a
mesma quantidade de material? Gal=26 GPa.
τ𝑚á𝑥 =
20𝑇
𝑎³
→ 56 =
20𝑇
40³
∴ 𝑇 = 179,2 𝑁.𝑚
Torque
Tensão máxima
 =
46𝑇𝐿
𝑎4𝐺
→ 0,02 =
46 × 𝑇 × 1200
404 × 26.000
∴ 𝑇 = 24,11 𝑁.𝑚
Material Extra:
• Material extra para estudo:
• Material Prioritário (Hibbeler 7ª Edição):
• Capitulo 5: 5.73, 5.74;
• Material Habilitado:
• Capitulo 5: 5.73 – 5.110;
"Fazer da educação a nossa identidade"
OBRIGADO !
Miguel Oliveira