Avaliação Final (Objetiva) - Individual

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15/11/2023, 13:39 Avaliação Final (Objetiva) - Individual
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GABARITO | Avaliação Final (Objetiva) - Individual
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Peso da Avaliação 3,00
Prova 74876663
Qtd. de Questões 12
Acertos/Erros 10/2
Nota 10,00
A Regra de L'Hospital foi desenvolvida pelos matemáticos suíços Guillaume de L'Hôpital (1661-
1704). Embora a regra seja atribuída a L'Hôpital, ele a aprendeu com o matemático Johann Bernoulli, 
que a descobriu independentemente. A regra foi publicada pela primeira vez por L'Hôpital em seu 
livro "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" em 1696. Desde então, a 
Regra de L'Hospital tem sido uma ferramenta valiosa no cálculo diferencial para avaliar limites 
indeterminados envolvendo quocientes de funções. Analise as seguintes sentenças sobre a Regra de 
L'Hospital:
I. A Regra de L'Hospital só pode ser aplicada quando o limite da função é zero.
II. A Regra de L'Hospital é uma técnica que envolve a derivação de funções para resolver limites 
indeterminados.
III. É possível resolver qualquer indeterminação com a Regra de L'Hospital.
IV. A Regra de L'Hospital pode ser aplicada para avaliar limites indeterminados do tipo 0/0 ou ∞/∞.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente as opções II e IV estão corretas.
C Somente as opções I e II estão corretas.
D Somente as opções I e III estão corretas.
Quando desejamos entender o comportamento de uma função nos momentos de aproximação de 
determinados valores, utilizamos o cálculo de limite. Considere o cálculo e o valor do limite a seguir:
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Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A O limite é 6.
B O limite é 4.
C O limite é -2.
D O limite é 2.
No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y = f(x) representa a taxa de variação instantânea 
de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de 
variação (derivada) da função espaço. Com relação à função h(x) = (7x + 1)·(x + 4), veja as 
possibilidades para sua derivada:
I. h'(x) = 14x + 28. 
II. h'(x) = 14x + 29. 
III. h'(x) = 28x + 28. 
IV. h'(x) = 28x + 29.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção II está correta.
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O Teorema de Bolzano, também conhecido como Teorema do Valor Intermediário para Zero, é um 
importante resultado da análise matemática que estabelece uma condição para a existência de raízes 
de uma função contínua. De acordo com o teorema, se uma função f(x) é contínua em um intervalo 
fechado [a, b] e assume valores com sinais opostos em dois pontos distintos dentro desse intervalo, 
então existe pelo menos um ponto c no intervalo (a, b) onde f(c) é igual a zero, ou seja, a função se 
anula nesse ponto. Desta forma, sendo a função f(x) = x4 - 2x3 - 16x2 + 32x + 32, verifique as 
possibilidades de intervalos definidos a seguir, que poderiam ser utilizados no teorema, para garantir a 
existência de uma raiz:
I. (-1, 5)
II. (3, 5)
III. (-1, 3)
IV. (-3, 5)
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença IV está correta.
B Somente as sentenças II e III estão corretas.
C Somente as sentenças I e IV estão corretas.
D Somente as sentenças I, III e IV estão corretas.
Um vazamento de óleo se espalha sobre a superfície de um lago formando uma mancha circular. Em 
determinado instante, a mancha tem um raio de 50 metros, que cresce a uma taxa de variação 
instantânea de 5 metros por hora. Usando π = 3, estima-se que, nesse instante, a área da superfície do 
lago coberta pela mancha de óleo está crescendo, em m² /h, a uma taxa instantânea igual a:
I. 1000. 
II. 1500. 
III. 3000. 
IV. 6000. 
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção III está correta.
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B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção IV está correta.
Um corpo é lançado verticalmente para cima (a partir do solo), com uma velocidade de 40 m/s, 
num lugar onde o módulo da aceleração da gravidade é 10 m/s². Lembrando que, deste modo, 
podemos descrever a equação horária de seu movimento, modelando a situação como uma função 
quadrática, tal que f(t) = 40t - 5t². Considerando-se que a única força atuante sobre o corpo é seu peso, 
conclui-se que o tempo de subida do corpo é:
A 4 segundos.
B 1 segundo.
C 8 segundos.
D 2 segundos.
Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried 
Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma 
função composta de duas funções. Sendo assim, considerando o uso adequado da regra da cadeia, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) y = cos(2x), implica em y' = 2.sin(2x).
( ) y = ln(2x²), implica em y' = 2/x.
( ) y = tan (2x²), implica em y' = sec²(2x²). 
( ) y = (3x - 3)³, implica em y' = 9.(3x - 3)².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - V.
B F - F - F - V.
C F - V - F - V.
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D V - F - V - F.
Ao estudar o Cálculo Diferencial, descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente 
deriváveis em todos os pontos de seu domínio. Um exemplo disso é a função exponencial, que possui 
diferenciação de ordem superior infinita. Acerca das derivadas da função exponencial f(x) = 3e-2x, 
analise as sentenças a seguir:
I. A derivada primeira é -5e-2x.
II. A derivada primeira é -6e-2x.
III. A derivada segunda é 8e-2x.
IV. A derivada segunda é -12e-2x.
V. A derivada terceira é -24e-2x.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças II e V estão corretas.
B As sentenças I e II estão corretas.
C As sentenças II e III estão corretas.
D As sentenças I e IV estão corretas.
Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, pequenas variações nos objetos 
correspondem a pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se 
que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade. Sobre a função 
, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Não existe limite para x = 0.
( ) O limite lateral para x tendendo a zero pela esquerda é 1.
( ) A função é contínua.
( ) A função é contínua apenas para x > 0.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
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A V – F – V – F
B V – F – F – F
C F – V – V – V
D F – V – V – F
Formulário - Cálculo Diferencial e Integral (MAD) - PauloClique para baixar o anexo da questão
A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para 
determinar ela, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da 
Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função 
inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x 
correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando 
temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O procedimento é simples: 
basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada), determinar a 
derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. 
Senso assim, determine a derivada da função inversa f(x) = 3x³ - 2x² + x no ponto (1, 2) e assinale a 
alternativa CORRETA:
A g'(4) = 1/4.
B g'(4) = 1/3.
C g'(4) = 1/5.
D g'(4) = 1/6.
(ENADE, 2008).
A A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
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B A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
C As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da
primeira.
D As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da
primeira.
(ENADE, 2011).
A a = e.
B a = 1/2.
C a = 1.
D a = 0.
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