Equações da Reta

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EQUAÇÕES DE RETA
Equação fundamental da reta
Dois pontos determinam uma reta;
Ou seja, dados dois pontos A e B distintos, existe apenas uma reta r que passa por eles.
Da mesma forma, um ponto () e a declividade m determinam uma reta r. Considerando P(x, y) um ponto genérico dessa reta, veremos que se pode chegar a uma equação, de incógnitas x e y, a partir dos números , que será chamada equação fundamental da reta r. 
Equação fundamental da reta
Considerando um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta e tan m, temos:
Observações:
A equação independe de m ser positivo ou negativo e da localização do ponto . 
Se a reta é paralela ao eixo x, temos m = 0 e a equação da reta será dada por . 
Se a reta é paralela ao eixo y, todos os pontos da reta têm a mesma abscissa e a equação será dada por 
Formas de equação da reta: Equação reduzida
A equação representa a reta r que passa pelo ponto e possui declividade m. Se pensarmos no ponto particular L(0, n), que é ponto da reta que intersecta a o eixo y, teremos:
	y – n = m(x – 0) ⇒ y – n = mx ⇒ y = mx + n. 
O número real n, que é a ordenada do ponto em que a reta intersecta o eixo y, é chamado coeficiente linear da reta.
Equação reduzida da reta
Agora, consideremos uma reta r que não passa por (0, 0), intersecta o eixo x no ponto A(a, 0) e intersecta o eixo y no ponto B(0, b).
	Forma segmentada da reta
Esta é a forma segmentária da equação da reta que não passa por (0, 0) e intersecta os eixos nos pontos (a, 0) e (0, b).
Equação geral da reta
Vamos considerar os pontos A (0, a) e B(b,0), que definem à reta r:
A condição para que um ponto P(x, y) qualquer esteja alinhado aos pontos A e B é que:
Para calcular esse determinante, repetimos as duas primeiras colunas e multiplicamos todas as diagonais formadas por 3 elementos. Depois somamos os resultados obtidos pelos produtos das diagonais “principais” (da esquerda para a direita) com o oposto dos resultados obtidos pelos produtos das diagonais “secundárias” (da direita para a esquerda). 
Como D = , então: 
 
ax
by
0
-ab
0
0
Ou seja, D = ax + by – ab, se considerarmos – ab = c, teremos que D = ax + by + c.
Como:
D = 
Substituindo o determinante por ax + by +c:
ax + by + c = 0 (Equação geral da reta)
Equação geral da reta
na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos. Essa equação é denominada equação geral da reta.
Equações paramétricas
Considere a reta r, que passa pelo ponto específico e por todos os pontos do tipo t(a; b), ou seja, por todos os ponto obtido pelo combinação de um ponto (a; b) com um número real t. Qualquer ponto P(x, y) poderá ser obtido pela igualdade:
Daí decorre: 
E pela igualdade de pares ordenados temos:
A esse sistema chamamos equações paramétricas da reta.
A partir de um sistema de equações paramétricas podemos obter a equação geral da reta e, consequentemente, todas as outras equações. Para isso, basta isolar o valor de t em qualquer uma das equações e substituir na outra equação. A partir de então, é só organizar os dados para que tenhamos uma equação na forma ax + by + c = 0.