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Mec Flui

•
UNIPAMPA

Priscila
20/11/2023
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Mec Flui

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Universidade Federal do Pampa
Disciplina de Fenômenos de Transferência
Engenharias - Campus Alegrete
Meios em movimento
Professor: Felipe Denardin Costa
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Referências Bibliográficas
FOX, R. W. et al. Introdução a mecânica dos fluidos. Rio de
Janeiro: LTC, 2006.
Cap. 4;
Cap. 5;
Cap. 6;
Cap. 7;
YOUNG et al. Uma introdução consisa à mecânica dos
fluidos. São Paulo: Edgard Blucher, 2004.
Cap. 3;
Cap. 4;
Cap. 5;
Cap. 6;
Cap. 8;
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
.
CONCEITOS BÁSICOS
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Conceitos básicos
Escoamento:
É a fácil mudança de forma sob a ação de uma força de
cisalhamento. Pode ser compresśıvel ou incompresśıvel,
conforme o fluido e a velocidade.
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Descrição e classificação de Escoamentos
Corrente Fluida:
É o escoamento orientado do fluido.
Linha de trajetória: Consiste no caminho percorrido por uma
part́ıcula flúıda. Experimentalmente, é possivel observar uma
linha de trajetória através de traçadores.
Linha de corrente: é definida como uma linha desenhada
tangente ao vetor velocidade em cada ponto do fluxo. São
nulas as componentes da velocidade perpendiculares à
trajetória, ou seja:
~V =
d~r
dt
= =
dx
dt
~i +
dy
dt
~j +
dz
dt
~k
assim:
dx
u
=
dy
v
=
dz
w
Duas linhas de corrente não se cruzam!!!
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Descrição e classificação de Escoamentos
Tubo de corrente: É um tubo cujas paredes são constitúıdas
pelas linhas de corrente que passam por uma curva fechada no
campo de escoamentos.
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Descrição e classificação de Escoamentos
Exemplo de simulação em túnel de vento virtual que mostra a
formação de linhas de corrente num escoamento de ar a 10 m/s.
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Descrição e classificação de Escoamentos
Linha de emissão: É a linha formada por todas as part́ıculas
fluidas que passaram anteriormente por um determinado
ponto. Experimentalmente, a fumaça expelida por uma
chaminé é a sua linha de emissão, pois todas as suas
part́ıculas passaram anteriormente pela boca da chaminé.
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Campo de velocidades - Representações do escoamento
Representação Lagrangeana:
Descreve o movimento de cada part́ıcula acompanhando-a na
trajetória total. O observador desloca-se junto com a
part́ıcula.
~V = ~V [x(t), y(t), z(t), t]
Representação Euleriana:
Consiste em adotar um certo intervalo de tempo, escolher um
ponto no espaço, considerar todas as part́ıculas que passam
por este ponto. O observador é fixo. De um modo geral, a
pressão e a velocidade de cada part́ıcula são funções do tempo
e das coordenadas do ponto.
~V = ~V [x , y , z , t]
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Campo de Aceleração
O campo de aceleração das particulas fluidas é determinado por:
~a =
d
dt
~V [x(t), y(t), z(t), t]
Ou:
~a =
(
u
∂~V
∂x
+ v
∂~V
∂y
+ w
∂~V
∂z
)
+
∂~V
∂ t
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Campo de Aceleração
Em coordenadas retangulares:
ax =
(
u
∂Vx
∂x
+ v
∂Vx
∂y
+ w
∂Vx
∂z
)
+
∂Vx
∂ t
ay =
(
u
∂Vy
∂x
+ v
∂Vy
∂y
+ w
∂Vy
∂z
)
+
∂Vy
∂ t
az =
(
u
∂Vz
∂x
+ v
∂Vz
∂y
+ w
∂Vz
∂z
)
+
∂Vz
∂ t
ou ainda:
~a = ~aconvectiva + ~alocal
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Campo de Aceleração
com:
~aconvectiva =
(
u
∂~V
∂x
+ v
∂~V
∂y
+ w
∂~V
∂z
)
e
~alocal =
∂~V
∂ t
Ou ainda:
~a =
D~V
Dt
sendo:
D
Dt
=
(
u
∂
∂x
+ v
∂
∂y
+ w
∂
∂z
)
+
∂
∂ t
↑ - Operador derivada material
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Campo de Aceleração
com:
~aconvectiva =
(
u
∂~V
∂x
+ v
∂~V
∂y
+ w
∂~V
∂z
)
e
~alocal =
∂~V
∂ t
Ou ainda:
~a =
D~V
Dt
sendo:
D
Dt
=
(
u
∂
∂x
+ v
∂
∂y
+ w
∂
∂z
)
+
∂
∂ t
↑ - Operador derivada material
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Descrição e classificação de Escoamentos - Sistema e Volume de controle
Sistema: é o conjunto de interações ou componentes
interagentes que formam um conjunto de elementos ou
relações organizadas entre si.
Volume de controle: é um volume arbitrário no espaço através
do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do volume de
controle é chamado de superf́ıcie de controle.
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Teorema do transporte de Reynolds
Seja uma grandeza extensiva B: B = mb
δm = ρδV
B = ρδVb
Assim em todo o sistema:
BS = ∑
i
bi (ρδVi )
No limite δVi → 0 :
BS =
∮
Vs
bρdV
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Teorema do transporte de Reynolds
Analogamente para um volume de controle arbitrário:
BVc =
∮
Vc
bρdV
A taxa de variação temporal das quantidades pode ser expressa
como:
dBS
dt
=
d
dt
∮
Vs
bρdV
dBVc
dt
=
d
dt
∮
Vc
bρdV
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Teorema do transporte de Reynolds
Em t
′
= t temos BS = BVc , logo em t
′
= t + δ t:
BS(t + δ t) = BVc (t + δ t)−BVI (t + δ t) +BVII (t + δ t)
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Teorema do transporte de Reynolds
Logo a variação de BS em um intervalo de tempo δ t, será:
δBS
δ t
=
BS(t + δ t) − BS(t)
δ t
ou:
δBS
δ t
=
BVc (t + δ t) − BVI (t + δ t) + BVII (t + δ t) − BS(t)
δ t
lembrando que em t
′
= t temos BS = BVc :
δBS
δ t
=
BVc (t + δ t) − BVc (t)
δ t
− BVI (t + δ t)
δ t
+
BVII (t + δ t)
δ t
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Teorema do transporte de Reynolds
No limite δ t→ 0:
δBS
δ t
=
dBS
dt
Logo:
BVc (t + δ t) − BVc (t)
δ t
=
∂BVc
∂ t
=
∂
∂ t
∮
Vc
bρdV

e
BVI (t + δ t)
δ t
=
dBVII (t + δ t)
dt
= Ḃe
BVII (t + δ t)
δ t
=
dBVII (t + δ t)
dt
= Ḃs
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Teorema do transporte de Reynolds
Sendo δVI = δAeδ le e δVII = δAsδ ls , (δ li = viδ t) temos que:
δBe = ρe be δAe ve δ t cosθ
δBs = ρs bs δAs vs δ t cosθ
logo:
δ Ḃi =
δBi
δ t
=
ρi bi δAi vi δ t cosθ
δ t
Assim:
Ḃi =
∫
sup
δ Ḃi
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Teorema do transporte de Reynolds
Ḃe = −
∫
sup
ρe be ve cosθ dAe
Ḃs =
∫
sup
ρs bs vs cosθ dAs
logo: Ḃs − Ḃe =
=
∫
sup
ρs bs vs cosθ dAs +
∫
sup
ρe be ve cosθ dAe =
∮
Sc
ρ b~v · n̂ dA
assim:
dBS
dt
=
∂BVc
∂ t
+
∮
Sc
ρ b ~v · n̂ dA
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Teorema do transporte de Reynolds
Exemplo: Encontre a variação temporal da quantidade extensiva B
no sistema abaixo.
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Teorema do transporte de Reynolds
Ḃe = −
∫
sup
ρ1 b1 v1 cosθ dA1
Ḃs =
∫
sup
ρ2 b2 v2 cosθ dA2
Assim o fluxo através da superf́ıcie de controle será:∮
Sc
ρi bi vi dAi = Ḃs − Ḃe = ρ2 b2 A2 v2 −ρ1 b1 A1 v1
logo:
dBS
dt
=
∂BVc
∂ t
+ ρ2 b2 A2 v2 −ρ1 b1 A1 v1
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificaçãode Escoamentos
Um escoamento pode ser classificado em função de alguns critérios
da seguinte forma:
Permanente ou transitório;
Incompresśıvel ou compresśıvel;
uniforme ou variado;
quanto a dimensão: uni, bi ou tri-dimensional;
ideal ou viscoso;
Laminar ou turbulento;
de entrada ou estabelecido;
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos
Escoamento Permanente: Um escoamento é dito permanente
ou estacionário quando suas propriedades não variam no
tempo. Se ocorrer a variação das propriedades em um ponto,
em função do tempo, o escoamento é denominado transitório
ou não permamente.
Escoamento Incompresśıvel: é aquele no qual as variações de
massa espećıfica são insignificantes.
Escoamento Uniforme: é aquele no qual o campo de vetores
velocidade que descrevem o escoamento num dado instante
são constantes ao longo do escoamento.
∂~V
∂xi
= 0
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos
Escoamento uni, bi ou tri-dimensional: especifica o número de
dimensões espaciais necessárias para descrição do campo de
velocidades.
Agora destinaremos uma atenção especial para a classificação dos
escoamentos em função das forças viscosas e dinâmicas presentes
no escoamento.
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos - Escoamentos laminares e turbulentos
A experiência de Reynolds
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos - Escoamentos laminares e turbulentos
Re = ρVD
µ
→ Forças de inércia vs forças viscosas!
Re → Número de Reynolds;
ρ → Massa espećıfica;
V → Velocidade do escoamento;
D → Diâmetro do duto;
µ → Viscosidade dinâmica;
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos - Escoamentos laminares e turbulentos
0 < Re < 1: Escoamento laminar altamente viscoso;
1 < Re < 100: Escoamento laminar com forte dependência em µ;
100 < Re < 103: Escoamento laminar (útil em teoria de CL);
103 < Re < 104: Escoamento de transição (rota pra caos);
104 < Re < 106: Escoamento turbulento, com dependência
moderada em µ;
106 < Re < ∞: Escoamento turbulento com fraca dependência
em µ;
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos - Escoamentos em camada limite
Camada limite sobre uma placa plana:
Em muitas situações, pode-se dividir o campo de escoamento em
duas regiões principais:
1 Camada Limite —> presença de gradientes de velocidade
2 Escoamento livre —> ausência de gradientes de velocidade
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos - Escoamentos em camada limite
Escoamento laminar e turbulento;
Rex =
ρU0x
µ
U0 —> velocidade do escoamento livre;
x —> medida a partir do bordo de ataque da placa;
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos - Escoamentos em dutos
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos - Escoamentos em dutos
Escoamentos de entrada ou estabelecido:
1 Escoamento livre: Escoamento livre com velocidade U0.
2 Região de entrada: Devido à aderência do fluido à superf́ıcie
sólida ocorre a formação de duas camada limites que
aumentam a medida que o fluido entra no duto. Após uma
determinada distância a camada limite passa a ocupar todo o
interior do duto. Esta distância é conhecida como
comprimento de entrada Le , e nesta região o escoamento é
dito escoamento de entrada.
3 Escoamento estabelecido: Após a distância Le , a camada
limite está totalmente desenvolvida e o escoamento é
chamado estabelecido.
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Cinemática dos Fluidos
Classificação de Escoamentos - Escoamentos em dutos
Após o comprimento de entrada o perfil de velocidade é invariante
ao longo de um duto de seção contante, e a forma da distribuição
de velocidades depende se o escoamento é laminar ou turbulento.
Para um escoamento laminar completamente desenvolvido em um
duto de seção transversal circular de raio R:
.
u(r) = U0
[
1 −
( r
R
)2]
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Meios em movimento
.
EQUAÇÃO DE MOMENTO
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Conceitos preliminares - Forças de corpo e superf́ıcie
MORAN: Thermal Systems Engineering
Fig. 12.1 W-269
patm(A1 – A2)
p2A2p1A1
(2)
(1)
y
x
pela 2a lei de Newtom:
∑ Fx = 0
∑ Fx = p1A1 − p2A2
Forças de pressão atuando em uma contração abrupta.
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Conservação da massa - Equação da continuidade
Para escoamento estacionário de um fluido incompresśıvel, tem-se:
dMsistema
dt
= 0
Onde:
Msistema =
∫
vc
ρd V–
Assim, pelo teorema do Transporte de Reynolds:
d
dt
∫
sistema
ρd V– =
∂
∂ t
∫
vc
ρd V– +
∫
sc
ρ V· n̂ dA
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Conservação da massa - Equação da continuidade
Analisando termo a termo:
Primeiro :
dMsistema
dt → Taxa de variação da massa do sistema;
Segundo
∂
∂ t
∫
vc
ρd V– → Taxa de variação da massa no volume de controle;
terceiro∫
sc
ρ V· n̂ dA → Vazão ĺıquida de massa através da superf́ıcie de
controle.
Para regime permanente:
∂
∂ t
∫
vc
ρd V– = 0
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Conservação da massa - Equação da continuidade
A vazão ĺıquida é dada por:∫
sc
ρ V· n̂ dA = ∑ṁs −∑ṁe
ṁ→ vazão mássica (kg/s).
Assim a equação da continuidade será:
∂
∂ t
∫
vc
ρd V– +
∫
sc
ρ V· n̂ dA = 0
Desta forma a vazão mássica pode ser escrita como:
ṁ = ρAV = ρQ
Onde: Q é a vazão volumétrica (Q = AV (m3/s))
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Conservação da massa - Equação da continuidade
Assim em um Escoamento permamente,
Q = A1V1 = A2V2
É importante destacar que todas as considerações são validas para
flúıdos incompresśıveis e volumes de controles fixos e
indeformáveis!
Exemplo 1:
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Conservação da massa - Equação da continuidade
Assim em um Escoamento permamente,
Q = A1V1 = A2V2
É importante destacar que todas as considerações são validas para
flúıdos incompresśıveis e volumes de controles fixos e
indeformáveis!
Exemplo 1:
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Conservação da massa - Equação da continuidade
Assim em um Escoamento permamente,
Q = A1V1 = A2V2
É importante destacar que todas as considerações são validas para
flúıdos incompresśıveis e volumes de controles fixos e
indeformáveis!
Exemplo 1:
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Conservação da massa - Equação da continuidade
Exemplo 2:
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Equação da continuidade - Volume de controle indeformável e móvel
V = W + Vvc
Onde:
V→ velocidade absoluta do fluido;
W→ velocidade do fluido com relação a um referencial fixo no vc;
Vvc→ velocidade do volume de controle;
Assim:
dMsistema
dt
=
∂
∂ t
∫
vc
ρd V– +
∫
sc
ρ W· n̂ dA
Como a massa do sistema não varia:
∂
∂ t
∫
vc
ρd V– +
∫
sc
ρ W· n̂ dA = 0
Referências IntroduçãoEq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Equação da continuidade - Volume de controle indeformável e móvel
Exemplo 3:
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Equação do momento linear
∑F =
dp
dt
=
d
dt
mV
Sendo a variação de massa do sistema:
d
dt
∫
sistema
ρd V–
tem-se:
d
dt
∫
sistema
Vρd V– =
∂
∂ t
∫
vc
Vρd V– +
∫
sc
Vρ V· n̂ dA
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Equação do momento linear
Termo a termo:
d
dt
∫
sistema
Vρd V–
→ variação temporal do momento do sistema;
∂
∂ t
∫
vc
Vρd V–
→ Variação temporal do momento do volume de controle;∫
sc
Vρ V· n̂ dA
→ fluxo ĺıquido de momento na superf́ıcie de controle;
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Equação do momento linear
∑F =
∂
∂ t
∫
vc
Vρd V– +
∫
sc
Vρ V· n̂ dA
A equação acima é conhecida como equação do momento.
Observações:
Escoamentos permanentes:
∂
∂ t
∫
vc
Vρd V– = 0
Fluxo de momento:∫
sc
Vρ V· n̂ dA = ṁ (V2−V1)
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Equação do momento linear
Assim a equação do momento pode ser escrita de forma
simplificada como:
∑F = ṁ (V2−V1)
Exemplo 4:
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Aplicações da equação do momento
Exemplo 4 (Resolvendo):
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Momento
Aplicações da equação do momento
Exemplo 5:
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Meios em movimento
.
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Bernoulli
Escoamento estacionário de fluido imcompresśıvel e não viscoso.
Considere uma part́ıcula fluida que se desloca ao longo de uma
linha de corrente, seu deslocamento é descrito pela função:
s = s(t).
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Bernoulli
As segunda lei de Newton para descrever o movimento da part́ıcula
ao longo da linha de corrente pode ser escrita como:
∑F = ma
onde: F é a soma da força ĺıquida devido à pressão e da força
devido a interação gravitacional; m é a massa da particula fluida e
a é a aceleração da part́ıcula fluida.
Assim:
v =
ds(t)
dt
como consequência a aceleração da part́ıcula ao longo da linha de
corrente será:
a =
dv
dt
=
dv
ds
ds(t)
dt
ou
a = v
dv
ds
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Bernoulli
MORAN: Thermal Systems Engineering
Fig. 12.5 W-279
θ θ
τ
z
x
Fluid particle
(1)
(2)V
(a) (b)
= 0
ds
pdA
s
dz
(p + dp)dA
d �
A soma das forças diferencias que atuam sobre a part́ıcula, ao
longo da linha de corrente, são:
∑dF = dm a = dmv
dv
ds
= ρ ds dA v
dv
ds
(Restante da demonstração no quadro)
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli - termo a termo
A equação de Bernoulli diz que:
p+
1
2
ρv2 + γz = cte
Analisando termo a termo, temos:
p→ pressão estática;
1
2 ρv
2→ pressão dinâmica;
γz → pressão hidrostática;
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Bernoulli
Ponto de estagnação (v = 0) - pressão de estagnação
MORAN: Thermal Systems Engineering
Fig. 12M.3 W-280
Stagnation streamline
Stagnation point
Stagnation point
H
h
MORAN: Thermal Systems Engineering
Fig. 12.7 W-281
(1) (2)
(3) ρ
Open
V
V1 = V V2 = 0
p2 = p1 +
1
2
ρv2
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Bernoulli
Tubo de Pitot estático
MORAN: Thermal Systems Engineering
Fig. 12.8 W-282
V
p
(1)
(2)
(4)
(3)
p3 = p2
p3 = p+
1
2
ρv2
p1 = p4 = p
assim:
v =
√
2(p3−p4)/ρ
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Bernoulli
Alturas de carga
Dividindo todos os termos da equação de Bernoulli por γ, temos:
p
γ
+
v2
2g
+ z = cte
p/γ → Altura de carga: altura da coluna necessária para
produzir p;
v2/2g → velcidade de carga: Altura para a part́ıcula em
queda livre alcançar a velocidade V;
z → altura da coluna: Termo relacionado com a energia
potencial do sistema;
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Bernoulli
Jatos Livres
MORAN: Thermal Systems Engineering
Fig. 12.9 W-283
(1)
(3)
V
�
h z
(2)
(4)
Podemos demonstrar que:
v =
√
2gh
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação de Bernoulli
Escoamentos confinados
É necessário utilizar o balanço de massa juntamente com a
equação de Bernoulli.
Exemplo 6:
MORAN: Thermal Systems Engineering
Fig. E12.4 W-284/5
�
γ
(1) (2)
Water
D1
D2
h
SG
h
Q
h ~ Q2
(a) (b)
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Meios em movimento
.
EQUAÇÃO DA ENERGIA
MECÂNICA
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação da Energia Mecânica
Perda de carga
No caso de termos um escoamento com a presença de atrito, o
trabalho realizado pelas forças dissipativas reduzirá a energia
mecânica do escoamento, assim teremos que:
p1
γ
+
V 21
2g
+ z1 =
p2
γ
+
V 22
2g
+ z2 +
Ẇvc/ṁ
g
+hL
onde:
hL→ perda de carga devido ao atrito;
Ẇvc/ṁ
g → é a variação da altura de carga no volume de
controle devido a presença de bombas ou turbinas.
Ẇvc = Ẇt −Ẇp
onde
Ẇt → é a potência removida do VC por uma turbina;
Ẇp → é a potência fornecida por uma bomba ao VC;
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação da Energia Mecânica
Perda de carga
Assim a equação da energia mecânica pode ser escrita como:
p1
γ
+
V 21
2g
+ z1 +hp−hL−ht =
p2
γ
+
V 22
2g
+ z2
onde:
hp→ altura de carga da bomba;
hp =
Ẇp/ṁ
g
=
Ẇp
γQ
ht → altura de carga da turbina;
ht =
Ẇt/ṁ
g
=
Ẇt
γQ
sendo:
ṁ = ρQ e γ = ρg
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação da Energia Mecânica
Aplicação
Exemplo 7:
MORAN: Thermal Systems Engineering
Fig. E12.6 W-287
100 m
1 m
V2 = 6 m/s
Turbine
(1)
(2)
Referências Introdução Eq. de Momento Bernoulli Energia Mecânica
Equação da Energia Mecânica
Aplicação
Exemplo 8:
MORAN: Thermal Systems Engineering
Fig. 12.7 W-288
Control volume
Section (2)
Section (1)
Pump
30 ft
	Referências
	Introdução
	Eq. de Momento
	Bernoulli
	Energia Mecânica