atividade um estruturas algebricas

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ATIVIDADE DE ESTUDO 1 
 
Acadêmico: Ana Leticia Caetano R.A. 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 Disciplina: Estruturas Algébricas 
Valor da atividade: 1,0 pontos Prazo: 27/10/2023 
 
Instruções para Realização da Atividade 
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos; 
2. É obrigatória a utilização deste formulário para a realização do MAPA; 
3. Esta é uma atividade individual. Caso identificado cópia de colegas, o trabalho de 
ambos sofrerá decréscimo de nota; 
4. Utilizando este formulário, realize sua atividade, salve em seu computador, renomeie 
e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade MAPA; 
5. Formatação sugerida para esta atividade: documento Word, Fonte Arial ou Times 
New Roman tamanho 12, Espaçamento entre linhas 1,5, texto justificado; 
6. Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa referencie conforme as normas da 
ABNT; 
7. Procure argumentar de forma clara e objetiva, de acordo com o conteúdo da 
disciplina. 
8. Os cálculos e fórmulas devem ser realizados no próprio arquivo word. Para isso 
utilize o EQUATION, que é a ferramenta inserida no próprio word, ou outra 
ferramenta disponível. NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS À MÃO E 
INSERIDOS NO ARQUIVO. 
9. Após a leitura, você poderá apagar essas orientações. 
 
 
Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor Mediador. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma relação de equivalência sobre um conjunto A é uma relação binária em A, que 
possui as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade. Como 
consequência, a relação de equivalência particiona o conjunto A em classes 
disjuntas, chamadas classes de equivalência. Dizemos que dois elementos de A são 
equivalentes quando eles pertencem à mesma classe de equivalência, isso é 
quando eles se relacionam pela relação definida. 
 
Nesta ATIVIDADE DE ESTUDO propomos que você aprofunde e aplique a definição 
de relação de equivalência em dois casos, juntamente com alguns conceitos 
relacionados a funções. Dessa forma, seja 𝑓: 𝑋 → 𝑌 uma função definida do conjunto 
X no conjunto Y. 
 
Considere a seguinte relação R definida sobre X. 
 
𝑥1 𝑅 𝑥2 se, e somente se, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). 
 
Responda aos seguintes itens, justificando todas as suas respostas. 
 
a) Verifique se a relação R é uma relação de equivalência sobre o conjunto X. 
 
Resposta: 
 
Para verificar se a relação R definida como 𝑥1 𝑅 𝑥2 se, e somente se, 
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) é uma relação de equivalência sobre o conjunto X, precisamos 
provar se ela atende às três propriedades de uma relação de equivalência: 
reflexividade, simetria e transitividade. 
 
Primeira propriedade: Reflexividade 
 
Dizemos que R é reflexiva, se para todo 𝑥 ∈ 𝑋 tem-se (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅. No caso da 
relação R definida como 𝑥1 𝑅 𝑥2 se, e somente se, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). 
 
Para provar que a relação R é reflexiva, precisamos mostrar que para todo 
(𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑋 tem-se (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑅. 
 
A relação R é uma relação reflexiva quando (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑋 ↔ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). 
 
Para a relação R ser reflexiva, deve ser verdade que para todo 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 𝑅 𝑥. 
Neste caso, vamos escolher 𝑥 = 𝑥1, então 𝑓(𝑥1) deve ser igual a 𝑓(𝑥1). Isso 
é sempre verdade, pois uma função aplicada a si mesma é igual a si mesma. 
 
 
 
Portanto, a relação R é reflexiva. 
 
Segunda propriedade: Simetria 
 
Dizemos que a relação binária R em 𝑋 é simétrica se 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋 são tais que 
(𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑅, então, também tem-se (𝑥2, 𝑥1) ∈ 𝑅. 
 
Para provar que a relação R é simétrica, precisamos mostrar que se 
(𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑅, então, também tem-se (𝑥2, 𝑥1) ∈ 𝑅, ou seja, se 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2), 
então 𝑓(𝑥2) = 𝑓(𝑥1). 
 
Para a relação R ser simétrica, se 𝑥1 𝑅 𝑥2, então também deve ser verdade 
que 𝑥2 𝑅 𝑥1. Neste caso, se 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2), então 𝑓(𝑥2) também deve ser 
igual a 𝑓(𝑥1), o que é verdade, pois a igualdade é simétrica. 
 
Portanto, a relação R é simétrica. 
 
Terceira propriedade: Transitividade 
 
Dizemos que a relação binária R em X é dita transitiva se 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ∈ 𝑋 são 
tais que (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑅 e (𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅, então (𝑥1, 𝑥3) ∈ 𝑅. 
 
Para provar que a relação R é transitiva, precisamos mostrar que se 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ∈ 𝑋, com (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑅 e (𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅, então (𝑥1, 𝑥3) ∈ 𝑅. 
 
Considere 𝑥1 𝑅 𝑥2 ↔ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) e 𝑥2 𝑅 𝑥3 ↔ 𝑓(𝑥2) = 𝑓(𝑥3). Então, 
também temos 𝑥1 𝑅 𝑥3 ↔ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥3). Como a igualdade é uma 
propriedade transitiva, se 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) e 𝑓(𝑥2) = 𝑓(𝑥3), então 𝑓(𝑥1) =
𝑓(𝑥3). 
 
Logo, a relação R definida como 𝑥1 𝑅 𝑥2 se, e somente se, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) é 
transitiva. 
 
Portanto, a relação R definida como 𝑥1 𝑅 𝑥2 se, e somente se, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) 
é uma relação de equivalência sobre o conjunto X, pois atende às 
propriedades de reflexividade, simetria e transitividade. 
 
b) Caso a função f seja injetora, é possível que 𝑥1 𝑅 𝑥2 se 𝑥1 ≠ 𝑥2? Justifique 
utilizando a definição de função injetora. 
 
Resposta: 
 
 
 
Uma função 𝑓: 𝑋 → 𝑌 é injetora se, para quaisquer elementos 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋, se 
𝑥1 ≠ 𝑥2, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). 
 
Agora, vamos considerar a relação R definida como 𝑥1 𝑅 𝑥2 se, e somente 
se, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). 
 
Se a função f é injetora, de acordo com a definição de função injetora acima, 
sabemos que se 𝑥1 ≠ 𝑥2, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). Isso significa que a relação R 
definida como 𝑥1 𝑅 𝑥2 se, e somente se, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) não pode relacionar 
𝑥1 e 𝑥2 quando 𝑥1 ≠ 𝑥2, pois a igualdade 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) não pode ser 
verdadeira quando 𝑥1 e 𝑥2 são diferentes. 
 
Portanto, não é possível que 𝑥1 𝑅 𝑥2 se 𝑥1 ≠ 𝑥2, caso a função f seja 
injetora. 
 
c) Suponha agora que f seja sobrejetora. Assim, se 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑌, existem 𝑥1, 𝑥2 ∈
𝑋 tais que, 𝑓(𝑥1) = 𝑦1 𝑒 𝑓(𝑥2) = 𝑦2. Considere a seguinte relação ~ em Y: 
𝑦1~𝑦2 se, e somente se 𝑥1 não se relaciona com 𝑥2 em 𝑅. Verifique se a 
relação ~ é uma relação de equivalência sobre o conjunto 𝑌. 
 
Resposta: 
 
Uma função f é sobrejetora se para cada 𝑦 ∈ 𝑌 existe 𝑥 ∈ 𝑋 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦. 
Isto é, uma função 𝑓: 𝑋 → 𝑌 é sobrejetora se 𝑓(𝑋) = 𝑌. 
 
Uma função 𝑓: 𝑋 → 𝑌 sobrejetora, ou seja, dados 𝑦1 𝑒 𝑦2 ∈ 𝑌 então existem 
𝑥1 𝑒 𝑥2 ∈ 𝑋 tal que 𝑓(𝑥1) = 𝑦1 𝑒 𝑓(𝑥2) = 𝑦2. 
 
Para verificar se a relação ~ em Y definida como 𝑦1~𝑦2 se, e somente se 𝑥1 
não se relaciona com 𝑥2 em 𝑅 é uma relação de equivalência sobre o 
conjunto 𝑌, precisamos provar três propriedades fundamentais de uma 
relação de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade. 
 
Primeira propriedade: Reflexividade 
 
Uma relação é reflexiva se, para cada elemento 𝑦 em 𝑌, 𝑦 está relacionado a 
si mesmo. 
 
No caso da relação ~ em Y, isso significa que para 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑌, precisamos 
verificar se 𝑦1~𝑦2. 
 
 
 
 
Temos uma relação ~ definida em 𝑌 da seguinte forma: 
 
𝑦1 ~ 𝑦2 se 𝑥1 e 𝑥2 não estiverem relacionados em 𝑅, ou seja, a relação 
𝑥1 𝑅 𝑥2 não acontece. 
 
Para que a relação ~ seja reflexiva, para cada 𝑦 𝑒𝑚 𝑌, deve ser verdade que 
y ~ y. Dado que f é uma função sobrejetora, para cada 𝑦 𝑒𝑚 𝑌, existem pelo 
menos dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 𝑒𝑚 𝑋 correspondentes, tais que 𝑓(𝑥1) =
𝑦 𝑒 𝑓(𝑥2) = 𝑦. Contudo, tanto 𝑥1 como 𝑥2 se relacionam com 𝑦, o que 
significa que não existe situação em que 𝑥1 não se relaciona com 𝑥2 em 
𝑅 quando se trata de 𝑦 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). 
 
Portanto, a relação ~ não é reflexiva, pois não há situação em que y1 ~ y1. 
 
Segunda propriedade: Simetria 
 
Uma relação é simétrica se, sempre que 𝑦1~𝑦2, também é verdade que 
𝑦2~𝑦1. 
 
No caso da relação ~ em Y, se 𝑥1 não está relacionado com 𝑥2 em 𝑅, temos 
que 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2), o que por sua vez implica 𝑦1 ≠ 𝑦2. 
 
Na relação ~ em Y, se 𝑥2 não está relacionado com 𝑥1 em 𝑅, temos que 
𝑓(𝑥2) ≠ 𝑓(𝑥1), o que porsua vez implica 𝑦2 ≠ 𝑦1. 
 
Portanto, se 𝑦1~𝑦2, então 𝑦2~𝑦1, e a relação ~ em Y é simétrica. 
 
Para que a relação ~ seja simétrica, se 𝑦1 ~ 𝑦2, então 𝑦2 ~ 𝑦1. A definição da 
relação ~ é que 𝑦1 ~ 𝑦2 se 𝑥1 não se relaciona com 𝑥2 em R. Essa definição 
não depende da ordem de 𝑦1 𝑒 𝑦2, ou seja, se 𝑥1 não se relaciona com 𝑥2, 
então 𝑥2 também não se relaciona com 𝑥1 em R. 
 
Portanto, a relação ~ é simétrica. 
 
Terceira propriedade: Transitividade 
 
Uma relação é transitiva se, sempre que 𝑦1~𝑦2 e 𝑦2~𝑦3, então 𝑦1~𝑦3. 
 
No caso da relação ~ em Y, se 𝑥1 não está relacionado com 𝑥2 em 𝑅 e 𝑥2 
não está relacionado com 𝑥3 em 𝑅, temos que 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) e 𝑓(𝑥2) ≠
 
 
𝑓(𝑥3). Isso significa que se 𝑥1 não está relacionado com 𝑥3 em 𝑅, então 
𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥3). 
 
Portanto, se 𝑦1~𝑦2 e 𝑦2~𝑦3, então 𝑦1~𝑦3, e a relação ~ em Y é transitiva. 
 
Portanto, a relação ~ em Y não é uma relação de equivalência sobre o 
conjunto Y, pois não atende à propriedade de reflexividade, somente atende 
às propriedades de simetria e transitividade.