Matematica Financeira UA2 JS 2019 I

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2019/I U.A. 2: JURO SIMPLES - Parte II 
 MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados. 
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OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
 
1- Entender o conceito de taxas proporcionais; taxas equivalentes; taxas nominais; e taxas 
efetivas. 
 
2- Calcular taxa proporcional; taxa equivalente; taxa nominal; e taxa efetiva. 
 
3- Compreender os conceitos de Valores: Nominal; Atual; e Futuro de um Compromisso 
Financeiro. 
 
4- Calcular os Valores: Nominal; Atual; e Futuro de um Compromisso Financeiro. 
 
5- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA2. 
 
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Duas taxas são proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com o quociente dos 
respectivos períodos. 
 
Ex. 1: Verificar se a taxa de 20% a.a. e a taxa de 10% a.s. são proporcionais no regime de capitalização 
simples. 
 
Solução: 
(1)  (20%) ÷ (10%) 
 (ano) (sem) 
 
(1)  (20%) x (sem) = (2) (sem)  quociente entre as taxas 
 (ano) (10%) (ano) 
(2)  (sem) = 2 x (sem)  quociente entre os períodos 
 (ano) (ano) 
 Como: (1) = (2)  que as taxas são proporcionais. 
Resposta: As taxas são proporcionais. 
 
 
 
 
Duas taxas são ditas equivalentes se aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo período de tempo, 
ambas as taxas produzirem o mesmo montante, ou o mesmo juro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 2: Verificar se a taxa de juros de 20% a.a. e a taxa de juros de 10% a.s. são equivalentes no regime 
de capitalização simples. 
 
Solução 1: 
 
1- CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXA DE JUROS 
1.1- TAXAS PROPORCIONAIS 
1.2-TAXAS EQUIVALENTES 
NOTA: 
 No Regime de Capitalização Simples as Taxas Proporcionais são igualmente 
Equivalentes, e vice-versa. 
 
J = P x i x n 
(n) 
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 (1) P = $ 1 i = 20% a.a. n = 1 ano 
 (2) P = $1 i = 10% a.s. n = 1 ano = 2 sem 
Então: 
(1)  J = ($ 1) (0,20/ano) (1 ano) = $ 0,20 
 (2)  J = ($ 1) (0,10/sem) (2 sem) = $ 0,20 
Como: (1) = (2)  são equivalentes 
 
 
Solução 2: 
 (1) P = $1 i = 20% a.a. n = 1 ano 
 (2) P = $1 i = 10% a.s. n = 1 ano = 2 sem 
 
Então: 
 (1)  S = $ 1 x [1 + (0,20/ano) x (1 ano)] = $ 1,20 
 (2)  S = $ 1 x [1 + (0,10/sem) x (2 sem)] = $ 1,20 
Como: (1) = (2)  são equivalentes 
Resposta: As taxas são equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 3: Verificar em regime de capitalização simples se as taxas 10% a.m. e 30% a.q. se são: 
a) proporcionais, e b) equivalentes. 
Solução: 
a) Quociente entre as taxas: (10%) ÷ (30%) 
 (mês) (quad) 
Quociente entre as taxas: (10%) x (quad) = 1 quad. 
 (mês) (30%) 3 meses 
Quociente entre respectivos períodos: 1 quad. 
 4 meses 
Como: 
S = P [1 + (i x n)] 
Observação: 
 No exemplo anterior essas duas taxas também foram proporcionais, então, 
podemos concluir: quando duas taxas são proporcionais em regime de capitalização 
simples elas também são equivalentes, ou vice-versa. 
 
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1 quad. ≠ 1 quad. 
3 meses 4 meses 
Então, as duas taxas não são proporcionais 
Resposta: As duas taxas não são proporcionais 
b) 
Solução 1: 
Prazo = 1 ano = 12 meses i = 10% a.m. J1 = (P) (0,1) (12) = 1,2 P 
 Prazo = 1 ano = 3 quad. i = 30% a.q. J2 = (P) (0,3) (3) = 0,9 P 
Como os valores dos juros são diferentes, então, não são equivalentes 
 
Solução 2: 
Prazo = 1 ano = 12 meses i = 10% a.m. S1 = P x [1 + (0,1 x 12)] = 2,2 P 
 Prazo = 1 ano = 3 quad. i = 30% a.q. S2 = P x [1 + (0,3 x 3)] = 1,9 P 
Como os valores dos montantes são diferentes, então, não são equivalentes 
Resposta: As duas taxas não são equivalentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A taxa nominal é a taxa de juros contratada numa operação financeira; e a taxa efetiva é a 
taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. 
Nem sempre a taxa nominal é igual a taxa efetiva. Isto acontece pelo fato de existirem taxas, 
comissões, obrigações ou impostos que oneram os pagamentos dos juros ou comprometem os 
rendimentos. 
Diferentes critérios para o cálculo dos juros também fazem diferir a taxa nominal da taxa 
efetiva, por exemplo: juros calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas ou juros 
cobrados antecipadamente. 
Estes e outros artifícios usados às vezes conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer 
os juros parecerem menores ou maiores conforme a conveniência, fazem com que tanto de 
capitalização simples quanto no regime de capitalização composto as taxas efetivas e nominais difiram. 
 
S = P [1 + (i x n)] 
J = P x i x n 
Lembrete: 
 Como essas duas taxas do item (a) não foram proporcionais, então, elas também não 
serão equivalentes como vimos no item (b). 
 
1.3- TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA DE JUROS 
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Ex. 4: Uma imobiliária está vendendo terrenos à vista por $ 45.000; e a prazo, vende os mesmos 
terrenos por $ 13.000 de entrada e um pagamento de $ 36.000, um semestre após a compra. Qual foi a 
taxa de juros simples efetiva ao quadrimestre cobrada no financiamento? 
 
Preço à Vista = $ 45.000 → sempre no tempo = zero 
 Entrada = $ 13.000 
Prestação= $ 36.000 (1 sem. após compra) iefet. = ? (a.q.) 
Solução: 
Para o pagamento de um determinado produto ou serviço existem duas opções: Pagar à Vista ou 
Pagar a Prazo. 
 
Pagamento a Prazo é o soma das prestações, sendo que a primeira prestação no ato da compra é 
chamada de entrada, portanto, o pagamento a prazo nada mais que a entrada mais o somatório das 
prestações. 
Pagamento a Prazo = Entrada + Prestações. 
Entrada: nada mais do que uma prestação sendo que esta só socorre no ato da compra. 
 
Valor Financiado: É o valor sobre o qual será pago os Juros, portanto, quanto maior o valor da 
entrada menor o juro que terá que ser pago. 
 
 Valor Financiado = Preço à Vista – Entrada 
Preço à Vista: é o Preço com Desconto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O problema quer saber qual a taxa efetiva e não taxa nominal. 
As taxas efetivas são com os valores efetivos, portanto, com o capital efetivo, com o juro efetivo 
ou com o montante efetivo. 
 Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 Preçoa Prazo = Entrada + Prestações 
 Preço à Vista = Preço com Desconto 
 
NOTAS: 
1- Valores somente podem ser comparados se estiverem referenciados na mesma 
data. 
2- Operações algébricas apenas podem ser executadas com valores referenciados 
na mesma data. 
 
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Valor Financiado = Pefetivo = $ 45.000,00 − $ 13.000,00 = $ 32.000 
 
 
Solução 1: 
 
 
 
 
Jefet. = Sefet. – Pefet. e Jefet. = Pefet. x iefet. x n 
36.000 − 32.000 = 32.000 x i efet. x 6 ÷ 4 
(36.000 − 32.000) ÷ 32.000 ÷ 6 x 4 
iefet. = 0,0833 ou 8,33% 
 
Solução 2: 
 
Sef. = Pef. x [1 + (ief. x n)] 
36.000 = 32.000 x [1 + (ief. x 6 ÷ 4)] 
$ 32.000 = Pefet. 
$ 36.000 = Sefet. 
6 Meses 0 
$ 45.000 
$ 13.000 
$ 36.000 
6 Meses 0 
S = P [1 + (i x n)] i = [(S ÷ P) – 1] ÷ n 
J = P x i x n 
S = P + J 
i = (S – P) ÷ (P x n) 
J = S – P 
ief. = [(Sef. ÷ Pef.) – 1] ÷ n 
ief. = [(Sef. − Pef.) ÷ (Pef. x n) 
Jef. = Sef. – Pef. 
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(36.000 ÷ 32.000 – 1) ÷ 6 x 4 = ief. 
iefet. = 0,0833 = 8,33% 
Resposta: 8,33% 
 
Ex. 5: Aplicou-se em uma poupança $ 33.700 pelo prazo de quatro anos e taxa de juros simples de 
42% a.s. Calcular a rentabilidade efetiva mensal da aplicação se foi pago uma alíquota de 20% de 
Imposto de Renda no resgate. 
 
 P = $ 33.700 n = 4 anos 
i = 42% a.s. Alíq. IR = 20% iefet. = ? (a.m.) 
Solução: 
 
Jnom. = $ 33.700 x 0,42/sem. x 4 anos x 2 sem./1 ano 
Jnom. = $ 113.232 
 Alíquota do Imposto de Renda (IR) incide no Juro (Rendimento) 
IR = (alíq. IR ) x (J) 
IR = 0,20 x $ 113.232 
IR = $ 22.646,40 
Jefet. = Jnom − IR 
Jefet. = $ 113.232 – $ 22.646,40 
Jefet. = $ 90.585,60 
 
 
Jef.. = Pef. x ief. x n 
$ 90.585,60 = $ 33.700 x ief. x 4 anos x 12 meses ÷ 1 ano 
$ 90.585,60 ÷ $ 33.700 ÷ 4 anos ÷ 12 meses x 1 ano = ief. 
iefet. = 0,056 a.m. = 5,6% a.m. 
Resposta: 0,056 ou 5,6% 
 
Ex. 6: Um equipamento está sendo vendido à vista por $ 102.000; ou a prazo com um acréscimo de 
25% sobre o preço a vista, sendo que no pagamento a prazo terá que dar uma entrada de $ 35.000 e 
mais um pagamento dois meses após a compra. Qual é a taxa efetiva anual que está sendo cobrada no 
financiamento se o regime for de capitalização simples? 
 
Preço à Vista = $ 102.000 
J = P x i x n 
J = P x i x n ief. = Jef. ÷ (Pef. x n) 
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Preço a Prazo = 1,25 x $ 102.000 = $ 127.500 
Entrada = $ 35.000 
Prestação → 2 meses após compra iefet. = ? (a.a.) 
Solução: 
Para o pagamento de um determinado produto ou serviço existem duas opções: Pagar à Vista ou 
Pagar a Prazo. 
 
Pagamento a Prazo é o soma das prestações, sendo que a primeira prestação no ato da compra é 
chamada de entrada, portanto, o pagamento a prazo nada mais que a entrada mais o somatório das 
prestações. 
Pagamento a Prazo = Entrada + Prestações. 
Entrada nada mais do que uma prestação sendo que esta só socorre no ato da compra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O problema diz o seguinte: prazo com um acréscimo de 25% sobre o preço a vista, 
Como o Preço à Vista = $ 102.000 
Então Preço a Prazo = 1,25 x $ 102.000 = $ 127.500 
 
Por outro lado o Pagamento a Prazo = Entrada + Prestações. 
 127.500 = Entrada + Prestações. 
Como a entrada é $ 35.000 
Substituindo fica: 127.500 = 35.000 + Prestações (uma prestação). 
Portanto, Prestação = $ 92.500 (dois meses após a compra) 
 
Valor Financiado: é o valor que efetivamente está devendo, isto é, nada mais do que o capital 
efetivo. É o valor sobre o qual será pago os Juros, portanto, quanto maior o valor da entrada 
menor o juro que terá que ser pago. 
 
 Valor Financiado = Preço à Vista – Entrada 
Sendo que o Preço à Vista é o Preço com Desconto 
Como: Preço à Vista = $ 102.000 e Entrada = $ 35.000 
Então: Valor Financiado = 102.000 – 35.000 = $ 67.000 (sobre este valor que será pago o juro). 
NOTAS: 
3- Valores somente podem ser comparados se estiverem referenciados na mesma 
data. 
4- Operações algébricas apenas podem ser executadas com valores referenciados 
na mesma data. 
 
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O problema quer saber qual a taxa efetiva e não taxa nominal. 
As taxas efetivas são com os valores efetivos, portanto, com o capital efetivo, com o juro efetivo 
ou com o montante efetivo: 
 
 Valores Nominais Valores Efetivos 
 
 
 
 Valores Nominais Valores Efetivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
$ 67.000 = Pef 
$ 92.500 
2 Meses 0 
Preço à Vista = $ 102.000 
$ 35.000 
Prestação 
2 Meses 0 
 Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
 Preço à Vista = Preço com Desconto 
 
J = P x i x n 
Sef. = Pef. [1 + (ief. x n)] S = P [1 + (i x n)] 
Jef. = Pef. x ief. x n 
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Solução 1: 
 
 
 
 
Jefet. = Sefet. – Pefet. e Jefet. = Pefet. x iefet. x n 
92.500 − 67.000 = 67.000 x i ef. x 2 ÷ 12 
(92.500 − 67.000) ÷ 67.000 ÷ 2 x 12 = i ef. 
ief. = 2,2836 = 228,36% 
 
Solução 2: 
 
Sefet = P x [1 + (ief. x n)] 
92.500 = 67.000 x [1 + (ief. x 2 ÷ 12)] 
(92.500 ÷ 67.000 – 1) ÷ 2 x 12 = ief. 
iefet. = 2,2836 = 228,36% 
Resposta: 228,36% 
 
Ex. 7: Um tomador de empréstimo pagou por um empréstimo de $ 81.000 de cinco bimestres uma taxa 
de 1,5% a.m. de juros simples. Se os juros foram pagos antecipadamente, qual foi taxa efetiva ao 
semestre cobrada no empréstimo? 
 
Pnom. = $ 81.000 
n = 5 bim.= 10 meses 
i = 1,5% a.m. (taxa nominal) 
Juros pagos antecipadamente → Juros pagos no início do prazo (momento que pegou o 
empréstimo) 
iefet. = ? (a.s.) 
Solução: 
 
Jnom. = $ 81.000 x 0,015/mês x 10 meses 
Jnom. = $ 12.150 
Pefet. = $ 81.000 − $ 12.150 = $ 68.850 
 
 
J = P x i x n 
S = P [1 + (i x n)] i = [(S ÷ P) – 1] ÷ n 
ief. = [(Sef. ÷ Pef.) – 1] ÷ n 
J = (P) (i) (n) 
S = P + J 
i = (S – P) ÷ (P x n) 
J = S – P 
ief. = [(Sef. − Pef.) ÷ (Pef. x n) 
Jef. = Sef. – Pef. 
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Solução 1: 
 
Sefet = Pefet [1 + (iefet. x n)] 
 $ 81.000 = $ 68.850 x [1 + (ief. x 5 bim. x 1 sem ÷ 3 bim.)] 
 (81.000 ÷ 68.850 – 1) x 3 ÷ 5 ÷ 1 sem. = ief. 
iefet. = 0,1059 a.s. = 10,59% a.s. 
Solução 2: 
 
 
 
 
 Jef. = Pef. x ief. x n 
81.000 – 68.850 = 68.850 x ief. x 5 ÷ 3 
(81.000 – 68.850) ÷ 68.850 ÷ 5 x 3 = ief. 
ief. = 0,1059 a.s. ou 10,59% a.s. 
$ 68.850 
$ 81.000 
Meses 10 0 
 
$ 81.000 
J = $ 12.150 
$ 81.000 
Meses 10 0 
 
S = P [1 + (i x n)] i = [(S ÷ P) – 1] ÷ n 
ief. = [(Sef. ÷ Pef.) – 1] ÷ n 
J = P x i x n 
S = P + J 
i = (S – P) ÷ (P x n) 
J = S – P 
ief. = [(Sef. − Pef.) ÷ (Pef. x n) 
Jef. = Sef. – Pef. 
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Resposta: 0,1059 ou 10,59% 
 
Ex. 8: Em uma determinada casa comercial são concedidos descontos de 10% no preço das 
mercadorias para vendas à vista. Esta mesma casa cobra 24% de para as vendas com prazo de 
pagamento de dois meses. Calcular: (a) Taxa juros simples nominal mensal; (b) Taxa juros simples 
efetiva anual. 
 
Preço à Vista = 10% de Desconto no Preço 
Preço a Prazo = 24% de acréscimo prazo = 2 meses 
(a) Solução: Taxa Nominal 
Taxa Nominal: é toda taxa declarada. 
 “24% de para as vendas com prazo de pagamento de dois meses” 
 .24. x . 1 . = 0,24 = 0,24 
 100 2 meses 2 meses bim. 
Mas a pergunta do problema é: “qual a taxa nominal mensal?” 
Então: 
.24. x . 1 . = 12 . x 1 . = (0,12/mês) = 0,12 a.m. 
 100 2 meses 100 mês 
(b) Solução: Taxa Efetiva 
 1º lugar: O que se equivale ao Preço a Prazo é o Preço à Vista 
 Preço à Prazo Preço à Vista 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por enquanto, estamos falando que equivale não estamos dizendo que é igual, porque estão em datas 
diferentes. Não posso simplesmente só igualar o Preço a Prazo ao Preço à Vista (ou vice-versa). 
 
2º lugar: O Preço à Vista é o Preço com Desconto. 
Podemos concluir que: 
 
 
LEMBRETE: 
1- Valores somente podem ser comparados se estiverem referenciados na mesma 
data. 
 
2- Operações algébricas apenas podem ser executadas com valores referenciados 
na mesma data. 
 
Preço a Prazo 
Equivale 
Preço à Vista 
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Voltando ao enunciado: “são concedidos descontos de 10% no preço das mercadorias para vendas 
à vista”, então, vamos atribuir o valor de X para variável Preço  P = X, 
 
O desconto: 10% do Preço  Desconto = (10.÷ 100) (X) = 0,1 X (À vista). 
À vista: X – 0,1 X 
Colocando X em evidência fica: (1 – 0,1) (X) 
Resultando em: 0,9 X → O que seria se fosse à vista 
 
Preço a Prazo Preço com Desconto 
Preço à Prazo 0,9 X 
Agora vamos para o Preço a Prazo. 
Diz o enunciado: “cobra 24% de juros simples para as vendas com prazo de pagamento” 
 Preço a Prazo: X + (0,24) (X) = 1,24 X 
Preço à Prazo 0,9 X 
 1,24 X 0,9 X 
 
3º lugar: Preço a Prazo Entrada + Prestações 
Neste problema como a Entrada é zero, e a prestação só tem uma (dois meses após a compra) com 
acréscimo de 24% a juros simples, então, a Prestação será exatamente igual ao Montante. (S = P + J) 
 
 Montante = X + 0,24 X, colocando X em evidência: 
X (1 + 024) = X (1,24) = 1,24 X 
Preço a Prazo = 1,24 X 
Solução 1: S = 1,24 X P = 0,9 X n = 2 meses 
 
 
 
 
 
 
 
Preço à Vista = Preço com Desconto = (0,9) (X) 
Preço a Prazo = (1,24) (X) = S 
Meses 2 
Jef. = Pef. x ief. x n J = P x i x n 
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1,24 X − 0,9 X = 0,9 X (ief. x 2 meses) 
[(1,24 X − 0,9 X) ÷ 0,9 X] ÷ 2 meses = ief. 
ief. = 0,1889 a.m. 
ief. = 0,1889 x 12 = 2,2668 a.a. = 226,68% a.a. 
Solução 2: S = 1,24 X P = 0,9 X n = 2 meses 
 
 
 
 
1,24 X = (0,9 X) [1 + (ief.) (2 meses) (1 ano)] 
 12 meses 
(1,24 ÷ 0,9 − 1) ÷ 2 ÷ 1 ano x 12 = ief. 
iefet. = 2,2667 a.a. = 226,67% a.a. 
Resposta: (a) 0,12 ou 12% (b) 2,2667 ou 226,67% 
Nota 1: A diferença entre as duas soluções (b) é devido ao arredondamento feito na solução um. 
Nota 2: A taxa nominal anual seria 144% (12% x 12) muito menor que a taxa efetiva anual 
(226,67%). 
 
Ex. 9: Bianca investiu $ 25.500 pelo prazo de três semestres e dois meses a uma taxa de juros simples 
de 15% a.t. Se Bianca teve que pagar Imposto de Renda e a rentabilidade efetiva do investimento foi 
4,25% a.m., de quanto foi a alíquota do IR? 
 
P = $ 25.500 n = 3 sem. e 2 m. = (3 x 6) + 2 = 20 meses. 
i = 15% a.t. ief. = 4,25% a.m. 
Alíq. de IR = X = ? 
Solução: 
 
J = 25.500 x 0,05 x 20 = 25.500 
Jnom. = $ 25.500 
 Alíquota do Imposto de Renda (IR) incide no Juro (Rendimento) 
IR = (alíq. IR ) (J) 
IR = X x 25.500 = 25.500 X 
Jefet. = Jnom. − IR 
J = P x i x n 
ief. = [(Sef. ÷ Pef.) – 1] ÷ n 
S = P [1 + (i x n)] Sef. = Pef. [ 1 + (ief. x n)] 
J = S – P S = P + J Jef. = Sef. – Pef. 
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Jefet. = 25.500 – 25.500 X 
 
 
 
 
 
25.500 – 25.500 x X = 25.500 x 0,0425 x 20 
25.500 – 25.500 X = 21.675 
(25.500 – 21.675) ÷ 25.500 = X 
X = 0,15 = 15% 
Resposta: 0,15 ou 15% 
 NOTA: A Alíquota do Imposto de Renda não tem unidade. 
 
Ex. 10: As Lojas BBF estão vendendo televisores à vista por $ 1.300 e a prazo, vende os mesmos 
televisores por $ 1.700, com $ 500 de entrada e o saldo três trimestres após a compra. Calcular a taxa 
de juros simples efetiva anual cobrada no financiamento. 
 
 Preço à Vista = $ 1.300 Preço a Prazo = $ 1.700 Entrada = $ 500 
 Prestação → 3 trim. (após compra) 
 iefet. = ? (a.a.) 
Solução: 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
$ 1.700 = $ 500 + Prestação 
Prestação = $ 1.200 → 3 trim. após compra 
Preço à Vista = Preço com Desconto 
 
 
 
 
 
 
 
 
$ 1.300 
$ 500 
$ 1.200 
3 Trim
. 
0 
J = P x i x n 
J = S – P S = P + J Jef. = Sef. – Pef. 
Jef. = Pef. x ief. x n 
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Valor Financiado = Preço à Vista– Entrada 
Valor Financiado = 1.300 − 500 = Pefet. = $ 800 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 1: 
 
 
 
 
1.200 − 800 = 800 x ief. x 3 ÷ 4 
(1.200 – 800) ÷ 800 ÷ 3 x 4 = ief. 
iefet = 66,67% 
 
Solução 2: 
 
 
 
 
 
1.200 = 800 x [1 + (ief. x 3 ÷ 4)] 
(1.200 ÷ 800 – 1) ÷ 3 x 4 = ief. 
iefet. = 66,67% 
Resposta: 0,6667 ou 66,67% 
 
Ex. 11: Se comprar à vista, de quanto será o desconto no preço concedidos por uma loja de 
eletrodomésticos; se esta mesma loja cobra 50% de juros simples para vendas com prazo de pagamento 
um ano e a taxa efetiva de juros simples é 15% a.m. 
 
 Preço = P ief = 15% a.m. 
50% juros simples – pagamento: 1 ano 
$ 800 
$ 1.200 
3 Trim. 0 
S = P [1 + (i x n)] 
J = P x i x n 
i = (S – P) ÷ (P x n) 
ief. = [(Sef. − Pef.) ÷ (Pef. x n) 
J = S – P S = P + J 
i = [(S ÷ P) – 1] ÷ n 
ief. = [(Sef. ÷ Pef.) – 1] ÷ n 
Jef. = Sef. – Pef. 
Jef. = Pef. x ief. x n 
Sef. = Pef. [ 1 + (ief. x n)] 
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Desconto = X = ? (No preço) → Pagamento à Vista 
Solução: 
Preço = P Desconto no Preço = X P 
Preço à Vista = Preço com Desconto Preço com Desconto = Preço − Desconto 
 Preço à Vista = P − X P 
Colocando P em evidência fica: 
Preço à Vista = P x (1 – X) 
Valor Financiado = Pefet = Preço à Vista – Entrada 
Como a entrada é igual a zero, então, fica: 
 Pefet = P x (1 – X) – 0 
Pefet = P x (1 – X) 
Pagamento a Prazo = P + 0,5 P 
Pagamento a Prazo = 1,5 P = Sefet. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,50 P = P x (1 − X) x [1+ (0,15 x 1 x 12)] 
Dividindo a equação por P: 
1,50 P = P x (1 − X) x [1+ (0,15 x 1 x 12)] 
 P P 
1,50 = (1 − X) x 2,8 
1 – (1,50 ÷ 2,8) = X 
X = 0,4643 = 46,43% 
Resposta: 0,4643 ou 46% 
 
P (1 − X) = Pefet 
1,5 P = Sefet. 
1 Anos 0 
S = P [1 + (i x n)] Sef. = Pef. [ 1 + (ief. x n)] 
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O Valor Nominal corresponde o valor recebido por um compromisso na data de vencimento, 
isto é, o valor que assume esse compromisso em sua data de vencimento e será representado pela letra 
“N”. O Valor Nominal é igual ao Montante (S). 
 
 
 
 
 
 O Valor Atual ou Valor Descontado corresponde ao valor que um compromisso tem em uma 
data anterior a data de seu vencimento e será representado e será representado pela letra “V”. 
 
 
 
O Valor Futuro de um compromisso é o valor em qualquer data posterior a que está sendo 
considerada no momento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
V 
N = S 
0 Data Vencim. Data Atual 
P → S  Fator = 1 + (i1) (n1) 
S → P  Fator = 1 . 
 1 + (i1) (n1) 
 
i1: Taxa de Juros Simples do Emprétimo 
N → V  Fator = . 1 . 
 1 + (i2) (n2) 
V → N  Fator = 1 + (i2) (n2) 
n2: Prazo antecipação da dívida 
n1: Prazo do Emprétimo 
i2: Taxa de Juros Simples (Operação de 
 Desconto) 
2- VALORES: NOMINAL, ATUAL, E FUTURO DE UM COMPROMI SSO 
 FINANCEIRO 
2.1- VALOR NOMINAL 
2.2- VALOR ATUAL OU VALOR DESCONTADO 
2.3- VALOR FUTURO 
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Ex. 12: : Leo fez um empréstimo de $ 32.000 pelo prazo de dois anos e meio a uma taxa de juros 
simples de 4% a.m. Se ele quitou a dívida um semestre antes do vencimento e a taxa de juros simples 
corrente do mercado foi 7% a.b., quanto que Leo pagou? 
 
P = $ 32.000 
i1 = 4% a.m. n1 = 2,5 x 12 = 30 meses 
 i2 = 7% a.b. n2 = 1 x 3 = 3 bim. 
Leo pagou (por ter pago antecipadamente a dívida) = Valor Descontado = V = ? 
 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: 
S = N = P [1 + (i1 x n1)] 
 S = N = 32.000 x [1 + (0,04 x 30)] 
S = N = $ 70.400 (Valor que pagaria se pagasse no final do prazo). 
 
Notas: 
1- Quando a data posterior for data de vencimento do compromisso financeiro, 
então, teremos o valor nominal do compromisso financeiro. 
 
2- O valor Futuro só será igual ao montante quando a data futura for a data de 
vencimento do compromisso financeiro. 
 
P = $ 32.000 
V = ? 
S = N 
0 Data Venc. Data Atual 
 i2 = 7% a.b. 
n1 = 30 meses 
i1 = 4% a.m. 
 n2 = 1 bim. 
Taxa de Juros 
S = P [1 + (i x n)] 
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3) Calcular o Prazo de Antecipação: 
 
 
Desconto foi à Taxa de Juros: “i2” 
N = V [1 + (i2 x n2)] 
70.400 = V x [1 + (0,07 x 3)] 
70.400 ÷ [1 + (0,07 x 3)] = V 
 V = $ 58.181,82 
Resposta: $ 58.181,82 
 
Ex. 13: Se o valor nominal de uma Letra de Câmbio for $ 8.700, foi descontada onze trimestres antes 
do vencimento, considerando-se a taxa de juros simples de 1,7% a.m, calcule: o valor descontado e o 
valor do desconto. 
 
N = S = $ 8.700 
i2 = 1,7% a.m. (foi a taxa de juros simples) n2 = 11 trim. 
Valor Descontado (Valor Atual) = V = ? 
Valor do Desconto = Desconto = D = ? 
Solução: 
 
 N = V [1 + (i2 x n2)] 
8.700 = V [1 + (0,017 x 11 x 3)] 
8.700 ÷ [1 + (0,017 x 11 x 3)] = V 
V = $ 5.573,35 
 
 
D = 8.700 − 5.573,35 = $ 3.126,65 
Resposta: $ 5.573,35; $ 3.126,65 
 
S = P x [1 + (i x n)] N = V [1 + (i x n)] V = N ÷ [1 + (i x n)] 
Nota: 
 O Valor de uma Dívida é o valor na data de vencimento, portanto, $ 70.400 é o 
Montante (valor no final do prazo) que é igual ao Valor Nominal. 
 
V = N ÷ [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] N = V [1 + (i x n)] 
D = N − V 
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 N = V [1 + (i2 x n2)] 
8.700 = V [1 + (0,017 x 11 x 3)] 
8.700 ÷ [1 + (0,017 x 11 x 3)] = V 
V = $ 5.573,35 
 
 
D = 8.700 − 5.573,35 = $ 3.126,65 
Resposta: $ 5.573,35; $ 3.126,65 
 
Ex. 14: Um varejista fez um empréstimo de $ 45.000 pelo prazo de nove semestres e dois meses a uma 
taxa de juros simples de 12% a.t. Se ele pagou $125.000 antes da data de vencimento, e se a taxa de 
juros simples corrente do mercado foi 3,75% a.m., então, quanto tempo antes do vencimento o 
varejista quitou a dívida? 
 
P = $ 45.000 
V = $ 125.000 
i1 = 12% a.t n1 = (9 x 6) + 2 = 56 
i2 = 3,75% a.m n2 = ? 
Solução: 
1) Traçar o Diagramade Tempo 
 
 
P 
 V = ? S = N = $ 8.700 
0 
Data Venc. 
 Data Atual 
i1 : não foi dado 
n1: não foi dado 
Trim. 
i2 = 1,7% a.m. 
n2 = 11 trim. 
Taxa de Juros 
 D = ? 
V = N ÷ [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] N = V [1 + (i x n)] 
D = N − V 
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2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: 
N = S = P [1 + (i1 x n1)] 
 S = N = 45.000 x [1 + (0,12 x 56 ÷ 3)] 
S = N = $ 145.800 
3) Calcular o Prazo de Antecipação: Desconto foi à Taxa de Juros: “i2” 
 
 
N = V [1 + (i2 x n2)] 
145.800 = 125.000 x [1 + (0,0375 x n2)] 
(145.800 ÷ 125.000 – 1) ÷ 0,0375 = n2 
 n2 = 4,44 meses 
[(145.800 ÷ 125.000) – 1] ÷ 0,0375 = n2 
Resposta: 4,44 meses 
 
Ex. 15: Foi pego emprestado uma determinada quantia a uma taxa de juros simples de 1,8% a.m. 
Sabendo-se que foi pago $ 23.900 meio ano antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros 
simples corrente de mercado era 40% a.a., qual foi o prazo inicial, se os juros previstos montavam em 
$ 12.000? 
P V = $ 23.900 
i1 = 1,8% a.m. n1 = ? 
i2 = 40% a.a. n2 = 0,5 ano 
J = $ 12.000 
P = $ 45.000 
V = $ 125.000 
S = N 
0 Data Venc. Data Atual 
 i2 = 3,75% a.m 
n1 = 56 meses 
i1 = 12% a.t. 
 n2 = ? 
Taxa de Juros 
N = V [1 + (i x n)] 
n = [(N ÷ V) – 1] ÷ i 
S = P [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] 
N = P [1 + (i x n)] 
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Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o Valor Nominal a partir do Valor Atual 
 Desconto foi à Taxa de Juros: “i2” 
 
 
N = V [1 + (i2 x n2)] 
N = 23.900 x [1 + (0,40 x 0,5)] = $ 28.680 
3) Calcular o Capital: 
28.680 = P + 12.000 
P = $ 16.680 
4) Calcular o Prazo Inicial: 
 
Solução 1: 
J = P x i1 x n1 
12.000 = 16.680 x 0,018 x n1 
12.000 ÷ 16.680 ÷ 0,018 = n1 
n1 = 39,97 meses 
 
P 
V = $ 23.900 
S = N 
0 Data de Venc. Data Atual 
i2 = 40% a.a 
n1 = ? 
n2 = 0,5 ano 
J = $ 12.000 
i1 = 1,8% a.m 
Taxa de Juros 
S = P + J 
J = P x i x n 
N = V [1 + (i) (n)] 
P = N − J 
P = S – J 
n = J ÷ (P x i) 
S = P [1 + (i x n)] 
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Solução 2: 
 
28.680 = 16.680 x [1 + (0,018 x n1)] 
(28.680 ÷ 16.680 – 1) ÷ 0,018 = n1 
n = 39,97 meses 
Resposta: 39,97 meses 
 
Ex. 16: Uma firma pegou um empréstimo de $ 54.000 por dez meses a uma taxa de juros simples de 
9% at. Se a dívida foi quitada quatro meses antes da data do vencimento a uma taxa de juros simples 
de 21% a.s., quanto foi pago de juros? 
 
P = $ 54.000 J = ? 
i1 = 9% a.t. n1 = 10 meses. 
 i2 = 21% a.s. n2 = 4 meses. 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo: página seguinte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: 
N = S = P [1 + (i1 x n1)] 
N = 54.000 x [1 + (0,09 x 10 ÷ 3)] 
N = $ 70.200 
 
3) Calcular o Valor Atual (Valor pago) a partir do Valor Nominal: 
P = $ 54.000 
 V 
 S = N 
0 Data Venc. Data Atual 
i2 = 21% a.s 
n1 = 10 meses 
i1 = 9% a.t. 
n2 = 4 meses 
J = ? 
Taxa de Juros 
S = P [1 + (i x n)] 
n = [(N ÷ P) – 1] ÷ i 
N = P [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] 
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 Desconto foi à Taxa de Juros: “i2” 
 
 
 N = V [1 + (i2 x n2)] 
70.200 = V [1 + (0,21 x 4 ÷ 6)] 
70.200 ÷ [1 + (0,21 x 4 ÷ 6)] = V 
V = $ 61.578,95 
 
4) Calcular os Juros pago: 
J = Valor Atual (V: Valor pago) – Valor Empréstimo 
J = 61.578,95 − 54.000 
J = $ 7.578,95 
Resposta: $ 7.578,95 
 
 
 
Lembrete: 
1) O valor de uma dívida é o valor na data de vencimento (Montante = Valor Nominal). 
 
Não podemos calcular “V” (valor descontado) a partir de “P” ( capital) com a taxa 
nominal do empréstimo ou vice-versa. 
 
2) Para calcular quanto pagou de juros, então, precisamos calcular o Valor Atual (ou 
descontado) a partir do Montante (ou Nominal). 
 
Juros que pagou: valor que pagou quatro meses antes da data de vencimento (V) 
menos a quantia que pegou emprestado (P). 
 
3) Quanto pagaria de juros: Valor na Data de Vencimento (S = N) menos o Capital 
(Valor pegou emprestado “P”). 
 
4) Taxa de Empréstimo - 9% a.t: incide sobre o capital, sendo o montante calculado a 
partir da fórmula seguinte (UA1): 
 
 S = P [1 + (i x n)] 
 
Enquanto que a taxa usada na operação de desconto (Taxa de Juros = 21% a.s.), incide 
sobre o Valor Atual (Desconto Racional: será abordado na UA3). 
 
 
V = N ÷ [1 + (i x n)] 
N = V [1 + (i x n)] S = P [1 + (i x n)] 
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Ex. 17: Ana aplicou-se $ 33.000 à taxa de juros simples de 5% a.b. pelo prazo de cinco quadrimestres. 
Um semestre antes da data de vencimento, ela propôs a transferência da aplicação a uma amiga. 
Quanto deverá a amiga pagar, se a taxa de juros simples de mercado for de 3% a.m., na ocasião da 
transferência? 
 
P = $ 33.000 V = ? 
i1 = 5% a.b. n1 = 5 quad. 
 i2 = 3% a.m. n2 = 1 sem. 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o Valor Nominal a partir do Capital: 
N = S = P [1 + (i1 x n1)] 
N = 33.000 x [1 + (0,05 x 5 x 2)] 
N = $ 49.500 
3) Achar o Valor Descontado a Partir do Valor Nominal 
  Desconto foi à Taxa de Juros “i 2” 
 
 
 
 
N = V [1 + (i2 x n2)] 
49.500 = V [1 + (0,03 x 1 x 6)] 
49.500 ÷ [1 + (0,03 x 1 x 6)] = V 
P = $ 33.000 
 V = ? 
S = N 
0 Data de Venc. Data Atual 
i2 = 3% a.m. 
n1 = 5 quad. 
i1 = 5% a.b. 
n2 = 1 sem. 
Taxa de Juros 
S = P [1 + (i x n)] N = V [1 + (i x n)] 
V = N ÷ [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] 
N = P [1 + (i x n)] 
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V = $ 41.949,15 
Resposta: $ 41.949,15 
 
Ex. 18: No dia 10 de julho, um devedor assina uma nota promissória de $ 1.000 devida em cinco 
meses com juros simples de 14% a.a. Cinqüenta e três dias antes da data de vencimento, o portador da 
nota vendeu a mesma a um banco que desconta notas a taxa de juros simples de 15% a.a. Achar o 
lucro:a) obtido na venda; e b) que o banco obterá? 
 
P = $ 1.000 
i1 = 14% a.a. n1 = 5 meses. 
 i2 = 15% a.a. n2 = 53 dias. 
 Lucro na Venda = ? Lucro que o banco obterá = ? 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: 
 
 
N = S = P [1 + (i1 x n1)] 
 N = S = $ 1.000 x [1 + (0,14/ano) x 5 meses x (1 ano/12 meses)] 
 N = S = $ 1.058,30 
3) Achar o Valor Descontado a Partir do Valor Nominal 
 Desconto foi à Taxa de Juros “i 2” 
P = $ 1.000 
S = N 
0 Data de Venc. Data Atual 
i2 = 15% a.a. 
n1 = 5 meses 
i1 = 14% a.a 
n2 = 53 dias 
Lucro q/ o banco obterá = ? 
Lucro na venda = ? 
 V 
S = P [1 + (i x n)] N = P [1 + (i x n)] 
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 1.058,30 = V x [1+ ( 0,15 x 53 ÷ 360)] 
 V = $ 1.035,42 
a) Lucro Obtido na Venda = ? 
Lucro Obtido na Venda = $ 1.035,42 − $ 1.000 
Lucro Obtido na Venda = $ 35,42 
Resposta: $ 35,42 
b) Lucro que o banco obterá = ? 
Lucro que o banco obterá = $ 1.058,30 − $ 1.035,42 
Lucro que o banco obterá = $ 22,88 
Resposta: $ 22,88 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 19: Um varejista pegou por dois anos e meio a uma taxa de juros simples uma determinada 
quantia. Nove meses antes do vencimento ele pagou $ 7.700 e nesta época a taxa de juros simples 
corrente de mercado foi 30% a.s. Qual foi a taxa de juros ao mês inicialmente cobrada se ele pagou de 
juros $ 3.712,50? 
 
P V = $ 7.700 J = $ 3.712,50 (pagou) 
i1 = ? (a.m.) n1 = 2,5 anos 
i2 = 30% a.s. n2 = 9 meses 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo (página seguinte) 
 
2) Calcular o Capital a partir dos Juros pago: 
7.700 = P + 3.712,50 
P = $ 3.987,50 
3) Calcular o Valor Nominal a partir do Valor Atual : 
LEMBRETE: 
  Na prática o ano é comercial. 
 1ano = 360 dias 1 mês = 30 dias 
 
S = P [1 + (i x n)] N = V [1 + (i x n)] V = N ÷ [1 + (i x n)] 
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 Desconto foi à Taxa de Juros “i 2” S = N = V x [1 + (i2 x n2)] 
N = 7.700 x [1 + (0,30 x 9 ÷ 6)] = $ 11.165 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o Capital a partir dos Juros pago: 
7.700 = P + 3.712,50 
P = $ 3.987,50 
3) Calcular o Valor Nominal a partir do Valor Atual : 
 
 
 Desconto foi à Taxa de Juros “i 2” S = N = V x [1 + (i2 x n2)] 
N = 7.700 x [1 + (0,30 x 9 ÷ 6)] = $ 11.165 
4) Calcular a Taxa de Juros inicial: 
 
Solução 1: 
 
 
J = P x i1 x n1 
11.165 − 3.987,50 = 3.987,50 x i1 x 2,5 x 12 
P 
$ 7.700 
S = N 
0 Data Atual 
i2 = 30% a.s. 
n1 = 2,5 anos 
i1 = ? 
n2 = 9 meses 
J = $ 3.712,50 
 Data de Vencimento 
J = P x i x n 
J = S − P J = N − P 
i = J ÷ (P x n) 
S = P [1 + (i x n)] N = V [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] N = V [1 + (i x n)] 
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(11.165 − 3.987,50) ÷ 3.987,50 ÷ 2,5 ÷ 12 = i1 
i1 = 6% 
Solução 2: 
 
S = N = P [1 + (i1 x n1)] 
11.165 = 3.987,50 x [1 + (i1 x 2,5 x 12)] 
(11.165 ÷ 3.987,50 − 1) ÷ 2,5 ÷ 12 = i1 
i1 = 6% 
Resposta: 0,06 ou 6%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Antes de interpretarmos e resolvermos os exercícios propostos faremos um 
 resumo do que foi visto nesta UA2. (Juro Simples: Parte II) 
 
 
 
RESUMO 
 
Vimos nesta Unidade de Aprendizagem (UA2): 
1- Conceitos importantes, tais como: 
- Taxas Proporcionais; Taxas Equivalentes; Taxas Nominais; e Taxas Efetivas. 
 
- Valor Nominal, Valor Atual, e Valor Futuro de um Compromisso Financeiro. 
 
2- Fórmulas para o Cálculo das Variáveis (regime de capitalização simples): 
- Juro: 
 
- Montante: e 
S = P [1 + (i x n)] 
i = [(N ÷ P) – 1] ÷ n 
N = P [1 + (i x n)] 
Lembrete: 
 
 O problema só será regime de capitalização simples (ou juros simples) se 
estiver explícito no problema. 
 
S = P [1 + (i x n)] 
J = P x i x n 
S = P + J 
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Valor de uma Dívida: é o Valor na Data de Vencimento, portanto, é o Montante (valor no final 
do prazo). Montante = Valor Nominal. 
 
Quando a data posterior for data de vencimento do compromisso financeiro, teremos o Valor 
Nominal do compromisso financeiro. 
 
O Valor Futuro só será igual ao montante quando a data futura for a data de vencimento do 
compromisso financeiro. 
 
 
 
 
LEMBRETE: 
 
 Sempre que possível faça a prova real com o valor da resposta. 
 
 Se forem feitos arredondamento durante as operações e/ou na resposta final terão 
que ter no mínimo duas casas decimais. Aconselha-se usar a memória da 
calculadora. 
 
 Façam todos os cálculos usando calculadora que irá usar nas AP’s. 
 
 Não será permitido celular durante as avaliações presenciais. 
 
 Não será permitido durante a realização das Avaliações Presenciais pegar 
emprestado calculadora. 
 
 
 
 
 
Exercício de revisão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A. 2 
 
O uso do formulário a seguir é útil: 
 
1- Para resolver os exercícios propostos e a lista de exercícios de revisão para as 
Avaliações Presenciais, e 
 
2- Para desenvolver as questões das Avaliações, pois o mesmo será anexado, e 
 
3- Porque não serão aceitas as questões nas Avaliações em que o desenvolvimento 
e as operações forem feitas pelas financeira de uma calculadora. (HP-12C 
somente teclas científicas) 
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FORMULÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Foi aplicado $ 27.000 pelo prazo de três anos e meio a uma taxa de juros simples de 4% a.m. em um 
fundo de investimento. Calcular a rentabilidade efetiva ao trimestre da aplicação se foi pago uma 
alíquota de 15% de Imposto de Renda. 
 
2) Uma loja está vendendo bicicletas por $ 1.500 à vista; mas em duas vezes, (um pagamento na 
compra e o outro pagamento dois meses após a compra) terá que pagar a mais 25% sobre o preço a 
vista. Qual é a taxa efetiva anual de juros simples que está sendo cobrada se o primeiro pagamento 
30% do segundo pagamento? 
 
3) A Casa de Materiais de Construção Summer estão concedendo descontos de 20% no preço para 
pagamentos à vista; e para pagamentos a prazo (em dois pagamentos); o primeiro pagamento na 
entrada no valor de 10% do preço; o segundo pagamento 25%superior ao preço e dois bimestres após 
a compra. Calcular a taxa efetiva de juros simples ao semestre cobrada pela Casa. 
 
 
S = P + J J = P x i x n S = P [1 + (i x n)] D = N − V 
 
N = Vr [1 + (i x n)] Dr = Vr x i x n Dr = N x i x n Dc = N x i x n 
 1 + (i x n) 
Vc = N [1 − (i x n)] Dc = Vc x ief x n N = Vc [(1 + (ief x n)] Dc = N x ief x n. 
 1 + ief x n 
ief = . i S = P (1 + i)
n J = P [(1 + i)n − 1] 
 1 – i x n 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 
 In−1 I 0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) 
 
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4) Uma imobiliária está vendendo terrenos à vista por $ 45.000 e a prazo, vende os mesmos terrenos 
por $ 49.000, sendo que $ 13.000 de entrada e o saldo um semestre após a compra. Qual foi a taxa de 
juros simples efetiva mensal cobrada na venda a prazo? 
 
5) Em determinada casa comercial são concedidos descontos de 15% no preço das mercadorias para 
compras à vista. Esta mesma casa cobra 30% de juros simples para compras a prazo sendo o 
pagamento um trimestre após a compra. Quais são as taxas mensais nominal e efetiva cobrada? 
 
6) Um carro a prazo tem que dar uma entrada; e pagar uma prestação de $ 31.200 seis meses após a 
compra. Qual seria o preço à vista, se o preço à prazo é $ 37.700 e a taxa efetiva de juros simples 
cobrada na venda a prazo é 120% a.a.? 
 
7) Se comprar à vista, de quanto será o desconto no preço concedidos por uma loja de de tintas, se esta 
mesma loja cobra 30% de juros simples para vendas com prazo de pagamento meio ano e a taxa efetiva 
de juros simples é 10% a.m.? 
 
8) Se investir $ 34.000 pelo prazo de um ano e meio a uma taxa de juros simples de 16% a.q. em um 
derterminado investimento cuja rentabilade efetiva foi de 9% a.t. e que tem que pagar Imposto de 
Renda no resgate, quanto foi a alíquota do IR? 
 
9) Um tomador de empréstimo pagou por um empréstimo de $ 65.000 de quinze meses uma taxa de de 
juros simples de 7,5% a.t. Se os juros foram pagos antecipadamente, qual foi taxa de juros simples 
efetiva ao ano cobrada no empréstimo? 
 
10) Uma dívida de $ 85.000 foi quitada setenta dias antes da data de vencimento a uma certa taxa de 
juros simples. Se o valor pago foi $ 75.000; quanto foi a taxa de juros simples mensal desta operação? 
 
11) Um varejista pegou emprestado uma certa quantia a uma taxa de juros simples de 48% a.s. 
Sabendo-se que o varejista pagou $ 35.700; sete meses antes do vencimento e que nesta época a taxa 
de juros simples corrente de mercado era 9% a.t., qual foi o prazo inicial, se os juros previstos 
montavam em $ 31.000? 
 
12) Pegou-se emprestado $ 33.000 pelo prazo de cinco meses e vinte dias a uma taxa de juros simples 
de 4,5% a.m. Se quarenta dias antes do vencimento foi quitada a dívida pagando-se $ 37.600, qual foi 
a taxa de juros mensal corrente do mercado? 
 
13) Foi pego emprestado uma certa quantia pelo prazo de dois anos e oito meses a uma taxa de juros 
simples de 30% a.s. Sabendo-se que foi pago $ 55.400; nove meses antes do vencimento e que nesta 
época a taxa de juros simples corrente de mercado era 6,5% a.m., quanto foi pago de juros? 
 
14) João pegou emprestado uma determinada quantia a uma taxa de juros simples por quatro 
semestres. Sabendo-se que ele pagou $ 15.400; três trimestres antes do vencimento e que nesta época a 
taxa de juros simples corrente de mercado era 60% a.a., qual foi a taxa de juros mensal inicialmente 
cobrada no empréstimo se ele pagou de juros de juros $ 7.425? 
 
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15) Ana emprestou $ 25.000 para Bia para ser pago em três semestres e meio. A taxa de juros simples 
ajustada foi de 12% a.t. Quanto poderia aceitar Ana, se cinco meses antes do vencimento da dívida 
Bia desejasse quitar a dívida à uma taxa de juros simples de 21% a.s.? 
 
16) Pegou-se uma determinada quantia por quatro trimestres a uma taxa de juros simples. Sabendo-se 
que ela pagou $ 18.000; meio ano antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros simples 
corrente de mercado era 42% a.s, qual foi o taxa de juros cobrada na ocasião do empréstimo, se os 
juros previstos montavam em $ 12.500? 
 
 
 
 
 
 
1) P = $ 27.000 n = 3,5 anos i = 4% a.m. 
 Alíquota de IR = 15% ief.= ? (a.t.) 
Solução: 
 
J = 27.000 x 0,04 x 3,5 x 12 = 45.360 
IR = 0,15 x 45.360 = 6.804 
Jef = 45.360 – 6.804 = 38.556 
38.556 = 27.000 x ief. x 3,5 x 4 
ief. = 10,20% 
Resposta: 10,20% 
 
2) Preço à vista = $ 1.500 ief = ? (a.a.) 
 Dois pagamentos → 1º pagam/: compra e 2º pagam/: 2º mês 
Preço a Prazo: 25% acréscimo no Preço à Vista 
1º pagam = (30%) (2º pagam) 
Solução: 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
Preço a Prazo = 1,25 x 1.500 = $ 1.875 
Se: 2º pagam = X  1º pagam = 0,3 X 
 Entrada = 1º pagam = 0,3 X 
Prestações = 2º pagam = X 
Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.2 
J = P x i x n 
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1.875 = 0,3 X + X = 1,3 X 
 X = $ 1.442,31 (2º pagam.) 
Entrada = 0,3 x 1.442,31 = $ 432,69 (1º pagam.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor Financiado = Pef. 
Pef. = Preço à Vista – Entrada = 1.500 – 432,69 
Pef. = $ 1.067,31 
Prestações = Sefet = 1.442,31 
 
  J = S − P 
 
Jefet = Sefet − Pefet 
Jefet = 1.442,31 − 1.067,31 = 375 
 
 
$ 1.067,31 
$ 1.442,31 
2 Meses 0 
$ 1.500 
$ 432,69 
$ 1.442,31 
2 Meses 0 
J = P x i x n 
S = P + J 
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Jef. = Pef. x ief. x n 
375 = 1.067,31 x ief. x 2 ÷ 12 
375 ÷ 1.067,31 ÷ 2 x 12 = ief. 
ief. = 2,1081 = 210,81% 
Resposta: 210,81% 
 
3) Pagamento à Vista: Desconto de 20% do Preço 
 Pagam. Prazo (2 pagam.) → 1º pagam.: Entrada → 2º pagam.: 2º bim. 
 Entrada = 10% do Preço 
 2º pagam. = 25% superior ao Preço 
 ief. = ? (a.s.) 
Solução: 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
Preço = X 
Preço à Vista= X − 0,20 X = 0,8 X 
Entrada = 0,1 X 
2º pagam. = (1 + 0,25) X = 1,25 X 
 
 
 
 
 
 
 
Solução1: 
 
Sefet = Pef. [1 + (ief. x n)] 
Sefet = 2º pagam  Sefet = 1,25 X 
1,25 X = (0,80 − 0,1) (X) [1 + (ief. x 2 ÷ 3)] 
 (1,25 ÷ 0,7 – 1) ÷ 2 x 3 = ief. 
ief = 1,1786= 117,86%. 
0,8 X 
1,25 X 
2 Bim. 0 
0,1 X 
S = P [1 + (i x n)] 
 0,7 X 
1,25 X 
2 Bim. 0 
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Resposta: 117,86% 
Solução2: 
Jefet = Pef. x ief. x n 
 1,25 X − 0,7 X = (0,7 X) x ief. x 2 ÷3 
(1,25 − 0,7) ÷ 0,7 ÷ 2 x 3 = ief. 
ief. = 117,86% 
Resposta: 117,86% 
 
4) Preço à vista = $ 45.000 Preço a prazo = 49.000 
Entrada = $ 13.000 Saldo  1 sem. após a compra 
ief = ? (a.m.) 
Solução: 
Valor Financiado = Pefet = Preço à Vista − Entrada 
Pefet = 45.000 − 13.000 = 32.000 
Preço a Prazo = Entrada + Prestações = Entrada + Saldo 
49.000 = 13.000 + Saldo  Saldo = 49.000 − 13.000 = 36.000 = Sefet 
 
Jefet = Pef. x ief. x n 
  J = S − P 
 
Jef. = Sefe.− Pef. = 36.000 − 32.000 = 4.000 
4.000 = 32.000 x ief. x 6 
4.000 ÷ 32.000 ÷ 6 = ief. 
ief. = 2,08% 
Resposta: 2,08% 
 
5) Solução: 
Taxa Nominal: 
(30%) = (30%) .= 10% a.m. 
 1trim. 3 meses 
Taxa Efetiva: 
Preço = X 
J = P x i x n 
S = P + J 
J = P x i x n) 
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Preço à Vista = X – 0,15 X = 0,85 X 
Pefet. = Preço à Vista – Entrada = 0,85 X – 0 = 0,85 X 
Preço a Prazo = X + 0,30 X = 1,30 X 
Preço a Prazo = Entrada + Prestações = 0 + Prestações = Prestação 
Prestações = Sefet.  Preço a Prazo = Prestações = Sefet. = 1,30 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 Sef. = Pef. [1 + (ief. x n)] 
1,3 X = (0,85 − 0) (X) [1 + (ief. x 1 x 3)] 
(1,3 ÷ 0,85 – 1) ÷ 3 = ief. 
 0,1765 a.m. = 17,65% a.m. = ief. 
Ou 
  J = S − P 
 
Jef. = Pef. x ief. x n Jef. = Sef. − Pef. 
1.3 X – 0,85 X = (0,85 X) (ief. x 1 x 3)] 
(1.3 X – 0,85 X) ÷ (0,85 X) ÷ 3 = ief. 
0,1765 a.m. = 17,65% a.m. = ief. 
Resposta: 10% e 17,65% 
 
6) Preço à Vista = P = ? E → ? 
Saldo = $ 31.200 → 6 meses após compra 
ief. = 120% a.a. 
Solução: 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Como o Preço a Prazo é a Entrada + Prestações 
 0,85 X 
1,3 X 
1 Trim. 0 
S = P [1 + (i x n)] 
J = P x i x n S = P + J 
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Então, Entrada + Prestações se equivale ao Preço à Vista 
Quando todos os valores (Entrada; Prestação que neste problema é o Saldo; Preço à Vista) vão para a 
mesma data, então: 
 Entrada + Prestações se iguala Preço à Vista 
Surgindo a seguinte equação: 
Entrada + Prestações = Preço à Vista 
Como o enunciado diz que o preço a prazo é $ 37.700 e a prestação (saldo) é $ 31.200 (seis meses após 
a compra), então, substituindo na seguinte equação teremos: 
 
 Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
Fica: 37.700 = E + 31.200 
 E = 37.700 – 31.200 = $ 6.500 
Por outro lado o Preço à Vista = Preço com Desconto 
 
Com as informações obtidas até o momento vamos fazer diagrama de tempo para visualizarmos o que 
está acontecendo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O enunciado também informa que a taxa efetiva de juros simples cobrada na venda a prazo é 
120% a.a.; portanto, o Preço efetivo é o Valor que está sendo financiado, assim sendo, o Preço 
efetivo nada mais do que o Preço à Vista menos a Entrada. Resulta o seguinte diagrama de Tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
P – 6.500 = Pef. 
$ 31.200 
6 Meses 0 
ief. = 120% a.a. 
Preço à Vista = P = ? 
$ 31.200 
6 Meses 0 
E = $ 6.500 
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Peft = P − 6.500 
Solução: 
 
31.200 = (P − 6.500) x [1 + (1,20 x 6 ÷ 12)] 
31.200 = (P − 6.500) x 1,6 
(31.200 ÷ 1,6) + 6.500 = P 
P = $ 26.000 
Resposta: $ 26.000 
 
7) Preço = P 
30% juros simples – pagamento: ½ ano = 6 meses 
ief = 10% a.m. 
Desconto = X = ? (No preço) → Pagamento à Vista 
Solução: 
Preço = P Desconto no Preço = X P 
Preço à Vista = Preço com Desconto 
Preço com Desconto = Preço − Desconto 
Preço à Vista = P − X P 
Colocando P em evidência fica: 
Preço à Vista = (P) (1 – X) 
Valor Financiado = Pefet = Preço à Vista – Entrada 
Como a entrada é igual a zero, então, fica: 
 Pefet = P x (1 – X) – 0 Pefet = P x (1 – X) 
Pagamento a Prazo = P + 0,3 P = 1,3 P = Sefet. 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = P [1 + (i x n)] Seft = Pef. [1 + (ief. x n)] 
P (1 − X) = Pefet 
1,3 P = Sefet. 
6 Meses 0 
S = P [1 + (i x n)] 
Sef. = Pef. [ 1 + (ief. x n)] 
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1,30 P = P (1 − X) [1+ (0,10 x 6)] 
Dividindo a equação por P: 
1,3 P = (P) (1 − X) [1+ (0,10 x 6)] 
 P P 
1,30 = (1 − X) x 1,6 
1,30 = 1,6 – 1,6 X 
X = (1,6 – 1,3) ÷ 1,6 
X = 0,1875 = 18,75% 
Resposta: 0,1875 ou 18,75% 
 
8) P = $ 34.000 n = 1,5 anos = 18 meses 
i = 16% a.q. = 4% a.m. ief. = 9% a.t. = 3% a.m. 
Alíq. de IR = X = ? 
Solução: 
 
J = 34.000 x 0,04 x 18 = 24.480 
Jnom. = $ 24.480 
 Alíquota do Imposto de Renda (IR) incide no Juro (Rendimento) 
IR = (alíq. IR ) (J) 
IR = (X) (24.480) = 24.480 X 
Jefet. = Jnom. − IR 
Jefet. = 24.480 – 24.480 X 
Solução: 
 
 
 
 
24.480 – 24.480 X = 34.000 x 0,03 x 18 
(24.480 – 34.000 x 0,03 x 18) ÷ 24.480 = X 
X = 0,25 = 25% 
Resposta: 0,25 ou 25% (Alíquota não tem unidade) 
 
9) Pnom. = $ 65.000 n = 15 meses i = 7,5% a.t. (taxa nominal) 
iefet. = ? (a.a.) Pagamento de Juro antecipado. 
J = P x i x n) 
J = P x i x n 
J = S – P S = P + J Jef. = Sef. – Pef. 
Jef. = Pef. x ief. x n 
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Solução: 
 
Jnom. = 65.000 x 0,075 x 15 ÷ 3 = 24.375 
Pefet. = 65.000 – 24.375 = 40.625 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 1: 
Sef. = Pef. [1 + (ief. x n)] 
 65.000 = 40.625 x [1 + (ief. x 15 ÷ 12)](65.000 ÷ 40.625 – 1) ÷ 15 x 12 = ief. 
ief. = 0,48 = 48% a.a. 
Solução 2: 
Jef. = Pef. x ief. x n 
65.000 – 40.625 = 40.625 x ief. x 15 ÷ 12 
(65.000 – 40.625) ÷ 40.625 ÷ 15 x 12 = ief. 
ief. = 0,48 a.a. ou 48% a.a. 
$ 40.625 
$ 65.000 
Meses 15 
$ 65.000 
J = $ 24.375 
$ 65.000 
Meses 15 0 
 
J = P x i x n 
J = (P) (i) (n) S = P + J 
S = P [1 + (i x n)] 
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Resposta: 0,48 ou 48% 
 
10) S = N = $ 85.000 V = $ 75.000 n = 70 dias i = ? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular a Taxa de Juros: Desconto foi à Taxa de Juros: “i2” 
 
 
N = V [1 + (i x n)] 
85.000 = 75.000 x [1 + (i x 70 ÷ 30)] 
[(85.000 ÷ 75.000) − 1] ÷ 70 x 30) = i 
i = 5,71% 
Resposta: 5,71% 
 
11) P V = $ 35.700 J = $ 31.000 (previstos) 
i1 = 48% a.s. n1 = ? 
n2 = 7 meses i2 = 9% a.t. 
Solução: 
 
S = P x [1 + i x n)] 
V = $ 75.000 
S = N = $ 
85.000
0 Data Venc. Data Atual 
 n = 70 dias 
 i = ? 
Taxa de Juros 
N = V [1 + (i x n)] S = P [1 + (i x n)] 
Lembrete: 
 O Valor de uma Dívida é o valor na data de vencimento, portanto, $ 85.000 é o 
Montante que é igual ao valor Nominal. 
 
S = P [1 + (i x n)] 
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S = N = V x [1 + (i2 x n2)] 
N = 35.700 x [1 + (0,09 x 7 ÷ 3)] = 43.197 
  P = S − J 
P = 43.197 – 31.000 = 12.197 
 
J = P x i1 x n1 
31.000 = 12.197 x 0,48 x n1 
n1 = 5,3 sem 
Resposta: 5,3 sem 
 
12) P = $ 33.000 V = $ 37.600 
i1 = 4,5% a.m. n1 = 5 m. e 20 d. = (5 x 30 + 20) dias = 170 dias 
i2 = ? (a.m.) n2 = 40 dias 
Solução: 
S = N = P x [1 + (i1 x n1)] 
N = 33.000 x [1 + (0,045 x 170 ÷ 30)] 
N = 41.415,00 
S = N = V x [1 + (i2 x n2)] 
41.415 = 37.600 x [1 + (i2 x 40 ÷ 30)] 
(41.415 ÷ 37.600 – 1) ÷ 40 x 30 = i2 
i2 = 0,0761 = 7,61% 
Resposta: 0,0761 ou 7,61% 
 
13) P V = $ 55.400 J = ? (pagou) 
 n1 = 2 anos e 8 meses = 32 meses i1 = 30% a.s. 
n2 = 9 meses i2 = 6,5% a.m. 
Solução: 
S = N = V x [1 + (i2 x n2)] 
 N = 55.400 x [1 + (0,065 x 9)] = 87.809 
S = N = P [1 + (i1 x n1)] 
87.809 = P x [1 + (0,30 x 32 ÷ 6)] 
S = P + J 
J = P x i x n 
S = P [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] 
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87.809 ÷ [1 + (0,30 x 32 ÷ 6)] = P 
P = $ 33.772,69 
  J = S − P 
 J = 55.400 − 33.772,69 
J = $ 21.627,31 
Resposta: $ 21.627,31 
 
14) P V = $ 15.400 J = $ 7.425 (pagou) 
n1 = 4 sem. i1 = ? (a.m.) 
n2 = 3 trim. i2 = 60% a.a. 
Solução: 
 S = N = V [1 + (i2 x n2)] 
N = 15.400 x [1 + (0,60 x 3 ÷ 4)] = 22.330 
Juros (pagou) = Valor pagou − Capital 
7.425 = 15.400 − P 
 P = $ 7.975 
 
 
 S = N = P [1 + (i1 x n1)] 
 22.330 = 7.975 x [1 + (i1 x 4 x 6)] 
 (22.330 ÷ 7.975 – 1) ÷ 4 ÷ 6 = i1 
i1 = 7,50% a.m. 
Ou 
  J = S − P 
 
22.330 − 7.975 = 7.975 x i1 x 4 x 6 
(22.330 − 7.975) ÷ 7.975 ÷ 4 ÷ 6 = i1 
i1 = 7,50% a.m. 
Resposta: 7,50% 
 
15) P = $ 25.000 V = ? 
n1 = 3,5 sem. i1 = 12% a.t. 
n2 = 5 meses i2 = 21% a.s. 
Solução: 
S = P [1 + (i x n)] 
S = P + J 
S = P [1 + (i x n)] 
J = P x i x n 
S = P [1 + (i x n)] 
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 S = N = P [1 + (i1 x n1)] 
S = N = 25.000 x [1 + (0,12 x 3,5 x 2)] = 46.000 
S = N = V [1 + (i2 x n2)] 
46.000 = V [1 + (0,21 x 5 ÷ 6)] 
46.000 ÷ [1 + (0,21 x 5 ÷ 6)] = V 
V = $ 39.148,94 
Resposta: $ 39.148,94 
 
16) P V = $ 18.000 J = $ 12.500 (Inicial) 
 n1 = 4 trim. i1 = ? 
n2 = 0,5 ano i2 = 42% a.s. 
Solução: 
 
S = N = V [1 + (i2 x n2)] 
N = 18.000 x [1 + (0,42 x 0,5 x 2)] = 25.560 
  P = S – J 
 
P = 25.560 – 12.500 = 13.060 
 
 
J = P x i1 x n1 
12.500 = 13.060 x i1 x 4 
i1 = 23,93% a.t. 
Resposta: 0,2393 a.t. ou 23,93% a.t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = P [1 + (i x n)] 
J = P x i x n 
S = P + J 
Recomenda-se depois que fizer os exercícios propostos fazer 
uma auto avaliação desta Unidade de Aprendizagem (UA2) 
antes de passar para a próxima Unidade de Aprendizagem 
(UA3). 
 
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AUTOAVALIAÇÃO da UA2 
 
- Você conseguiu resolver todos os exercícios propostos desta Unidade de Aprendizagem (UA2) sem 
dificuldade? 
 
- Se a resposta foi sim, então, você entendeu os conceitos e as operações algébricas efetuadas. 
 
- Se não conseguiu, não desista. Antes de começar a unidade UA3, volte a unidade e reveja os 
conceitos e os exemplos pois alguns desses conceitos irão aparecer em outras unidades. 
 
- Não acumule dúvidas, procure dirimir suas dúvidas com os colegas de polo e/ou com os tutores 
(presencial e a distância) e/ou sala de tutoria. 
 
- Estarei sempre à disposição para tirar qualquer dúvida que surgir quando podendo ser por: 
- e-mail: marebello@superig.com.br 
- whatsapp: (21) 99621-2041