AP2 GEOMETRIA ANALÍTICA 2023.2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 - Geometria Anaĺıtica I - 2023-2
Gabarito
Código da disciplina: Matemática (grade antiga), Engenharia de Produção e En-
genharia Metereológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Considere a hipérbole H que contém um dos focos no ponto (−2, −3) e vértices focais nos pontos
(−1, −3) e (5, −3) para responder as questões 1, 2 e 3.
Questão 1 [1,7 ponto]: Determine o centro, os vértices focais, os vértices imaginários, o outro
foco, as retas focal e não focal e a excentricidade de H.
Questão 2 [0,5 ponto]: Determine a equação de H.
Questão 3 [0,8 ponto]: Determine as asśıntotas de H.
Resolução:
(1) Como A1 = (−1, −3) e A2 = (5, −3) são os vértices focais da hipérbole H e como o centro da
hipérbole é o ponto médio dos vértices, então C = (2, −3). Assim, como a reta focal contém os
focos da hipérbole, então y = −3 é a reta focal e x = 2 é a reta não focal.
E ainda,
a = d(C, A1) = 3
c = d(C, F ) = 4,
onde F = (−2, −3) que é dado no enunciado. Sendo assim, podemos encontrar o valor de b:
b =
√
c2 − a2 =
√
16 − 9 =
√
7.
Com o valor de a podemos então encontrar o outro foco, que neste caso é (6, −3) e com o valor de
b, podemos encontrar os vértices imaginários, que neste caso são (2, −3 ±
√
7).
Finalmente, a excentricidade é
e = c
a
= 43 .
(2) Com os valores encontrados no item anterior temos:
H : (x − 2)
2
9 −
(y + 3)2
7 = 1.
(3) Neste caso, as asśıntotas são as retas dadas pelas equações: b(x − x0) ± a(y − y0) = 0, onde
(x0, y0) é o centro da hipérbole. Logo, utilizando os valores encontrados anteriormente, temos:
√
7(x − 2) ± 3(y + 3) = 0.
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Portanto, as asśıntotas são:
y = −
√
7
3 x +
(2
√
7 − 9)
3 ,
y =
√
7
3 x −
(2
√
7 + 9)
3 .
Considere a cônica C : 16x2 + 25y2 + 96x − 100y − 156 = 0 para responder às questões 4, 5 e 6.
Questão 4 [1,0 ponto]: Classifique a cônica C.
Questão 5 [1,0 pontos]: Determine os principais elementos de C, ou seja, centro, vértices focais,
vértices não-focais, vértices imaginários, focos, reta focal, reta não focal e diretriz, quando for o
caso.
Questão 6 [1,0 ponto]: Faça um esboço de C contendo seus principais elementos.
Resolução:
(4) Completando os quadrados da equação dada, obtemos:
16x2 + 25y2 + 96x − 100y − 156 = 0
⇐⇒ 16(x2 + 6x + 9) + 25(y2 − 4y + 4) = 156 + 144 + 100
⇐⇒ 16(x + 3)2 + 25(y − 2)2 = 400
⇐⇒ (x + 3)
2
25 +
(y − 2)2
16 = 1
Logo, a cônica C é uma elipse.
(5) Vamos encontrar os principais elementos de C:
• a = 5, b = 4 e c =
√
a2 − b2 =
√
25 − 16 = 3;
• centro: C = (−3, 2);
• reta focal: y = 2;
• reta não-focal: x = −3;
• vértices focais: (−3 ± 5, 2) ⇐⇒ A1 = (−8, 2) e A2 = (2, 2);
• vértices não-focais: (−3, 2 ± 4) ⇐⇒ B1 = (−3, −2) e B2 = (−3, 6);
• focos: (−3 ± 3, 2) ⇐⇒ F1 = (−6, 2) e F2 = (0, 2).
(6)
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Questão 7 [2,5 pontos]: Considere o ponto A = (−3, 0) e as retas r : −4x + 5y = 12 e s : y = 4.
O triângulo ABC possui área 12, sendo B ∈ s e C é o ponto de encontro das retas r e s. Encontre
os vértices B e C do(s) triângulo(s).
Resolução:
(7) Se B é um ponto pertencente à reta r, então podemos dizer que B possui as seguintes coorde-
nadas B = (x, 4) onde x é um número real que precisamos encontrar.
Se C é um ponto pertencente às retas r e s, para encontrá-lo basta resolver o sistema abaixo{
−4x + 5y = 12
y = 4.
Substituindo a segunda equação na primeira, encontrar que C = (2, 4).
Logo,
−−→
AB = (x + 3, 4) e −−→AC = (5, 4). Assim, a área do triângulo ABS pode ser encontrada da
seguinte forma:
Area(ABC) = 12 det
∣∣∣∣∣ x + 3 45 4
∣∣∣∣∣ = 12.
Resolvendo a equação modular que se origina do determinante acima, temos:
1
2 |4(x + 3) − 20| = 12 ⇐⇒ x = −4 ou x = 8.
Logo, B = (−4, 4) ou B = (8, 4).
Questão 8 [1,5 ponto]: Considere a cônica C : r = −31 + cos θ dada em coordenadas polares.
Determine a equação da cônica C em coordenadas cartesianas e classifique-a.
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Resolução:
(8) É fácil ver que a equação dada por ser escrita das seguinte forma r + r cos θ = −3. Logo,
sabendo que r =
√
x2 + y2 e x = r cos θ, temos
r + r cos θ = −3 ⇐⇒
√
x2 + y2 + x = −3
⇐⇒
√
x2 + y2 = −3 − x
⇐⇒ x2 + y2 = 9 + 6x + x2
⇐⇒ y2 = 6(x + 3/2).
Neste caso, a equação representa uma parábola.
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