AD1_2022_1_GAI_Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anaĺıtica I
1a Avaliação a Distância - Gabarito
1o Semestre de 2022
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 [3,5 pontos] Seja ABCD um paralelogramo tal que
−→
AC = (6, 2), M = (1, 2) é o
ponto médio de AB e N = (1, 4) é o ponto médio de BD. Responda as seguintes questões:
(a) [1,5 pontos] Quais são as coordenadas do vértice C?
(b) [1,0 ponto] Quais são as coordenadas do vértice D?
(c) [1,0 ponto] Quais são as coordenadas do baricentro do triângulo DMB?
Resolução:
(a) Consideremos o paralelogramo ABCD da figura abaixo
Como N é ponto médio de BD, então N é ponto médio da diagonal AC. Considerando
A = (a1, a2) e C = (c1, c2), temos:
−→
AC = (c1 − a1, c2 − a2)
N =
(
a1 + c1
2 ,
a2 + c2
2
)
.
Substituindo:
(c1 − a1, c2 − a2) = (6, 2)(
a1 + c1
2 ,
a2 + c2
2
)
= (1, 4),
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c1 − a1 = 6 e c2 − a2 = 2
a1 + c1 = 2 e a2 + c2 = 8.
Assim,
C = (c1, c2) = (4, 5) e A = (a1, a2) = (−2, 3).
(b) Consideremos B = (b1, b2). Como M é ponto médio de AB, temos que:
M = (1, 2) =
(
−2 + b1
2 ,
3 + b2
2
)
.
Logo, B = (b1, b2) = (4, 1).
Para encontrar as coordenadas do ponto D = (d1, d2), usaremos o fato que
−→
AB = −−→DC.
Assim,
−→
AB = (4− (−2), 1− 3) = (6,−2) = −−→DC = (4− d1, 5− d2)
(6,−2) = (4− d1, 5− d2).
Logo, D = (d1, d2) = (−2, 7).
(c) Para determinar as coordenadas do baricentro G do triângulo DMB, substituimos em:
G =
(
d1 +m1 + b1
3 ,
d2 +m2 + b2
3
)
=
(−2 + 1 + 4
3 ,
7 + 2 + 1
3
)
=
(
1, 103
)
.
Questão 2 [3,0 pontos] Considere A, B, C e D os vértices do poĺıgono ABCD. Suponha E, F ,
G e H são os respectivos pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA. Sem utilizar coordenadas,
calcule
−−→
EH em função do vetor
−→
FG.
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Resolução: Como E, F , G e H são os respectivos pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA.
Obtemos as seguines igualdades:
−→
AE = −−→EB
−−→
BF = −→FC
−→
CG = −−→GD
−−→
DH = −−→HA
Temos também que: −→
AB = −→AE +−−→EB
−−→
BC = −−→BF +−→FC
−−→
CD = −→CG+−−→GD
−−→
DA = −−→DH +−−→HA
e
−→
AB +−−→BC +−−→CD +−−→DA = −→0
−−→
EH +−−→HA+−→AE = −→0
−→
FG = −→FC +−→CG
Logo, −→
AE +−−→EB +−−→BF +−→FC +−→CG+−−→GD +−−→DH +−−→HA = −→0
2(−→AE +−→FC +−→CG+−−→HA) = −→0
−→
AE +−→FC +−→CG+−−→HA = −→0 ,
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assim
−→
FC +−→CG = −(−→AE +−−→HA)
−→
FG = −(−−−→EH)
Logo,
−−→
EH = −→FG.
Questão 3 [3,5 pontos] Considere as retas l : x+ 2y − 4 = 0 e m :
{
x = 2− t
y = 1 + 3t ,∀t ∈ R
(a) [1,0 pontos] Determine a equação cartesiana da reta m.
(b) [1,0 ponto] Determine as equações paramétricas de uma reta perpendicular à reta m que passa
pelo ponto l ∩m = {P}.
(c) [1,5 pontos] Determine os valores de a e b ∈ R tal que a reta s :
{
x = a+ bt
y = at ,∀t ∈ R é
paralela à reta l e contém o ponto M = (1, 5).
Resolução:
(a) O vetor ~v = (−1, 3) é paralelo à reta m e o ponto A = (2, 1) está contido na reta m.
Podemos considerar o vetor ~w = (3, 1) perpendicular à reta m, e assim, a equação cartesiana
tem a seguinte forma:
3x+ y = d.
Para encontrar o valor de d, subtituimos as coordenadas no ponto A na equação de m. Assim,
temos que:
3(2) + 1 = d
7 = d.
Logo, a equação cartesiana de m é: 3x+ y = 7.
(b) Para determinar o ponto P , tal que l ∩m = {P}, resolvemos o seguinte sistema de equações:
{
x+ 2y = 4
3x+ y = 7 , o qual tem por solução P = (2, 1).
Como o vetor ~w é perpendicular à reta m, então ~w é paralelo a qualquer reta perpendicular à
reta m. Considere a reta λ perpendicular à m e que contém o ponto P .
Assim, podemos escrever as equações paramétricas da reta λ
λ :
{
x = 2 + 3t
y = 1 + t ,∀t ∈ R
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(c) O vetor (1, 2) é perpendicular à reta l. Logo o vetor ~u = (−2, 1) é paralelo à reta l.
Por outro lado, o vetor ~z = (b, a) é paralelo à reta s.
Como as retas l e s são paralelas, então o determinante da matriz formada pelas coordenadas
dos vetores paralelos ~u = (−2, 1) e ~z = (b, a) é igual a zero:
det(~u, ~z) = 2a+ b = 0 ⇐⇒ b = −2a
Como o ponto M = (1, 5) pertence à s, temos, que para algum t ∈ R:
(1, 5) = (a+ bt, at)
1 = a+ bt e 5 = at.
Observe que a 6= 0. Logo,
1− a
b
= 5
a
= t
a− a2 = 5b.
Assim, temos:
b = −2a
a− a2 = 5b
a− a2 = 5(−2a)
a− a2 = −10a
a(11− a) = 0
=⇒ a = 0 ou a = 11.
Como a 6= 0. Então temos como resposta:
a = 11 e b = −22.
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