Seções Cônicas

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DEFINIÇÃO
Aplicação dos conceitos de seções cônicas na Geometria Analítica.
PROPÓSITO
Definir as seções cônicas e aplicar seus conceitos nos problemas da Geometria Analítica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a equação e elementos da parábola nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 2
Aplicar a equação da elipse e da circunferência nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 3
Aplicar a equação da hipérbole nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 4
Aplicar a equação geral das cônicas
MÓDULO 1
 Aplicar a equação e elementos da parábola nos problemas da Geometria Analítica.
INTRODUÇÃO
Um conjunto particular de figuras que são analisadas na Geometria Analítica são chamadas de
seções cônicas ou simplesmente cônicas. Estas seções são definidas através de uma
interseção entre um plano e um cone, formando a parábola, elipse, hipérbole e suas
degenerações.
Neste módulo, vamos definir as seções cônicas e aplicar as equações da parábola na solução
de problemas de Geometria Analítica.
SEÇÕES CÔNICAS - DEFINIÇÃO
A interseção entre um cone de duas folhas e um plano cria um conjunto de lugares geométricos
que são denominados de cônicas ou seções cônicas. Dependendo da posição relativa entre o
plano e o cone, a curva plana formada terá uma equação e, consequentemente, um gráfico,
diferente, sendo chamada de: parábola, elipse ou hipérbole. A circunferência será um caso
particular da elipse.
ELIPSE

PARÁBOLA

HIPÉRBOLE
Além destas, existem outras interseções denominadas de cônicas degeneradas, que serão
formadas pela interseção do cone com planos particulares, podendo se formar: um ponto, uma
reta, duas retas concorrentes ou duas retas paralelas.
CÔNICAS DEGENERADAS:
Por exemplo, se o plano passar pelo vértice do cone, podem se formar um ponto, uma reta ou
até mesmo duas retas concorrentes.
 DICA
As cônicas apresentam propriedades geométricas que atualmente possuem várias aplicações
práticas em construção de antenas, radares, telescópios, entre outros. Cada cônica e suas
degenerações serão analisadas em seus módulos específicos
javascript:void(0)
PARÁBOLA - EQUAÇÃO REDUZIDA
O cone reto é uma figura espacial que apresenta uma abertura angular que parte de seu
vértice. Ao cortarmos o cone reto por um plano perpendicular à sua base e passando bem pelo
seu eixo central, forma-se um triângulo. As laterais deste triângulo são as retas denominadas
de geratriz do cone e formam um ângulo α com seu eixo, que é denominado abertura do cone.
CONE RETO

TRIÂNGULO
Ao realizar a interseção de um plano com o cone, com o plano tendo um ângulo com o eixo do
cone igual a sua abertura, isto é, igual a α(alpha), a figura que se formará será a de uma
parábola. Isto é, o plano secante será paralelo às geratrizes do cone de duas folhas.
 COMENTÁRIO
O caso degenerativo será aquele em que este plano passa pelo vértice, assim, a figura
formada será de apenas uma reta (duas retas coincidentes), que será a reta geratriz do cone.
A parábola é uma curva plana com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua
equação.
DEFINIÇÃO DA PARÁBOLA COMO LUGAR
GEOMÉTRICO
Seja um ponto F e uma reta r dados. A Parábola será o lugar geométrico (conjunto) de todos os
pontos do plano, tais que a distância do ponto ao ponto dado, chamado de foco, será igual à
distância do ponto à reta dada, denominada de diretriz.
A distância entre P e a reta diretriz é a metade do parâmetro da parábola e, pela definição, será
igual à distância de P ao foco. A figura apresenta todos os elementos de uma parábola.
Observe que o seu eixo será perpendicular à reta diretriz.
O parâmetro da parábola, simbolizado por 2p, será a distância entre o foco (F) e a reta diretriz
(r). Observe que o vértice, que é o ponto no qual a parábola corta seu eixo, também pertence à
parábola, assim, a distância entre o vértice e o foco (F) será igual a distância entre o vértice e a
reta diretriz r, que valerá metade do parâmetro, isto é, p.
Para definirmos a equação de uma parábola, iniciaremos com o caso mais simples, colocando
os dois eixos cartesianos, um paralelo ao eixo da parábola e outro paralelo à reta diretriz.
Assim, teremos dois casos: a parábola horizontal, com eixo x paralelo ao eixo da parábola e a
parábola vertical com eixo y paralelo ao eixo da parábola. As equações desta forma são
denominadas de Equações Reduzidas ou Canônicas da Parábola.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA PARÁBOLA
Vamos começar pelo caso mais simples, uma parábola horizontal, com o vértice da parábola na
origem do sistema cartesiano. Considerando o parâmetro da parábola como 2p, então, a
distância de qualquer ponto da parábola ao foco é igual à distância do ponto à reta diretriz e
vale p.
 ATENÇÃO
Assim, os elementos da parábola terão as seguintes coordenadas:
 Vértice V(0,0)
 Foco F(p, 0)
 Eixo da parábola: y = 0
 Diretriz da parábola: x = −p ou x + p = 0
Seja P(x, y) um ponto genérico da parábola, assim dPF = drP, aplicando as equações de
distância de ponto a ponto e distância de ponto à reta já conhecidas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando ao quadrado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação da parábola horizontal com abertura para o sentido positivo do eixo x e
vértice na origem será y² = 4px.
Vamos agora deslocar os eixos, porém mantendo-os paralelos ao eixo de simetria da parábola.
Em outras palavras, tirando o vértice da parábola do centro do sistema cartesiano e colocando
o vértice da parábola no ponto V(x0, y0).
 ATENÇÃO
Assim, as coordenadas dos elementos serão:
 Vértice V(x0, y0)
 Foco F(x0+p, y0)
 Eixo da parábola: y = y0
 Diretriz da parábola: x = (x0−p) ou x − (x0−p) = 0
Seja P(x, y) um ponto genérico da parábola, então dPF = drP, igualmente ao caso anterior:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação da parábola horizontal com abertura para o sentido positivo do eixo x e
vértice no ponto (x0, y0) será (y−y0)² = 4p×(x−x0)
Observe que, se fizer x0 = y0 = 0, cai-se na equação anteriormente definida.
Fazendo o raciocínio análogo para os outros três casos:
 A) PARÁBOLA HORIZONTAL COM ABERTURA NO
SENTIDO NEGATIVO DO EIXO X
 Vértice V(x0, y0)
 Foco f(x0−p, y0)
 Eixo da parábola: y = y0
 Diretriz da parábola: x −
(x0+p) = 0
Equação: (y − y0)² =
−4p(x−x0)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 B) PARÁBOLA VERTICAL COM ABERTURA NO
SENTIDO POSITIVO DO EIXO Y:
⎭
 Vértice V(x0, y0)
 Foco f(x0, y0+p)
 Eixo da parábola: x = x0
 Diretriz da parábola: y −
(y0−p) = 0
Equação: (x − x0)² =
4p(y−y0)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 C) PARÁBOLA VERTICAL COM ABERTURA NO
SENTIDO NEGATIVO DO EIXO Y:
⎭
 Vértice V(x0, y0)
 Foco f(x0, y0−p)
 Eixo da parábola: x = x0
 Diretriz da parábola: y −
(y0+p) = 0
Equação: (x − x0)² =
−4p(y−y0)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de olhar para a equação reduzida e reconhecer que tipo de parábola está se
trabalhando é verificar qual a variável está elevada ao quadrado. O eixo relacionado à variável
que está elevada ao quadrado é paralelo à diretriz da parábola e o eixo relacionado à variável
que não está elevado ao quadrado é paralelo ao eixo de simetria da parábola. Por exemplo, na
parábola horizontal, a variável x não está ao quadrado, e na vertical, a variável y não está ao
quadrado.
O sentido da abertura da parábola será dado pelo sinal positivo ou negativo antes do fator 4p
(duas vezes o parâmetro da parábola). Se o sinal for positivo, a abertura coincide com o
sentido positivo do eixo, se o sinal for negativo, a abertura tem sentido negativo do eixo.
EXEMPLO 1
Obter a equaçãoda parábola com foco no ponto F(2, 1) e reta diretriz x = 4.
RESOLUÇÃO
Como a reta diretriz é paralela ao eixo y, então a parábola será horizontal.
2p = drF = |
⎭
xF−4
√(1²+0²)
| = |
2−4
√(1²+0²)
| = |−2| = 2 → p = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a diretriz está à direita do foco, a parábola terá concavidade à esquerda.
Neste caso, o vértice terá coordenadas
V(x0, y0) = (xF+p, yF) = (2+1, 1) = (3, 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será dada por
(y − y0)² = −4p(x − x0) → (y−1)² = −4(x−3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Seja a parábola de equação (x + 1)² = −4(y−1). Determine os principais elementos da parábola.
RESOLUÇÃO
Observe a equação: trata-se de uma parábola vertical com concavidade virada para baixo.
(x−x0)² = −4p(y−y0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela equação, as coordenadas do vértice serão V(−1 , 1)
O parâmetro 2p =
4
2
= 2 → p = 1
.
As coordenadas do Foco F
(xf, yf) = (x0, y0−p) = (−1, 1−1) = (−1, 0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A reta diretriz terá equação
y = y0 + p = 1 + 1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Eixo será
x = x0 = −1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARÁBOLA - EQUAÇÃO GERAL
Ao se expandir os termos quadráticos da equação reduzida, ter-se-á a equação geral da
parábola.
Por exemplo, para o caso da parábola vertical:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação do tipo y = ax² + bx + c, com a ≠ 0, b e c reais. Este tipo de equação já foi
trabalhado na Álgebra, no tema de funções, como função quadrática ou do segundo grau.
Se o valor de a for positivo, a parábola será vertical no sentido positivo do eixo y, isto é,
parábola com concavidade para cima. Se o valor do a for negativo, será vertical no sentido
negativo do eixo y, ou seja, parábola com concavidade para baixo.
Para as parábolas horizontais, a equação geral será x = ay² + by + c, com a ≠ 0, b e c reais. E
o sinal de a informará se a concavidade está para a direita, sentido positivo do eixo x (a > 0),
ou se a concavidade está para a esquerda, sentido negativo do eixo x (a < 0).
 DICA
Para sair da equação reduzida para a geral, basta expandirmos os termos do segundo grau,
como feito anteriormente. Para sair da equação geral para a reduzida, teremos que usar o
método de completar quadrados, vide o exemplo.
EXEMPLO 3
Determine a equação reduzida para a parábola de equação x = −y² + 4y + 1
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Já sabemos que (y±k)² = y² ± 2ky + k², com k real.
Observe o termo (−y² + 4y + 1), o que falta para se ter um quadrado perfeito?
−y² + 4y + 1 = −(y² − 4y + ...) + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare: olhando para a fórmula do quadrado perfeito, o termo entre parênteses pode ser
transformado em
(y² − 4y + ...) = (y² − 2×2y + ...) = (y−2)²,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
mas, para isso, está faltando o termo 22.
Para não se modificar a equação, deve ser somado e subtraído:
−2 + 2y + 1 = −(y² − 2y + 2² − 2²) + 1 = −(y² − 4y + 4) − (−4) + 1
= −(y² − 4y + 4) + 5 = −(y − 2)² + 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
x = −(y − 2)² + 5 → x − 5 = −(y − 2)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de parábola horizontal, concavidade para a esquerda, vértice V(5, 2) e parâmetro 2p =
½.
O caso degenerativo da reta ser obtido quando o valor do parâmetro tende a zero. Em outras
palavras, quando p tende a zero, a parábola vai se aproximando de uma reta. E no caso de o
foco pertencer à diretriz, a reta diretriz será o caso degenerativo da parábola.
Na maioria dos problemas, teremos liberdade de definir os eixos cartesianos paralelos aos
eixos da parábola. Porém, quando os eixos cartesianos não forem paralelos aos eixos da
parábola, não existirá a equação reduzida e a equação geral apresentará um termo quadrático
xy. Este tipo de análise será feita no último módulo no estudo da equação geral das cônicas.
PONTO DA PARÁBOLA, INTERSEÇÕES E
TANGÊNCIAS
Como qualquer equação de um lugar geométrico na Geometria Analítica, para um ponto
pertencer à parábola, suas coordenadas devem satisfazer a equação da parábola, do contrário,
este ponto não pertence à parábola analisada.
Uma aplicação importante é que para se definir uma parábola com eixo de simetria definido,
necessita-se de apenas 3 pontos. Assim, sabendo que a parábola é horizontal ou vertical,
dados três pontos, substitui-se estas posições na equação geral da parábola e vai se obter as
constantes reais a, b e c que a definem.
Para se calcular a interseção da parábola com qualquer outra figura geométrica, basta resolver
um sistema com a equação da parábola e da outra figura. O resultado do sistema deve
fornecer os valores de x e y que satisfazem as duas equações. Se o resultado do sistema for
impossível, é porque não existe ponto de interseção entre as figuras. Se o resultado fornecer
apenas um ponto (x, y), é porque estas figuras são tangentes e têm apenas um ponto em
comum. Se o resultado for dois pontos, é porque as figuras são secantes entre si.
EXEMPLO 4
Seja a parábola de equação x = y² + 2y + 4. Qual abscissa do ponto pertence à parábola cuja
ordenada seja igual a 1?
RESOLUÇÃO
Se o ponto pertence à parábola, ele satisfaz a equação da parábola. Como o ponto P(k, 1)
pertence à parábola:
k = 1² + 2×1 + 4 = 7.
EXEMPLO 5
Determine a interseção entre a parábola y = −x² + x + 14 e a reta x + y + 1 = 0.
RESOLUÇÃO
Os pontos de interseção satisfazem as duas equações, assim
{ x + y + 1 = 0 e y = −x² + x + 14
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Achando o valor de y, em função de x, na primeira: y = −x − 1, substituindo na segunda
(−x − 1) = −x² + x + 14 → x² − 2x − 15 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se chegou a uma equação do segundo grau. Se (delta)Δ = b² − 4ac, assim:
 (delta)Δ < 0: não existe solução → não tem interseção;
 (delta)Δ = 0: existe uma solução → parábola tangente à reta;
 (delta)Δ > 0: existem 2 soluções → parábolas e reta secantes.
No nosso caso,
(delta)Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4×(1)×(−15) = 4 + 60 = 64 > 0
x =
2±√64
2
=
2±8
2
= { x = 5 → y = −5 − 1 = −6x = −3 → y = −(−3) − 1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as figuras serão secantes nos pontos (5, −6) e (−3, 2).
TEORIA NA PRÁTICA
Uma antena parabólica tem a forma de uma parábola. Como os sinais enviados pelos satélites
vêm de pontos muito distantes, considera-se que eles chegam à antena paralelos ao seu eixo
de simetria, por isso, após refletirem na parabólica, encaminham-se para a direção do seu foco.
Considere que a equação que representa a antena seja dada por y = x² + 8x + 26. Determine a
coordenada do foco da antena para que se possa colocar o receptor no local correto.
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo com a solução desta questão
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Aplicar a equação da elipse e da circunferência nos problemas da Geometria
Analítica
ELIPSE E CIRCUNFERÊNCIA
Quando se intercepta o cone de duas folhas com um plano que forma um ângulo com eixo do
cone maior do que seu ângulo de abertura, forma-se a elipse.
Um caso particular da elipse, quando seus dois eixos forem iguais, é a circunferência.
Neste módulo, iremos aplicar as equações da elipse e da circunferência na solução de
problemas de Geometria Analítica.
ELIPSE - EQUAÇÃO REDUZIDA E GERAL
Ao realizar a interseção de um planocom o cone de duas folhas, com o plano tendo um ângulo
com o eixo do cone maior do que sua abertura, a figura que se formará será a de uma elipse.
Quando o plano tiver um ângulo com o eixo do cone menor do que abertura, ele apresentará
interseção nas duas folhas do cone. No caso da elipse, como o ângulo do plano com o eixo do
cone é maior do que a abertura do cone, obrigatoriamente ele só consegue cortar uma das
folhas do cone, formando apenas uma figura.
 COMENTÁRIO
Com esta consideração, existem autores que usam outra definição para a criação da elipse:
interseção entre um plano e o cone de duas folhas, com o plano que não é paralelo à geratriz
do cone e que o corta em apenas uma das folhas.
O caso degenerativo será aquele em que esse plano passa pelo vértice, assim, a figura
formada será de apenas um ponto. Como a parábola, a elipse é uma curva plana com
propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA ELIPSE COMO LUGAR
GEOMÉTRICO
Sejam dois pontos fixos F1 e F2 denominados de focos. A elipse será o lugar geométrico
(conjunto) de todos os pontos do plano, tais que a soma da distância do ponto a cada um dos
focos é constante. O valor desta soma será igual ao tamanho do eixo maior da elipse. Vide a
figura e os principais elementos da elipse.
Elementos da Elipse
 A1, A2, B1, B2: Vértices da Elipse;
 A1A2: 2a(eixo maior da elipse), a > 0;
 B1B2: 2b(eixo menor da elipse), a > b;
 C: Centro da elipse, encontro dos eixos maior com o menor, ponto médio entre os focos;
 F1 e F2: focos da elipse, sendo F1F2: 2c (eixo focal) com a > c e c > 0;
 Pela definição: sendo F1P+F1P = A1A2 = 2a;
 As retas r1 e r2 são retas diretrizes da elipse.
Repare que os vértices B1 e B2 pertencem à elipse, assim, a distância de B1 aos dois focos
segue a definição da elipse que vale 2a. Como estas distâncias são iguais, B1F1 = B1F2 = a.
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo B1OF1 tem-se B1F1
2 = OB1
2 + OF1
2, então se
define a relação fundamental ou notável da elipse, que relaciona os valores dos eixos:
A² = B² + C²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, define-se a excentricidade (e) como a relação e = c/a. No caso da elipse, a
excentricidade vale
0 < e < 1. Existe outra definição para elipse relacionada à distância entre o foco e a diretriz, e
que envolve a excentricidade.
Define-se elipse, também, como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo,
denominado foco, será igual à distância do ponto a uma reta fixa, denominada de diretriz,
multiplicada por uma constante denominada de excentricidade. Assim, dF P = e dr P. Cada foco
está relacionado a sua reta diretriz. Como visto, no caso da elipse, esta excentricidade é um
valor entre zero e um. No caso da excentricidade igual a 1, não se tem mais uma elipse, e sim
uma parábola.
Repare, também, que os vértices A1 e A2 são pontos da elipse, assim dr1 A1 = 1/e dA1 F1. Mas,
a distância de A1 até o foco F1 vale
(a−c). Assim, d1/r×(a−c) = 
a/c×(a−c) = 
a²/c − a.
Desta forma, a distância da diretriz para o eixo menor da elipse vai ser dada como dr1 A1 + a =
a²/c.
As equações das retas diretrizes da elipse serão paralelas ao eixo menor da elipse e estão com
uma distância a²/c deste eixo.
Para o caso da elipse com eixos paralelos ao plano cartesiano, se o eixo maior for paralelo ao
eixo x, será denominada de elipse horizontal. Quando o eixo maior for paralelo ao eixo do y,
será denominada de elipse vertical.
EQUAÇÃO REDUZIDA OU CANÔNICA DA ELIPSE
Vamos começar pelo caso mais simples, uma elipse horizontal, com o centro da elipse na
origem do plano cartesiano.
Seja a Elipse com eixo maior 2a, menor 2b e focal 2c. Assim, os elementos da elipse terão as
seguintes coordenadas:
 Centro: C (0,0) e Vértices: A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0, −b) e B2(0, b).
 Focos: F1 (−c, 0) e F2 (c, 0).
 Eixo maior: y = 0 e eixo menor: x = 0
 Retas diretrizes: x = a²/c e x = − 
a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da elipse, assim, a soma das distâncias aos dois focos vale 2a:
dP F1 + dP F2 = 2a → √(x − (−c))² + (y − 0)² + (x − c)² + (y − 0)² = 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
√(x + c)² + y² + √(x − c)² + y² = 2a → √(x + c)² + y² + −2a = √(x − c)² + y²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Elevando ao quadrado:
(x + c)² + y² − 4a √(x + c)² +y²+ 4a² = (x − c)² + y²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4a √(x + c)² +y² = (x + c)² + y² − (x − c)² − y² + 4a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4a √(x + c)² +y² = 4cx + 4a² → √(x + c)² + y² = c/a x + a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando novamente ao quadrado:
(x + c)² + y² = (c/ax + a)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x² + 2cx + c² + y² = c²/a²x² + 2cx + a² → (1 − 
c²/a²)x² + y² = a² − c²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(a²−c²/a²)x² + y² = b² → 
b²/a²x² + y² = b² → b²x² + a²y² = a²b²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, obtém-se a equação reduzida: x²/a² + 
y²/b² = 1.
Se agora deslocarmos o centro do sistema cartesiano mantendo os eixos paralelos aos eixos
da elipse horizontal, de forma que o novo centro da elipse esteja agora no ponto C(x0, y0):
Seja a mesma elipse com eixo maior 2a, menor 2b e focal 2c. Assim, os elementos da elipse
horizontal, de centro C(x0, y0), terão as seguintes coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e Vértices: A1(x0−a, y0), A2(x0 +a, y0), B1(x0, y0−b) e
B2(x0, y0+b).
 Focos: F1(x0 − c, y0 ) e F2 (x0+c, y0 ).
 Eixo maior: y = y0 e eixo menor: x = x0
 Retas diretrizes: x = x0 + a²/c e x = x0 − a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da elipse, então, a soma das distâncias aos dois focos vale 2a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando matematicamente de forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a
equação reduzida da elipse horizontal como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o raciocínio análogo para o caso da elipse vertical: seja a elipse com eixo maior 2a,
menor 2b e focal 2c. Reforça-se que a diferença é que o eixo maior está paralelo agora ao eixo
y e não mais ao eixo x. Assim, os elementos da elipse vertical de centro
C(x0, y0) terão as seguintes coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e Vértices: B1(x0−b, y0) e B2( x0+ b, y0).
 Focos: F1(x0, y0−c) e F2(x0, y0+c).
 Eixo maior: x = x0 e eixo menor: y = y0
 Retas diretrizes: y = y0 + 
a²/c e y = y0 − 
a²/c.
Manipulando matematicamente de forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a
equação reduzida da elipse horizontal como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É uma forma de olhar para a equação reduzida e conhecer com que tipo de elipse está se
trabalhando e verificar qual variável está dividida pelo maior fator. Lembre-se de que a > b,
assim, o maior denominador da equação reduzida representa a variável que está paralela ao
eixo maior. Por exemplo, na elipse horizontal, o denominador da fração relacionada à variável x
é maior do que o denominador da fração relacionada à variável y.
Um ponto a ressaltar: chama-se elipse equilátera a elipse em que b = c.
Neste caso, pela relação notável, a = √2b = √2c e a excentricidade (e) será √2/2.
EXEMPLO 6
Determine a equação reduzida da elipse de focos nos pontos (2, 3) e (2, 11) e eixo maior igual
a 10.
RESOLUÇÃO
Ao analisar os dois focos, verifica-se que eles têm a mesma abscissa, logo, a elipse é
horizontal, isto é, eixo maior paralelo ao eixo x.
dF1 F2 = 2c = 11 − 3 = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalComo uma das coordenadas é igual, basta fazer a diferença entre as outras coordenadas.
Assim, c = 4.
O enunciado informou que 2a = 10 → a = 5
Usando a relação:
b² = a² − c² = 25 − 16 = 9 → b = 3,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
pois b > 0.
O centro é o ponto médio entre os focos. Terá a mesma abscissa, x0 = 2, e a ordenada será y0
=
11 + 3
2
= 7.
Desta forma, a equação reduzida será:
(x−2)²
25
+
(y − 7)²
9
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 7
Determine a equação da elipse e de suas retas diretrizes, sabendo que tem o centro no ponto
(1 , −1), eixo maior igual a 26, paralelo ao eixo y, e excentricidade 12/13.
RESOLUÇÃO
Como o eixo maior é paralelo ao eixo y, a elipse é vertical.
2a = 26 → a = 13. Pela excentricidade,
e = c/a = 
12/13 → c = 13 × 
12/13 = 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a relação:
b² = a² − a² = 169 − 144 = 25 → b = 5, pois b > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação reduzida será:
(x−1)²
25
+
(y+1)²
169
= 169
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As retas diretrizes serão
y = y0 ±
a²/c = −1 ± 
169/12 → y = 
157/12 e y = −
181/12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retas diretrizes:
12y − 157 = 0 e 12y + 181 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma similar à parábola, ao se expandir os termos do segundo grau das equações
reduzidas, transforma-se a equação para sua forma geral, com tipo ax² + by² + cx + dy + e = 0,
com a, b, c, d, e reais e atendendo a algumas particularidades. Para se transformar a equação
geral para equação reduzida, usaremos o método de completar quadrados já visto
anteriormente, com a diferença que aplicaremos para as duas variáveis (x e y), pois, na
parábola, fazíamos apenas para a variável que estava ao quadrado, sendo limitada apenas a
uma.
EXEMPLO 8
Determine as coordenadas do foco da elipse de equação
x² + 4y² − 4x + 24y + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
x² − 4x + 4y² + 24y + 36 = 0 → (x² − 4x) + 4(y² + 6y) + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 2 × 2x + ...) + 4(y² + 2×3y + ...) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 2)² = x² − 4x + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 3)² = y² + 6y + 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(x² − 4x + 4 − 4) + 4(y² + 6y + 9 − 9) + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 4x + 4) + 4(y² + 6y + 9) + 36 − 4 − 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x − 2)² + 4(y + 3)² = 4 →
(x − 2)²
4
+
(y + 3)²
1
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma elipse horizontal de centro (2, −3), eixo maior a = √4 = 2 e b = √1 = 1.
Usando a relação:
c² = a² − b² = 4 − 1 = 3 → c = √3, pois c > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas dos focos (2 + c, −3) e (2 − c, −3), desta forma, os focos serão
F1(2 + √3, −3) e F2(2 − √3, −3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando os eixos cartesianos não forem paralelos aos eixos da elipse, ela será inclinada em
relação aos eixos e não será mais possível definir-se sua equação reduzida. Para este caso, só
teremos a equação geral que apresentará obrigatoriamente um tempo do tipo xy. Este tipo de
análise será feita no último módulo no estudo da equação geral das cônicas.
O caso degenerativo do ponto será obtido analiticamente quando o valor do a e b tenderem
para zero, assim, a elipse tende a ser apenas o ponto designado pelo centro.
CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é um caso particular de elipse. Ela aparece quando o eixo focal é zero. Neste
caso, a = b, isto é, o eixo maior é igual ao eixo menor e será denominado de raio. Se partirmos
da equação reduzida da elipse, fazendo a = b = r, obtém-se a equação reduzida da
circunferência que será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta circunferência terá centro C(x0, y0) e raio r, com r > 0.
A circunferência é a elipse de excentricidade zero.
A circunferência será definida como o lugar geométrico de todos os pontos do plano em que a
distância a um ponto fixo, denominado de centro, é constante. Esta constante é denominada
de raio. Assim, dC P = r, r > 0. Se for usada a fórmula da distância entre pontos, obtém-se a
mesma equação reduzida já apresentada.
EXEMPLO 9
Determine a equação da circunferência de centro (3, −2) e raio 3.
RESOLUÇÃO
Sabe-se que a equação da circunferência é (x − x0)² + (y − y0)² = r²
Assim, a equação fica
(x − 3)² + (y + 2)² = 3² = 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao se expandir os termos de segundo grau da equação reduzida, será apresentada a equação
geral ou normal da circunferência. Assim, teremos uma equação do tipo ax² + ay² + bx + cy + d
= 0, com a, b, c e d reais e atendendo a algumas particularidades. Esta equação será estudada
no último módulo deste tema. No entanto já pode ser observado que obrigatoriamente o
coeficiente do termo x² e y² deve ser igual e não existirá termo do tipo xy.
Sendo dada a equação geral para se obter a equação reduzida, usa-se o método de se
completar o quadrado, já estudado anteriormente neste tema.
EXEMPLO 10
Determine o centro e raio da circunferência de equação
x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0.
RESOLUÇÃO
x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0 → (x² + 2x) + (y² − 8y) + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2×1x + ...) + (y² − 2×4y + ...) + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar (x + 1)² = x² + 2x + 1
O segundo termo pode ser completado para formar (y − 4)² = y² − 8y + 16
Assim,
(x² + 2x + 1 − 1) + (y² −8y + 16 − 16) + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2x + 1) + (y² −8y + 16) + 8 − 1 − 16 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x + 1)² + (y − 4)² = 9 → Centro em (−1, 4) e raio √9 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PONTO DA ELIPSE, INTERSEÇÕES E
TANGÊNCIAS
Um ponto pertencer ou não à elipse ou circunferência, bem como a obtenção de interseções ou
tangências destas com outras curvas segue a mesma metodologia já analisada para parábola e
qualquer outro lugar geométrico.
Assim, para um ponto pertencer à elipse ou à circunferência, as suas coordenadas devem
satisfazer a sua equação.
Para se obter interseções, deve-se realizar um sistema entre as equações dessa elipse ou
circunferência com a outra curva e se observar o resultado desse sistema. Podem ocorrer
casos de não interseção, de tangência ou de secância.
EXEMPLO 11
Determine a posição relativa entre a reta x − √6y + 3 = 0 e a elipse
(x − 1)²
4
+
y²
2
= 1
.
RESOLUÇÃO
Determinando a equação geral da elipse (x − 1)² + 2y² = 4
Para verificar os pontos de interseção, é preciso resolver o sistema
{
(x − 1)² + 2y² = 4
x − √6y + 3 = 0
→ x = √6y − 3,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
substituindo na primeira equação.
(√6y − 3 − 1)² + 2y² = 4 → (√6y − 4)² + 2y² = 4 → 6y² + 8√6y + 16 + 2y² = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
8y² + 8√6y + 12 = 0 → 2y² + 2√6y + 3 = 0 → y =
2√6 ± √(2√6)² − 4×3×2
4
=
√6
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x = √6y − 3 → x = √6√6/2 − 3 = 0,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
assim, existe um ponto de interseção P(0, √6/2).
A reta e a elipse são tangentes.
Um caso particular, com uma metodologia alternativa para se verificar a posição relativa entre
duas circunferências, pode ser comparando a distância entre os centros com os valores dos
raios, assim:
 ATENÇÃO
dC1 C2 > r1 + r2: circunferências são externas sem interseção;
dC1 C2 = r1 + r2: circunferências são tangentes exteriores;
dC1 C2 = |r1 − r2|: circunferências são tangentes interiores;
|r1 − r2| < dC1 C2 < r1 + r2: circunferências secantes;
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
0 < dC1 C2 < |r1 − r2|: circunferências são internas sem interseção;
dC1 C2 = 0: circunferências concêntricas.
De formas semelhante, temos uma alternativa para circunferência e reta. Comparando a
distância entre o centro da circunferência e a reta com o raio da circunferência. Assim:
 ATENÇÃO
dC reta > r: circunferência e reta sem interseção;
dC reta = r: circunferência e reta tangentes;
dC reta < r: circunferência e reta secantes.
EXEMPLO 12
Determine a posição relativa entre as circunferências (x + 1)² + (y + 1)² = 4 e a circunferência (x
− 4)² + (y − 1)² = 16.
RESOLUÇÃO
Pelas equações, a primeira circunferência tem centro C1(−1, −1) e o raio √4 = 2. A segunda
circunferência tem centro C2(4, 1) e o raio √16 = 4.
Determinando a distância entre os centros C1 e C2:
dC1 C2 = √(4 − (−1))² + (1 − (−1))² = √29
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 6 > √29 > 5, r1 + r2 = 7e|r1 − r2| = 2, então|r1 − r2| < dC1 C2 < r1 + r2 e as circunferências
são secantes.
Para determinar os dois pontos comuns, deve ser resolvido o sistema entre as duas
circunferências.
EXEMPLO 13
Determine a posição relativa entre a circunferência x² + (y − 1)² = 4 e a reta 3x + 4y + 8 = 0.
RESOLUÇÃO
Pela equação, a circunferência tem centro C(0, 1) e raio √4 = 2.
Determinando a distância entre os centros C e a reta: |
3×0 + 2×1 + 8
√3² + 4²
| =
10
5
= 2
Como dC reta = r: circunferência e reta são tangentes.
Para achar o ponto de tangência, resolve-se o sistema entre as duas equações.
TEORIA NA PRÁTICA
Um sistema de localização é composto por duas estações fixas que se encontram a uma
mesma altura e a uma distância de 2 km entre si. Para se calibrar o sistema, um veículo segue
uma trajetória plana, de forma a manter a soma de suas distâncias a cada uma das estações
fixas e igual a 6 km. Determine a figura formada pelo deslocamento deste veículo e calcule a
sua excentricidade.
RESOLUÇÃO
Considere um ponto da trajetória do veículo. Como no enunciado, a soma das distâncias deste
ponto para cada uma das estações fixas é constante.
Como a elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos é constante, a figura formada pela trajetória do veículo será uma elipse cujo foco
se encontra em cada uma das estações e o eixo de maior valor tem 6 km, que é a soma
constante das distâncias.
Assim, 2c = 2km → c = 1km e 2a = 6km → a = 3km.
A excentricidade e = c/a = 
1/3
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Aplicar a equação da hipérbole nos problemas da Geometria Analítica
HIPÉRBOLE
Quando se intercepta o cone de duas folhas com um plano que forma um ângulo com eixo do
cone menor do que seu ângulo de abertura, este corta cada uma das duas folhas do cone,
formando a hipérbole.
A partir de agora iremos aplicar as equações da hipérbole na solução de problemas de
Geometria Analítica.
HIPÉRBOLE – EQUAÇÃO REDUZIDA E
GERAL
A interseção de um plano com o cone de duas folhas com o plano tendo um ângulo com o eixo
do cone menor do que sua abertura, forma nas duas folhas do cone a figura que será
denominada hipérbole. 
Existem autores que usam outra definição para a criação da hipérbole: interseção entre um
plano e o cone de duas folhas com o plano que não é paralelo à geratriz do cone e que o corta
em suas duas folhas.
O caso degenerativo relacionado à hipérbole será o conjunto de duas retas concorrentes,
obtido quando o plano passa pelo vértice. Como as duas cônicas anteriores, a hipérbole é uma
curva plana com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA HIPÉRBOLE COMO LUGAR
GEOMÉTRICO
Sejam dois pontos fixos F1 e F2 denominados de focos. A hipérbole será o lugar geométrico
(conjunto) de todos os pontos do plano tais que o módulo da diferença da distância do ponto a
cada um dos focos é constante. O valor do módulo desta diferença será igual ao tamanho do
eixo real da hipérbole. Vide a figura e os principais elementos da hipérbole.
 ATENÇÃO
Elementos da Hipérbole
A1, A2: Vértices da hipérbole;
A1A2: 2a(eixo real ou transverso da hipérbole), a > 0;
B1B2: 2b(eixo imaginário da hipérbole), b > 0;
C: Centro da hipérbole, Encontro dos eixos real e imaginário, Ponto médio entre os focos;
F1 e F2: focos da hipérbole, sendo F1F2: 2c(eixo focal), com c > a;
Pela definição: sendo |F1P − F2P| = A1A2 = 2a;
As retas r1 e r2 são retas diretrizes da hipérbole.
O eixo imaginário é um eixo abstrato que será explicado posteriormente à sua criação. Como
na elipse, a hipérbole tem uma relação notável ou fundamental: c² = b² + a².
Da mesma forma com as cônicas anteriores, define-se a excentricidade (e) como a relação e =
c/a. No caso da hipérbole, a excentricidade vale e > 1. Existe outra definição para hipérbole
relacionada à distância entre o foco e a diretriz e que envolve a excentricidade.
Define-se hipérbole, também, como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto
fixo, denominado foco, será igual à distância do ponto a uma reta fixa, denominada de diretriz,
multiplicada por uma constante denominada de excentricidade. Assim, dF P = e×dr P. No caso
da hipérbole, similar à elipse, cada foco está relacionado a sua reta diretriz.
Repare, também, que os vértices A1 e A2 são pontos da hipérbole, assim, dr A1 = 
1/edA1 F1.
Mas a distância de A1 até o foco F1 vale (c − a). Logo,
dr A1 = 1/e(c − a) = a/c(c − a) = a − a²/c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a distância da diretriz para o eixo imaginário da hipérbole será dado como a − dr1
A1 = a²/c. A equação das retas diretrizes da hipérbole serão paralelos ao eixo imaginário da
hipérbole e estão com uma distância a²/c deste eixo.
Assim, a distância da diretriz para o eixo menor da elipse será dada como dr1 A1 + a = a²/c.
Iniciaremos com o caso dos eixos real e imaginário serem paralelos ao eixos cartesianos.
Neste caso, teremos a hipérbole horizontal quando o eixo real for paralelo ao eixo x, e a
hipérbole vertical quando o eixo real for paralelo ao eixo y.
EQUAÇÃO REDUZIDA OU CANÔNICA DA
HIPÉRBOLE
Vamos começar pelo caso mais simples, uma hipérbole horizontal, com o centro da hipérbole
na origem do plano cartesiano. Seria o desenho anterior, com o eixo x sobre o eixo real, o eixo
y sobre o eixo imaginário e o centro no ponto (0, 0).
 ATENÇÃO
Seja a hipérbole com tamanho do eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Assim, os elementos
da hipérbole terão as seguintes coordenadas:
 Centro: C (0,0) e vértices: A1(−a, 0) e A2(a, 0).
 Focos: F1 (−c, 0 ) e F2(c, 0 ).
 Eixo real: y = 0 e eixo imaginário: x = 0
 Retas diretrizes: x = a²/c e x = −a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da hipérbole, assim, a diferença das distâncias aos dois focos
vale 2a:
|dP F1 − dP F2| = 2a → | √(x − (−c))² + (y − 0)² − √(x − c)² + (y − 0)²| = 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
| √(x + c)² + y² − √(x − c)² + y²| = 2a → √(x + c)² + y² = √(x − c)² + y² ± 2a
 Atenção! Para visualização completa daequação utilize a rolagem horizontal
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Elevando ao quadrado:
(x + c)² + y² = (x − c)² + y² ± 4a √(x − c)² + y² + 4a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
± 4a √(x − c)² + y² = (x + c)² + y² − (x − c)² − y² − 4a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
± 4a √(x − c)² + y² = 4cx − 4a² → ± √(x − c)² + y² = c/ax − a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando novamente ao quadrado:
(x − c)² + y² = (c/ax − a)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x² − 2cx + c² + y² = c²/a²x² − 2cx + a² → (c²/a² − 1)x² − y² = c² − a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como c > a → c² − a² > 0, então, existe um número real b tal que c² − a² = b². Aqui é o ponto da
criação do eixo imaginário.
(
c² − a²
a²
)x² − y² = b² → b²/a²x² − y² = b² → b²x² − a²y² = a²b²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, obtém-se a equação reduzida:
x²
a²
−
y²
b²
= 1
Se agora deslocarmos o centro do sistema cartesiano mantendo os eixos paralelos aos eixos
da hipérbole horizontal, de forma que o novo centro da hipérbole está agora no ponto C(x0, y0).
Seja a mesma hipérbole com eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Assim, os elementos da
hipérbole horizontal, de centro
C(x0, y0), terão as seguintes coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e vértices: A1(x0−a, y0) e A2(x0+a, y0).
 Focos: F1(x0−c, y0) e F2( x0+c, y0).
 Eixo real: y = y0 e eixo imaginário: x = x0
 Retas diretrizes: x = x0 + a²/c e x = x0 − a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da hipérbole, logo, a diferença das distâncias aos dois focos
vale 2a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando matematicamente de forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a
equação reduzida da hipérbole horizontal como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o raciocínio semelhante ao caso da hipérbole vertical. Seja a Hipérbole com eixo real
2a, imaginário 2b e focal 2c. Reforça-se que a diferença é que o eixo real está paralelo, agora,
ao eixo y, e não mais ao eixo x. Assim, os elementos da hipérbole vertical de centro C(x0, y0)
terão as seguintes coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e vértices: A1(x0, y0 − a ) e A2(x0, y0 + a).
 Focos: F1(x0, y0−c) e F2(x0, y0 + c).
 Eixo real: x = x0 e eixo imaginário: y = y0
 Retas diretrizes: y = y0 + a²/c e y = y0 − a²/c.
Manipulando matematicamente de forma semelhante à feita no raciocínio anterior, obtém-se a
equação reduzida da hipérbole vertical como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de olhar para equação reduzida e reconhecer o tipo de hipérbole com que está se
trabalhando é verificar qual variável está com o sinal negativo, tendo o número 1 do lado
direito. Ressalta-se que, diferentemente da elipse, b pode ser maior do que a na hipérbole. Por
exemplo, na hipérbole horizontal, o sinal negativo está antes da fração relacionada à variável y
e, na hipérbole vertical, antes da fração relacionada à variável x.
 COMENTÁRIO
Um ponto a ressaltar: chama-se de hipérbole equilátera a hipérbole com a = b. Neste caso,
pela relação notável c = √2b = √2a e a excentricidade (e) será √2.
EXEMPLO 14
Determine a equação reduzida da hipérbole de focos nos pontos (2, 3) e (2, 13) e eixo real
igual a 6.
RESOLUÇÃO
Ao analisar os dois focos, verifica-se que eles têm a mesma abscissa, dessa forma, a hipérbole
é vertical, isto é, o eixo real é paralelo ao eixo y.
2a = 6, logo a = 3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo:
dF1 F2 = 2c = √(2 − 2)² + (13 − 2)² = 10.
c = 5.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela relação:
b² = c² − a² = 4
y0 =
13 + 3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação reduzida −
x − 2
16
+
y − 8
9
= 1
EXEMPLO 15
Determine a equação da hipérbole vertical e de suas diretrizes, sabendo que tem o centro no
ponto (1, −1), eixo real igual a 16 e excentricidade 2.
RESOLUÇÃO
Como a hipérbole é vertical, o eixo real é paralelo ao eixo y.
2a = 16 → a = 8.
Pela excentricidade
e = c/a = 2 → c = 2a = 16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a relação:
b² = c² − a² = 256 − 64 = 192 → b = 8√3, pois b = > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim sendo, a equação reduzida será: −
(x − 1)²
192
+
(y + 1)²
64
= 1.
As retas diretrizes serão
y = y0 ± 
a²/c = −1 ± 
64/16 → y = 3 e y = −4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retas diretrizes: y − 3 = 0 e y + 4 = 0.
De forma similar à parábola e à elipse, ao se expandir os termos do segundo grau das
equações reduzidas, transforma-se a equação para sua forma geral, com tipo ax² + by² + cx +
dy + e = 0, com a, b, c, d, e reais e atendendo a algumas particularidades. Para se transformar
a equação geral para equação reduzida, usaremos o método de “completar quadrados” já visto
anteriormente.
EXEMPLO 16
Determine as coordenadas do foco da elipse de equação:
y² − 2x² + 4x + 2y − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
y² − 2x² + 4x + 2y − 1 = 0 → (−2)×(x² − 2x) + (y² + 2y) − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(−2)×(x² − 2×1x + ...) + (y² + 2×1y + ...) − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 1)² = x² − 2x + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 1)² = y² + 2y + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(−2)×(x² − 2x + 1 − 1) + (y² + 2y + 1 − 1) − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(−2)×(x² − 2x + 1) + (y² + 2y + 1) − 1 + 2 − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(−2)×(x² − 1) + (y + 1)² = 8 → −
(x − 1)²
4
+
(y + 1)²
8
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma hipérbole vertical de centro (1, −1), eixo real a = √8 = 2√2 = 2 e b = √4 = 2
Usando a relação:
c² = a² + b² = 4 + 8 = 12 → c = 2√3, pois c > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas dos focos (1, −1 − c) e (1, −1 + c), desta forma os focos serão
F1(1, −1 − 2√3) e F2(1, −1 + 2√3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando os eixos cartesianos não forem paralelos aos eixos da hipérbole, ela será inclinada em
relação aos eixos e não será mais possível definir sua equação reduzida. Para este caso, só
teremos a equação geral que apresentará obrigatoriamente um tempo do tipo xy.
Um ponto pode pertencer ou não à hipérbole ou os problemas de interseção ou tangência se
resolvem da mesma forma que foram solucionadas para outras cônicas. Assim, para um ponto
pertencer, as coordenadas do ponto devem satisfazer a sua equação e, para se obter
interseções, deve-se realizar um sistema entre as equações da hipérbole com a outra curva e
se observar o resultado deste sistema, podendo ocorrer casos de não interseção, de tangência
ou de secância.
A hipérbole tem duas retas assíntotas para as quais ela se aproxima quando varia para o mais
ou menos infinito.
As equações das assíntotas serão dadas por:
HIPÉRBOLE HORIZONTAL:
(y − y0) = ±
b/a(x − x0)
HIPÉRBOLE VERTICAL:
(y − y0) = ±a/b(x − x0)
TEORIA NA PRÁTICA
Um telescópio é montado baseado na propriedade refletora da hipérbole.Um raio quando
incide por um dos focos, segue uma reta cuja extensão passa no outro foco. Seja a equação
que regula a lente do telescópio hiperbólica:
(x + 2)²
16
−
(y − 3)²
9
= 1
Determine as coordenadas do foco desta lente.
RESOLUÇÃO
Verifica-se pelo sinal negativo antes da fração com variável y que a hipérbole é horizontal com
centro em C(−2 , 3). A metade do eixo real, a, vale e a metade do eixo imaginário, b,
vale √16 = 4 e a metade do eixo imaginário, b, vale √9 = 3.
Pela relação notável:
c² = a² + b² = 16 + 9 = 25 → c = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na hipérbole horizontal, as coordenadas do foco serão (x0 − c, y0) e (x0 + c, y0).
No caso da lente hiperbólica, ter-se-á foco nos pontos (−2 − 5, 3) e (−2 + 5, 3).
Assim, os focos serão (−7, 3) e (3, 3).
MÃO NA MASSA
√16 = 4
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 Aplicar a equação geral das cônicas.
EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS
Como estudado nos módulos anteriores, todas as cônicas e suas degenerações podem ser
representadas por uma equação geral do tipo: ax² + bxy + cy² + dx + ey + g = 0, em que a, b, c,
d, e, f e g são constantes reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Existe uma forma de se analisar esta equação do segundo grau com duas variáveis e se
classificar a cônica que está sendo representada pela equação.
Se b = 0, na equação, isto é, se não existir o termo xy, as cônicas têm seus eixos de simetria
paralelos aos eixos cartesianos. Se b ≠ 0, as cônicas serão inclinadas em relação aos eixos
cartesianos. Neste caso, para se obter as equações reduzidas ou canônicas é preciso fazer
uma rotação de eixos cartesianos (só assim é possível obtê-las).
1) SE B = 0 E A = C (COEFICIENTE DE X² IGUAL
AO DO Y²):
Nesta hipótese, obrigatoriamente o caso geral é a equação representando uma circunferência,
porém pode ser também a sua degeneração, a qual é um ponto somente, ou até mesmo uma
equação que não representa nenhum ponto. Isto é conjunto vazio.
ETAPA 01
ETAPA 02
Deve-se completar quadrados e obter qual valor representará o raio da circunferência:
ax² + ay² + dx + ey + g = 0 → a(x² + d/ax) + a(y² + e/a) = −g
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + d/ax) + (y² + 
e/ay) = −
g/a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + d/ax) + (
d/2a)² − (
d/2a)²) + (y² + 
e/ay + (
e/2a)² − (
e/2a)²) = −
g/a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + d/2a)² + (y + e/2a)² = d²/4a² + d²/4a² − g/a = r²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
d²/4a² + 
d²/4a² − 
g/a > 0 → r = √(
d²/4a² + 
d²/4a² − 
g/a)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Circunferência de raio r e centro (− d/2a, −e/2a)
d²/4a² + d²/4a² − g/a = 0 → r = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um ponto (− d/2a, −e/2a)
d²/4a² + d²/4a² − g/a < 0 → r, não existe: Conjunto vazio.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a fórmula não precisa ser decorada, basta completar o quadrado.
EXEMPLO 17
Qual o lugar geométrico formado pela equação
x² + y² − 12x + 12y + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Verifica-se que não tem o termo xy e o coeficiente que multiplica x² e y² são idênticos, assim,
trata-se de uma circunferência, um ponto ou de um conjunto vazio.
Completando os quadrados
x² − 12x + y² + 12y + 72 = 0 → (x² − 12x) + (y² + 12y) + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 2×6x + ...) + (y² + 2×6y + ...) + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 6)² = x² − 12x + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 6)² = y² + 12y + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(x² − 12x + 36 − 36) + (y² + 12y + 36 − 36) + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 12x + 36) + (y² + 12y + 36) + 72 − 36 − 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x − 6)² + (y + 6)² = 36 + 36 − 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o valor do r² foi zero, assim, trata-se do ponto (6, −6).
Se r² fosse negativo, a equação representaria um conjunto vazio e se fosse positivo, seria uma
circunferência de centro em
(6, −6).
2) SE A ≠ C (COEFICIENTE DE X² DIFERENTE DO
Y²):
Necessita-se determinar uma variável auxiliar (delta)Δ = b² − 4ac
Tendo-se as seguintes possibilidades:
 ATENÇÃO
(delta)Δ = 0: Parábola ou suas degenerações (duas retas paralelas ou duas retas
coincidentes);
(delta)Δ < 0: Elipse ou suas degenerações (um ponto ou um conjunto vazio);
(delta)Δ > 0: Hipérbole ou suas degenerações (2 retas concorrentes).
PARÁBOLA E SUAS DEGENERAÇÕES
Se b = 0, obrigatoriamente será uma parábola, não podendo ser uma de suas degenerações.
Mas se b ≠ 0, deve-se transformar a equação em uma do 2o grau em x ou em y. Assim, deve-
se calcular o discriminante desta equação do segundo grau ((delta)Δ0).
 ATENÇÃO
(delta)Δ0 for um número real diferente de zero: tem-se duas retas paralelas;
(delta)Δ0 for zero: tem-se duas retas coincidentes;
(delta)Δ0 for diferente de um número real: parábola.
EXEMPLO 18
Identifique o lugar geométrico representado por
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
4x2 + y2 − 4xy − 22x − 4y + 49 = 0
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que (delta)Δ = (−4)² − 4×1×4 = 0.
Portanto, será uma parábola ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
4x² + y² − 4xy − 22x − 4y + 49 = 0 → 4x² − (22 + 4y)x + (y² − 4y + 49) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (−22 − 4y)² − 4×4×(y² − 4y + 49)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 16y² + 176y + 484 − 16y² + 64y − 784 = 240y − 300
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como (delta)Δ0 é diferente de um número real, a equação representa uma parábola inclinada
em relação aos eixos cartesianos.
EXEMPLO 19
Identifique o lugar geométrico representado por
x² + 9y² + 6xy + 3x + 9y + 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0 e que (delta)Δ = 6² − 4×1×9 = 0.
Portanto, será uma parábola ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
x² + 9y² + 6xy + 3x + 9y + 2 = → x² + (3 + 6y)x + (9y² + 9y + 2) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (3 + 6y)² − 4×1×(9y² + 9y + 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 9 + 36y + 36y² − 36y² − 36y − 8 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como (delta)Δ0 é um número real diferente de zero, a equação representa duas retas paralelas
de equações dadas pela solução da equação do segundo grau
x =
−(3 + 6y) ±√1
2
= {
x = −3y − 2
x = −3y − 1
→ {
x + 3y + 2 = 0
x + 3y + 1 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, se você multiplicasse as duas retas, obteria a equação do segundo grau dada no
enunciado.
ELIPSE E SUAS DEGENERAÇÕES
Se b = 0, deve-se completar os termos retângulos para x e y de forma similarà feita nos casos
da circunferência a
(x − x0)² + c (y − y0)² = k.
Assim:
 ATENÇÃO
k > 0: Elipse de centro (x0, y0);
k = 0: um ponto de coordenada (x0, y0);
k < 0: conjunto vazio.
Mas se b ≠ 0, deve-se transformar a equação em uma equação do 2o grau em x ou em y.
Logo, deve se calcular o discriminante desta equação do segundo grau ((delta)Δ0).
 ATENÇÃO
(delta)Δ0 < 0 para todos pontos (x, y): a equação representará um conjunto vazio;
(delta)Δ0 = 0 apenas para um ponto (x0, y0): a equação representará este ponto;
(delta)Δ0 ≥ 0 para um conjunto de pontos (x, y): a equação representará uma elipse.
EXEMPLO 20
Identifique a cônica representada pela equação
5x² + 2y² + 4xy + 20x + 20y + 44 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que (delta)Δ = 4² − 4×2×5 < 0.
Portanto, será uma elipse ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
5x² + 2y² + 4xy + 20x + 20y + 44 = 0 → 5x² + (20 + 4y)x + (2y² + 20y + 44) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (20 + 4y²) − 4×5×(2y² + 20y + 44)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 400 + 160y + 16y² − 40y² − 400y − 880 = −24y² − 240y − 480
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = −24y²) − 240y − 480 = −24×(y² + 10y + 20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que y² + 10y + 20 é uma equação do segundo grau com concavidade para cima, assim,
(delta)Δ0 = −24(y² + 10y + 20) é um equação do segundo grau com concavidade para baixo,
logo,
(delta)Δ0 = −24(y² + 10y + 20) assume valores positivos e assumirá valores positivos para y
entre as raízes de
(y² + 10y + 20).
Portanto, a equação do enunciado representa uma elipse.
HIPÉRBOLE E SUAS DEGENERAÇÕES
Tanto para b igual ou diferente de zero, deve-se transformar a equação em uma do 2o grau em
x ou em y. Então, deve-se calcular o discriminante desta equação do segundo grau ((delta)Δ0).
 ATENÇÃO
(delta)Δ0 for um quadrado perfeito: a equação representará duas retas concorrentes;
(delta)Δ0 não for um quadrado perfeito: a equação representará uma hipérbole.
EXEMPLO 21
Identifique a figura plana representada pela equação
x² + 2y² + 4x − 5y − xy + 3 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que
(delta)Δ = (−1)² − 4×1×(−2) = 9 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, será uma hipérbole ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
x² − 2y² − xy + 4x − 5y + 3 = 0 → x² + (4 − y)x + (−2y² − 5y + 3) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (4 − y)² − 4×1×(−2y² − 5y + 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 16 − 8y + y² + 8y⊃2 + 20y − 12 = 9y² + 12y + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 9y² + 12y + 4 = (3y + 2)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que (delta)Δ0 é um quadrado perfeito, assim, a equação representará duas retas
concorrentes de equações dadas pela solução da equação do segundo grau:
x =
−(4 − y) ± √(3y + 2)²
2
= {
2x = −4 + y + 3y + 2 → 2x = 4y − 2 → x − 2y + 1 = 0
2x = −4 + y −(3y + 2) → 2x = −6 − 2y → x + y + 3 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Ao projetar um campo na forma de uma elipse, um projetista gostaria de plotar a elipse no
computador através de uma equação que representa os pontos externos do campo em relação
a um sistema cartesiano referenciado. A equação é
2x² + 3y² + 4x − 6y + 6 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verifique se a equação obtida pelo projetista representa ou não uma elipse.
RESOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos quatro módulos, foi possível descrever as seções cônicas, as quais são figuras
geométricas obtidas pela interseção de um plano com um cone de duas folhas.
As definições da parábola, elipse, circunferência e hipérbole como lugar geométrico em um
plano, bem como as suas equações reduzidas ou canônicas e seus principais elementos, foram
apresentadas ao longo dos módulos.
Por fim, foi feita uma análise da equação geral de segundo grau das cônicas para se identificar
o lugar geométrico representado por ela.
Dessa maneira, esperamos que você tenha entendido os principais conceitos relacionados às
cônicas e seja capaz de aplicá-los nos problemas de Geometria Analítica.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BOCHI, Juarez. Cônicas. In: UFRGS – Instituto de Matemática. Consultado em meio eletrônico
em: 15 jul. 2020.
COSTA, João Noilton da. Cônicas – Equação Geral do Segundo Grau. In: Geogebra.
Consultado em meio eletrônico em: 15 jul. 2020
IEZZI, G. Fundamento de Matemática Elementar 7. 4. ed. São Paulo: Atual, 1978. cap. 5, p.
107-121, cap. 7, p.141-168.
NERY, J.; NÁCUL, L. C. et al. Geometria Analítica - Cônicas. Porto Alegre: Universidade
Federal do Rio Grande do Sul – Departamento de Matemática Pura e Aplicada, 2005.
PEREIRA, Paulo. Curso Cônicas: elipse, hipérbole e parábola. In: Youtube. Consultado em
meio eletrônico em: 15 jul. 2020.
STEINBRUNCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
cap. 4, p. 99- 132, cap. 7, 204-274.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, assista aos vídeos e às animações:
Curso Cônicas, do Prof. Paulo Pereira, aulas Elipse, hipérbole e parábola, YouTube.
Curso Cônicas, equação geral do 2º grau, de João Noilton da Costa, Geogebra. Você
pode alterar os coeficientes da equação do segundo grau apresentada e obter o gráfico
das cônicas ou de suas degenerações.
Construções e variações dos parâmetros nas cônicas, de Juarez Bochi, Instituto de
Matemática, UFRGS.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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