Transformadas em Sinais e Sistemas -Aula 5 2020

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Transformadas em Sinais e 
Sistemas (BC1509) 
Aula 5 
Professor: Alain Segundo Potts 
alain.segundo@ufabc.edu.br 
Sala 742-1 
Bibliografia 
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 
Bookman, 1a Ed., 2007. 
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais 
e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009. 
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, 
Bookman, 1a Ed., 2001. 
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais 
e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010 
 
Objetivos 
• Respostas dos sistemas LTI ao impulso 
unitário. 
• Convolução 
– Teorema 
– Propriedades 
Convolução 
• Em aulas anteriores vimos como equações 
diferenciais descrevem as características dos 
sistemas e como resolvendo estas podemos 
encontrar a resposta do sistema para um 
determinado sinal de excitação. 
 
 
 
     1
out
in out
i t
t RC
out
dV
V t C R V t
dt
V t A e u t
 
 
Convolução 
• Uma outra técnica para encontrar a respostas 
de sistemas LTI contínuos consiste na 
convolução. 
• A idéia por trás da convolução consiste em 
encontrar alguma forma de representar o sinal 
como uma combinação linear de funções 
elementares. Desta forma utilizando o 
principio da sobreposição é possível 
determinar a resposta para o sinal em 
questão, como a soma das respostas das 
funções elementares correlacionadas. 
Resposta ao impulso unitário 
Exemplo: Determine a resposta ao impulso 
unitário h(t) de um sistema contínuo no 
tempo caracterizado pela equação: 
 
Como a excitação do sistema é um impulso 
unitário, e a resposta é definida como h(t) 
temos: 
(t) ( ) ( )y ay t x t 
(t) ( ) ( )h ah t t 
Resposta ao impulso unitário 
Solução: 
 
0
0
(t) ( ) ( )
0 0
( )
( ) 1 0
t
t
h ah t t
t
t
t dt t







 
 

 
 


 
(t) ( ) 0, 0
at
h ah t t
h t Ke
  

Resposta ao impulso unitário 
• Supondo um sistema causal a solução do 
sistema pode ser encontrada como: 
 
 
 
• Agora o que acontece para t = 0? 
• Vamos integrar a equação do sistema entre os 
instantes t=0- e t=0+ 
0 , t<0
(t) ? , t=0
 , t>0at
h
Ke


 


0 0 0
0 0 0
(t)dt (t)dt (t)dth a h 
  
  
   
 
(0 )
0 0 0
0 0 0
0 1(0 )
(t)dt (t)dt (t)dt
(0 ) 0 1
1
a
h
Ke
h a h
h
K

  
  



 
 

  
   
0 0
(t) , 
0
at
at
t
h h t e u t
e t



 

Resposta ao impulso unitário 
• O resultado anterior pode ser generalizado 
para ser aplicado na determinação da resposta 
ao impulso de um sistema descrito por uma 
equação diferencial da forma: 
 
 
 
• Este tipo de equações diferenciais descrevem 
a dinâmica de sistemas LTI. 
(n) (n 1)
1 1
(m) (m 1)
1 1 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n
m m
a y t a y t a y t
b x t b x t b x t b x t




  
    
Resposta ao impulso unitário 
• A resposta h(t) deve ter uma forma funcional 
de maneira que: 
1. Quando diferenciada diversas vezes, até a 
enésima derivada, todas essas derivadas 
devem possuir correspondência com uma 
derivada do impulso até a derivada de ordem 
m em t=0 
2. A combinação linear das derivadas de h(t) 
devem, se somadas, igualar-se a zero para 
qualquer instante t0. 
Resposta ao impulso unitário 
Considere 3 casos: 
1. m<n: Neste caso as derivadas de yh(t)u(t) fornecem todas as funções de 
singularidades necessárias para se ter a correspondência com o impulso 
e suas derivadas do lado direito. 
2. m=n: Aqui é preciso adicionar um termo de impulso K(t) e resolver 
para K. 
3. m>n: A enésima derivada da função adicionada a yh(t)u(t) deve ter um 
termo que corresponda à derivada de ordem m do impulso unitário. A 
função acrescida deve estar na forma: 
 
 
 e K será determinado pela correspondência entre os coeficientes 
associados aos termos equivalentes em ambos os lados. Todas as demais 
derivadas do impulso serão levada em conta por meio da diferenciação 
da solução yh(t)u(t) múltiplas vezes. (Caso pouco comum) 
1 1 0 0
(t)
(t) (t) (t)m n m n m n m nK u K u K u

       
Resposta ao impulso unitário 
Convolução 
• A partir de agora podemos supor que a 
resposta de um sistema LTI a um impulso 
unitário é conhecida ou pode ser calculada. 
• Sendo assim, será que é possível determinar a 
resposta a um sinal de entrada geral? 
Convolução 
• Vamos a aproximar o sinal por meio de uma 
sequência de pulsos retangulares. 
(t) ( ) ret (0) ret ( ) retP PP P
P P P
t T t Tt
x x T x x T
T T T
      
          
     
1
(t) ( ) ret ( ) retP PP P P
n nP P P
t nT t nT
x x nT T x nT
T T T
 
 
    
    
   
 
Pulso unitário 
Convolução 
• Suponha que a resposta ao pulso unitário hp(t) 
é redimensionada em escala de amplitude 
pelo fator Tpx(nTp) e deslocada no tempo por 
uma quantidade igual ao pulso. 
• Então a aproximação da resposta do sinal 
pode ser escrita como: 
 y(t) ( )P P p P
n
T x nT h t nT


 
Convolução 
Convolução 
• À medida que os pulsos ficam mais curtos, a 
aproximação torna-se cada vez melhor. 
• Lembrando que a integral real de uma variável 
real pode ser definida como o limite de um 
somatório: 
0
( ) lim ( )
b
b x
x
aa n
x
g x dx g n x x

 


  
Convolução 
• Na medida que Tp diminui as aproximações 
tornam-se melhores. No limite quando Tp0 
temos: 
(t )
1
(t) ( ) ret ( ) (t )PP P
n P Pd
t nT
x T x nT x d
T T
 
 
   




 

 
   
 
 
   
(t )
y(t) ( ) ( )P P p P
n d h
T x nT h t nT x h t d
  
  




 

    
Convolução 
Convolução 
(t) ( ) (t )x x d   


 
Propriedade da amostragem 
do impulso unitário. (Aula 1) 
 (t) ( ) (t) ( )y x h t d x h t  


    Integral de convolução 
Propriedades da Convolução 
• Suponha que queremos realizar a seguinte 
integral de convolução: 
 
 
• onde 
 (t) ( ) ( )x h t x h t d  


  
Propriedades da Convolução 
• O que significa h(t-)? 
•  é a variável de integração pelo que devemos 
entender h(∙) como uma função em . 
Propriedades da Convolução 
• Aplicando os procedimentos de escalonamento 
e deslocamento no tempo temos: 
 ( ) ( ) ( ( )) (t )th h h t h              
Propriedades da Convolução 
t=0 
t=5 
Propriedades da Convolução 
1 0t  
      2
1
2 2 2 2 1
t
y t t d t 

     
Propriedades da Convolução 
0 1t 
  2y t 
Propriedades da Convolução 
1 2t 
    
          
         
      
 
1 1 1 1
1 1 1 1
1 22
1
2 2
2
2 2 2 4 4 4
4 2 4 4 2 4 4 1 2 1 4 1
4 6 1 4 2 2 4 4 6 1 2 2
4 6 2 1 1 2 2 1 4 6 2 4 2 4 6
2 8 8
t t t t
t
y t t d td d d
y t t t t t t t
y t t t t t t t t
y t t t t t t t t t t
y t t t
     
  
   

       
              
               
               
  
   
Propriedades da Convolução 
• Convolução de x(t) com h(t) 
 
 2
2
2 1 1 0
2 0 1
2 8 8 1 2
t t
y t t
t t t
    

  
    

Propriedades da Convolução 
• Exemplo: Determine a resposta ao impulso do 
circuito RC estudado e calcule sua saída 
quando excitado por um degrau utilizando sua 
resposta ao impulso. 
   
     
 
1
out
in out
t
RC
dV
V t RC V t
dt
RCh t h t t
h t e
RC


 
 

Propriedades da Convolução 
     outV t u h t d  


 
 
 
0
0
1
1
t t
RC
out
t
t t
RC RC
out
V t e d
RC
V t e e






 

  

Propriedades da Convolução 
• Comutatividade: 
• Associatividade: 
• Distributividade: 
Para y(t)=x(t)*h(t) 
• Diferenciação: 
• Área: 
• Redimensionamento 
de escala: 
(t) ( ) ( ) ( )x y t y t x t  
   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t y t z t x t y tz t    
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t y t z t x t z t y t z t     
(t) (t) ( ) ( ) ( )y x h t x t h t     
( ) ( ) ( )y at a x at h at 
Área de ( ) (Área de ) (Área de )y t x h 
Propriedades da Convolução 
• Para que uma integral de convolução convirja, 
os funções submetidas à convolução devem 
ser ambas limitadas e pelo menos uma delas 
deve ser absolutamente integrável. 
• Uma função é absolutamente integrável se. 
 
 h d 


 
Propriedades da Representação de 
sistemas pela sua resposta ao impulso 
• Causalidade: Um sistema de tempo contínuo 
causal tem uma resposta ao impulso que 
satisfaz h()=0 para todo <0. 
• Logo a saída do sistema causal é expressa 
como: 
 
• Note que exigir que a resposta ao impulso seja 
nula para tempos negativos equivale a dizer 
que o sistema não pode responder antes da 
aplicação do impulso. 
 
0
(t) ( )y h x t d  

 
Propriedades da Representação de 
sistemas pela sua resposta ao impulso 
• Memória: Para que um sistema não possua 
memória sua resposta deve depender 
somente do valor do sinal de entrada no 
instante t e não de valores em instantes x(t-t0) 
para t0 0. 
• Desta forma: 
   
     
(t) ( ) ( )
0, 0
, 0
y x h t d h x t d
h h c
c
     

   

 
 
   

  

 
Resposta ao impulso 
de um sistema estático 
Propriedades da Representação de 
sistemas pela sua resposta ao impulso 
• Estabilidade: De acordo com o critério de 
estabilidade BIBO um sistema é estável se para 
uma entrada limitada a saída do 
 sistema também é limitada . 
 Formalmente temos: 
  xx t M  
  yy t M  
   
   
(t) ( ) ( )
(t) ( ) ( )
y h x t d h x t d
y h x t d h x t d
     
     
 
 
 
 
   
   
 
  a b a b
ab a b
  

Lembrar 
Propriedades da Representação de 
sistemas pela sua resposta ao impulso 
• Como a entrada é limitada: 
No pior caso temos: 
 
 
A saída será limitada se e somente 
se a resposta ao impulso for absolutamente 
integrável: 
  xx t M  
   (t) ( )
x
x
M
y h x t d M h d    
 
 
   
  yy t M  
 h d 


 
Propriedades da Representação de 
sistemas pela sua resposta ao impulso 
• Inversibilidade: Um sistema é inversível se sua 
entrada puder ser recuperada da saída. Isto 
implica a existência de um sistema inverso que 
toma a saída do sistema original como sua 
entrada e produz a entrada do sistema 
original. 
           
            
 
 
     
1
1 1
1
, 
t
y t x t h t x t y t h t
y t y t h t h t h t h t y t
h t h t t



 

   
 
     
  
 
 
Trabalho Extraclasse 
• Estudar capítulos 6 do livro (Roberts). 
• Exercícios 20-28 capítulo 6.