Transformadas_em_Sinais_e_Sistemas_-Aula_3_2019

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Transformadas em Sinais e 
Sistemas (BC1509) 
Aula 3 
Professor: Alain Segundo Potts 
alain.segundo@ufabc.edu.br 
Sala 742-1 
Bibliografia 
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 
Bookman, 1a Ed., 2007. 
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais e 
Sistemas, McGraw-Hill, 1a e 2ª Ed. 
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, 
Bookman, 1a Ed., 2001. 
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais 
e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010 
 
Sumário 
• Exercícios sobre sinais 
Exercícios 
1. (1.12 Haykin) A partir do sinal pulso triangular 
x(t) descrito a seguir: 
Esboce cada um dos seguintes sinais: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
 
  
  
   
3
3 2
2 1
2 2
2 2
3 3 2
x t
x t
x t
x t
x t
x t x t

 


 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
André Marques
Lápis
Exercícios 
Solução: 
 
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(3t)
 3x t  3 2x t 
Exercícios 
2. Para cada um 
dos seguintes 
pares de sinais 
determine o 
valor das cons-
tantes A, t0 e w 
em: 
    2 1 0g t Ag t t w 
André Marques
Lápis
Exercícios 
• Solução 
a) A=2, t0=1, w=1; 
b) A=-2, t0=0, w=1/2; 
c) A=-1/2, t0=-1, w=2; 
 
 
1 0
0
1 1
1 0
0
0
0
1
1, 3
1
1
1
1, 2
3
1
t t
t t w
t t
t tw
w
t
w
t w
t
w



 
    
  



   
   

Exercícios 
3. (1.1 Haykin) Encontre as componentes par e 
ímpar de cada um dos seguintes sinais: 
 a) 
 b) 
 
         
     3 3
cos sin sin cos
1 cos 10
x t t t t t
x t t t
  
 
André Marques
Lápis
Exercícios 
• Solução: a) 
 
   
 
   
 
               
 
     
     
 
               
   
, 
2 2
cos sin sin cos cos sin sin cos
2
2sin 2sin cos
sin sin cos
2
cos sin sin cos cos sin sin cos
2
cos
i p
i
i
p
p
g t g t g t g t
g t g t
t t t t t t t t
g t
t t t
g t t t t
t t t t t t t t
g t
g t t
   
 
        


  
        


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x(t)
Exercícios 
• Solução: b) 
 
   
 
   
 
        
 
       
 
 
        
   
33 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3
33 3 3
3
, 
2 2
1 cos 10 1 cos 10
2
cos 10 cos 10 cos 10 cos 10
cos 10
2
1 cos 10 1 cos 10
2
cos 10
p i
i
i
p
p
g t g t g t g t
g t g t
t t t t
g t
t t t t t t
g t t t
t t t t
g t
g t t
   
 
    

  
 
    


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
x(t)
Exercícios 
3. (1.2 Haykin) Determine se os seguintes sinais 
são periódicos. Se forem periódicos encontre 
o período fundamental. 
 a) 
 b) 
   
       
2
5
5
cos 2
2 onde 
k
x t t
x t w t k w t tri t



  
André Marques
Lápis
Exercícios 
• Solução: 
a) 
 
 
 
Função periódica 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
 
 
     
01
02
2
2
2
01 02
0 0
0
1 cos 2
cos
2
1 1 2
cos cos 2
2 2
0, 2 2
1 1
1
2 2
T T
T
at
at
x t at at a
T
f f f MDC f
T f
T
T





    
   
  
 
Exercícios 
• Solução 
b) 
 
 
Função não-periódica já que fora do intervalo -5;5 a 
função não se repete mais. 
       
             
         
5
5
2 onde 
10 8 6 4 2
 = 2 4 6 8 10
k
x t w t k w t tri t
x t tri t tri t tri t tri t tri t tri t
tri t tri t tri t tri t tri t

  
          
        

Exercícios 
4. (1.14 Haykin) Categorize cada um dos 
seguintes sinais como sinais de energia ou 
potência e encontre a energia ou potência do 
sinal. 
 
a) 
 
b) 
 
 
, 0 1
2 , 1 2
0, caso contrário
t t
x t t t
 

   


     5cos sin 5 , x t t t t     
André Marques
Lápis
Exercícios 
• Solução: 
a)Sinal de energia já que o sinal é limitado no 
tempo, pelo que possui energia finita e a 
integral converge. 
 
2
2
1 21 2 3 2 3
22
0 1 0 14 4
1 8 1
(2 ) 4 4 8 8 4 2
3 2 3 3 3 3
1 8 7 2
3 3 3 3
t t
E x t dt
t t t
E t dt t dt t
E


 

    
                 
   
   

 
Exercícios 
• Solução: 
b)Sinal de potência já que o sinal é ilimitado e 
sua energia também. 
Primeiramente devemos calcular o período do 
sinal: 
     
01
01 02
02
01 02
5cos sin 5 , 
2 5
2; 2 5 
5 2
1 5 1
; 2
2 2 2
x t t t t
T
T T
T
f f MCD T
      
    
     
Exercícios 
 
   
        
 
 
   
    
 
 
2
2
2
1
2
1
1
2 2
1
1 1
2 2
1 1
sin 2 sin 103cos 4 2cos 6
2 4 2 2024
1
1
5cos sin 5
2
1
25cos 10cos sin 5 sin 5
2
25 1
cos 5 cos sin 5 sin 5
2 2
lim
T
T T
t tt tt t
P x t dt
T
P t t dt
P t t t t dt
P t dt t t dt t dt
  
 
 
   
   




 

 

 
 
   
 
  



 
1
1
13P



Exercícios 
5. (1.15 Haykin) Esboce a forma de onda dos 
seguintes sinais: 
a) 
b) 
       
       
1 2 1
1 2
x t u t u t u t
y t r t r t r t
    
    
André Marques
Lápis
Exercícios 
• Solução 
a) 
Exercícios 
• Solução 
b) 
Exercícios 
6. (1.17 Haykin) A figura a) mostra um pulso x(t) 
que pode ser visto como a superposição de 
três pulsos retangulares. Iniciando pelo pulso 
retangular g(t) (b) construa a forma de onda 
e expresse x(t) em termos de g(t). 
Exercícios 
• Solução 
   
4 3
t t
x t g g g t
   
     
   