AP2-ALI-2016-1-gabarito (1)

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Segunda Avaliação Presencial de Álgebra Linear para Engenharia de Produção – 29/05/2016 
Gabarito. 
Questão 1 
A matriz 𝐴𝜃 = [
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] também é chamada de matriz de rotação. 
a) (1.0)Mostre que 
𝐴𝜃
2 = [
cos 2𝜃 − sin 2𝜃
sin 2𝜃 cos 2𝜃
] 
a) (0.5) Determine a matriz 𝐴𝜃
𝑛 = 𝐴𝜃 ∙ 𝐴𝜃 ⋯ 𝐴𝜃, para 𝑛 ∈ ℕ. 
b) (1.5) Determine os vetores 𝐴𝜃 [
1
0
], 𝐴𝜃
2 [
1
0
], 𝐴𝜃
3 [
1
0
], para 𝜃 =
𝜋
4
, e represente-os graficamente no plano 
cartesiano. 
c) (1.0) Indique os valores de 𝑛 ∈ ℕ para os quais 𝐴𝜃
𝑛 [
1
0
] = [
1
0
], onde 𝜃 =
𝜋
4
. 
Solução: 
a) 𝐴𝜃 = [
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] [
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] = [cos
2 𝜃 −sin2 𝜃 −2 sin 𝜃 cos 𝜃
2 sin 𝜃 cos 𝜃 cos2 𝜃 −sin2 𝜃
] = [
cos 2𝜃 − sin 2𝜃
sin 2𝜃 cos 2𝜃
] 
b) 𝐴𝜃
𝑛 = [
cos 𝑛𝜃 − sin 𝑛𝜃
sin 𝑛𝜃 cos 𝑛𝜃
] 
c) 𝐴 𝜋/4 [
1
0
] = 𝐵, 𝐴𝜋/4
2 [
1
0
] = 𝐶 e 𝐴𝜋/4
3 [
1
0
] = 𝐷 
d) 𝐴𝜋/4
𝑛 [
1
0
] = [
cos
𝑛𝜋
4
− sin
𝑛𝜋
4
sin
𝑛𝜋
4
cos
𝑛𝜋
4
] [
1
0
] = [
1 0
0 1
] [
1
0
] 
Basta determinar os valores de 𝑛 ∈ ℤ tal que 
cos (
𝑛𝜋
4
) = 1; sin (
𝑛𝜋
4
) = 0 
Então {𝑛 = 𝑘4; 𝑘 ∈ ℤ}. 
 
2ª Questão 
(1.5) Dada a Matriz 𝐴 = [
2 1 1
2 3 4
−1 −1 −2
] e a base 𝐵 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, determine a transformação linear 
𝑇, em função de (𝑥, 𝑦, 𝑧) , tal que A= [𝑇]𝐵,𝐵 
Solução: 
a) Neste caso como estamos falando da base canônica basta fazermos o produto: 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [
2 1 1
2 3 4
−1 −1 −2
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = (2𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧, −𝑥 − 𝑦 − 2𝑧) 
 
2ª Questão 
Dada a Matriz 𝐴 = [
2 1 1
2 3 4
−1 −1 −2
]. 
a) (1.0) Encontre o seu polinômio característico. 
b) (1.0) Determine os autovalores associados a matriz A (Dica 1 é raiz do polinômio característico). 
c) (1.0) Determine os vetores próprios associados aos valores próprios encontrados em b. 
Solução: 
A) 𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 [
2 − 𝜆 1 1
2 3 − 𝜆 4
−1 −1 −2 − 𝜆
] = 𝜆3 − 3𝜆2 − 𝜆 + 3 
b) Seguindo a dica segue que 𝑝(𝜆) = (𝜆 − 1)(𝜆 + 1)(𝜆 − 3) 
c) Se 𝜆 = 1 e 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
𝐴𝑣 = [
2 1 1
2 3 4
−1 −1 −2
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
𝑥
𝑦
𝑧
] = 𝑣 
(𝐴 − 1𝐼)𝑣 = [
1 1 1
2 2 4
−1 −1 −3
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
Daí, escalonando obtemos, 𝑣 = (1, −1,0) 
Se 𝜆 = −1 e 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
𝐴𝑣 = [
2 1 1
2 3 4
−1 −1 −2
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
−𝑥
−𝑦
−𝑧
] = −𝑣 
(𝐴 + 1𝐼)𝑣 = [
3 1 1
2 4 4
−1 −1 −1
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
Daí 𝑣 = (0,1, −1) 
Se 𝜆 = 3 e 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
𝐴𝑣 = [
2 1 1
2 3 4
−1 −1 −2
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
3𝑥
3𝑦
3𝑧
] = 3𝑣 
[
−1 1 1
2 0 4
−1 −1 −5
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
Daí 𝑣 = (2,3, −1) 
4ª Questão 
A Matriz 𝐴 = [
2 1 1
2 3 2
3 3 4
] admite a seguinte tabela: 
Valor próprio (λ) Vetor próprios dim E(λ)
7 (1,2,3) 1
1 (1,0,1); (0,1, −1) 2
 
a) (0.5) A matriz 𝐴 é diagonalizável? Justifique. 
b) (1.0) Encontre a matriz diagonal 𝐷 , semelhante à 𝐴, e a matriz 𝑃, tal que 𝐷 = 𝑃−1𝐴𝑃. 
Solução: 
a) Pelo teorema 1 da aula 6 (modulo 3) A tem 3 autovalores linearmente independentes, logo é diagonalizável. 
b) Na mesma aula vimos que 
𝐷 = [
7 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 e 𝑃 = [
1 1 0
2 0 1
3 1 −1
] notando que as colunas da matriz 𝑃 são os autovetores da matriz 𝐴.