Lista 4 B2023 - Casa gabarito

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MAE0116 – Noções de Estatística
Lista de exercícios 4 – Probabilidade – Casa (Gabarito)
Exercício 1
(1 ponto)
Em uma competição agrícola, dois desafios foram propostos aos participantes. Entre os competidores,
260 agricultores conseguiram completar o primeiro desafio, 230 não alcançaram sucesso no segundo
desafio, 120 completaram ambos os desafios e 200 não completaram apenas um dos desafios. Qual
é a probabilidade de escolher, aleatoriamente, dentre os que realizaram os desafios, um participante
que
(a) (0,5 ponto) não tenha completado nenhum dos desafios agropecuários?
Resolução.
Seja D1 o evento de sucesso no desafio 1 e D2 de sucesso no desafio 2, consequentemente,
D1c e D2c são os eventos de fracasso nos desafios 1 e 2, respectivamente. Vamos organizar as
informações:
Pelo enunciado, sabemos que D1 = 260 e D1 ∩ D2 = 120. Assim, calculamos que 140
participantes só obtiveram sucesso no desafio 1. Na tabela abaixo, essas informações ficam na
coluna 1.
Pelo enunciado, sabemos que 200 não completaram apenas um dos desafios. Assim, como 140
só completaram o D1, calculamos que 60 só completaram o D2. Consequentemente, podemos
calcular o total da primeira linha da tabela.
Sabemos pelo enunciado que 230 não completaram o desafio 2 (total da segunda linha da ta-
bela). Logo, também podemos calcular os alunos que não completaram ambos os desafios.
D1 D1c Total
D2 120 200− 140 = 60 120 + 60 = 180
D2c 260− 120 = 140 230− 140 = 90 230
Total 260 90 + 60 = 150 230 + 180 = 410
Assim, a probabilidade de não ter completado nenhum dos desafios é dada por:
P (D1c ∩D2c) = 90
410
≈ 0, 2195
1
(b) (0,5 ponto) tenha completado apenas o desafio 2?
Resolução. Utilizando as informações do item (a), a probabilidade de completar apenas o
desafio 2 é:
P (D2 ∩D1c) = 60
410
≈ 0, 1463
Exercício 2
(2,5 pontos)
Em um laboratório de biologia, três empresas fornecem reagentes para um experimento. Apesar
de serem reagentes de alta qualidade, existe uma pequena probabilidade de contaminação ou
pureza excessiva nos produtos fornecidos. A tabela abaixo apresenta as probabilidades para
cada tipo de fornecimento por empresa:
Probabilidade de reagente contaminado, puro ou com pureza exata, por empresa
Empresa Contaminado (C) Puro (P) Pureza exata (E)
A 0,010 0,960 0,030
B 0,020 0,950 0,030
C 0,015 0,970 0,015
As empresas A, B e C fornecem, respectivamente, 40%, 30% e 30% dos reagentes utiliza-
dos. Escolhendo-se, ao acaso, um reagente do laboratório de biologia, responda as seguintes
perguntas.
(a) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de o reagente estar contaminado?
Resolução.
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Para facilitar a compreensão do problema, vamos observar o diagrama de probabilidades acima.
Assim, temos que somar as probabilidades dos caminhos que chegam nos nós de contaminado
(C).
Vamos detonar por C,P,E os eventos em que o reagente escolhido seja do tipo Contaminado,
Puro ou Pureza Exata, respectivamente. E por A,B, C os eventos em que o reagente escolhido
tenha sido fornecido pela empresa A,B ou C, respectivamente.
P (C) = P (A ∩ C) + P (B ∩ C) + P (C ∩ C)
= P (C|A)× P (A) + P (C|B)× P (B) + P (C|C)× P (C)
= 0, 010× 0, 4 + 0, 020× 0, 3 + 0, 015× 0, 3
= 0, 0145.
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de o reagente ter sido fornecido pela empresa C, dado
que é puro?
Resolução.
Neste caso, precisamos calcular P (C|P ). Sabemos que:
P (C|P ) = P (C ∩ P )
P (P )
.
Assim, temos que calcular P (P ):
P (P ) = P (A ∩ P ) + P (B ∩ P ) + P (C ∩ P )
= P (P |A)× P (A) + P (P |B)× P (B) + P (P |C)× P (C)
= 0, 960× 0, 4 + 0, 950× 0, 3 + 0, 970× 0, 3
= 0, 96.
Agora, podemos calcular P (C|P ):
P (C|P ) = P (C ∩ P )
P (P )
=
0, 3× 0, 970
0, 96
≈ 0, 303.
(c) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de o reagente ter sido fornecido pela empresa B ou ter
pureza exata?
Resolução.
3
Neste caso, precisamos calcular P (B ∪ E). Sabemos que
P (B ∪ E) = P (B) + P (E)− P (B ∩ E).
Assim, temos que calcular P (E):
P (E) = P (A ∩ E) + P (B ∩ E) + P (C ∩ E)
= P (E|A)× P (A) + P (E|B)× P (B) + P (E|C)× P (C)
= 0, 030× 0, 4 + 0, 030× 0, 3 + 0, 015× 0, 3
= 0, 0255.
Como conclusão, temos que:
P (B ∪ E) = P (B) + P (E)− P (B ∩ E)
= 0, 3 + 0, 0255− 0, 3× 0, 030
= 0, 3165.
(d) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de o reagente ter sido fornecido pela empresa A e estar
contaminado?
Resolução.
Nesse exercício a quantidade desejada é P (A ∩ C). Procedemos com
P (A ∩ C) = P (C|A)× P (A) = 0, 010× 0, 4 = 0, 004.
(e) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de o reagente não estar contaminado?
Resolução.
Aqui temos que encontrar P (Cc). Veja inicialmente que
P (Cc) = 1− P (C).
Pelo Item (a), sabemos que P (C) = 0, 0145, o que nos leva à seguinte conclusão:
P (Cc) = 1− P (C) = 1− 0, 0145 = 0, 9855.
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Exercício 3
(2,5 pontos)
Em uma escola, foram coletados dados sobre as preferências de alunos por matemática e ciências.
Foi observado que a proporção de alunos que gostam de matemática é 1/3, enquanto que a proporção
de alunos que gostam de ciências é 1/4. Use essas informações para resolver as questões abaixo.
(a) (0,5 ponto) Escolhe-se, aleatoriamente, um aluno desta escola. Determine a probabilidade
deste aluno gostar de matemática e não gostar de ciências, supondo que gostar de mate-
mática e gostar de ciências sejam eventos disjuntos.
Resolução.
Seja M o evento de gostar de matemática e C o evento de gostar de ciências (relativos ao
aluno escolhido). Pelo enunciado, sabemos que P (M) = 1/3 e P (C) = 1/4. Sabemos que
as pessoas que gostam de matemática pode ser descrita como a união de todas as pessoas que
gostam de matemática e não gostam de ciências e de todas as pessoas que gostam de matemática
e gostam de ciências, ou seja, M = (M ∩C)∪ (M ∩Cc). Por definição, sabemos que (M ∩C)
e (M ∩ Cc), já que são eventos disjuntos. Dessa forma, temos:
P (M) = P (M ∩ C) + P (M ∩ Cc)
Como queremos P (M ∩Cc) e que pelo enunciado, M e C são eventos disjuntos, então P (M ∩
C) = 0, então temos:
P (M ∩ Cc) = P (M)− P (M ∩ C) = 1
3
− 0 = 1
3
(b) (0,5 ponto) Sorteia-se, de maneira equiprovável, um aluno desta escola. Calcule a proba-
bilidade deste aluno sorteado gostar de matemática e não gostar de ciências, considerando
que estes eventos sejam independentes.
Resolução.
O exercício pede P (M ∩ Cc), mas considerando agora que M e C são eventos independentes.
Se M e C são eventos independentes, então M e Cc também são independentes. Logo, teremos:
P (M ∩ Cc) = P (M)× P (Cc) = P (M)× (1− P (C)) = 1
3
× (1− 1
4
) =
1
3
× 3
4
= 0, 25
5
(c) (0,5 ponto) Suponha agora que todos os alunos que gostam de ciências também gostam de
matemática. Qual é a proporção de alunos que gostam de matemática e não gostam de
ciências?
Resolução.
Nosso objetivo é calcular P (M ∩ Cc). Podemos escrever M como a união de dois conjuntos
disjuntos M = (M ∩ C) ∪ (M ∩ Cc).
Pelo enunciado, temos C ∪M , o que implica M ∩ C = C. Desta forma,
P (M) = P (M ∩ C) + P (M ∩ Cc) = P (C) + P (M ∩ Cc).
Assim, chegamos à 1/3 = 1/4 + P (M ∩ Cc), donde segue que
P (M ∩ Cc) = 1/3− 1/4 = 1/12.
(d) (0,5 ponto) Supondo que a proporção de alunos que gostam de matemática e também de
ciências é 1/12, determine a proporção de alunos que gostam de matemática e não gostam
de ciências.
Resolução. Pelo exercício, sabemos que:
P (M ∩ C) = 1
12
.
Então, temos que:
P (M ∩ Cc) = P (M)− P (M ∩ C) = 1
3
− 1
12
=
3
12
= 0, 25.
(e) (0,5 ponto) Assumindo que entre os alunos que não gostam de ciências, a proporção dos
que não gostam de matemática é 1/5, qual é a proporção de alunos que gostam de mate-
mática e não gostam de ciências?
Resolução.
Pelo enunciado, temos:
P (M c|Cc) = 1
5
Logo:
6
P (M |Cc) = 1− P (M c|Cc) = 1− 1
5
=
4
5
Queremos P (M ∩ Cc), logo:
P (M ∩ Cc) = P (M |Cc)× P (Cc) = 4
5
× (1− 1
4
) =
4
5
× 3
4
=
3
5
= 0, 6
Exercício 4
(2 pontos)
Sejam A,B,C três eventos em um certo espaço amostral Ω. Utilizando a notação usual entre conjun-
tos, encontre uma expressão para cada um dos seguintes eventos.
(a) (0,2) Apenas o evento A ocorre.
Resolução.
Isso significaque A ocorre, mas B e C não ocorrem. Portanto, o evento é a interseção de A com
o complemento de B e o complemento de C:
A ∩BC ∩ CC .
(b) (0,2) Os eventos A e B ocorrem, mas C não ocorre.
Resolução.
Isso significa que A e B ocorrem, mas C não ocorre. Portanto, o evento é a interseção de A com
B e o complemento de C:
A ∩B ∩ CC .
(c) (0,2) Pelo menos um dos três eventos ocorre.
Resolução.
Isso significa que pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorre. Portanto, o evento é a união
dos três eventos:
A ∪B ∪ C.
(d) (0,2) Pelo menos dois dos três eventos ocorrem.
Resolução.
Isso significa que pelo menos um par de eventos ocorrem simultaneamente, dentre os três pos-
síveis. Portanto, podemos denotar pela seguinte união
(A ∩B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
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(e) (0,2) Todos os três eventos ocorrem.
Resolução.
Como todos os três eventos ocorrem simultaneamente, denotamos através da interseção
A ∩B ∩ C.
(f) (0,2) Nenhum dos três eventos ocorre.
Resolução.
Como nenhum dos três eventos ocorrem, o complemento de ambos ocorre simultaneamente,
portanto, denotamos
AC ∩BC ∩ CC .
Ou ainda, como este evento é o complementar do evento em que ao menos um dos eventos
ocorrem, podemos escrever
(A ∪B ∪ C)C .
(g) (0,2) No máximo um dos três eventos ocorre.
Resolução.
Isso significa que nenhum ou apenas um dos eventos A, B e C ocorre. O que pode ser escrito
como
(AC ∩BC ∩ CC) ∪ (A ∩BC ∩ CC) ∪ (AC ∩B ∩ CC) ∪ (AC ∩BC ∩ C).
Uma opção mais simples é obtida ao observar que neste caso, pelo menos dois dos eventos
complementares AC , BC e CC ocorrem, isto é,
(AC ∩BC) ∪ (AC ∩ CC) ∪ (BC ∩ CC).
(h) (0,2) No máximo dois dos três eventos ocorrem.
Resolução.
Isso é equivalente ao evento em que os três eventos A,B e C não ocorrem simultaneamente,
portanto, denotamos por
(A ∩B ∩ C)C .
(i) (0,2) Exatamente dois dos três eventos ocorrem.
Resolução.
Isso significa que dois dos eventos A, B e C ocorrem e o terceiro não ocorre. Portanto, o evento
seria a soma de todas as combinações possíveis de dois eventos, com o terceiro evento sendo o
complemento:
(A ∩B ∩ CC) ∪ (A ∩BC ∩ C) ∪ (AC ∩B ∩ C).
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(j) (0,2) No máximo três dos três eventos ocorrem.
Resolução.
Isso significa que zero, um, dois ou três eventos, dentre os eventos A, B e C, ocorrem, o que
engloba todas as possibilidades, portanto, é o espaço amostral Ω.
Exercício 5
(2 pontos)
Em um experimento aleatório, considere dois eventos A e B tais que P (A) > 3/4 e P (B) > 3/4.
Mostre que a probabilidade de ocorrer A e B simultaneamente é maior que 1/2.
Resolução.
O exercício nos pede mostrar que P (A ∩ B) > 1/2. Calculando a probabilidade de ocorrência do
evento complementar (A ∩B)c = (Ac ∪Bc), temos que
P (Ac ∪Bc) = P (Ac) + P (Bc)− P (Ac ∩Bc) ≤ P (Ac) + P (Bc).
Pelo enunciado, temos que P (A) > 3/4 e P (B) > 3/4, o que nos fornece P (Ac) = 1 − P (A) <
1− 3/4 = 1/4 e, analogamente, P (Bc) < 1/4. Desta forma,
P (Ac ∪Bc) ≤ P (Ac) + P (Bc) < 1
4
+
1
4
=
1
2
.
Para concluir, basta escrever
P (A ∩B) = 1− P (Ac ∪Bc) > 1− 1
2
=
1
2
.
Solução alternativa.
Podemos escrever
P (A ∩B) = P (A)− P (A ∩Bc) > 3
4
− P (Bc) > 3
4
− 1
4
=
1
2
,
onde, na primeira igualdade, foi utilizado que A é a união disjunta (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc); na segunda
passagem, foi utilizada a informação P (A) > 3/4 e a propriedade de que se um primeiro evento está
contido em um segundo evento, a probabilidade do segundo é maior ou igual que a do primeiro; e, na
última passagem, foi utilizado, como já visto na primeira solução, que P (Bc) < 1/4.
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