P1 - Calculo 3 - Rosa

Prévia do material em texto

1 
 
Universidade Federal do Espírito Santo 
1ª Prova de Cálculo IIIA – Prof. Antonio Luíz Rosa 
GABARITO 
1. (1,5 ponto) Determine onde 
 e é a superfície 
mostrada abaixo, com orientação para fora (a fronteira do cubo com um cubo unitário 
removido). z 
 
 
 (2, 0, 2) (0, 2, 2) 
 
 1 
 
 Y 1 1 
 x S 
 (2, 2, 0) 
 
Solução: Temos pelo Teorema do Divergente que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
Como , segue então que: 
 
 
 
 
2. (1,5 ponto) Se as componentes de têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas e 
 é a superfície fronteira de uma região sólida simples, mostre que 
 
 
 
 
Solução: Inicialmente, observamos que as hipóteses sobre o campo vetorial e sobre a 
superfície atendem às condições exigidas pelo Teorema do Divergente. 
Portanto, pelo Teorema do Divergente aplicado ao campo , fica: 
 
 
 
 
 
Mas, como já visto que . 
De fato: 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (2,5 pontos) Seja 
 
 
 
 
Calcule , onde está representado na figura abaixo. 
 y 
 
 C 
 0 x 
 
 
Solução: Tomemos como sendo um círculo de raio e centro em . 
 
 y 
 
 C 
 a x 
 
 C’ 
Considere ser a região limitada por e . Assim, a orientação positiva da fronteira de é 
 . 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema de Green nos dá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , segue que 
e então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (2,5 pontos) Seja . Calcule 
 , onde é a curva com início em e término em , como 
mostrado na figura. 
 z 
 A 
 (1, 1, 0) 
 B 
 y 
 x C 
 
Solução: Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, . 
Logo, existe uma função escalar tal que . 
Vamos determinar tal função : 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
De, 
 , temos que . 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
Então, . 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
Portanto, é tal que . 
Daí segue que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (2 pontos) Use o Teorema de Stokes para calcular 
 
 onde 
 , é a parte da esfera que 
está acima do plano e tem orientação para cima. 
 
Solução: Teorema de Stokes: Seja uma superfície orientada, lisa por partes, cuja 
fronteira é formada por uma curva fechada, simples, lisa por partes, com orientação 
positiva. Seja um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas 
em uma região aberta de que contém . Então 
 
 
 
 
 
No presente problema, todas as condições do Teorema de Stokes estão atendidas. 
Desta forma, podemos tomar , visto 
que é a parte da esfera que está acima do plano . 
Daí, 
 
e, 
 
5 
 
 
Logo, 
 
 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: