Primeira Prova - Resolução

Prévia do material em texto

ME 414 – Estatística para Experimentalistas 
Prof. Sebastião de Amorim 12out2016 
 
 
 
 
1. Uma tigela contém 10 bolas idênticas, exceto nas cores: nb= 1+ (c3 mod 9)=______ são brancas e as demais, 
pretas. Um experimento aleatório consiste em sortear uma das bolas, anotar sua cor e devolvê-la à tigela. Seja 
X, igual a 0 ou 1, o número de bolas pretas neste experimento. Você repetirá este experimento 1000 vezes, 
anotando os resultados parciais X1, X2, …, Xn. Seja 𝑌 = ∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 e �̅� =
1
𝑛
𝑌. 
a. Calcule E(X) e V(X) 
b. Calcule E(Y) e V(Y) 
c. Calcule E(�̅�) e V(�̅�) 
d. Construa um intervalo (a, b), tal que P{a<Y<b}=0,99 
e. Construa um intervalo (c, d), tal que P{c<�̅�<d}=0,99 
f. Qual deveria ser o número de repetições n para que a distância entre �̅� e E(X) seja, com 
probabilidade 0,95, menor que 0,005? 
 
a. Temos que nb=1+3 mod 9 = 4. 
Logo, temos 6 bolas pretas, e P(X=1)=0,6 e P(X=0)=0,4 
E(X) = 1*0,6+0*0,4 = 0,6 
V(X) = 0,6*0,4 = 0,24 (OBS: identifiquei que é Bernoulli(p) e portanto V(X)=p(1-p) ) 
b. E(Y) = 1000 E(X) = 600 (Usamos as propriedades básicas de esperança e variância) 
V(Y) = 1000 V(X) = 240 
c. E(�̅�) = E(X) = 0,6 
V(�̅�) = V(X) / 1000 = 0,00024 
d. Vamos construir um intervalo simétrico em torno de E(Y): a-E(Y) = -(b-E(Y)) 
P(a<Y<b) = 𝑷 (
𝒂−𝑬(𝒀)
√𝑽(𝒀)
< 𝒁 <
𝒃−𝑬(𝒀)
√𝑽(𝒀)
) = 𝟐𝑷 (𝒁 <
𝒃−𝑬(𝒀)
√𝑽(𝒀)
) − 𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟗 
Isto é, 𝑷 (𝒁 <
𝒃−𝑬(𝒀)
√𝑽(𝒀)
) = 𝟎, 𝟗𝟗𝟓 
Pegamos o valor na tabela da normal e temos que: 
𝒃−𝑬(𝒀)
√𝑽(𝒀)
= 𝟐, 𝟓𝟖 
Resolvendo: 𝒃 = 𝟐, 𝟓𝟖√𝑽(𝒀) + 𝑬(𝒀) = 𝟐, 𝟓𝟖√𝟐𝟒𝟎 + 𝟔𝟎𝟎 = 𝟔𝟒𝟎 
Analogamente, 𝒂 = 𝟐, 𝟓𝟖√𝑽(𝒀) − 𝑬(𝒀) = 𝟓𝟔𝟎 
e. Usando os resultados do item anterior, temos que: 
d = 𝟐, 𝟓𝟖√𝑽(�̅�) + 𝑬(�̅�) = 𝟐, 𝟓𝟖√𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟒 + 𝟎, 𝟔 = 𝟎, 𝟓𝟔 
c = 𝟐, 𝟓𝟖√𝑽(�̅�) − 𝑬(�̅�) = 𝟐, 𝟓𝟖√𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟒 − 𝟎, 𝟔 = 𝟎, 𝟔𝟒 
f. Queremos que P(-0,005<�̅� - E(X)<0,005) = 0,95 
O que é equivalente a: 
𝟎,𝟎𝟎𝟓
√𝑽(𝑿)/𝒏
= 𝟏, 𝟗𝟔 (As contas para chegar aqui são análogas às feitas 
no item d) 
Resolvendo: 𝒏 = (
𝟏,𝟗𝟔√𝑽(𝑿)
𝟎,𝟎𝟎𝟓
)
𝟐
= 𝟑𝟔. 𝟖𝟕𝟗 
 
 
 C6 C5 C4 C3 C2 C1 
RA: 6 5 4 3 2 1 
ME 414 – Estatística para Experimentalistas 
Prof. Sebastião de Amorim 12out2016 
 
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com esperança  e desvio padrão . Sejam X1, X2, …, Xn, 
n observações de X, independentes entre si. Seja Sn a soma, e X̅ a média dos n valores observados de X. Seja 
Y=aX+b uma transformação linear de X, com a e b reais. Sejam =100*c1, =10, n=100, a= c1 + 1e b=50 + c2) 
a. Calcule P{ - 8<X<+10} 
b. Sabendo que P{-k<X<-k}=0,80, determine k. 
c. Qual a distribuição de X̅ ? 
d. Qual a distribuição de Y? e de Y̅ =
1
n
∑ Yi
n
i=1 ? 
e. Digamos que você queira usar a média amostral X̅ como um estimador de =E(X). Com o n 
especificado, qual a probabilidade de você cometer um erro absoluto superior a 1? 
f. Qual deveria ser o número de observações n para que a probabilidade acima fosse igual a 0,01? E para 
que P{| X̅ − μ| < 0,1} = 0,95? 
 
a. Temos que =100 e =10 
P(-8<X<+10) = 𝑷 (
−𝟖
𝟏𝟎
< 𝒁 <
𝟏𝟎
𝟏𝟎
) = 𝑷(𝒁 < 𝟏) − 𝑷(𝒁 < −𝟎. 𝟖) = 
= 𝑷(𝒁 < 𝟏) + (𝟏 − 𝑷(𝒁 < 𝟎. 𝟖)) = 𝟎, 𝟖𝟒 − 𝟎, 𝟐𝟏 = 𝟎, 𝟔𝟑 
b. Desconsiderar 
c. 𝐗~N(,2/n), isto é, 𝐗~N(100,1) 
d. Y~N(a+b, (a)2), pelas propriedades da normal, e da esperança e variância. Isto é, 
temos que Y~N(252,400) 
Analogamente, 𝐘~N(252, 4) (ver como é calculada a esperança e variância da média 
de observações) 
e. Queremos: 1 - P(-1<𝐗-E(X)<1) = 𝟏 − 𝑷 (
−𝟏
𝟏
< 𝒁 <
𝟏
𝟏
) = 𝟐 − 𝟐𝑷(𝒁 < 𝟏) = 𝟎, 𝟑𝟐 
f. Primeiro, queremos 𝟐 − 𝟐𝑷 (𝒁 <
𝟏
√𝟏𝟎𝟎/𝒏
) = 𝟎, 𝟎𝟏 
Isto é: 𝑷 (𝒁 <
𝟏
√𝟏𝟎𝟎/𝒏
) = 𝟎, 𝟗𝟗𝟓. Isto é, 
𝟏
√𝟏𝟎𝟎/𝒏
= 𝟐, 𝟓𝟔 
Resolvendo a equação acima, chegamos a 𝒏 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟓𝟓 
Na segunda parte, queremos 
𝟎,𝟏
√𝟏𝟎𝟎/𝒏
= 𝟏, 𝟗𝟔 (veja o exercício 1) 
Resolvendo: 𝒏 = (
𝟏,𝟗𝟔√𝟏𝟎𝟎
𝟎,𝟏
)
𝟐
= 𝟑𝟖. 𝟒𝟏𝟔 
 
 
 
 
ME 414 – Estatística para Experimentalistas 
Prof. Sebastião de Amorim 12out2016 
 
 
3. Considere a subpopulação de jovens adultos brasileiros (de 20 a 30 anos) do sexo masculino. O tamanho desta 
população, representado por N, e de cerca de 17 milhões de pessoas. Seja X a variável que dá a altura em 
centímetros desses indivíduos. Considere agora o problema de estimar X̅ =
1
N
∑ Xi
N
i=1 , a altura média dos N 
indivíduos desta subpopulação. Você usará uma amostra aleatória de n indivíduos desta população como base 
para estimar X̅. É claro, n<<N. Com base em estudos anteriores, você resolve assumir o desvio padrão como 
sendo=6+(c4 mod 4) = ___________ cm 
a. Você precisa estimar X̅. Com uma amostra de n = (250 + 10c1) desses indivíduos, sorteados 
aleatoriamente desta subpopulação, qual é a probabilidade de que a altura média amostral �̅� – o seu 
estimador de X̅ – caia a menos que a = [4+(c1*mod 5)] = ____ mm de distância do “alvo”, isto é, da 
média populacional X̅? 
b. Seja e=|X̅ − �̅�|/10 o valor absoluto do erro de sua estimativa de X̅, em mm. Qual terá que ser o 
tamanho amostral n para garantir que sua probabilidade de um erro absoluto inferior a k milímetros 
seja de 95%, isto é, 𝑃{𝑒 < 𝑘} = 0,95? 
c. E para 𝑃{𝑒 < 𝑘} = 0,99? 
 
a. n = 260 e a = 5mm = 0,5cm. O  é igual a 6 
Isto é, estamos interessados em P(-5 < 𝐗 – E(𝐗) < 5). 
P(-0,5 < 𝐗 – E(𝐗) < 0,5) = P(-0,5√𝒏/ < Z < 0,5√𝒏/)=2P(Z<0,5√𝒏/)-1=2P(Z<1,34))-1=0,82 
b. Convertendo tudo para cm, 
Queremos 𝑷 (
−𝒌
𝟏𝟎
<
�̅�−�̅�
𝟏𝟎
<
𝒌
𝟏𝟎
) = 𝑷(−𝒌 < 𝐗 − 𝒙 < 𝒌) = 𝑷 (
−𝒌
√𝑽(�̅�)
< 𝒁 <
𝒌
√𝑽(�̅�)
) = 𝟎, 𝟗𝟓 
Isto é, 𝑷 (𝒁 <
𝐤√𝒏
𝟔
) = 𝟎, 𝟗𝟕𝟓. Logo, 
𝐤√𝒏
𝟔
= 𝟏, 𝟗𝟔 e 𝒏 = (
𝟏𝟏,𝟕𝟔
𝒌
)
𝟐
 
c. Analogamente ao item b, 𝒏 = (
𝟏𝟓,𝟑𝟔
𝒌
)
𝟐