3 Distribuição Binomial

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Departamento de Estatística - IMECC – UNICAMP 
ME 414 – Fundamentos de Probabilidade e Estatística para a Pesquisa Experimental 
Prof. Sebastião de Amorim 
 
A Distribuição Binomial – um sumário 
Um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis é dito binário. O seu espaço amostral é, 
então, composto por apenas dois elementos, de denominaremos, genericamente, de Sucesso e 
Fracasso, e representamos por S e F. Assim, Ω={S, F}. 
Seja p=P{S} a probabilidade do resultado denominado Sucesso. Então, P{F}=1-p, que vamos representar 
por q. Logo, p+q=1. 
Vamos representar esse experimento aleatório por Bp. 
Seja agora o experimento aleatório composto por duas repetições sucessivas e independentes de Bp. 
Vamos representá-lo por B��. 
O espaço amostral para esse experimento composto é Ω={SS, SF, FS, FF}. A classe completa de eventos 
desse espaço amostral (isto é, a classe de todos os subconjuntos de Ω) tem 24=16 elementos. Vamos 
representar essa classe por A. Os elementos unitários desta classe são {SS}, {SF}, {FS} e {FF}. A função 
natural de probabilidades, neste caso, é completamente definida por P{SS} p2 , P{SF}=pq , P{FS}=pq e 
P{FF}=q2. 
Dizemos completamente definida porque, uma vez definidos os valores de P para os eventos unitários, 
os valores para os eventos não unitários ficam completamente determinados pelo axioma da 
aditividade, como, por exemplo: 
P{ SF FS } = P{SF}∪P{FS } = P{SF} + P{FS } = 2pq 
 Na tabela abaixo temos os 16 eventos relacionados a B��, com suas respectivas probabilidades. O ultimo 
evento da tabela, com 4 elementos, é o próprio Ω, e sua probabilidade é 
igual a 1, como você pode verificar. Por outro lado, a probabilidade do 
evento vazio, φ, sendo o complemento do universo, é igual a zero. 
Os resultados podem ser estendidos para B��. Neste caso o espaço 
amostral contém 8 elementos. A álgebra completa contem, portanto, 28 
elementos. A função natural de probabilidade nesse caso é definida 
inicialmente para os eventos unitários, como, por exemplo, P{SFS}=p2q, e a 
partir daí para os demais eventos, aplicando-se os axiomas básicos. Assim, 
por exemplo, P{SSF SFS FSS}=3p2q. 
 
 
A P(A) 
φ 0 
{SS} p2 
{SF} pq 
{FS} pq 
{FF} q2 
{SS SF} p2+pq 
{SS FS} p2+pq 
{SS FF} p2+q2 
{SF FF} pq+q2 
{SS SF FS} p2+2pq 
{SS SF FF} p2+pq+q2 
{SS FS FF} p2+pq+q2 
{SF FS FF} 2pq+q2 
{SS SF FS FF} p2+2pq+q2 
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Contando o Número de Sucessos em ��� 
O espaço amostral de B�� tem 2n elementos. Seja a função X:Ω→R, definida por X(ω) = número de S’s em 
ω, para qualquer ω∈Ω. 
A tabela ao lado ilustra o caso n=3. Temos então, os seguintes eventos em A definidos a 
partir da variável aleatória X: 
{X=0} = {FFF} , {X=1} = {SFF FSF FFS} , {X=2} = {SFF FSF FFS} e {X=3}={SSS} 
Podemos então determinar probabilidades associadas à variável X: 
P{X=0} = P{FFF} = q3 
P{X=1} = P{SFF FSF FFS} = 3pq2 
P{X=2} = P{SFF FSF FFS} = 3p2q 
Podemos agora generalizar essas ideias para um número n qualquer. Os valores possíveis de X são, 
nesse caso geral, 0, 1, 2, 3, … , n. Para o cálculo de P{X=x}, basta determinarmos de quantas maneiras se 
pode ter x sucessos em n repetições de Bp, e este número é, claro, 
C�
 = n!x! �n − x�! 
Na expressão acima, de análise combinatória, matéria do terceiro ano colegial, n! é o fatorial de n, dado 
por 
n!=1×2×3×4×…×n 
Como qualquer resultado ω∈Ω, com x sucessos e, consequentemente (n-x) fracassos, tem 
probabilidade pxqn-x, concluímos que: 
P�X = x� = C�
 ∙ p
 ∙ q��
 = �!
!���
�! ∙ p
 ∙ q��
 , para qualquer x=0, 1, 2, …, n. 
Exemplos: 
1. O arremesso de uma moeda é um caso particular de experimento binário; neste caso, p=0,5. Vamos 
considerar o experimento composto por 100 arremessos de uma moeda, e seja X o número total de 
caras. Temos, então 
a. ��� = 50� = � !!"! ∙ 0,5"! ∙ 0,5 !!�"! = � !!"! ∙ 0,5 !! 
= 100.891.344.545.564.000.000.000.000.000 × 0,5 !! = 0,0795892 
ω X(ω) 
SSS 3 
SSF 2 
SFS 2 
FSS 2 
SFF 1 
FSF 1 
FFS 1 
SSS 0 
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0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota: o valor de .�/ acima foi determinado usando a função COMBIN do Excel. 
b. ��� ≥ 70� = ∑ � !!2 ∙ 0,5 !! !!234! = 3,93 × 10�" 
 
2. Seja D5 o experimento correspondente ao arremesso de um dado equilibrado de 5 lados. Assim, D"� 
é o experimento composto por n repetições sucessivas de D5. Embora não intrinsecamente binário, 
este experimento pode ser binarizado se considerarmos 
apenas um dos seus possíveis resultados, o 5, por 
exemplo, como S, sendo os demais igualmente 
considerados como F. Assim, D"� pode ser tratado como B��, com p=0,20. Seja X o número de vezes em que se 
obteve o resultado 5, em 10 arremessos do dado de 
cinco lados. Então 
��� = 3� = � !� ∙ 0,2� ∙ 0,8 !�� = 0,2013 
A figura ao lado ilustra a distribuição de probabilidades de 
X nesse caso 
A Distribuição Binomial no Excel 
Frequentemente os cálculos de probabilidades em binomiais podem se tornar operacionalmente difíceis 
mesmo com uma calculadora científica, devido às dificuldades numéricas para o cálculo exato de C�
 
para n e x grandes (tente calcular, por exemplo, C !!�! ). No Excel, esses cálculos são simples, como mostra 
a figura abaixo. A fórmula em fx representa P{X=3}, para n=20 e p=0,2, especificados à esquerda. O valor 
de q, num campo sombreado (quiz indicar um campo onde o operador não deve mexer, por conter uma 
função automática: q=1-p) é também usado na fórmula. Note os travamentos usando $ em $C$2, $C$3 
e $C$5. O gráfico à direita, de P{X=x} versus x, é construído com recursos básicos do Excel, com algum 
acabamento. 
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Para valores de n até 1000, o Excel permite o cálculo de C�
, para qualquer x, mesmo o inteiro mais 
próximo de n/2. Por exemplo: C !!!"!! = 2,702.882.409.454.370.000×10�66. 
Veja a planilha publicada no sítio deste curso para cálculos mais completos relacionados à b(n, p). Nela 
utilizamos a fórmula recursiva que dá P{X=x} em função de P{X=x-1} para X~b(n, p): 
P�X = x� = P�X = x − 1� × 7pq8 × 7n − x 9 1x 8 
Usando este recurso, calculei P{X=x} para X~b(2000, 0,50), representado no gráfico abaixo, para valores 
de x indo de 920 a 1080. É interessante notar que este intervalo acumula uma probabilidade total de 
0,999684. Conclusão: em uma b(2000, 0,5), a probabilidade de um resultado fora desse intervalo é de 
apenas 316 milionésimos. 
 
 
A figura abaixo, com uma representação contínua de P{X=x} para X~b(2000, 0,50), dá uma ideia melhor 
de como esta distribuição em torno de seu valor médio esperado. 
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
9
2
0
9
2
5
9
3
0
9
3
5
9
4
0
9
4
5
9
5
0
9
5
5
9
6
0
9
6
5
9
7
0
9
7
5
9
8
0
9
8
5
9
9
0
9
9
5
1
0
00
1
0
05
1
0
10
1
0
15
1
0
20
1
0
25
1
0
30
1
0
35
1
0
40
1
0
45
1
0
50
1
0
55
1
0
60
1
0
65
1
0
70
1
0
75
1
0
80
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A propósito, a probabilidade de exatamente 1000 caras em 2000 arremessos de uma moeda é 
0,0178390. 
 
Distribuição binomial: O problema inverso 
Se X é a variável aleatória que conta o número total de sucessos em n repetições independentes de um 
mesmo experimento binário Bp, dizemos que X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e 
representamos este fato, sinteticamente, por X~b(n, p). Neste caso, sabemos que X é uma variável 
aleatória que pode, em princípio, assumir qualquer valorinteiro, de 0 até n, e que a probabilidade de X 
assumir um determinado valor x neste intervalo é dada por 
P�X = x� = C�
 ∙ p
 ∙ q��
 = n!x! �n − x�! ∙ p
 ∙ q��
 
Assim, com n e p conhecidos, podemos calcular, às vezes com algum esforço maior de cálculo numérico, 
a probabilidade de qualquer evento do tipo {X=x}. É um problema básico de probabilidade. Por exemplo: 
1. Se uma moeda normal é arremessada 100 vezes, a probabilidade de exatamente 40 caras é 
(neste caso, X~b(100, 0,5) ) 
P�X = 40� = C !!:! ∙ 0,5:! ∙ 0,5 !!�:! = 100!40! �100 − 40�! ∙ 0,5 !! = 0,010844 
2. A probabilidade de exatamente dois resultados 6 em dez arremessos de um dado é (neste 
caso, X~b(10, 1/6) ) 
P�X = 40� = C !� ∙ 7168� ∙ 7568 !�� = 10!2! �10 − 2�! ∙ 7168� ∙ 7568; = 0,290710 
3. Se, na véspera do segundo turno de uma eleição presidencial, o candidato A conta com 
precisamente 60% das intenções de voto dos cerca de 140 milhões de eleitores, e uma 
amostra aleatória de 400 destes eleitores é sorteada e esses eleitores sorteados 
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200
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perguntados sobre suas intenções de voto, qual a probabilidade do candidato B aparecer na 
frente de A? (neste caso X, o número de respostas favoráveis a A, tem distribuição b(400, 
0,60) ). 
P�X < 200� = = C:!!
 0,60
 ∙ 0,40:!!�
 66
3! = 21,2379 × 10�> 
Precisamente 21,2 milionésimos. Portanto, nessa pesquisa, o candidato A, com certeza, 
aparecerá na frente. No cálculo acima usei apoio computacional, claro. Mas não era 
necessário, conforme veremos mais adiante neste curso. 
Nos exemplos acima tratamos de calcular probabilidades de resultados específicos de variáveis 
aleatórias com distribuição binomial, com n e p conhecidos. São problemas básicos de Probabilidade. 
Numa situação diferente, temos um resultado x, e queremos fazer inferência sobre p. 
Considere o caso da eleição no exemplo 3 acima. Suponha agora uma situação mais interessante, na 
qual p, a fração do eleitorado que irá votar em A, seja desconhecida. E suponha ainda que a pesquisa 
com 400 eleitores amostrados aleatoriamente entre todo o eleitorado, tenha resultado em 240 
respostas favoráveis a A, e as restantes 160, contrárias. A pergunta aqui é, então: 
 
 
A resposta a esta pergunta envolve um dos raciocínios mais belos, mais sutilmente engenhosos, jamais 
engendrados pelo intelecto humano. Uma sacada à altura da lei da especiação através da seleção 
natural, ou da lei gravitacional de Newton. A coisa é assim: 
Tendo obtido X=240 em n=400, buscamos no intervalo [0, 1] que valores de p são compatíveis com 
aquele resultado. O valor p=0 é, obviamente, incompatível com o resultado obtido, uma vez que, com 
p=0, o resultado X=240 é impossível. Como este resultado aconteceu, então devemos descartar o zero 
como uma alternativa possível para p. Por raciocínio idêntico descartamos também p=1. 
O quê dizer, contudo, de p=0,01, por exemplo? Ora, como sob esta hipótese ( de que p=0,01 ), a 
probabilidade do resultado {X=240} é tão absurdamente pequena a ponto de torná-lo impossível, essa 
hipótese pode também ser descartada com toda a segurança. De fato, como, sob esta hipótese, 
X~b(400, 0,01), então: 
P�X = 240� = C:!!�:! ∙ 0,01�:! ∙ 0,99 >! = 6,6868 × 10��>> 
Dado que o candidato A recebeu exatamente 240 respostas favoráveis entre os 400 eleitores 
amostrados aleatoriamente, o quê podemos afirmar sobre p, a sua parcela favorável no eleitorado 
de 145 milhões de eleitores ? 
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Conclusão: com p=0,01, P{X=240}=6,6868×10-366, não teria acontecido. Mas aconteceu; descartamos, 
pois 0,01 como uma hipótese plausível para p, nesse caso. Continuado com este raciocínio, podemos 
calcular P{X=240}, como uma função de p: P�X = 240� = C:!!�:! ∙ p�:! ∙ �1 − p� >!, cuja representação 
gráfica é dada na figura abaixo: 
 
Fica evidente que valores plausíveis para p são aqueles muito próximos de 
�:!:!! = 0,60. Em particular, 
valores menores que 0,50 podem ser descartados. 
A figura ao lado foca na região mais plausível de p. 
A função representada no gráfico acima e, que dá 
P{X=x}, é denominada função de verossimilhança de 
p. Ela aponta, nesse caso, a região plausível para p, 
dado que numa amostra de 400 eleitores, 240 
declararam intenção de votar em A. Ela é 
representada pela letra L, de likelihood, 
verossimilhança em inglês. Assim, se X~b(n, p), a função de verossimilhança de p, dado X=x, é: 
?�@\� = B� = �C2@2�1 − @��C�2�, para x fixo, e p no intervalo [0, 1] 
A função de verossimilhança no caso da binomial, dada acima, assume seu máximo valor para p=x/n. A 
prova é simples: basta derivar em relação a p, o logaritmo de L. A derivada é nula em p=x/n e a derivada 
segunda nesse ponto é negativa, logo x/n é um ponto de máximo de ln(L), portanto também de L. 
Daí surge uma variante muito mais tratável de L, a função da razão de verossimilhança, igual a L dividido 
por seu máximo valor. Vejamos 
D�@\� = B� = ?�@\� = B�EFBGH?�@\� = B�I = �C2@2�1 − @�
�C�2�
�C2 JBKL2 71 − JBKL8�C�2� = J
K@B L2 MK�1 − @�K − B NC�2 
No exemplo acima, com X~b(400, p) e x=240, a função da razão de verossimilhança de p, dado X=240, é 
D�@\� = 240� = 7 @0,68�:! M�1 − @�0,4 N >! 
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
 
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70
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Ela está representada na figura abaixo. Conforme esperado, seu máximo valor é 1, e ocorre para p=0,6. 
 
Ela diz o mesmo que a função de verossimilhança, mas seu manejo é mais simples, alem de apresentar 
outras vantagens, como veremos adiante. Inspecionando visualmente a figura acima, vemos que se uma 
amostra de 400 eleitores (o tamanho do eleitorado, um milhão ou cem milhões de eleitores, é 
irrelevante, desde que a amostra tenha sido selecionada por sorteio aleatório, fazendo do sorteio de 
cada eleitor um experimento binário Bp) resultou em 240 respostas favoráveis e 160 desfavoráveis, 
então o valor verdadeiro de p tem que ser algo, certamente, maior que 0,5 e menor que 0,7. 
Podemos portanto assegurar que, se nada dramático acontecer até o dia da eleição, alterando muito a 
posição do eleitorado, A vencerá a eleição. Como veremos mais adiante neste curso, podemos fazer 
afirmações ainda mais precisas; por exemplo, que p se situa entre 0,552 e 0,646, uma afirmação que 
fazemos com 95% de confiança (!). Aguardem novas e excitantes ideias para muito breve. Não perca. 
Exercício: Seja X~b(n, p). Construa um gráfico sobrepondo as funções da razão de verossimilhança para 
p, nos casos n=10 e x=2; n=100 e x=20; e n=1000 e x=200. Interprete o quê cada uma diz sobre p? 
Esperança e Variância 
O comportamento de uma variável aleatória é completamente descrito por função de distribuição de 
probabilidades, ou f.d.p.. A pontuação em um arremesso de um dado pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, com 
chances iguais. A f.d.p. pode então ser representada por: 
��� = B� = O16 @FPF B ∈ �1 2 3 4 5 6 �0 @FPF B ∉ �1 2 3 4 5 6 � 
No caso de X-b(n, p), o número de sucessos em B��, já sabemos: 
��� = B� = S �C2 @2�1 − @�C�2 @FPF B ∈ �0 1 2 3 … K�0 @FPF B ∉ �0 1 2 3 … K� 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
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Na figura abaixo está representada a f.d.p. de X~b(100, 0,10). Note que, embora X se espalhe – 
matematicamente falando – de 0 a 100, a figura representa apenas o intervalo de 0 a 30, visto que 
acima desta faixa, as probabilidades são pequenas demais para deixarem qualquer marca no gráfico. A 
propósito, P{X=30}=1,84×10-8 e P{X>30}=6,06×10-9. 
 
Vamos agora definir os conceitos de Esperança e de Variância de uma variável aleatória. O primeiro diz 
respeito ao valor médio esperado da variável e o segundo mede o grau de espalhamento da distribuição 
de probabilidade correspondente, em torno da esperança. Continuamos usando o contexto específico 
da distribuição binomial para introduzir aqueles dois conceitos que, todavia, são aplicáveis a qualquer 
variável aleatória. Seja ΩX o suporte da distribuição de X, ou seja, o conjunto de todos os valores que 
esta variável aleatória pode assumir. Assim, 
E�X� = = x ∙ P�X = x�
∈VW 
Note que E(X) é nada mais que a média dos valores possíveis de X, ponderados pelas respectivas 
probabilidades. No caso da distribuição binomial, temos 
X��� = = x ∙ P�X = x�
∈VW = = x ∙ C�
∈VW ∙ p
. �1 − p���
 = K@ 
A prova de que, para X~b(n, p), E(X)=np, é simples e está dada nas notas completas. 
A variância de X é simplesmente a esperança de [ X – E(X) ]2: 
Y��� = XH� − X���I� = = Hx − E�X�I� ∙ P�X = x�
∈VW = = x ∙ C�
∈VW ∙ p
. �1 − p���
 = K@ 
Para o caso particular de uma b(n, p), temos 
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
3
0
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 Y��� = XH� − X���I� = = �x − np�� ∙ C�
∈VW ∙ p
. �1 − p���
 = K@�1 − @� = K@Z 
E a prova de que, para X~b(n, p), V(X)=npq, é simples e também está dada nas notas completas. 
Estes conceitos básicos (de Esperança e Variância) são centrais à Teoria da Probabilidade, 
desempenham um papel teórico e prático importantíssimo, e devem ser assimilados em profundidade. 
Os resultados específicos para X~b(n, p), a saber, E(X)=p e V(X)=npq, serão intensamente utilizados 
neste curso. Ganhe intimidade com eles.