MATEMÁTICA_EsPCEx-7

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PORCENTAGEM DE UMA QUANTIA 
EXEMPLOS: 
a. Qual é o valor de 20% de R$ 60,00? 
b. 40% de quanto dá 30? 
c. O valor 30 corresponde a quanto de 210? 
OBSERVAÇÃO: 
Para calcular 10% ou 1% de um número, basta 
“andar com vírgula” uma ou duas casas para a 
esquerda. 
10% de 55,3 
1% de 234 
AUMENTO DE X% DE UM VALOR A 
a. Aumente em 40% o valor 300. 
b. Aumente em 6% o valor 500. 
DESCONTO DE X% DE UM VALOR A 
a. Diminua em 20% o valor 800. 
b. Diminua em 25% o valor 900. 
AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS 
Para compor vários aumentos e/ou descontos basta 
multiplicar os vários fatores individuais e obter o fator 
acumulado. 
EXEMPLO: 
Uma determinada quantia recebe um aumento de 
40% depois um desconto de 30% e, por último, outro 
desconto de 10%. Ao final, a quantia teve um 
aumento ou diminuição ao valor original? Qual é a 
porcentagem? 
EXEMPLO 1: 
De toda a produção agrícola de uma região no ano 
passado, 40% foram grãos e, destes, 50% foi soja. 
Qual foi o porcentual de soja produzida em relação a 
toda a produção agrícola da região no ano passado? 
EXEMPLO 2: 
A quantidade de desempregados de um certo país, 
em 2001, era de 6.000.000, correspondendo a 20% 
da população total. Em 2010, este número aumentou 
para 9.000.000, correspondendo a 15% da 
população total. Indique a variação percentual da 
população do país no período considerado. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
TERMOS UTILIZADOS: Capital (C), Tempo (T), 
Juros (J), Taxa (i) e Montante (M) 
Exemplo: 
Roberto emprestou R$1.000,00 a Paulo por 3 anos. 
Durante esse período, a taxa de juros simples foi de 
10% ao ano. Qual é o montante desse empréstimo 
ao final de três anos? 
JUROS SIMPLES: Quando um capital C é aplicado 
durante t unidades de tempo e a taxa i de juros, por 
unidade de tempo, incide apenas sobre o capital 
inicial, os juros j são chamados de juros simples. 
Esses juros ao final da aplicação são calculados por: 
 𝐽=𝐶∙𝑖∙𝑡 
EXEMPLO: 
Qual é o juro simples produzido por capital de R$ 
3.600,00 aplicado durante um ano e meio à taxa de 
5% ao mês? 
EXEMPLO: 
Em quanto tempo se pode duplicar um capital 
aplicado a juro simples à taxa de 0,5% ao dia? 
JUROS COMPOSTOS 
O regime de juros compostos é o mais comum no 
sistema financeiro, sendo, portanto, o mais útil para 
cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados 
a cada período são incorporados ao principal para o 
cálculo dos juros do período seguinte. 
Roberto emprestou R$1.000,00 a Paulo por 3 anos. 
Durante esse período, a taxa de juros simples foi de 
10% ao ano. Qual é o montante desse empréstimo 
ao final de três anos? 
Simplificando, obtemos a fórmula: 
𝑀=𝐶⋅1 + ⅈ𝑛 
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma 
medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês 
para n meses. 
Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o 
principal do montante ao final do período: 
𝐽=M −C 
EXEMPLO: 
Determine os juros compostos gerados por uma 
aplicação de R$ 4.000,00 por um período de um ano 
e meio, à taxa de 8% ao mês. Dado: (1,08)18=3,99. 
 
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(Teoria dos Conjuntos e 
Conjuntos Numéricos) (Conjunto 
dos irracionais e reais) - Números 
irracionais; - Módulo de um 
número real; - Representação 
decimal; - Operações com 
intervalos reais. 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
Existem números cuja representação decimal com 
infinitas casas decimais não é periódica: esses são 
os números irracionais. Eles não podem ser 
representados por uma razão entre dois números 
inteiros, tal como os números racionais. 
 EXEMPLO: 
2=1,4142136… 
3=1,7320508… 
𝜋=3,1415926… 
OBSERVAÇÃO: 
Até esse momento, um número é racional ou 
irracional e ℚ ∩𝐼= ∅ 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
Como o conjunto dos números reais possui todos 
os conjuntos estudados até o momento, sua 
representação numérica é: 
Veja 
agora como podemos representar o conjunto dos 
reais por meio de diagramas. A relação estabelecida 
na imagem a seguir é de inclusão, isto é, um conjunto 
está contido em outro conjunto. 
 
REPRESENTAÇÃO DECIMAL 
REPRESENTAÇÃO DECIMAL FINITA 
𝟕𝟐= 
EXEMPLO: 
9 = 
3,235 = 
5210000= 
REPRESENTAÇÃO DECIMAL INFINITA 
Um número com representação decimal infinita é 
chamado de dízima. 
• Dízima não periódica 
É um número que quando escrito na forma decimal 
apresenta uma série infinita de algarismo após a 
vírgula e, em nenhum momento, se repetem em 
grupos de um ou mais algarismo. 
EXEMPLO: 
45,23875849303862... 
7,2934528739057... 
• Dízima periódica 
É um número que quando escrito na forma decimal 
apresenta uma série infinita de algarismos após a 
virgula e, a partir de certo algarismo, se repetem em 
grupos de um ou mais algarismos. 
EXEMPLOS: 
0,33333333 ... = 13 
0,23333333 ... = 2190 
EXEMPLOS: 
0,555555... 
2,17171717 ... 
2,12424242424... 
INTERVALO REAIS 
A RETA REAL 
A cada ponto de uma reta pode-se associar um 
único número real. 
 R 
INTERVALOS REAIS 
Considere, a, b ∈ R, no qual a < b. Os intervalos 
reais são os subconjuntos de R apresentado a 
seguir: 
Intervalo fechado 
x ∈ R | a ≤ x ≤b =[a, b] 
 R 
 
 
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Intervalo aberto 
x ∈R | a< x <b =] a, b[ 
 R 
Intervalo fechado à esquerda 
x ∈ R | a ≤ x < b =[a, b[ 
 
 R 
Intervalo fechado à direita 
x ∈ R | a < x ≤ b =]a, b] 
 
 R 
Intervalo ilimitado 
x ∈ R | x ≥ a = [a,+∞[ 
 
 R 
x ∈ R | x < a = ]-∞, a[ 
 
 R 
OPERAÇÕES COM INTERVALOS 
Intervalos são subconjuntos de ℝ, logo é 
possível fazer operações com eles. 
EXEMPLO: 
Dados os intervalos A = ]4,8], B = [6,10] 
determinar: 
𝑨 ∪𝑩= 
 
 
 
 
 
𝑨 ∩𝑩= 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
Dados os intervalos C =] -3, +∞ [e D =] - ∞, 7], 
Determinar: 
 𝑪−𝑫 = 
 
 
 
 
 
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
DEFINIÇÃO 
Dado um número real 𝒙, chama-se módulo ou 
valor absoluto de 𝒙, e se indica por |𝒙|, o número 
real não negativo tal que: 
𝒙 = 
x, se x ≥𝟎 
- x, se x <𝟎 
 
Observação: 
Isso significa o seguinte: 
- O modulo de um número real não negativo é igual 
ao próprio número; 
- O módulo de um número real negativo é igual ao 
oposto desse número. 
EXEMPLO: 
a) 3∙|2|= 
b) −3+|2|= 
c) |−7+4|= 
d) |(−2)∙(−3)| 
PROPRIEDADE DO MÓDULO DE UM NÚMERO 
REAL 
𝑃1)|𝑥|≥0 
𝑃2𝑥=0⟺𝑥=0 
𝑃3)𝑥∙𝑦=|𝑥𝑦| 
𝑃4)x2=|𝑥2=𝑥2 
𝑃5)𝑥=|−𝑥| 
𝑃6) 𝑥≤𝑥 
𝑃7) 𝑋+𝑌≤𝑋+𝑦 
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